Modul Mata Kuliah RISET OPERASIONAL

Bandung 2011

Kata Pengantar

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, karena dengan karunia Nya modul mata kuliah Riset Operasional ini dapat kami selesaikan dan sajikan.

Modul mata kuliah Riset Operasional ini dimaksudkan sebagai salah satu media belajar bagai mahasiswa Politeknik Piksi Ganesha dalam mata kuliah Riset Operasional, sehingga diharapkan mahasiswa bisa lebih memahami materi Riset Operasional yang diberikan dosen di dalam kelas.

Modul ini terbagi menjadi 11 bab, dimana urutan per bab disesuaikan dengan sistematika silabus Riset Operasional yang diberikan kepada mahasiswa.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada rekan rekan pengajar di Politeknik Piksi Ganesha, yang telah memberikan dorongan sehingga modul Riset Operasional ini selesai dibuat. Penulis menyadari bahwa isi modul ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu saran dan kritik untuk perbaikan modul ini akan penulis terima dengan senang hati.

Akhir kata, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi yang mempelajarinya.

Daftar Isi

Hal

1. Pengantar Riset Operasional

2. 9

16

3. Programa Linier: Solusi Grafik

24

4. Programa Linier: Solusi Simplex

5. Programa Linier: Solusi Simplex Minimasi dan

37 Tipe Programa Linier Iregular

8. Programa Linier: Masalah Penugasan

72

9. Teknik Perencanaan dan Jaringan Kerja: Teori Jaringan Kerja

10. Teknik Perencanaan dan Jaringan Kerja: Critical Path Method

76 (CPM)

84

11. Teknik Perencanaan dan Jaringan Kerja: PERT

Pengantar Riset Operasional

A. Tujuan Kompetensi Khusus

Menjelaskan sejarah dan falsafah Riset Operasional dan hubungannya dengan pengambilan keputusan.

B. Uraian Materi

1. Sejarah dan Latar Belakang Singkat Riset Operasional

• Pada masa Perang Dunia II, angkatan perang Inggris membentuk suatu tim yang terdiri dari para ilmuan dan ahli militer untuk mempelajari strategi memenangkan perang melawan Jerman. Tim yang dibentuk bertujuan menentukan penggunaan sumber daya kemiliteran yang terbatas untuk dapat bekerja paling efektif. Dalam bekerjanya tim melakukan riset menggunakan pengetahuan ilmiah untuk menentukan penggunaan sumber sumber yang terbatas tersebut.

• Setelah perang selesai, potensi komersialnya segera disadari oleh kalangan industri. Pengembangannya telah menyebar dengan cepat, terutama di belahan benua Amerika, terutama di Amerika Serikat.

• Sedemikian pesat perkembangannya sampai saat ini, Riset Operasional telah digunakan dalam hampir seluruh kegiatan, baik di perguruan tinggi, dunia usaha, pemerintahan, program kesehatan, maupun organisasi jasa.

• Dalam literatur manajemen, Riset Operasional sering juga dinamakan dengan

2. Riset Operasional Sebagai Senit dan Imu

•••• adalah suatu teknik pemecahan masalah yang berusaha menetapkan arah tindakan terbaik (

) dari sebuah masalah keputusan dalam kondisi sumber daya yang terbatas. •••• Istilah Riset Operasional seringkali diasosiasikan hampir secara ekslusif dengan penggunaan

•••• Walaupun teknik dan model matematis merupakan inti dari Riset Operasional, akan tetapi pemecahan masalah tidaklah hanya sekedar pengembangan dan pemecahan model model matematis.

•••• Secara khusus, masalah masalah keputusan biasanya mencakup faktor faktor penting yang tidak terwujud (

) dan tidak dapat diterjemahkan secara langsung dalam bentuk model matematis. Faktor yang paling utama dari faktor faktor tersebut adalah

sebagai

•••• Sebagai sebuah teknik pemecahan masalah, Riset Operasional dapat dipandang sebagai

•••• Aspek terletak pada penyediaan teknik teknik matematik dan algoritma untuk memecahkan masalah yang dihadapi, sedangkan sebagai

, keberhasilan dari solusi model matematis ini sangat bergantung pada kreativitas dan kemampuan seseorang sebagai pengambil keputusan untuk memecahkan masalah tersebut.

•••• Jadi pengumpulan data dalam pengembangan model, penentuan keabsahan model, dan penerapan dari pemecahan yang diperoleh akan bergantung pada kemampuan kelompok peneliti Riset Operasional yang bersangkutan untuk membentuk komunikasi yang baik dengan sumber sumber informasi maupun dengan individu individu yang bertanggung jawab atas solusi yang disarankan.

3. Komponen Model Keputusan

• Dalam menyelesaikan suatu permasalahan yang berkaitan dengan pengambilan keputusan ini, yang terlebih dahulu harus diidentifikasi adalah komponen komponen utamanya, yaitu:

a. Tujuan (

b. Variabel variabel keputusan.

