Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES
POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN
TREN FUNGSI PANGKAT
INTAN FITRIA SARI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Fungsi
Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2015
Intan Fitria Sari
NIM G54110003
ABSTRAK
INTAN FITRIA SARI. Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson
Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I WAYAN
MANGKU dan HADI SUMARNO.
Pada karya ilmiah ini dibahas penyusunan penduga konsisten bagi fungsi
nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat.
Komponen periodik fungsi intensitas tersebut tidak diasumsikan memiliki bentuk
parametrik tertentu, namun periodenya diasumsikan diketahui. Sedangkan slope
dari tren fungsi pangkat diasumsikan memiliki nilai positif, namun nilainya tidak
diketahui. Masalah utama karya ilmiah ini adalah menyusun penduga fungsi nilai
harapan, membuktikan kekonsitenan penduga, dan menentukan laju
kekonvergenan menuju nol untuk bias, ragam, dan mean squared error (MSE)
penduga, jika panjang interval pengamatan proses menuju takhingga.
Kata kunci: fungsi intensitas periodik, fungsi nilai harapan, kekonsistenan
penduga, proses Poisson majemuk, tren fungsi pangkat.
ABSTRACT
INTAN FITRIA SARI. Estimating the Mean Function of a Coumpond Cyclic
Poisson Process with Power Function Trend. Supervised by I WAYAN
MANGKU and HADI SUMARNO.
This manuscript is concerned with consistent estimation of the mean
function of a compound cyclic Poisson process with power function trend. The
cyclic component of intensity function of this process is not assumed to have any
parametric form, but its period is assumed to be known. The slope of the power
function trend is assumed to be positive, but its value is unknown. The main
problems of this manuscript are constructing an estimator of this mean function,
proving consistency of this estimator, and determining the rate of convergence to
zero for the bias, variance, and mean squared error of this estimator, when the
length of the observation time interval indefinitely expands.
Keywords: compound cyclic Poisson process, consistency, cyclic intensity
function, power function trend, the mean function.
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES
POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN
TREN FUNGSI PANGKAT
INTAN FITRIA SARI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi : Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik
Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat
Nama
: Intan Fitria Sari
NIM
: G54110003
Disetujui oleh
Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
Pembimbing I
Dr Ir Hadi Sumarno, MS
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan
karunia-Nya serta sholawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga
karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak
lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih
yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluarga tercinta Bapak, Ibu, Mas Aan, Mbak Fala, dan keluarga besar
yang selalu memberikan doa, dukungan, semangat, bimbingan, kasih
sayang, dan motivasi.
2. Prof. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc selaku dosen Pembimbing I yang
telah memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, saran, dan
bantuannya selama penulisan skripsi ini.
3. Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku dosen Pembimbing II yang telah
memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, dan saran.
4. Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS selaku dosen penguji yang telah
memberikan ilmu dan sarannya.
5. Rahmi Budhy Fatmasari selaku sahabat penulis sejak SMA yang telah
mendengarkan curahan hati selama penulisan skripsi ini, sahabat
seperjuangan di tingkah akhir yang siap membantu, dan memberikan
motivasi, semangat, serta saran.
6. Muhammad Dinar Mardiana senantiasa mendengarkan curahan hati
selama penulisan skripsi ini, menampung keluh kesah, dan memberikan
motivasi, serta doa.
7. Aristin, Kiki, Lidya, Sifa, Andini, Hanna, Alfi, Febiyana, Riefdah, Putri,
Atikah, Resty selaku sahabat yang menemani penulis selama masa kuliah
dan memeberikan motivasi, doa, serta dukungan.
8. Teman-teman Matematika Angkatan 48 yang selalu memberikan keceriaan,
dukungan, doa, dan segala bantuan yang telah di berikan.
9. Kakak-kakak Matematika angkatan 47, adik-adik Matematika angkatan 49,
kakak-kakak Matematika Terapan S2 angkatan 51, anggota DPM FMIPA
IPB, anggota MPM KM IPB, penghuni Asrama lorong VI TPB IPB tahun
2011/2012, dan semua keluarga besar OMDA KKB MK yang telah
memberikan doa, semangat, dan dukungannya.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan
khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian
selanjutnya.
Bogor, Mei 2015
Intan Fitria Sari
DAFTAR ISI
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
2
Momen, Nilai Harapan, dan Ragam
2
Kekonvergenan
3
Penduga dan Sifat-sifatnya
3
Proses Stokastik
4
Beberapa Definisi dan Lema Teknis
5
PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA
6
Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan
6
Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya
8
Beberapa Lema Teknis dan Buktinya
8
BUKTI KEKONSITENAN PENDUGA DAN LAJU KEKONVERGENANNYA
11
Bukti Kekonvergenan Penduga
11
Bukti Laju Kekonvergenan Penduga
12
SIMPULAN
19
DAFTAR PUSTAKA
19
LAMPIRAN
RIWAYAT HIDUP
21
25
DAFTAR LAMPIRAN
1. Perumusan nilai harapan dari proses Poisson majemuk
2. Penjabaran
sebagai nilai harapan dari
3. Penduga bagi fungsi intensitas global ( ̂
4. Penduga bagi fungsi intensitas sebagian ̂
21
22
23
24
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Proses stokastik merupakan model yang menggunakan aturan-aturan
peluang yang mempunyai peranan yang cukup penting dalam kehidupan seharihari. Sebagai contoh kedatangan pelanggan ke pusat servis (bank, kantor pos, toko
buku, supermarket, dan sebagainya) dan proses kedatangan pengguna line telepon
dapat dimodelkan dengan proses stokastik.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan
waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Jika waktu dianggap
berpengaruh maka digunakan proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson
yang fungsi intensitasnya merupakan fungsi takkonstan dari waktu. Proses
Poisson takhomogen ini merupakan perumuman dari proses Poisson homogen.
Salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen adalah proses Poisson
periodik, yaitu suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi
periodik.
Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses
Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah
satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik
majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian diperluas menjadi proses Poisson
periodik majemuk dengan tren linear (Wibowo 2014). Selanjutnya kajian
diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat.
Proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat bermanfaat untuk
mencari perumuman dari sifat proses Poisson periodik majemuk.
Pembahasan karya ilmiah ini difokuskan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren fungsi pangkat. Sebaran dari proses Poisson periodik
majemuk dengan tren fungsi pangkat sulit ditentukan, sehingga salah satu hal
yang penting yang dapat diusahakan untuk ditentukan adalah penduga nilai
harapan dari proses tersebut. Nilai harapan ini merupakan fungsi dari waktu
karena proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat merupakan
fungsi dari waktu.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Merumuskan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren fungsi pangkat.
2. Menganalisis kekonsistenan penduga.
3. Menganalisis laju kekonvergenan ke nol dari bias, ragam, dan mean squared
error (MSE) penduga.
2
LANDASAN TEORI
Momen, Nilai Harapan, dan Ragam
Definisi 1 (Nilai harapan)
1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang PX, maka
nilai harapan dari X didefinisikan sebagai
[ ]
∑
[ ]
∫
jika jumlah di atas konvergen mutlak. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai
harapan dari X adalah tidak ada (Hogg et al. 2014).
2. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang fX, maka
nilai harapan dari X didefinisikan sebagai
jika integral di atas konvergen mutlak. Jika integral di atas divergen, maka
nilai harapan dari X adalah tidak ada (Hogg et al. 2014).
Definisi 2 (Ragam)
Jika adalah peubah acak maka ragam dari X didefinisikan sebagai
(
(Ghahramani 2005).
Definisi 3 (Koragam)
Misalkan X dan Y adalah peubah acak, dan misalkan pula
dan
masing-masing menyatakan nilai harapan dari X dan Y. Koragam dari X dan Y
] (Ghahramani 2005).
didefinisikan sebagai
[
Lema 1 (Sifat ragam)
1. Jika X adalah peubah acak dengan ragam yang berhingga, maka untuk
sebarang konstanta c dan d, berlaku
.
2. Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, dan misalkan pula c dan d
adalah dua buah konstanta sebarang, maka
.
3. Jika X dan Y adalah peubah acak saling bebas, maka
.
Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2005).
Definisi 4 (Momen ke–k)
Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau
peubah acak X adalah
(Hogg et al. 2014).
dari
3
Kekonvergenan
Definisi 5 (Kekonvergenan barisan bilangan nyata)
Barisan
disebut mempunyai limit dan kita tuliskan
atau
jika
apabila untuk setiap
terdapat sebuah bilangan M
|
sedemikian rupa sehingga jika n > M maka |
.
Jika
ada, kita katakan barisan tersebut konvergen. Jika
tidak, kita katakan barisan tersebut divergen (Stewart 2001) .
Definisi 6 (Kekonvergenan dalam peluang)
Misalkan
adalah barisan peubah acak pada suatu ruang
peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak
dikatakan konvergen dalam peluang
ke peubah acak X, dinotasikan
|
P |
, untuk
→
, jika untuk setiap
(Ghahramani 2005).
Lema 2 (Sifat kekonvergenan dalam peluang)
→
dan
→
maka
→
Misalkan
→
untuk
. Bukti dapat dilihat pada Hogg et al. (2014).
berlaku
dan
Penduga dan Sifat-sifatnya
Definisi 7 (Statistik)
Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak
tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui (Hogg
et al. 2014).
Definisi 8 (Penduga)
Misalkan
adalah contoh acak. Suatu statistik
yang digunakan untuk menduga fungsi parameter
dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi
, dilambangkan dengan ̂
.
Bilamana nilai
maka nilai
disebut sebagai dugaan (estimate) bagi
(Hogg et al. 2014).
Definisi 9 (Penduga takbias)
(i)
Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter
, yaitu
]
[
, disebut penduga takbias bagi
. Jika
sebaliknya, penduga di atas disebut berbias.
]
[
, maka
(ii)
Jika
disebut penduga takbias asimtotik bagi
(Hogg et al. 2014).
Definisi 10 (Penduga konsisten)
Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter
, disebut
penduga konsisten bagi
(Hogg et al. 2014).
Beberapa jenis kekonsistenan penduga, didefinisikan sebagai berikut:
4
(i)
(ii)
Suatu statistik
yang konvergen dalam peluang ke
parameter
, yaitu
→
, untuk
,
disebut penduga konsisten lemah bagi
.
(iii)
Jika
Jika
→
untuk
disebut penduga konsisten kuat bagi
, maka
).
→
untuk
,
maka
disebut penduga konsisten rataan ke-r bagi
.
Definisi 11 (MSE suatu penduga)
Mean squared error (MSE) dari penduga W untuk parameter θ adalah
fungsi dari θ yang didefinisikan oleh
. Dengan kata lain, MSE adalah
nilai harapan kuadrat dari selisih penduga W dan parameter . Dari sini diperoleh
̂
(Cassela dan
Berger 1990).
Proses Stokastik
Definisi 12 (Proses stokastik)
Proses stokastik
acak yang memetakan suatu ruang contoh
adalah suatu himpunan dari peubah
ke suatu ruang state S (Ross 2010).
Definisi 13 (Proses stokastik waktu kontinu)
Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu
jika T adalah suatu interval (Ross 2010).
Definisi 14 (Inkremen bebas)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
disebut
memiliki inkremen bebas jika untuk semua
< 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut:
(i)
.
(ii)
Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
(iii) Banyaknya kejadian pada sebarang interval waktu dengan panjang t,
memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan t.
Jadi, untuk semua
,
, k =
0,1,… (Ross 2010). Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki
inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diperoleh: (
.
Definisi 18 (Proses Poisson homogen)
Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju
merupakan konstanta untuk setiap waktu t (Ross 2010).
yang
Definisi 19 (Proses Poisson takhomogen)
Suatu proses Poisson
disebut proses Poisson takhomogen jika
laju pada sebarang waktu t merupakan fungsi takkonstan dari t yaitu
(Ross
2010).
Definisi 20 (Intensitas lokal)
Intensitas lokal dari suatu proses Poisson takhomogen X dengan fungsi
intensitas pada titik
adalah
, yaitu nilai fungsi di s (Cressie 1993).
Definisi 21 (Fungsi intensitas global)
Misalkan N([0,n]) adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi
intensitas global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai:
[
]
jika limit di atas ada (Cressie 1993).
Definisi 22 (Fungsi periodik)
Suatu fungsi disebut periodik jika
untuk semua
dan
. Konstanta terkecil τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode
dari fungsi tersebut (Cressie 1993).
Definisi 23 (Proses Poisson periodik)
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson takhomogen yang
fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik (Mangku 2001).
Beberapa Definisi dan Lema Teknis
Definisi 24 (Fungsi terintegralkan lokal)
Fungsi intensitas
disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang
himpunan Borel terbatas diperoleh
(Dudley 1989).
∫
6
Definisi 25 (
Simbol “big-oh” ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua
fungsi
dan
, dengan x menuju suatu limit L.
Notasi
, menyatakan bahwa | | terbatas, untuk
(Serfling 1980).
Definisi 26 (
Suatu fungsi f disebut
, untuk
menyatakan bahwa
lebih cepat dari
, jika
(Ross 2010).
. Hal ini
Lema 3 (Lema Borel- Cantelli)
adalah barisan kejadian pada ruang contoh . Jika
Misalkan
∑
maka
(⋂ ⋃
(
adalah barisan kejadian yang saling bebas dan
Jika
∑
maka
(⋂ ⋃
Bukti dapat dilihat pada DasGupta (20111).
(
Lema 4 (Hukum lemah bilangan besar)
Misalkan
adalah peubah acak i.i.d dengan nilai harapan
ragam
< ∞, maka ∑
Capinski dan Kopp (2007).
dan
, untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada
PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA
Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan
Misalkan
adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan
fungsi intensitas
terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
diasumsikan berupa fungsi periodik dengan tren fungsi pangkat, yaitu
memenuhi
(1)
untuk
, konstanta merupakan kemiringan dari tren dengan
(2)
7
Misalkan
adalah suatu proses dengan
∑
,
(3)
di mana
merupakan barisan peubah acak yang independent and
identically distributed dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga
bebas terhadap
. Proses
disebut dengan proses Poisson
periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Nilai harapan dari
,
dinotasikan dengan
yaitu
[
] [ ]
,
(4)
dengan
.
(5)
∫
Bukti persamaan (4) dapat dilihat pada Lampiran 1. Untuk setiap
yang diberikan,
dapat dituliskan sebagai berikut
.
(6)
adalah fungsi intensitas global dari komponen
Misalkan
∫
periodik pada proses
. Bukti persamaan (6) dapat dilihat pada
Lampiran 2. Diasumsikan
Berdasarkan persamaan (4) dan (6), fungsi nilai harapan dari
dapat
dituliskan menjadi
.
(7)
Pendugaan fungsi nilai harapan
pada persamaan (7) dapat dibagi
menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan , pendugaan yang merupakan
slope pada fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global , dan pendugaan
yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada
]. Penduga bagi dirumuskan sebagai berikut:
interval waktu [
∑ [ ] ,
̂
(8)
[ ]
[
]
dengan ̂
saat
. Penduga ini diperoleh dari rata-rata nilai
peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan
[
]
Penduga bagi slope dari tren fungsi pangkat, yaitu dirumuskan sebagai
berikut:
[
]
.
̂
Penjelasan persamaan (9) dapat dilihat pada Putra (2012) , untuk
Penduga bagi fungsi intensitas global dirumuskan sebagai berikut:
̂
[
] [
]
∑
̂
Penjelasannya dapat dilihat pada Lampiran 3.
Penduga bagi fungsi intensitas sebagian ( ̂
berikut:
̂
] [
]
[
∑
(9)
.
.
(10)
) dirumuskan sebagai
̂
.
(11)
Penjelasannya dapat dilihat pada Lampiran 4.
