12
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a A
L M
M M
L L
2 1
2 22
21 1
12 11
Susunan di atas disebut matriks m kali n ditulis mxn, karena memiliki m baris dan n kolom. Elemen-elemen matriks berupa bilangan real maupun fungsi
bilangan real.
2.2.1 Perkalian Matriks dengan Skalar
Menurut Hadley 1992: 53, Jika diberikan sebuah matriks A dan sebuah skalar
λ, maka hasil perkalian λ dan A ditulis λA didefinisikan sebagai
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
mn m
m n
n
a a
a a
a a
a a
a A
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
L M
M M
L L
2 1
2 22
21 1
21 11
2.2.2 Perkalian Dua Matriks
Jika diberikan matriks
mxn
A dan matriks
nxm
B maka hasil kali AB
didefinisikan sebagai
mxm
C yang elemen-elemennya dihitung dari elemen-elemen
dari A, B. Dapat ditulis sebagai berikut:
∑
=
= =
=
n k
kj ik
ij
r j
m i
b a
C
1
, ,
1 ;
, ,
1 ,
K K
Hadley, 1992: 57 Perkalian matriks A dan matriks B terdefinisi jika dan hanya jika jumlah kolom
matriks A sama dengan jumlah baris matriks B.
13
Contoh: Diketahui matriks
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
= 1
2 1
A dan
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
= 4
3 2
1 B
. Tentukan perkalian antara matriks A dan matriks B
Penyelesaian: ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ =
1 2
1 AB
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
4 3
2 1
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ +
+ +
= 4
. 1
2 .
3 .
1 1
. 4
. 2
2 .
1 3
. 2
1 .
1
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
= 4
3 10
7
. 2.2.3 Transpose Matriks
Menurut Hadley 1992: 51 ”Transpose dari matriks A adalah matriks
yang dibentuk dari A dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom sehingga baris i dari A menjadi kolom i dari matriks transpose”. Transpose
dinotasikan dengan
A
. Pandang A adalah matriks mxn, maka
A
adalah matriks nxm.
Contoh:
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
= 6
5 4
3 2
1 A
maka ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎣
⎡ =
6 3
5 2
4 1
A .
2.2.4 Determinan Matriks
Determinan suatu matriks A biasanya dilambangkan dengan detA atau A . Pandang A matriks persegi berordo nxn
14
⎥ ⎥
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎢ ⎢
⎣ ⎡
=
nn n
n n
n
a a
a a
a a
a a
a A
L M
M M
L L
2 1
2 22
21 1
12 11
Jika elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dihapus, maka determinan matriks persegi sisanya berordo n-1 disebut minor dari
ij
a
, dan dinyatakan oleh
.
ij
M
Minor bertanda,
ij ixj
M 1
−
disebut kofaktor
ij
a
dan dinyatakan oleh
ij
a
. Nilai determinan A , dengan A matriks berordo nxn adalah jumlah hasil kali yang
diperoleh dari perkalian tiap elemen suatu baris kolom A dengan kofaktornya, yaitu:
∑
=
± =
n k
nr j
i
a a
a A
1 2
1
K
Sebuah unsur diberi tanda + jika i, j, k,
K
,r adalah permutasi genap dari 1, 2,
K
, n, dan tanda - jika permutasi ganjil. Hadley, 1992: 72.
2.2.5 Matriks Identitas