•••• Tujuan adalah hasil akhir yang hendak dicapai yang dilakukan dengan cara memilih suatu tindakan yang paling tepat dari suatu sistem (permasalahan) yang dipelajari. Dalam bidang bisnis (atau perusahaan), tujuan diartikan sebagai usaha untuk

. Sementara itu dalam bidang bidang lain yang sifatnya non profit, tujuan tersebut dapat berupa

atau

•••• Ketika tujuan telah didefinisikan, tahap selanjutnya yang harus dilakukan adalah . Dalam hal ini, kualitas pemilihan tindakan tersebut akan sangat bergantung pada . •••• Untuk dapat menentukan tindakan tindakan yang mungkin dilakukan, haruslah diidentifikasi

yang dapat dikendalikan oleh pengambil keputusan. Tentu saja tingkat keberhasilan dalam mengidentifikasi variabel variabel ini pun akan sangat bergantung pada kemampuan si pengambil keputusan.

4. Model Dalam Riset Operasional

•••• Sebuah model keputusan semata mata merupakan alat untuk ”meringkaskan” sebuah masalah keputusan dengan cara yang memungkinkan identifikasi dan evaluasi yang sistematis terhadap semua pilihan keputusan dari suatu masalah.

•••• Model adalah gambaran ideal dari suatu situasi (dunia) nyata, sehingga sifatnya yang kompleks dapat disederhanakan. Jenis jenis model yang biasa digunakan:

a. Model,model ikonis/fisik

Penggambaran fisik dari suatu sistem, baik dalam bentuk ideal maupun dalam skala yang berbeda. Contoh 1.1: foto, peta, mainan anak anak, maket, histogram.

b. Model analog/diagramatis

Model model ini dapat menggambarkan situasi situasi yang dinamis, dan model ini lebih banyak digunakan daripada model model ikonis karena sifatnya yang dapat dijadikan analogi bagi karakteristik sesuatu yang Model model ini dapat menggambarkan situasi situasi yang dinamis, dan model ini lebih banyak digunakan daripada model model ikonis karena sifatnya yang dapat dijadikan analogi bagi karakteristik sesuatu yang

c. Model simbolis/matematika

Penggambaran dunia nyata melalui simbol simbol matematis. Model ini menggunakan seperangkat simbol matematik untuk menunjukkan komponen komponen dari sistem nyata. Namun demikian, sistem nyata tidak selalu dapat diekspresikan dalam rumusan matematik. Model matematik dapat dibedakan menjadi dua kelompok, yaitu:

. Model deterministik dibentuk dalam situasi penuh kepastian, sedangkan model probabilistik meliputi kasus kasus dimana diasumsikan penuh ketidakpastian. Contoh 1.3: Persamaan garis lurus y = ax +

dan

b; persamaan linier z = x 1 +x 2 +x 3

d. Model simulasi

Model model yang meniru tingkah laku sistem dengan mempelajari interaksi komponen komponennya. Karena tidak memerlukan fungsi fungsi matematis secara eksplisit untuk merealisasikan variabel variabel sistem, maka model model simulasi ini dapat digunakan untuk memecahkan sistem kompleks yang tidak dapat diselesaikan secara matematis. Namun model model ini tidak dapat memberikan solusi yang benar benar optimum. Contoh 1.4: Simulator pesawat, simulator bisnis.

e. Model heuristik

Kadang kadang formulasi matematis bersifat sangat kompleks untuk dapat memberikan suatu solusi yang pasti, atau mungkin suatu solusi optimum dapat diperoleh, akan tetapi memerlukan proses perhitungan yang sangat panjang dan tidak praktis. Untuk mengatasi kasus seperti ini dapat digunakan

, yaitu suatu metode pencarian yang didasarkan atas intuisi atau aturan aturan empiris untuk memperoleh solusi yang lebih baik daripada solusi solusi yang telah dipelajari sebelumnya.

•••• Pembentukan model adalah esensi dari pendekatan Riset Operasi karena solusi dari pendekatan ini tergantung pada ketepatan model yang dibuat. Dalam Riset Operasi, model yang paling banyak digunakan adalah model matematis/simbolis, disamping banyak juga digunakan model model simulasi dan heuristik.

5. Metodologi Riset Operasional

•••• Pembentukan model yang cocok hanyalah salah satu tahap dari aplikasi Riset Operasional. Pola dasar penerapan Riset Operasional terhadap suatu masalah dapat dipisahkan menjadi beberapa tahap. Berikut adalah tahapan tahapan untuk memecahkan persoalan dalam riset operasional.

a. Merumuskan Masalah

Sebelum solusi terhadap suatu permasalahan dipikirkan, pertama kali yang harus dilakukan adalah

. Definisi masalah yang tidak baik akan menyebabkan tidak diperolehnya penyelesaian atas suatu masalah atau penyelesaian yang tidak tepat. Dalam perumusan masalah ini ada tiga pertanyaan penting yang harus dijawab, terutama dikaitkan dengan Riset Operasional:

1) , yaitu unsur unsur dalam persoalan yang dapat dikendalikan oleh pengambil keputusan. Ia sering disebut sebagai instrumen. 2)

. Penetapan tujuan membantu pengambil keputusan memusatkan perhatian pada persoalan dan pengaruhnya terhadap organisasi. Tujuan ini diekspresikan dalam variabel keputusan.