Berdasarkan penduga pada persamaan (8), (9), (10), dan (11) , penduga bagi
fungsi nilai harapan
dirumuskan sebagai berikut:
̂
̂
̂
̂
̂
(12)
8
dengan ̂
[
saat
]
.
Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya
Teorema 1 (Kekonsistenan lemah)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal. Jika
memenuhi persamaan (3) , maka
̂
→
(13)
̂
untuk
. Dengan kata lain
merupakan penduga konsisten lemah
bagi
.
Teorema 2 (Laju kekonvergenan bias)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal. Jika
memenuhi persamaan (3) , maka
]
(14)
]
[̂
[̂
] konvergen ke nol dengan laju
untuk
Dengan kata lain
[̂
jika
.
Teorema 3 (Laju keonvergenan ragam)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal. Jika
memenuhi persamaan (3) , maka
[̂
]
(15)
] konvergen ke nol dengan laju
untuk
. Dengan kata lain,
[̂
jika
.
Akibat 1 (Laju Kekonvergenan MSE)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal. Jika
memenuhi persamaan (3) , maka
[̂
]
(16)
] konvergen ke nol dengan
untuk
. Dengan kata lain,
[̂
laju
jika
.
Beberapa Lema Teknis dan Buktinya
Beberapa lema berikut digunakan dalam mengkaji kekonsistenan penduga
bagi fungsi nilai harapan.
Lema 5: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
(17)
(̂
untuk n → ∞ dan 0 < b < 1. Dengan kata lain, ̂ merupakan penduga takbias
asimtotik bagi . Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
9
Lema 6: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
(̂
untuk n → ∞ dan 0 < b < 1. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
(18)
Berdasarkan Lema 5 dan 6 diperoleh akibat berikut.
Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas
memenuhi persamaan (1) dan
terintegralkan lokal, maka
̂
(19)
untuk
.
Bukti : Momen kedua dari ̂ dapat ditentukan sebagai berikut :
( ̂
̂
̂
(
(
untuk
(
(
. Bukti lengkap.
(
(
Lema 7: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
(̂
(20)
untuk n → ∞ dan 0 < b < 1. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
Lema 8: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
untuk kasus
, diperoleh
untuk kasus
untuk kasus
(̂
(21)
, diperoleh
(̂
(22)
, diperoleh
(̂
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
(23)
Berdasarkan Lema 7 dan 8 diperoleh akibat berikut.
Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas
memenuhi persamaan (1) dan
terintegralkan lokal, maka
10
(̂
(24)
untuk
.
Bukti: Momen kedua dari ̂ dapat ditentukan sebagai berikut :
(̂
(̂
(
(
untuk
(̂
(
(
(
. Bukti lengkap.
Lema 9: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
̂
(25)
untuk n → ∞ dan 0 < b < 1. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
Lema 10: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
, diperoleh
untuk kasus
̂
memenuhi persamaan (1) dan
(26)
, diperoleh
untuk kasus
̂
(27)
untuk kasus
, diperoleh
̂
(28)
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
Berdasarkan Lema 9 dan 10 diperoleh akibat berikut.
Akibat 4: Misalkan fungsi intensitas
memenuhi persamaan (1) dan
terintegralkan lokal, maka
( ̂
untuk
.
Bukti: Momen kedua dari ̂
( ̂
(
(
̂
(29)
dapat ditentukan sebagai berikut :
(
̂
(
(
11
(
untuk
. Bukti lengkap.
BUKTI KEKONSITENAN PENDUGA DAN LAJU
KEKONVERGENANNYA
Bukti Kekonvergenan Penduga
Untuk membuktikan Teorema 1, diperlukan beberapa Lema berikut
Lema 11: Misalkan fungsi memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
maka
̂ →
untuk n → ∞ dan 0 < b < 1. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
Lema 12: Misalkan fungsi
maka
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
̂ →
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
Lema 13: Misalkan fungsi
maka
untuk n → ∞ dan
(30)
(31)
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
̂
→
. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
(32)
Lema 14: Misalkan fungsi intensitas
memenuhi persamaan (1) dan
terintegralkan lokal. Jika kondisi persamaan (2) dan
dipenuhi, maka dengan
peluang 1,
[
]
untuk
.
Bukti :
[
[
] ]
∫
∫
untuk
. Kemudian, berdasarkan Lema 3 (Lema Barel- Cantelli), diperoleh
Lema 14. Bukti lengkap.
Bukti Teorema 1:
Perhatikan kembali persamaan (12). Dengan menerapkan Lema 2
(kekonvergenan), untuk membuktikan Teorema 1, cukup diperiksa bahwa
̂
→
(33)
12
̂
̂
→
(34)
→
(35)
(36)
̂ →
untuk
. Dengan Lema 11 diperoleh persamaan (33), dengan Lema 12
diperoleh persamaan (34), dengan Lema 13 diperoleh persamaan (35), dengan
Lema 4 dan Lema 14, diperoleh persamaan (36). Bukti lengkap.
Bukti Laju Kekonvergenan Penduga
Bukti Teorema 2:
]
[̂
[̂
|
∑ [̂
[̂
|
∑ [̂
]
Untuk [
Sedangkan untuk
̂
̂
Sehingga untuk
]
[
| [
̂
[
|
[
[
[
̂
]
[
]
]
.
[
[
]
[
]
]
]
]
[
∑
̂
(̂
Berdasarkan Lema 7 dan 9 diperoleh
(̂
]
,
̂
,
]
]
|
maka ̂
[
]
[
] ]
̂
(
(
(
]
∑
(
untuk
[̂
. Jadi,
]
∑
[̂
|
[
]
]
∑
[
∑
]
.
(
(
]
[
]
(
∑
13
∑
[
∑
(
]
∑
(
∑
(
[
[
]
[
]
(
∑
(
[
[
]
(
∑
(
(
untuk
]
[
]
]
(
[
(
̂
(
(
.
[
(
(
]
[
[
(
(
]
. Jadi,
]
[̂
]
(
(
untuk
[̂
(
]
]
(
(37)
14
Bukti Teorema 3:
Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan
dapat diperoleh dari rumusan berikut:
̂
.
(38)
]
[̂
]
[̂
Suku kedua dari ruas kanan persamaan (38) telah diperoleh pada persamaan
(37) sehingga tersisa suku pertama yang perlu dihitung. Momen kedua dari
penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat
berikut:
] ]
] | [
]
[ [̂
[̂
∑ [̂
[̂
] |
∑ [̂
maka ̂
[
]
]
Untuk [
Sedangkan untuk
̂
̂
Sehingga untuk
]
| [
[̂
̂
[
̂
̂
,
̂
] |
[
]
] |
[
]
[
]
.
(
̂
[
]
]
̂
(
(̂
[
]
]
[
]
(̂
̂
Berdasarkan lema dan akibat, dapat ditulis sebagai berikut
(
(
(
(
(
∑
]
∑
]
(̂
[
]
∑
̂
̂
]
,
Pertama dihitung
[
[
[
(
(
̂
15
(
(
(
(
(
(
(
untuk
(
(
. Kedua, dihitung
∑
[∑
]
∑ ∑
∑
[
∑ ∑
∑ (
(
(
Jadi diperoleh untuk
]
| [
[̂
((
untuk
[̂
∑
]
]
. Oleh karena itu,
] |
]
[ [̂
((
[
]
(
[
((
] ]
(
16
[
∑
(
[
∑
∑
[
∑
(
untuk
∑
∑
untuk
∑
(
∑
]
[
]
]
[
∑
]
(
(
]
(
∑
(
∑
. Pada bukti Teorema 2, telah diperoleh
[
]
]
( [
[
]
. Dengan cara serupa, dapat diperoleh
[
]
]
( [
[
[
[
]
]
(39)
(40)
(41)
]
(42)
untuk
. Bukti persamaan (42) telah dikaji pada Wibowo (2014). Dengan
persamaan (39) dan (42) , dapat dituliskan
] ]
] | [
]
[ [̂
[̂
(
(
(
[
]
[
[
(
(
[
[
] ]
(
] ]
(
17
(
[
[
]
]
[
(
(
]
(
(
(
(
(
(
[
]
(
[ ̂
]
[̂ ]
[̂ ]
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
18
(
[(
(
(
((
untuk
[̂
(
]
(
]
.
