BAB II ALJABAR LINIER
Aljabar linier adalah salah satu dasar dalam penelitian operasional sebab masalah- masalah penelitian operasional akan lebih mudah diselesaikan dengan menggunakan konsep
aljabar linier. Oleh sebab itu pada bab ini akan di bahan daras-dasar aljabar linier.
2.1 Vektor
Secara matematis vector terdiri dari orde
n
, sebagai contoh orde dengan pasangan berurutan 3,2 adalah vector berorde 2. Vektor dinyatakan dalam bentuk
x c,
b, a,
dan seterusnya.
Vektor
3,2 =
a
dan vector
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
= 3
2 5
b
, dimana 3 dan 2 disebut sebagai komponen dari
vektor
a
secara grafis dapat dilihat berturut-turut pada Gambar 2.1 dan 2.2.
2 3
Gambar 2.1 Vektor dalam dua dimensi Gambar 2.2 Vektor dalam tiga dimensi
3
x
1
x
1
x
2
x
2.2 Operasi vektor Kesamaan Dua buah vector
a
dan
b
dikatakan sama jika dan hanya jika komponen dari vektor
a
dan
b
adalah sama.
n 1
a a
a ,
, ,
2
L =
a
dan
n 1
b b
b ,
, ,
2
L =
a
, maka
b a
=
jika dan hanya jika
n n
b a
b a
b a
= =
= ,
, ,
2 2
1 1
L
. 2.1
Penjumlahan Dua buah vector atau lebih yang berada dalam ruang yang sama dapat
dijumlahkan dengan cara menjumlahkan komponen-komponen yang bersesuaian.
n 1
a a
a ,
, ,
2
L =
a
dan
n 1
b b
b ,
, ,
2
L =
b
, maka
n n
1
b a
b a
b a
+ +
+ =
+ =
, ,
,
2 2
1
L
b a
c
. 2.2 Misalkan vektor
2,4 =
a
dan
3,1 =
b
, maka penjumlahan vector
a
dan
b
adalah
5 ,
5 1
, 3
2,4 =
+ =
+ =
b a
c
, Secara grafis dapat dilihat pada Gambar 2.3.
Perkalian vektor dengan skalar Vektor dapat dikalikan dengan sebuah skalar
k
,
. ,
, ,
, ,
,
2 1
2 n
n 1
ka ka
ka a
a a
k k
= =
L
a
2.3 Jika
1,2 =
a
dan skalar
2 =
k
, secara grafis dapat diperlihatkan pada Gambar 2.4
Gambar 2.3 Penjumlahan vektor Gambar 2.4 Perkalian vektor dengan skalar
1
x
1
x
2
x
2
x
2 4
5 5
Perkalian vektor dengan skalar memenuhi hukum asosiatif
a a
km m
k =
, dan hukum distributif
k b
a b
a
+ =
+ k
k
dan
a a
a k
+ =
+ k
m k
.
Pengurangan Dua buah vektor atau lebih dalam ruang yang sama dapat dikurangkan,
dinotasikan
b -
a
.
n 1
a a
a ,
, ,
2
L =
a
dan
n 1
b b
b ,
, ,
2
L =
b
, maka
n n
1
b b
b a
a a
, ,
, 1
, ,
,
2 1
2
L L
− +
= −
=
b a
c
. ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
,
2 1
2 2
1 1
2 1
2 n
n n
n n
1
c c
c b
a b
a b
a b
b b
a a
a L
L L
L =
− −
− =
− −
− +
=
. 2.4
Misalkan vektor
2,4 =
a
dan
3,1 =
b
, maka penjumlahan vector
a
dan
b
adalah
3 ,
3 1
, 3
6,4 =
− =
− =
b a
c
Inner Product Dua buah vektor dalam ruang yang sama dapat dikalikan yang disebut
Kategori