3) adalah pembatas pembatas terhadap alternatif tindakan yang tersedia.

b. Pembentukan Model

Sesuai dengan definisi permasalahannya, kelompok peneliti Riset Operasional tersebut harus menentukan model yang paling cocok untuk mewakili sistem yang bersangkutan. Model tersebut harus merupakan ekspresi kuantitatif dari tujuan dan batasan batasan persoalan dalam bentuk variabel keputusan. Dalam memformulasikan permasalahan, biasanya digunakan model analitik, yaitu model matematik yang menghasilkan persamaan. Jika pada suatu situasi yang sangat rumit tidak diperoleh model analitik, maka perlu dikembangkan suatu model simulasi.

c. Pemecahan Model

Pada tahap ini, bermacam macam teknik dan metode solusi kuantitatif yang merupakan bagian utama dari Riset Operasional memasuki proses. Penyelesaian masalah sesungguhnya merupakan penerapan satu atau lebih teknik teknik ini terhadap model. Seringkali, solusi terhadap model berarti nilai nilai variabel keputusan yang mengoptimumkan salah satu fungsi tujuan dengan nilai fungsi tujuan lain yang dapat diterima.

Disamping solusi model, perlu juga mendapat informasi tambahan mengenai tingkah laku solusi yang disebabkan karena perubahan parameter sistem. Ini biasanya dinamakan sebagai

. Analisis ini terutama diperlukan jika parameter sistem tak dapat diduga secara tepat.

d. Validasi Model

Sebuah model adalah absah jika, walaupun tidak secara pasti mewakili sistem tersebut dan dapat memberikan prediksi yang wajar dari kinerja sistem tersebut. Suatu metode yang biasa digunakan untuk menguji validitas model adalah dengan membandingkan kinerjanya dengan data masa lalu yang tersedia. Model dikatakan valid jika dengan kondisi input yang serupa dapat menghasilkan kembali kinerja seperti masa lampau. Masalahnya adalah bahwa tidak ada yang menjamin kinerja masa depan akan berlanjut meniru cerita lama.

e. Implementasi hasil akhir

Tahap terakhir adalah menerapkan hasil model yang telah diuji. Hal ini membutuhkan suatu penjelasan yang hati hati tentang solusi yang digunakan dan hubungannya dengan realitas. Suatu hal yang kritis pada tahap ini adalah mempertemukan ahli Riset Operasional dengan mereka yang bertanggung jawab terhadap pelaksanaan sistem.

•••• Penyelesaian kelima langkah yang dijelaskan di atas bukan berarti proses ini telah selesai. Hasil model dan keputusan hasil yang tersedia memberikan umpan balik pada model awal.

6. Metode,Metode Umum Mencari Solusi

•••• Pada umumnya, terdapat tiga metode untuk mencari solusi terhadap model Riset Operasi, yaitu:

•••• . Metode analitik memerlukan perwujudan model dengan solusi grafik atau perhitungan matematik. Jenis matematik yang digunakan tergantung dari sifat sifat model.

. Metode numerik berhubungan dengan perulangan atau coba coba dari prosedur prosedur kesalahan, melalui perhitungan numerik pada setiap tahap. Metode numerik digunakan jika metode analitik gagal untuk mencari solusi. Urutannya dimulai dengan solusi awal dan diteruskan dengan seperangkat aturan aturan untuk perbaikan menuju optimum. Solusi awal kemudian diganti dengan solusi yang diperbaiki dan proses itu diulang sampai tidak mungkin adanya perbaikan lagi atau biaya perhitungan lebih lanjut tidak dapat diterima.

. Metode Monte Carlo pada dasarnya adalah suatu teknik simulasi dimana fungsi

. Metode ini memerlukan

distribusi statistik dibuat melalui seperangkat bilangan random.

7. Teknik,Teknik Riset Operasional

•••• Banyak model Riset Operasional yang sudah dikembangkan dan digunakan terhadap permasalahan permasalahan bidang bisnis. Mereka itu dapat dikelompokkan ke dalam beberapa jenis, seperti dapat dilihat pada tabel 1.1.