[̂
(
]
(
(
̂
(
(
(
(
(
Bukti lengkap.
(
(
(
Bukti akibat 1:
Berdasarkan Teorema 2 dan 3,
[̂
]
[̂
]
untuk
(
. Sehingga, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan adalah
(
untuk
(
(
(
(
[̂
]
(
19
SIMPULAN
Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren fungsi pangkat adalah
̂
̂
̂
̂
(
̂
dengan
̂
̂
∑
̂
∑
̂
[
[
]
[
[
]
]
[
]
[
∑
[
]
]
]
̂
̂
]
dengan ̂
saat [
.
Penduga bagi fungi nilai harapan dengan rumusan ini merupakan penduga
yang konsisten lemah. Bias, ragam, dan mean squared error (MSE) dari penduga
bagi fungsi nilai harapan konvergen ke nol dengan laju
.
DAFTAR PUSTAKA
Capinski M, Kopp E. 2007. Measure, Integral and Probability. 2nd Ed. New York
(US): Sringer.
Casella G, Berger RL. 1990. Statistical Inference. Pasific Grove, California:
Wadsworth & Brooks/ Cole.
Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised Edition. New York:
Wiley.
DasGupta A. 2011. Probability for Statisticsand Machine Learning:
Fundamentals and Advanced Topics. New York (US): Springer.
Dudley R.M. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wadsworth &
Brooks.
Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed. ke-3. New York: Prentice
Hall.
Hogg RV, McKean JW , Craig AT. 2014. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed. ke-7. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall.
Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process
(Ph.D.Thesis). Amsterdam: University of Amsterdam.
Putra D. 2012. Kekonsistenan penduga dari fungsi sebaran dan fungsi kepekatan
waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat [tesis].
Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
20
Ross SM. 2010. Introduction to Probability Models. Ed. ke-9. Orlando, Florida:
Academic Press Inc.
Ruhiyat. 2013. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New
York: John Wiley & Sons.
Stewart J. 2001. Kalkulus. Jilid 1. Ed. ke-4. Susila, I Nyoman dan Gunawan,
Hendra, alih bahasa: Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Calculus.
Wibowo B. 2014. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren linear [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
21
Lampiran 1 Perumusan nilai harapan dari proses Poisson majemuk
[
] [ ]
Bukti persamaan (4) :
Berdasarkan persamaan (19),
[
]
∑
Dengan menggunakan sifat nilai harapan,
∑
∑
|
.
Selanjutnya terlebih dahulu
∑
|
(∑
∑
karena barisan peubah acak
bebas terhadap proses
Kemudian, karena
adalah barisan peubah acak i.i.d, maka
∑
∑
,
sehingga
∑
|
.
]
]
[
.
Akhirnya diperoleh [
][
Bukti lengkap.
.
22
Lampiran 2 Penjabaran
Bukti persamaan (6) :
sebagai nilai harapan dari
∫
∫
∫(
∫
Berdasarkan Ruhiyat (2013):
∫(
sehingga diperoleh
,
. Bukti lengkap.
23
Lampiran 3 Penduga bagi fungsi intensitas global ( ̂
Bukti persamaan (10)
∫
∑
Misal
.
Untuk setiap s ϵ [0,n] dan setiap k bilangan positif.
Untuk setiap kτ ϵ [0,n], sehingga dapat ditulis sebagai berikut
∑
∑
∫
∑
∫
∫
∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑
Perhatikan bahwa
∑
∑
∑
Karena
[
∫
(
∑
(
∑
(
∑
[
[
]
]
[
]
[
]
[
]
[
]
untuk
]
, maka
[
(
[
]
∑
[
]
[
∑
∑
]
[
Sehingga didapat penduga untuk θ yaitu
̂
]
[
[
(
∑
]
]
]
̂
(
24
Lampiran 4 Penduga bagi fungsi intensitas sebagian ( ̂
Bukti persamaan (11) Penduga ̂
.
∫
)
∑
Misal
.
Untuk setiap s ϵ [0,n] dan setiap k bilangan positif. Untuk setiap kτ ϵ [0,n],
sehingga dapat ditulis sebagai berikut
∑
∑
∫
∑
∫
∑
∑
Perhatikan bahwa
∫
∑
∫
∑
[
]
[
]
∑
[
]
[
]
∑
[
∑
∑
∫
Karena
∑
]
[
∑
∑
[
untuk
]
∑
]
[
[
[
[
∫
∑
]
]
∑
]
, maka
]
[
Sehingga didapat penduga untuk
̂
∫
[
yaitu
]
]
[
]
̂
25
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kudus pada tanggal 12 Maret 1994 sebagai anak kedua
dari dua bersaudara dari pasangan Sukandar dan Suti’ah. Tahun 2011 penulis
lulus dari SMA 1 Kudus dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk
Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur undangan Seleksi Nasional Masuk
Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) IPB dan diterima di Departemen
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah
Metode Statistika pada semester ganjil tahun ajaran 2013/2014 , asisten mata
kuliah Proses Stokastik pada semester genap tahun ajaran 2014/2015, dan menjadi
pengajar SMA mata pelajaran Matematika pada tahun 2013-2014. Penulis
mendapatkan beasiswa PPA pada tahun 2012-2013 dan beasiswa Karya Salemba
Empat (KSE) pada tahun 2013-2014. Penulis juga aktif pada kegiatan
kemahasiswaan, antara lain staf Departemen Friendship Badan Eksekutif
Mahasiswa (BEM) TPB pada tahun 2011/2012, staf Komisi I Dewan Perwakilan
Mahasiswa (DPM) FMIPA IPB pada tahun 2012/2013, sekretaris Badan Pekerja
(BP) 3 MPM KM IPB 2012/2013, staf Divisi Internal Organisasi Mahasiswa
Daerah (OMDA) KKB 2012/2013, dan sekretaris Komisi IV Dewan Perwakilan
Mahasiswa (DPM) FMIPA IPB 2013/2014.
Selain itu, penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan kepanitiaan,
antara lain koordinator konsumsi kegiatan Verifikasi UKM MPM KM IPB pada
tahun 2013, sekretaris kegiatan Hubungan Kelembagaan MPM KM IPB pada
tahun 2013, bendahara kegiatan MUSTA IKAHIMATIKA pada tahun 2013,
koordinator Verifikasi dan Kampanye Pemilihan Raya Eksekutif FMIPA IPB
pada tahun 2013, staf Divisi Acara kegiatan G-FORCE FMIPA IPB tahun 2013,
staf Divisi Humas MPD Matematika IPB tahun 2013, dan sekretaris Pemilihan
Raya Legislatif FMIPA IPB pada tahun 2014.
POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN
TREN FUNGSI PANGKAT
INTAN FITRIA SARI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pendugaan Fungsi
Nilai Harapan pada Proses Poisson Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat adalah
benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan
dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang
berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari
penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di
bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2015
Intan Fitria Sari
NIM G54110003
ABSTRAK
INTAN FITRIA SARI. Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson
Periodik Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat. Dibimbing oleh I WAYAN
MANGKU dan HADI SUMARNO.
Pada karya ilmiah ini dibahas penyusunan penduga konsisten bagi fungsi
nilai harapan pada proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat.
Komponen periodik fungsi intensitas tersebut tidak diasumsikan memiliki bentuk
parametrik tertentu, namun periodenya diasumsikan diketahui. Sedangkan slope
dari tren fungsi pangkat diasumsikan memiliki nilai positif, namun nilainya tidak
diketahui. Masalah utama karya ilmiah ini adalah menyusun penduga fungsi nilai
harapan, membuktikan kekonsitenan penduga, dan menentukan laju
kekonvergenan menuju nol untuk bias, ragam, dan mean squared error (MSE)
penduga, jika panjang interval pengamatan proses menuju takhingga.
Kata kunci: fungsi intensitas periodik, fungsi nilai harapan, kekonsistenan
penduga, proses Poisson majemuk, tren fungsi pangkat.
