41
2.9 Fungsi-fungsi Ukuran Robust
Fungsi pembobot yang digunakan estimasi-M antara lain:
2.9.1 Fungsi Pembobot Huber Menurut Cranmer 2005: 12 ”Fungsi Huber dikembangkan oleh Huber
pada tahun 1964, fungsi objektif Huber adalah gabungan dari OLS dan Least Absolute Value
LAV”. Fungsi objektif meminimumkan gabungan dari jumlah kuadrat residual dan jumlah mutlak residual. Fungsi huber lebih resisten terhadap
outlier daripada OLS.
Fungsi pembobot yang disarankan oleh Huber memakai fungsi obyektif
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧ −
≤ =
c u
c u
c c
u u
u
i i
i i
i
, 2
1 ,
2 1
2 2
ρ
dengan
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧ −
− ≤
= ∂
∂ =
= c
u c
c u
u c
u c
u u
u u
i i
i i
i i
i i
, ,
,
ρ ρ
ψ
dan fungsi pembobot
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
≤ =
= =
c u
u c
c u
u u
u w
w
i i
i i
i i
i
, ,
1 ψ
2.9.2 Fungsi Pembobot Tukey Bisquare
Menurut Cranmer 2005: 12 ”Fungsi tukey memiliki perbedaan daripada
fungsi Huber. Khususnya pada tingkat residual yang besar”. Fungsi pembobot yang disarankan oleh Tukey memakai fungsi obyektif
42
⎪ ⎪
⎩ ⎪
⎪ ⎨
⎧ ≤
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− −
= c
u c
c u
c u
c u
i i
i i
, 6
, 1
1 6
2 3
2 2
ρ
Sehingga untuk nilai mutlak skala residual yang lebih besar daripada c, tidak meningkat. Hal ini berarti pengaruh dari residual dibatasi.
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧ ≤
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− =
∂ ∂
= =
c u
c u
c u
u u
u u
u
i i
i i
i i
i i
, ,
1
2 2
ρ ρ
ψ
dan fungsi pembobot
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧ ≤
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− =
= =
c u
c u
c u
u u
u w
w
i i
i i
i i
i
, ,
1
2 2
ψ
Secara ringkas, fungsi obyektif ρ dan fungsi pembobot dari estimasi
Huber, dan Tukey bisquares dapat dilihat pada Tabel 2.2 Fox, 2002: 3. Fungsi Huber memberikan pembobot sebesar 1 untuk
c u
i
≤ dan mengecil pada c
u
i
.Pada fungsi Tukey bisquares, diberi pembobot nol ketika c
u
i
pembobotnya mengecil dengan segera setelah
i
u beranjak dari nol.
Tabel 2.2 Perbandingan Fungsi Huber dan Fungsi Tukey bisquare
Metode Huber Tukey
Bisquare Interval
43
Fungsi objektif
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧ −
=
2 2
2 1
2 1
c u
c u
u
i i
i
ρ ⎪
⎪ ⎩
⎪ ⎪
⎨ ⎧
⎪⎭ ⎪
⎬ ⎫
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
− −
= 6
1 1
6
2 3
2 2
c c
u c
u
i i
ρ c
u c
u
i i
≤
Fungsi Pembobot
⎪⎩ ⎪
⎨ ⎧
=
i i
u c
u w
1
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧ ⎥
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎢ ⎣
⎡ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
= 1
2 2
c u
u w
i i
c u
c u
i i
≤
Nilai c untuk estimator Huber dan Tukey Bisquare disebut tuning constan. Semakin kecil nilai c menghasilkan lebih resisten terhadap outlier. Estimasi-M
mempunyai effisiensi sekitar 95 ketika residual berdistribusi normal. ”Untuk bobot huber nilai c = 1,345 dan untuk bobot bisquare nilai c= 4,685 ”Fox, 2002.
2.10 Kerangka Berpikir