Tabel 1.1 Model model Riset Operasional Program Linier Matematika

Model Programa Linier, Analisis Grafik, Metode Simplex, Model Minimasi, Post Optimasi, Transportasi dan Penugasan, Program Linier Integer Program Linier Sasaran

Teknik Probabilistik Probabilitas, Teori Permainan, Analisis Keputusan Analisis Markov, Antrian, Simulasi, Peramalan

Teknik Persediaan Permintaan pasti, Permintaan tak pasti Teknik Jaringan

Arus Jaringan, CPM/PERT

Teknik Non Linier lainnya Program Dinamis, Analisis Titik Impas Teknik Solusi berdasarkan Kalkulus

8. Ciri,Ciri Riset Operasional

•••• Terdapat beberapa ciri Riset Operasional yang menonjol diantaranya adalah:

a. Riset Operasional merupakan untuk

b. Riset Operasional menggunakan

c. Riset Operasional .

9. Keterbatasan Riset Operasional

•••• Riset Operasi berbeda dengan optimisasi klasik (kalkulus klasik). Dalam metode optimisasi klasik tidak dapat menangani kendala pertidaksamaan maupun persamaan secara serempak.

•••• Dengan kendala yang lebih bebas ini, metoda optimisasi non klasik ini (Riset Operasional) menjadi lebih menarik dan lebih realistis. Akan tetapi ini membutuhkan metode solusi yang baru karena kendala pertidaksamaan tak dapat ditangani dengan teknik kalkulus klasik.

•••• Seperti metode lainnya, Riset Operasional bukan tanpa kelemahan. Beberapa kelemahan dalam Riset Operasional diantaranya adalah: Perumusan masalah dalam suatu program Riset Operasional adalah suatu tugas yang sulit. Jika suatu organisasi mempunyai beberapa tujuan yang bertentangan, maka akan mengakibatkan terjadinya

, yaitu kondisi yang tak dapat menolong seluruh organisasi mencapai yang terbaik secara serentak. Suatu hubungan non linier yang diubah menjadi linier untuk disesuaikan dengan program linier dapat mengganggu solusi yang disarankan.

Programa Linier

A. Tujuan Kompetensi Khusus

Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan permasalahan alokasi sumber daya terbatas ke dalam pemodelan Programa Linier.

B. Uraian Materi

1. Pendahuluan

•••• Masalah keputusan yang sering dihadapi seorang manajer perusahaan adalah .

•••• Sumber daya tersebut dapat berupa bahan baku, peralatan dan mesin, ruang, waktu, dana, dan tenaga kerja; atau dapat juga berupa batasan pedoman atau aturan, seperti resep untuk membuat kue atau spesifikasi teknis suatu peralatan.

•••• Pada umumnya tujuan perusahaan yang paling sering terjadi adalah sedapat mungkin . Tujuan lain dari unit organisasi yang merupakan bagian dari suatu organisasi biasanya berupa

•••• Salah satu metoda analisis yang paling luas dan paling baik digunakan untuk menyelesaikan permasalahan alokasi sumber daya adalah metoda programa linier atau dikenal dengan

•••• Terdapat tiga hal yang harus diperhatikan untuk menggunakan teknik programa linier untuk memecahkan permasalahan alokasi sumber daya. 1)

, permasalahan harus dapat diidentifikasikan sebagai sesuatu yang dapat diselesaikan dengan programa linier. 2)

, permasalahan yang tidak terstruktur harus dapat dirumuskan dengan model matematika, sehingga menjadi terstruktur. 3)

, model harus diselesaikan dengan teknik matematika yang telah dibuat. •••• Teknik programa linier menggambarkan bahwa

dan

" di sini memberi arti bahwa

disebut

. Dengan kata lain,

! , sedangkan kata

. •••• Model program linier terdiri dari komponen dan karakteristik tertentu.

dapat diartikan sebagai

2. Formulasi Model Programa Linier

•••• Setelah masalah diidentifikasi, tujuan ditetapkan, langkah selanjutnya adalah memformulasikan model matematik yang meliputi tiga hal berikut:

a. Menentukan variabel keputusan,

b. Membentuk fungsi tujuan, dan

c. Menentukan semua batasan model.

a. Variabel keputusan

•••• Variabel keputusan berupa yang menggambarkan tingkatan aktivitas perusahaan. Contoh 2.1: Perusahaan elektronika ingin menjual sebanyak x 1 buah radio, x 2 buah televisi, dan x 3 buah lemari es, dimana x 1 ,x 2 , dan x 3 adalah lambang yang menunjukkan jumlah variabel setiap item yang tidak diketahui. Nilai akhir dari x 1 ,x 2 , dan x 3 sesuai dengan pengarahan perusahaan, dan merupakan keputusan.

b. Fungsi Tujuan

•••• Fungsi Tujuan merupakan hubungan matematika linier yang menjelaskan fungsi tujuan dalam terminologi variabel keputusan. •••• Fungsi tujuan selalu mempunyai salah satu target, yaitu (misalkan untuk kasus perusahaan adalah produksi).

c. Batasan Model

• Batasan Model merupakan hubungan linier dari variabel variabel keputusan, menunjukkan keterbatasan sumber daya permasalahan tersebut.