ABSTRACT
INTAN FITRIA SARI. Estimating the Mean Function of a Coumpond Cyclic
Poisson Process with Power Function Trend. Supervised by I WAYAN
MANGKU and HADI SUMARNO.
This manuscript is concerned with consistent estimation of the mean
function of a compound cyclic Poisson process with power function trend. The
cyclic component of intensity function of this process is not assumed to have any
parametric form, but its period is assumed to be known. The slope of the power
function trend is assumed to be positive, but its value is unknown. The main
problems of this manuscript are constructing an estimator of this mean function,
proving consistency of this estimator, and determining the rate of convergence to
zero for the bias, variance, and mean squared error of this estimator, when the
length of the observation time interval indefinitely expands.
Keywords: compound cyclic Poisson process, consistency, cyclic intensity
function, power function trend, the mean function.
PENDUGAAN FUNGSI NILAI HARAPAN PADA PROSES
POISSON PERIODIK MAJEMUK DENGAN
TREN FUNGSI PANGKAT
INTAN FITRIA SARI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
Judul Skripsi : Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik
Majemuk dengan Tren Fungsi Pangkat
Nama
: Intan Fitria Sari
NIM
: G54110003
Disetujui oleh
Prof Dr Ir I Wayan Mangku, MSc
Pembimbing I
Dr Ir Hadi Sumarno, MS
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan
karunia-Nya serta sholawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga
karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak
lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih
yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluarga tercinta Bapak, Ibu, Mas Aan, Mbak Fala, dan keluarga besar
yang selalu memberikan doa, dukungan, semangat, bimbingan, kasih
sayang, dan motivasi.
2. Prof. Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc selaku dosen Pembimbing I yang
telah memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, saran, dan
bantuannya selama penulisan skripsi ini.
3. Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS selaku dosen Pembimbing II yang telah
memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, dan saran.
4. Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS selaku dosen penguji yang telah
memberikan ilmu dan sarannya.
5. Rahmi Budhy Fatmasari selaku sahabat penulis sejak SMA yang telah
mendengarkan curahan hati selama penulisan skripsi ini, sahabat
seperjuangan di tingkah akhir yang siap membantu, dan memberikan
motivasi, semangat, serta saran.
6. Muhammad Dinar Mardiana senantiasa mendengarkan curahan hati
selama penulisan skripsi ini, menampung keluh kesah, dan memberikan
motivasi, serta doa.
7. Aristin, Kiki, Lidya, Sifa, Andini, Hanna, Alfi, Febiyana, Riefdah, Putri,
Atikah, Resty selaku sahabat yang menemani penulis selama masa kuliah
dan memeberikan motivasi, doa, serta dukungan.
8. Teman-teman Matematika Angkatan 48 yang selalu memberikan keceriaan,
dukungan, doa, dan segala bantuan yang telah di berikan.
9. Kakak-kakak Matematika angkatan 47, adik-adik Matematika angkatan 49,
kakak-kakak Matematika Terapan S2 angkatan 51, anggota DPM FMIPA
IPB, anggota MPM KM IPB, penghuni Asrama lorong VI TPB IPB tahun
2011/2012, dan semua keluarga besar OMDA KKB MK yang telah
memberikan doa, semangat, dan dukungannya.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan
khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian
selanjutnya.
Bogor, Mei 2015
Intan Fitria Sari
DAFTAR ISI
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
LANDASAN TEORI
2
Momen, Nilai Harapan, dan Ragam
2
Kekonvergenan
3
Penduga dan Sifat-sifatnya
3
Proses Stokastik
4
Beberapa Definisi dan Lema Teknis
5
PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA
6
Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan
6
Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya
8
Beberapa Lema Teknis dan Buktinya
8
BUKTI KEKONSITENAN PENDUGA DAN LAJU KEKONVERGENANNYA
11
Bukti Kekonvergenan Penduga
11
Bukti Laju Kekonvergenan Penduga
12
SIMPULAN
19
DAFTAR PUSTAKA
19
LAMPIRAN
RIWAYAT HIDUP
21
25
DAFTAR LAMPIRAN
1. Perumusan nilai harapan dari proses Poisson majemuk
2. Penjabaran
sebagai nilai harapan dari
3. Penduga bagi fungsi intensitas global ( ̂
4. Penduga bagi fungsi intensitas sebagian ̂
21
22
23
24
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Proses stokastik merupakan model yang menggunakan aturan-aturan
peluang yang mempunyai peranan yang cukup penting dalam kehidupan seharihari. Sebagai contoh kedatangan pelanggan ke pusat servis (bank, kantor pos, toko
buku, supermarket, dan sebagainya) dan proses kedatangan pengguna line telepon
dapat dimodelkan dengan proses stokastik.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan
waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Jika waktu dianggap
berpengaruh maka digunakan proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson
yang fungsi intensitasnya merupakan fungsi takkonstan dari waktu. Proses
Poisson takhomogen ini merupakan perumuman dari proses Poisson homogen.
Salah satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen adalah proses Poisson
periodik, yaitu suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi
periodik.
Kajian terhadap proses Poisson majemuk dengan menggunakan proses
Poisson takhomogen sangatlah luas. Oleh karena itu, kajian dimulai dengan salah
satu bentuk khusus dari proses Poisson takhomogen, yaitu proses Poisson periodik
majemuk (Ruhiyat 2013). Setelah itu kajian diperluas menjadi proses Poisson
periodik majemuk dengan tren linear (Wibowo 2014). Selanjutnya kajian
diperluas menjadi proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat.
Proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat bermanfaat untuk
mencari perumuman dari sifat proses Poisson periodik majemuk.
Pembahasan karya ilmiah ini difokuskan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren fungsi pangkat. Sebaran dari proses Poisson periodik
majemuk dengan tren fungsi pangkat sulit ditentukan, sehingga salah satu hal
yang penting yang dapat diusahakan untuk ditentukan adalah penduga nilai
harapan dari proses tersebut. Nilai harapan ini merupakan fungsi dari waktu
karena proses Poisson periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat merupakan
fungsi dari waktu.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Merumuskan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren fungsi pangkat.
2. Menganalisis kekonsistenan penduga.
3. Menganalisis laju kekonvergenan ke nol dari bias, ragam, dan mean squared
error (MSE) penduga.
2
LANDASAN TEORI
Momen, Nilai Harapan, dan Ragam
Definisi 1 (Nilai harapan)
1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang PX, maka
nilai harapan dari X didefinisikan sebagai
[ ]
∑
[ ]
∫
jika jumlah di atas konvergen mutlak. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai
harapan dari X adalah tidak ada (Hogg et al. 2014).
2. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang fX, maka
nilai harapan dari X didefinisikan sebagai
jika integral di atas konvergen mutlak. Jika integral di atas divergen, maka
nilai harapan dari X adalah tidak ada (Hogg et al. 2014).
Definisi 2 (Ragam)
Jika adalah peubah acak maka ragam dari X didefinisikan sebagai
(
(Ghahramani 2005).
Definisi 3 (Koragam)
Misalkan X dan Y adalah peubah acak, dan misalkan pula
dan
masing-masing menyatakan nilai harapan dari X dan Y. Koragam dari X dan Y
] (Ghahramani 2005).
didefinisikan sebagai
[
Lema 1 (Sifat ragam)
1. Jika X adalah peubah acak dengan ragam yang berhingga, maka untuk
sebarang konstanta c dan d, berlaku
.
2. Misalkan X dan Y adalah peubah acak diskret, dan misalkan pula c dan d
adalah dua buah konstanta sebarang, maka
.
3. Jika X dan Y adalah peubah acak saling bebas, maka
.
Bukti dapat dilihat pada Ghahramani (2005).
Definisi 4 (Momen ke–k)
Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau
peubah acak X adalah
(Hogg et al. 2014).
dari
3
Kekonvergenan
Definisi 5 (Kekonvergenan barisan bilangan nyata)
Barisan
disebut mempunyai limit dan kita tuliskan
atau
jika
apabila untuk setiap
terdapat sebuah bilangan M
|
sedemikian rupa sehingga jika n > M maka |
.
