Metode Kuadrat Terkecil REGRESI LINEAR

C. Metode Kuadrat Terkecil

Metode kuadrat terkecil adalah suatu metode pendugaan parameter dengan meminimumkan ∑ = n i i 1 2 ε jumlah residual kuadrat sehingga diperoleh penduga parameter ˆ β dan 1 ˆ β . Penduga estimator dalam pendugaan parameter tersebut adalah aturan bagaimana menghitung nilai dugaan estimate berdasarkan pengukuran- pengukuran yang terdapat di dalam sampel. Persamaan penduga parameter dalam regresi linear sederhana adalah i i Χ + = Υ 1 ˆ ˆ ˆ β β 2.3 Dengan mengingat kembali model regresi linear Persamaan 2.2 dan persamaan penduga parameter Persamaan 2.3, dapat dicari suatu nilai residual ε yaitu selisih antara nilai Υ yang diamati dengan nilai Υ yang diduga, yang dapat dinyatakan sebagai berikut: 2.4 ˆ ˆ ˆ 1 i i i i i i Χ − − Υ = Υ − Υ = β β ε ε Gauss dan Legendre Plackett 1972 dan Stigler 1981 mengatakan bahwa penduga parameter ˆ β dan 1 ˆ β dapat dicari dengan metode kuadrat terkecil yaitu: ∑ = n i i 1 2 ˆ min ε β 2.5 Prinsip kuadrat terkecil memilih ˆ β dan 1 ˆ β sedemikian rupa sehingga untuk suatu sampel tertentu ∑ = n i i 1 2 ε sekecil mungkin. Penduga parameter ˆ β diperoleh dengan menurunkan ∑ = Χ − − Υ n i i i 1 2 1 ˆ ˆ β β secara parsial terhadap ˆ β dan menyamakan hasil yang diperoleh dengan nol sehingga didapat: 2.6 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 n n n n n n i i n i i n i n i i i n i n i i i n i i n i i n i i n i n i i n i i i n i i i n i i i n i i ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = = = = = = = = = Χ − Υ = Χ − Υ = Χ − Υ = Χ − − Υ = Χ − − Υ = Χ − − Υ = Χ − − Υ − = Χ − − Υ ∂ ∂ = ∂ ∂ β β β β β β β β β β β β β β β β β β ε karena Υ = Υ ∑ = n n i i 1 dan Χ = Χ ∑ = n n i i 1 maka Persamaan 2.6 dapat ditulis dalam bentuk: 2.7 ˆ ˆ 1 Χ − Υ = β β Penduga parameter 1 ˆ β diperoleh dengan menurunkan ∑ = Χ − − Υ n i i i 1 2 1 ˆ ˆ β β secara parsial terhadap 1 ˆ β dan menyamakan hasil yang diperoleh dengan nol sehingga didapat: 2.8 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = Χ − Χ − Υ Χ = Χ − − Υ Χ = Χ − − Υ Χ − = Χ − − Υ ∂ ∂ = ∂ ∂ n i i n i i n i i i n i i i i n i i i i n i i i n i i β β β β β β β β β β ε Dengan mensubstitusikan Persamaan 2.7 ke Persamaan 2.8 didapatkan: 2.9 ˆ ˆ 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Χ − Χ Χ Υ − Υ Χ = Χ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Χ Υ Χ − Χ Υ = Χ − Χ Χ Υ Χ − Χ Υ = Χ − Χ Χ Υ Χ − Χ Υ = Χ Υ + Υ Χ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Χ − Χ Χ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Χ − Χ Χ + Χ Υ − Υ Χ = Χ − Χ Χ + Χ Υ − Υ Χ = Χ − Χ Χ − Υ − Υ Χ = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = n i i n i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i i n n n n n n β β β β β β β β β β Dengan menyelesaikan bagian pembilang Persamaan 2.9 didapat: 2.10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = Υ − Υ Χ − Χ = Υ Χ + Χ Υ − Υ Χ − Υ Χ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Υ Χ + Χ Υ − Υ Χ − Υ Χ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Υ Χ + Χ Υ − Υ Χ − Υ Χ = Χ Υ + Χ Υ − Χ Υ − Υ Χ = Χ Υ − Χ Υ + Χ Υ − Υ Χ = Χ Υ − Υ Χ n i i i n i i i i i n i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i i n i i n i i n i i i n n n n n n n n n n n n n n n Dengan menyelesaikan bagian penyebut Persamaan 2.9 didapat: 2.11 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = = = = = = = = = = = = Χ − Χ = Χ + Χ Χ − Χ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Χ Χ + Χ Χ − Χ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Χ Χ + Χ Χ − Χ = Χ Χ + Χ Χ − Χ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Χ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Χ − Χ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Χ − Χ n i i n i i i n i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n i i n n n n n n n n n n n n n Dengan mensubstitusikan Persamaan 2.10, dan 2.11 ke Persamaan 2.9 didapat penduga parameter 1 ˆ β sebagai berikut: 2.12 ˆ 1 2 1 1 ∑ ∑ = = Χ − Χ Υ − Υ Χ − Χ = n i i n i i i n n β PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

D. Model Regresi Linear