Contoh 2.2: Besarnya biaya maksimum yang dikeluarkan oleh PT. XYZ untuk kegiatan pemasaran pada tahun ini adalah Rp 15.000.000,00. Tenaga kerja yang tersedia untuk memproduksi kue dan roti di perusahaan ini hanya 100 jam tenaga kerja per minggu.

•••• Berikut adalah contoh permasalahan formulasi model programa linier.

" # $ Kombinasi Produk Perusahaan Tembikar PT. XYZ memproduksi dua macam produk setiap hari, yaitu:

genteng dan bata. Perusahaan mempunyai 2 (dua) sumber daya yang terbatas jumlahnya yang digunakan untuk memproduksi kedua produk tersebut, yaitu: tenaga kerja dan tanah liat. Dengan keterbatasan sumber daya yang dimilikinya, perusahaan ingin mengetahui berapa jumlah genteng dan bata yang akan diproduksi setiap harinya dalam rangka

. Kedua produk tersebut mempunyai kebutuhan sumber daya untuk produksi serta laba per item sebagai berikut:

Kebutuhan Sumber Daya

Produk

Tenaga Kerja

Tanah liat

Laba

(Rp/unit) Genteng

(jam/unit)

(kg/unit)

1 4 4 Bata

Sebagai tambahan informasi: tersedia 40 jam tenaga kerja dan 120 kg tanah liat setiap hari untuk produksi. Masalah ini akan dirumuskan sebagai model program linier dengan mendefinisikan secara terpisah setiap komponen model dan menggabungkan komponen komponen tersebut dalam satu model.

Langkah 1: Mengenali Variabel Keputusan

•••• Keputusan yang dihadapi manajemen dalam masalah ini adalah berapa jumlah genteng dan jumlah bata yang harus diproduksi setiap hari. Ada dua variabel keputusan yang dicari yaitu

. Untuk itu, kita dapat menyatakannya dengan memisalkan bahwa x 1 adalah jumlah genteng dan x 2 adalah jumlah bata yang diproduksi setiap hari.

x 1 = jumlah genteng yang diproduksi x 2 = jumlah bata yang diproduksi Langkah 2: Memformulasikan fungsi tujuan

•••• Tujuan perusahaan adalah ingin . Laba perusahaan adalah jumlah total dari laba setiap genteng dan setiap bata. •••• Laba dari genteng ditentukan oleh perkalian antara

, Rp 4/unit, dengan jumlah genteng yang diproduksi, yaitu x 1. Begitu pula dengan laba dari bata ditentukan oleh perkalian antara laba setiap bata, Rp 5/unit, dengan jumlah bata yang diproduksi, x 2. •••• Dengan demikian, total laba adalah dalam pemodelan ini dilambangkan dengan Z, dapat dijelaskan secara matematika sebagai berikut.

Z = # $%& ' ()& * +.

• Dengan menempatkan terminologi di depan fungsi laba, penggambaran tujuan perusahaan untuk memaksimumkan laba dapat ditulisakan sebagai berikut:

Memaksimumkan Z = 4x 1 +5 x 2

dimana Z merupakan total laba tiap hari (Rp)

1 = laba dari genteng (dalam Rp) 4x

2 = laba dari bata (dalam Rp) 5x

Langkah 3: Menetapkan Batasan Model

• Dari masalah di atas, terdapat 2 (dua) sumber daya yang digunakan dalam produksi, yaitu

dan

yang jumlah persediaan keduanya terbatas. Produksi

genteng dan bata memerlukan kedua sumber daya, baik tenaga kerja dan tanah liat.

Batasan Tenaga Kerja

• Untuk setiap genteng yang diproduksi memerlukan 1 jam tenaga kerja, sehingga jam tenaga kerja yang diperlukan untuk memproduksi semua genteng adalah 1.x 1. • Untuk setiap bata yang diproduksi memerlukan 2 jam tenaga kerja, sehingga jam

tenaga kerja yang diperlukan untuk memproduksi semua bata adalah 2.x 2 .

• Total tenaga kerja yang digunakan oleh perusahaan adalah penjumlahan dari tenaga

kerja yang digunakan oleh setiap produk, yaitu: 1x 1 + 2x 2

• Jumlah tenaga kerja sebesar 1x 1 + 2x 2 dibatasi sampai dengan 40 jam per hari (jumlah jam maksimum tenaga kerja yang dimiliki perusahaan), sehingga batasan tenaga kerja

sekarang 1x 1 + 2x 2 ≤≤≤ 40 jam. ≤

• Ketidaksamaan atau ‘kurang dari atau sama dengan’ (≤) digunakan dalam model ini, persamaan (=), karena 40 jam tenaga kerja adalah maksimum sumber daya yang dapat digunakan, dan bukan jumlah yang harus digunakan. • Batasan ini mempunyai fleksibilitas. Artinya perusahaan tidak diharuskan menggunakan semua kapasitas 40 jam, akan tetapi dapat menggunakan jumlah masukan ke produksi yang dapat memaksimumkan laba sampai dengan dan termasuk

40 jam tenaga kerja. Berarti perusahaan mungkin saja mempunyai kapasitas yang tidak terpakai (misalnya sebagian waktu dari 40 jam yang tidak digunakan oleh perusahaan).