Jika
ada, kita katakan barisan tersebut konvergen. Jika
tidak, kita katakan barisan tersebut divergen (Stewart 2001) .
Definisi 6 (Kekonvergenan dalam peluang)
Misalkan
adalah barisan peubah acak pada suatu ruang
peluang (Ω, , P). Barisan peubah acak
dikatakan konvergen dalam peluang
ke peubah acak X, dinotasikan
|
P |
, untuk
→
, jika untuk setiap
(Ghahramani 2005).
Lema 2 (Sifat kekonvergenan dalam peluang)
→
dan
→
maka
→
Misalkan
→
untuk
. Bukti dapat dilihat pada Hogg et al. (2014).
berlaku
dan
Penduga dan Sifat-sifatnya
Definisi 7 (Statistik)
Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak
tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui (Hogg
et al. 2014).
Definisi 8 (Penduga)
Misalkan
adalah contoh acak. Suatu statistik
yang digunakan untuk menduga fungsi parameter
dikatakan sebagai penduga (estimator) bagi
, dilambangkan dengan ̂
.
Bilamana nilai
maka nilai
disebut sebagai dugaan (estimate) bagi
(Hogg et al. 2014).
Definisi 9 (Penduga takbias)
(i)
Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter
, yaitu
]
[
, disebut penduga takbias bagi
. Jika
sebaliknya, penduga di atas disebut berbias.
]
[
, maka
(ii)
Jika
disebut penduga takbias asimtotik bagi
(Hogg et al. 2014).
Definisi 10 (Penduga konsisten)
Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter
, disebut
penduga konsisten bagi
(Hogg et al. 2014).
Beberapa jenis kekonsistenan penduga, didefinisikan sebagai berikut:
4
(i)
(ii)
Suatu statistik
yang konvergen dalam peluang ke
parameter
, yaitu
→
, untuk
,
disebut penduga konsisten lemah bagi
.
(iii)
Jika
Jika
→
untuk
disebut penduga konsisten kuat bagi
, maka
).
→
untuk
,
maka
disebut penduga konsisten rataan ke-r bagi
.
Definisi 11 (MSE suatu penduga)
Mean squared error (MSE) dari penduga W untuk parameter θ adalah
fungsi dari θ yang didefinisikan oleh
. Dengan kata lain, MSE adalah
nilai harapan kuadrat dari selisih penduga W dan parameter . Dari sini diperoleh
̂
(Cassela dan
Berger 1990).
Proses Stokastik
Definisi 12 (Proses stokastik)
Proses stokastik
acak yang memetakan suatu ruang contoh
adalah suatu himpunan dari peubah
ke suatu ruang state S (Ross 2010).
Definisi 13 (Proses stokastik waktu kontinu)
Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu
jika T adalah suatu interval (Ross 2010).
Definisi 14 (Inkremen bebas)
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu
disebut
memiliki inkremen bebas jika untuk semua
< 0, jika dipenuhi tiga syarat berikut:
(i)
.
(ii)
Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
(iii) Banyaknya kejadian pada sebarang interval waktu dengan panjang t,
memiliki sebaran (distribusi) Poisson dengan nilai harapan t.
Jadi, untuk semua
,
, k =
0,1,… (Ross 2010). Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki
inkremen stasioner. Dari syarat ini juga dapat diperoleh: (
.
Definisi 18 (Proses Poisson homogen)
Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju
merupakan konstanta untuk setiap waktu t (Ross 2010).
yang
Definisi 19 (Proses Poisson takhomogen)
Suatu proses Poisson
disebut proses Poisson takhomogen jika
laju pada sebarang waktu t merupakan fungsi takkonstan dari t yaitu
(Ross
2010).
Definisi 20 (Intensitas lokal)
Intensitas lokal dari suatu proses Poisson takhomogen X dengan fungsi
intensitas pada titik
adalah
, yaitu nilai fungsi di s (Cressie 1993).
Definisi 21 (Fungsi intensitas global)
Misalkan N([0,n]) adalah proses Poisson pada interval [0,n]. Fungsi
intensitas global dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai:
[
]
jika limit di atas ada (Cressie 1993).
Definisi 22 (Fungsi periodik)
Suatu fungsi disebut periodik jika
untuk semua
dan
. Konstanta terkecil τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode
dari fungsi tersebut (Cressie 1993).
Definisi 23 (Proses Poisson periodik)
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson takhomogen yang
fungsi intensitasnya adalah fungsi periodik (Mangku 2001).
Beberapa Definisi dan Lema Teknis
Definisi 24 (Fungsi terintegralkan lokal)
Fungsi intensitas
disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang
himpunan Borel terbatas diperoleh
(Dudley 1989).
∫
6
Definisi 25 (
Simbol “big-oh” ini merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua
fungsi
dan
, dengan x menuju suatu limit L.
Notasi
, menyatakan bahwa | | terbatas, untuk
(Serfling 1980).
Definisi 26 (
Suatu fungsi f disebut
, untuk
menyatakan bahwa
lebih cepat dari
, jika
(Ross 2010).
. Hal ini
Lema 3 (Lema Borel- Cantelli)
adalah barisan kejadian pada ruang contoh . Jika
Misalkan
∑
maka
(⋂ ⋃
(
adalah barisan kejadian yang saling bebas dan
Jika
∑
maka
(⋂ ⋃
Bukti dapat dilihat pada DasGupta (20111).
(
Lema 4 (Hukum lemah bilangan besar)
Misalkan
adalah peubah acak i.i.d dengan nilai harapan
ragam
< ∞, maka ∑
Capinski dan Kopp (2007).
dan
, untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada
PERUMUSAN PENDUGA DAN KEKONSISTENANNYA
Perumusan Penduga Fungsi Nilai Harapan
Misalkan
adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan
fungsi intensitas
terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas
diasumsikan berupa fungsi periodik dengan tren fungsi pangkat, yaitu
memenuhi
(1)
untuk
, konstanta merupakan kemiringan dari tren dengan
(2)
7
Misalkan
adalah suatu proses dengan
∑
,
(3)
di mana
merupakan barisan peubah acak yang independent and
identically distributed dengan nilai harapan
dan ragam
, yang juga
bebas terhadap
. Proses
disebut dengan proses Poisson
periodik majemuk dengan tren fungsi pangkat. Nilai harapan dari
,
dinotasikan dengan
yaitu
[
] [ ]
,
(4)
dengan
.
(5)
∫
Bukti persamaan (4) dapat dilihat pada Lampiran 1. Untuk setiap
yang diberikan,
dapat dituliskan sebagai berikut
.
(6)
adalah fungsi intensitas global dari komponen
Misalkan
∫
periodik pada proses
. Bukti persamaan (6) dapat dilihat pada
Lampiran 2. Diasumsikan
Berdasarkan persamaan (4) dan (6), fungsi nilai harapan dari
dapat
dituliskan menjadi
.
(7)
Pendugaan fungsi nilai harapan
pada persamaan (7) dapat dibagi
menjadi beberapa pendugaan, yaitu pendugaan , pendugaan yang merupakan
slope pada fungsi intensitas, pendugaan fungsi intensitas global , dan pendugaan
yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada
]. Penduga bagi dirumuskan sebagai berikut:
interval waktu [
∑ [ ] ,
̂
(8)
[ ]
[
]
dengan ̂
saat
. Penduga ini diperoleh dari rata-rata nilai
peubah acak yang bersesuaian untuk setiap titik data pada interval pengamatan
[
]
Penduga bagi slope dari tren fungsi pangkat, yaitu dirumuskan sebagai
berikut:
[
]
.
̂
Penjelasan persamaan (9) dapat dilihat pada Putra (2012) , untuk
Penduga bagi fungsi intensitas global dirumuskan sebagai berikut:
̂
[
] [
]
∑
̂
Penjelasannya dapat dilihat pada Lampiran 3.