Batasan Tanah Liat

• Batasan untuk tanah liat dirumuskan sama dengan batasan tenaga kerja. • Karena setiap genteng yang diproduksi memerlukan 4 kg tanah liat, maka jumlah

tanah liat yang diperlukan untuk memproduksi semua genteng adalah 4.x 1. • Karena setiap bata yang diproduksi memerlukan 3 kg tanah liat, maka jumlah tanah

liat yang diperlukan untuk memproduksi semua bata adalah 3.x 2 .

• Total tanah liat yang digunakan oleh perusahaan adalah penjumlahan dari tanah liat

yang digunakan oleh setiap produk, yaitu: 4x 1 + 3x 2 . • Akan tetapi jumlah tanah sebesar 4x 1 + 3x 2 dibatasi sampai dengan 120 kg per hari,

sehingga batasan tanah liat menjadi: 4x 1 + 3x 2 ≤≤≤ 120 kg ≤

Batasan yang non negatif.

• Batasan akhir adalah bahwa jumlah genteng dan jumlah bata yang diproduksi bernilai nol atau positif, karena

mempunyai

• Batasan ini disebut batasan non negatif dan dinyatakan dalam matematika sebagai

berikut x 1 ≥≥≥≥ 0 , x 2 ≥≥≥≥ 0

• Dengan demikian, maka Formulasi Model Program Linier yang lengkap untuk masalah ini adalah:

Memaksimumkan Z = 4x 1 +5 x 2

terbatas pada

" # & Formulasi Model Kasus Minimasi Perusahaan PT. ABC memproduksi campuran ” , dengan sekali produksi adalah 1000

kg. Campuran ” ” tersebut terbuat dari tiga bahan, yaitu: daging ayam, daging sapi, dan cereal dengan harga masing masing bahan adalah sebagai berikut:

Bahan Biaya per kg (Rupiah) Daging ayam

Dagingn sapi

Berdasarkan resep yang ada, campuran ” , tersebut harus terdiri dari paling sedikit 200 kg daging ayam, paling sedikit 400 kg daging sapi, dan tidak lebih dari 300 kg cereal. Perusahaan ingin mengetahui pencampuran optimal dari bahan bahan yang dapat

. Formulasikan model program linier untuk masalah ini.

Langkah 1: Mengenali Variabel Keputusan

•••• Untuk mengidentifikasi setiap bagian dari model secara terpisah, mulai dengan variabel keputusan. (Variabel keputusannya adalah ingin mengetahui banyaknya masing masing bahan campuran , ,).

x 1 = jumlah kg daging ayam x 2 = jumlah kg daging sapi x 3 = jumlah kg cereal

Langkah 2: Memformulasikan Fungsi Tujuan

•••• Tujuan perusahaan adalah ingin meminimumkan biaya, sehingga fungsi tujuannya adalah:

Meminimumkan Z = Rp (3.000 x 1 + 5.000 x 2 + 2.000 x 3 )

dimana Z merupakan biaya per 1000 kg untuk sekali produksi 3.000 x 1 = biaya daging ayam. 5.000 x 2 = biaya daging sapi. 2.000 x 3 = biaya cereal.

Langkah 3: Menetapkan Batasan Model.

•••• Batasan batasan masalah ini terdapat dalam batasan resep dan fakta bahwa setiap sekali produksi harus berisi 1000 kg campuran.

1 +x x 2 +x 3 = 1000 (sekali produksi sama dengan 1000 kg)

1 ≥ 200 (paling sedikit 200 kg) x

2 ≥ 400 (paling sedikit 4000 kg) x

3 ≤ 300 (tidak boleh lebih dari 300 kg) x

dan Batasan non negativitas x 1 ,x 2 ,x 3 ≥ 0 (batasan non negatif)

Dengan demikian formulasi model permasalahan tersebut menjadi:

Meminimumkan Z = 3000x 1 + 5000x 2 + 2000x 3

terbatas pada

1 +x 2 x +x 3 = 1000

1 ,x 2 ,x x 3 ≥≥≥≥ 0

C. Tugas

Kerjakan latihan latihan soal di bawah ini!

1) Dua produk dihasilkan menggunakan tiga mesin. Waktu masing masing mesin yang digunakan untuk menghasilkan kedua produk dibatasi hanya 10 jam per hari. Waktu produksi dan keuntungan per unit masing masing produk ditunjukkan tabel di bawah ini :

Produk

Waktu produksi (menit)

a. Mengenali variabel keputusan

b. Memformulasikan fungsi tujuan

c. Menetapkan batasan model

d. Formulasi Modelnya adalah

2) Perusahaan ABCD akan memproduksi dua macam benda, yaitu Produk I dan Produk II. Untuk memproduksi setiap unit produk I diperlukan bahan baku A sebanyak 40 kg dan bahan baku B sebanyak 25 kg serta bahan baku C sebanyak 80 kg. Sedangkan untuk memproduksi setiap unit produk II diperlukan bahan baku A sebanyak 30 kg dan bahan baku B sebanyak 40 kg serta bahan baku C sebanyak 50 kg. Jumlah bahan baku yang disediakan perusahaan masing masing adalah bahan baku A sebanyak 3000 kg dan bahan baku B sebanyak 1500 kg serta bahan baku C sebanyak 3600 kg. Sumbangan terhadap laba dan biaya tetap (yang dihitung dengan harga jual persatuan dikurangi biaya variabel per satuan) setiap unit produk

I sebesar Rp 150,00 dan setiap unit produk II Rp 120,00.

Buat Formulasi Model dari permasalahan di atas. Agar masalah dapat dipahami

a. Susunlah dalam bentuk tabel berikut.

Bahan

Kebutuhan Bahan Baku/unit

Kapasitas Baku

Produk I

Produk II

C Laba

b. Mengenali variabel keputusan

c. Memformulasikan fungsi tujuan

d. Menetapkan batasan model

e. Formulasi Modelnya adalah

3) Sebuah perusahaan ingin menentukan berapa banyak masing masing dari tiga produk yang berbeda yang akan dihasilkan dengan tersedianya sumber daya yang terbatas agar diperoleh keuntungan maksimum. Kebutuhan tenaga kerja dan bahan baku serta sumbangan keuntungan masing masing produk adalah sebagai berikut:

Kebutuhan sumber daya Tenaga kerja

Bahan (kg/unit)

Keuntungan

(Rp/unit) Produk 1

(jam/unit)

5 4 3 Produk 2

2 6 5 Produk 3

Tersedia 240 jam kerja dan bahan mentah sebanyak 400 kg. Buat formulasi model program linier untuk permasalahan ini!

4) Perusahaan makanan ternak merencanakan untuk membuat dua jenis makanan yaitu makanan A dan makanan B. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Makanan A paling sedikit diproduksi 2 unit dan makanan B paling sedikit diproduksi 1 unit.

Kebutuhan sumber daya

Jenis Makanan

Vitamin

Protein

Biaya per unit

(x Rp 1000) Makanan A

(unit)

(unit)

2 2 100 Makanan B

1 3 80 Minimum Kebutuhan

Formulasikan model programa linier tersebut!

5) PT Kue Enak memproduksi tiga jenis roti kering, yaitu pia, bolukismis dan coklatkeju dengan keuntungan tiap jenis produk masing masing Rp 150, Rp 400 dan Rp 600. Setiap minggu ditetapkan minimum produksi roti pia 25 unit, bolu kismis 130 unit dan coklat keju 55 unit. Ketiga jenis roti memerlukan pemrosesan tiga kali yaitu penyiapan bahan, peracikan dan pengovenan seperti terlihat pada tabel berikut:

Pemrosesan

Jenis Roti

Penyediaan

Coklat keju Maksimum (jam) Penyiapan bahan

Pia

Bolu kismis

Formulasikan model programa linier tersebut!

3. Programa Linier: Solusi Grafik

A. Tujuan Kompetensi Khusus

Mahasiswa mampu memahami danmenyelesaikan permasalahan programa linier menggunakan metode grafik

B. Uraian Materi

1. Pendahuluan

• Pada dasarnya, metode metode yang dikembangkan untuk memecahkan model Programa linier adalah ditujukan untuk mencari solusi dari beberapa pilihan solusi yang dibentuk oleh persamaan pembatas, sehingga diperoleh nilai fungsi tujuan yang optimum.

• Ada dua cara yang biasa digunakan untuk menyelesaikan persoalan persoalan Programa Linier (PL), yaitu dengan 1)

! dan 2)

• Pada bab ini akan dipelajari solusi grafik programa linier.

2. Solusi Grafik

• Persoalan Programa Linier dapat diilustrasikan dan dipecahkan secara grafik jika persoalan ini hanya memiliki

• Model Programa Linier dengan tiga variabel penggambarannya sangat sulit, sedangkan untuk model yang lebih dari tiga variabel tidak bisa dibuat grafik sama sekali. • Meskipun permasalahan dengan dua variabel jarang terjadi dalam dunia nyata, akan tetapi penafsiran geometris dari metode grafik ini sangat bermanfaat untuk memahami metode pemecahan yang umum melalui algoritma simpleks yang akan dibicarakan kemudian.

2.1 Solusi Grafik Kasus Maksimasi

Berikut adalah contoh solusi grafik untuk kasus Programa Linier Maksimasi.

" $ ' Solusi Grafik Programa Linier Kasus Maksimasi Berikut adalah ilustrasi pemecahan persoalan Programa Linier dengan menggunakan ! dengan mengambil contoh permasalahan sebelumnya, yaitu permasalahan perusahaan Tembikar PT. XYZ pada bab 2. Berikut dituliskan kembali model Programa Linier perusahaan PT XYZ.