Penduga bagi fungsi intensitas sebagian ( ̂
berikut:
̂
] [
]
[
∑
(9)
.
.
(10)
) dirumuskan sebagai
̂
.
(11)
Penjelasannya dapat dilihat pada Lampiran 4.
Berdasarkan penduga pada persamaan (8), (9), (10), dan (11) , penduga bagi
fungsi nilai harapan
dirumuskan sebagai berikut:
̂
̂
̂
̂
̂
(12)
8
dengan ̂
[
saat
]
.
Kekonsistenan Penduga dan Laju Kekonvergenannya
Teorema 1 (Kekonsistenan lemah)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal. Jika
memenuhi persamaan (3) , maka
̂
→
(13)
̂
untuk
. Dengan kata lain
merupakan penduga konsisten lemah
bagi
.
Teorema 2 (Laju kekonvergenan bias)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal. Jika
memenuhi persamaan (3) , maka
]
(14)
]
[̂
[̂
] konvergen ke nol dengan laju
untuk
Dengan kata lain
[̂
jika
.
Teorema 3 (Laju keonvergenan ragam)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal. Jika
memenuhi persamaan (3) , maka
[̂
]
(15)
] konvergen ke nol dengan laju
untuk
. Dengan kata lain,
[̂
jika
.
Akibat 1 (Laju Kekonvergenan MSE)
Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal. Jika
memenuhi persamaan (3) , maka
[̂
]
(16)
] konvergen ke nol dengan
untuk
. Dengan kata lain,
[̂
laju
jika
.
Beberapa Lema Teknis dan Buktinya
Beberapa lema berikut digunakan dalam mengkaji kekonsistenan penduga
bagi fungsi nilai harapan.
Lema 5: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
(17)
(̂
untuk n → ∞ dan 0 < b < 1. Dengan kata lain, ̂ merupakan penduga takbias
asimtotik bagi . Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
9
Lema 6: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
(̂
untuk n → ∞ dan 0 < b < 1. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
(18)
Berdasarkan Lema 5 dan 6 diperoleh akibat berikut.
Akibat 2: Misalkan fungsi intensitas
memenuhi persamaan (1) dan
terintegralkan lokal, maka
̂
(19)
untuk
.
Bukti : Momen kedua dari ̂ dapat ditentukan sebagai berikut :
( ̂
̂
̂
(
(
untuk
(
(
. Bukti lengkap.
(
(
Lema 7: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
(̂
(20)
untuk n → ∞ dan 0 < b < 1. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
Lema 8: Misalkan fungsi intensitas λ memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
untuk kasus
, diperoleh
untuk kasus
untuk kasus
(̂
(21)
, diperoleh
(̂
(22)
, diperoleh
(̂
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
(23)
Berdasarkan Lema 7 dan 8 diperoleh akibat berikut.
Akibat 3: Misalkan fungsi intensitas
memenuhi persamaan (1) dan
terintegralkan lokal, maka
10
(̂
(24)
untuk
.
Bukti: Momen kedua dari ̂ dapat ditentukan sebagai berikut :
(̂
(̂
(
(
untuk
(̂
(
(
(
. Bukti lengkap.
Lema 9: Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan
lokal, maka
̂
(25)
untuk n → ∞ dan 0 < b < 1. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
Lema 10: Misalkan fungsi intensitas
terintegralkan lokal, maka
, diperoleh
untuk kasus
̂
memenuhi persamaan (1) dan
(26)
, diperoleh
untuk kasus
̂
(27)
untuk kasus
, diperoleh
̂
(28)
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
Berdasarkan Lema 9 dan 10 diperoleh akibat berikut.
Akibat 4: Misalkan fungsi intensitas
memenuhi persamaan (1) dan
terintegralkan lokal, maka
( ̂
untuk
.
Bukti: Momen kedua dari ̂
( ̂
(
(
̂
(29)
dapat ditentukan sebagai berikut :
(
̂
(
(
11
(
untuk
. Bukti lengkap.
BUKTI KEKONSITENAN PENDUGA DAN LAJU
KEKONVERGENANNYA
Bukti Kekonvergenan Penduga
Untuk membuktikan Teorema 1, diperlukan beberapa Lema berikut
Lema 11: Misalkan fungsi memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
maka
̂ →
untuk n → ∞ dan 0 < b < 1. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
Lema 12: Misalkan fungsi
maka
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
̂ →
untuk n → ∞. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
Lema 13: Misalkan fungsi
maka
untuk n → ∞ dan
(30)
(31)
memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal,
̂
→
. Bukti dapat dilihat pada Putra (2012).
(32)
Lema 14: Misalkan fungsi intensitas
memenuhi persamaan (1) dan
terintegralkan lokal. Jika kondisi persamaan (2) dan
dipenuhi, maka dengan
peluang 1,
[
]
untuk
.
Bukti :
[
[
] ]
∫
∫
untuk
. Kemudian, berdasarkan Lema 3 (Lema Barel- Cantelli), diperoleh
Lema 14. Bukti lengkap.
Bukti Teorema 1:
Perhatikan kembali persamaan (12). Dengan menerapkan Lema 2
(kekonvergenan), untuk membuktikan Teorema 1, cukup diperiksa bahwa
̂
→
(33)
12
̂
̂
→
(34)
→
(35)
(36)
̂ →
untuk
. Dengan Lema 11 diperoleh persamaan (33), dengan Lema 12
diperoleh persamaan (34), dengan Lema 13 diperoleh persamaan (35), dengan
Lema 4 dan Lema 14, diperoleh persamaan (36). Bukti lengkap.
Bukti Laju Kekonvergenan Penduga
Bukti Teorema 2:
]
[̂
[̂
|
∑ [̂
[̂
|
∑ [̂
]
Untuk [
Sedangkan untuk
̂
̂
Sehingga untuk
]
[
| [
̂
[
|
[
[
[
̂
]
[
]
]
.
[
[
]
[
]
]
]
]
[
∑
̂
(̂
Berdasarkan Lema 7 dan 9 diperoleh
(̂
]
,
̂
,
]
]
|
maka ̂
[
]
[
] ]
̂
(
(
(
]
∑
(
untuk
[̂
. Jadi,
]
∑
[̂
|
[
]
]
∑
[
∑
]
.
(
(
]
[
]
(
∑
13
∑
[
∑
(
]
∑
(
∑
(
[
[
]
[
]
(
∑
(
[
[
]
(
∑
(
(
untuk
]
[
]
]
(
[
(
̂
(
(
.
[
(
(
]
[
[
(
(
]
. Jadi,
]
[̂
]
(
(
untuk
[̂
(
]
]
(
(37)
14
Bukti Teorema 3:
Berdasarkan sifat dari ragam, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan
dapat diperoleh dari rumusan berikut:
̂
.
(38)
]
[̂
]
[̂
Suku kedua dari ruas kanan persamaan (38) telah diperoleh pada persamaan
(37) sehingga tersisa suku pertama yang perlu dihitung. Momen kedua dari
penduga bagi fungsi nilai harapan dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat
berikut:
] ]
] | [
]
[ [̂
[̂
∑ [̂
[̂
] |
∑ [̂
maka ̂
[
]
]
Untuk [
Sedangkan untuk
̂
̂
Sehingga untuk
]
| [
[̂
̂
[
̂
̂
,
̂
] |
[
]
] |
[
]
[
]
.
(
̂
[
]
]
̂
(
(̂
[
]
]
[
]
(̂
̂
Berdasarkan lema dan akibat, dapat ditulis sebagai berikut
(
(
(
(
(
∑
]
∑
]
(̂
[
]
∑
̂
̂
]
,
Pertama dihitung
[
[
[
(
(
̂
15
(
(
(
(
(
(
(
untuk
(
(
. Kedua, dihitung
∑
[∑
]
∑ ∑
∑
[
∑ ∑
∑ (
(
(
Jadi diperoleh untuk
]
| [
[̂
((
untuk
[̂
∑
]
]
. Oleh karena itu,
] |
]
[ [̂
((
[
]
(
[
((
] ]
(
16
[
∑
(
[
∑
∑
[
∑
(
untuk
∑
∑
untuk
∑
(
∑
]
[
]
]
[
∑
]
(
(
]
(
∑
(
∑
. Pada bukti Teorema 2, telah diperoleh
[
]
]
( [
[
]
. Dengan cara serupa, dapat diperoleh
[
]
]
( [
[
[
[
]
]
(39)
(40)
(41)
]
(42)
untuk
. Bukti persamaan (42) telah dikaji pada Wibowo (2014). Dengan
persamaan (39) dan (42) , dapat dituliskan
] ]
] | [
]
[ [̂
[̂
(
(
(
[
]
[
[
(
(
[
[
] ]
(
] ]
(
17
(
[
[
]
]
[
(
(
]
(
(
(
(
(
(
[
]
(
[ ̂
]
[̂ ]
[̂ ]
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
18
(
[(
(
(
((
untuk
[̂
(
]
(
]
.
[̂
(
]
(
(
̂
(
(
(
(
(
Bukti lengkap.
(
(
(
Bukti akibat 1:
Berdasarkan Teorema 2 dan 3,
[̂
]
[̂
]
untuk
(
. Sehingga, ragam dari penduga bagi fungsi nilai harapan adalah
(
untuk
(
(
(
(
[̂
]
(
19
SIMPULAN
Rumusan penduga bagi fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren fungsi pangkat adalah
̂
̂
̂
̂
(
̂
dengan
̂
̂
∑
̂
∑
̂
[
[
]
[
[
]
]
[
]
[
∑
[
]
]
]
̂
̂
]
dengan ̂
saat [
.
Penduga bagi fungi nilai harapan dengan rumusan ini merupakan penduga
yang konsisten lemah. Bias, ragam, dan mean squared error (MSE) dari penduga
bagi fungsi nilai harapan konvergen ke nol dengan laju
.
DAFTAR PUSTAKA
Capinski M, Kopp E. 2007. Measure, Integral and Probability. 2nd Ed. New York
(US): Sringer.
Casella G, Berger RL. 1990. Statistical Inference. Pasific Grove, California:
Wadsworth & Brooks/ Cole.
Cressie NAC. 1993. Statistics for Spatial Data. Revised Edition. New York:
Wiley.
DasGupta A. 2011. Probability for Statisticsand Machine Learning:
Fundamentals and Advanced Topics. New York (US): Springer.
Dudley R.M. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wadsworth &
Brooks.
Ghahramani S. 2005. Fundamental of Probability. Ed. ke-3. New York: Prentice
Hall.
Hogg RV, McKean JW , Craig AT. 2014. Introduction to Mathematical Statistics.
Ed. ke-7. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall.
Mangku IW. 2001. Estimating the Intensity of a Cyclic Poisson Process
(Ph.D.Thesis). Amsterdam: University of Amsterdam.
Putra D. 2012. Kekonsistenan penduga dari fungsi sebaran dan fungsi kepekatan
waktu tunggu dari proses Poisson periodik dengan tren fungsi pangkat [tesis].
Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
20
Ross SM. 2010. Introduction to Probability Models. Ed. ke-9. Orlando, Florida:
Academic Press Inc.
Ruhiyat. 2013. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk [tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Serfling RJ. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New
York: John Wiley & Sons.
Stewart J. 2001. Kalkulus. Jilid 1. Ed. ke-4. Susila, I Nyoman dan Gunawan,
Hendra, alih bahasa: Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Calculus.
Wibowo B. 2014. Pendugaan fungsi nilai harapan pada proses Poisson periodik
majemuk dengan tren linear [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
21
Lampiran 1 Perumusan nilai harapan dari proses Poisson majemuk
[
] [ ]
Bukti persamaan (4) :
Berdasarkan persamaan (19),
[
]
∑
Dengan menggunakan sifat nilai harapan,
∑
∑
|
.
Selanjutnya terlebih dahulu
∑
|
(∑
∑
karena barisan peubah acak
bebas terhadap proses
Kemudian, karena
adalah barisan peubah acak i.i.d, maka
∑
∑
,
sehingga
∑
|
.
]
]
[
.
Akhirnya diperoleh [
][
Bukti lengkap.
.
22
Lampiran 2 Penjabaran
Bukti persamaan (6) :
sebagai nilai harapan dari
∫
∫
∫(
∫
Berdasarkan Ruhiyat (2013):
∫(
sehingga diperoleh
,
. Bukti lengkap.
23
Lampiran 3 Penduga bagi fungsi intensitas global ( ̂
Bukti persamaan (10)
∫
∑
Misal
.
Untuk setiap s ϵ [0,n] dan setiap k bilangan positif.
Untuk setiap kτ ϵ [0,n], sehingga dapat ditulis sebagai berikut
∑
∑
∫
∑
∫
∫
∑
∫
∑
∫
∑
∫
∑
Perhatikan bahwa
∑
∑
∑
Karena
[
∫
(
∑
(
∑
(
∑
[
[
]
]
[
]
[
]
[
]
[
]
untuk
]
, maka
[
(
[
]
∑
[
]
[
∑
∑
]
[
Sehingga didapat penduga untuk θ yaitu
̂
]
[
[
(
∑
]
]
]
̂
(
24
Lampiran 4 Penduga bagi fungsi intensitas sebagian ( ̂
Bukti persamaan (11) Penduga ̂
.
∫
)
∑
Misal
.
Untuk setiap s ϵ [0,n] dan setiap k bilangan positif. Untuk setiap kτ ϵ [0,n],
sehingga dapat ditulis sebagai berikut
∑
∑
∫
∑
∫
∑
∑
Perhatikan bahwa
∫
∑
∫
∑
[
]
[
]
∑
[
]
[
]
∑
[
∑
∑
∫
Karena
∑
]
[
∑
∑
[
untuk
]
∑
]
[
[
[
[
∫
∑
]
]
∑
]
, maka
]
[
Sehingga didapat penduga untuk
̂
∫
[
yaitu
]
]
[
]
̂
25
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kudus pada tanggal 12 Maret 1994 sebagai anak kedua
dari dua bersaudara dari pasangan Sukandar dan Suti’ah. Tahun 2011 penulis
lulus dari SMA 1 Kudus dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk
Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur undangan Seleksi Nasional Masuk
Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) IPB dan diterima di Departemen
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah
Metode Statistika pada semester ganjil tahun ajaran 2013/2014 , asisten mata
kuliah Proses Stokastik pada semester genap tahun ajaran 2014/2015, dan menjadi
pengajar SMA mata pelajaran Matematika pada tahun 2013-2014. Penulis
mendapatkan beasiswa PPA pada tahun 2012-2013 dan beasiswa Karya Salemba
Empat (KSE) pada tahun 2013-2014. Penulis juga aktif pada kegiatan
kemahasiswaan, antara lain staf Departemen Friendship Badan Eksekutif
Mahasiswa (BEM) TPB pada tahun 2011/2012, staf Komisi I Dewan Perwakilan
Mahasiswa (DPM) FMIPA IPB pada tahun 2012/2013, sekretaris Badan Pekerja
(BP) 3 MPM KM IPB 2012/2013, staf Divisi Internal Organisasi Mahasiswa
Daerah (OMDA) KKB 2012/2013, dan sekretaris Komisi IV Dewan Perwakilan
Mahasiswa (DPM) FMIPA IPB 2013/2014.
Selain itu, penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan kepanitiaan,
antara lain koordinator konsumsi kegiatan Verifikasi UKM MPM KM IPB pada
tahun 2013, sekretaris kegiatan Hubungan Kelembagaan MPM KM IPB pada
tahun 2013, bendahara kegiatan MUSTA IKAHIMATIKA pada tahun 2013,
koordinator Verifikasi dan Kampanye Pemilihan Raya Eksekutif FMIPA IPB
pada tahun 2013, staf Divisi Acara kegiatan G-FORCE FMIPA IPB tahun 2013,
staf Divisi Humas MPD Matematika IPB tahun 2013, dan sekretaris Pemilihan
Raya Legislatif FMIPA IPB pada tahun 2014.