Memaksimumkan Z = $ (4x 1 +5x 2 )

terbatas pada

1 + 2x x 2 ≤ 40 jam tenaga kerja

1 + 4x 3x 2 ≤ 120 kg tanah liat

1, x 2 ≥0 x

dimana

1 = jumlah genteng yang diproduksi x

2 = jumlah bata yang diproduksi x

• Selanjutnya mohon diingat bahwa: Koefisien nilai 4 dan 5 dalam fungsi tujuan adalah keuntungan genteng dan bata; Koefisien nilai 1 dan 2 pada batasan pertama masing masing adalah merupakan jumlah jam tenaga kerja yang diperlukan untuk memproduksi setiap genteng dan bata; koefisien nilai 4 dan 3 pada batasan kedua menunjukkan jumlah kg tanah liat yang diperlukan untuk memproduksi setiap genteng dan bata.

Langkah Pemecahan Solusi Grafik -

• Gambar 3.1 adalah satu kumpulan koordinat untuk variabel variabel keputusan x 1 dan x 2 , tempat grafik dari model matematik akan digambarkan. Hanya kuadran yang positif yang akan digambarkan, yaitu kuadran tempat x 1 dan x 2 akan selalu

positif (x 1 ≥0 dan x 2 ≥ 0).

Gambar 3.1 Koordinat untuk analisis grafik

b.

• Langkah pertama dalam menggambar grafik untuk model Programa Linier adalah memperlihatkan batasan batasan dalam grafik. Kedua batasan digambarkan sebagai garis lurus dan masing masing garis dibuat dalam grafik.

a. b. Gambar 3.2 a. Grafik dari batasan tenaga kerja

b. Grafik dari batasan untuk tanah liat

• Prosedur yang paling mudah untuk menggambarkan garis lurus ini adalah dengan cara menentukan dua titik pada garis dan menarik garis lurus melalui titik titik tersebut.

• Untuk persamaan batasan tenaga kerja, x 1 + 2x 2 = 40 (gambar 3.2a), satu titik akan diperoleh jika salah satu titiknya bernilai 0. Untuk itu: jika x 1 = 0, kita masukkan (substitusikan) nilai x 1 = 0 ke dalam persamaan x 1 + 2x 2 = 40, sehingga akan dihasilkan nilai x 2 = 20, dan titik ini

berpotongan dengan sumbu x 2 .

jika x 2 = 0, kita masukkan (substitusikan) nilai x 2 = 0 ke dalam persamaan x 1 + 2x 2 = 40, sehingga akan dihasilkan nilai x 1 = 40, dan titik ini

berpotongan dengan sumbu x 1.

• Untuk persamaan: 4x 1 + 3x 2 = 120 , untuk batasan tanah liat (gambar 3.2b). jika x 1 = 0, maka x 2 = 40 , berpotongan dengan sumbu x 2 . jika x 2 = 0, maka x 1 = 30 , berpotongan dengan sumbu x 1 .

• Garis pada grafik gambar 3.2 menunjukkan grafik kedua persamaan ini. Akan tetapi garis pada grafik 3.2 tersebut masih berupa garis sebuah batasan dan tidak menunjukkan seluruh batasan seperti gambar 3.3.

a b Gambar 3.3 Grafik dengan daerah batasan

• Untuk menguji ketepatan dari daerah batasan, cek setiap satu titik yang berada di dalam dan di luar daerah. Sebagai contoh, ambil dua buah titik A dan B, masing

masing berada di dalam dan di luar daerah, seperti dapat dilihat pada gambar 3.3a. Titik uji A pada gambar 3.3a, yang merupakan perpotongan dari x 1 = 10 dan x 2 =

10. Masukkan nilai nilai ini ke dalam batasan tenaga kerja, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

10 + 2x (10) ≤ 40

• Hasil ini menunjukkan bahwa ternyata

karena nilainya lebih kecil (30) dari 40. • Berikutnya adalah titik uji B yang berada pada x 1 = 40 dan x 2 = 30. Hasilnya adalah

40 + 2 x (30) ≤ 40 100 ≤ 40

• Titik B jelas berada di luar daerah batasan karena nilai x 1 dan x 2 menghasilkan kuantitas 100, yang melebihi 40. Hal yang sama juga dapat dilakukan pada gambar 3.3b, sehingga kombinasi dari kedua garis tersebut dapat dilihat pada grafik 3.4.

Daerah batasan kedua model grafik

Gambar 3.4 Daerah batasan dari kedua persamaan

• Sekarang perhatikan gambar 3.5. Daerah di dalam garis tebal pada gambar 3.5 merupakan daerah yang berlaku untuk batasan kedua model karena daerah ini merupakan satu satunya daerah dalam grafik yang berisi nilai nilai yang dapat memenuhi kedua batasan secara simultan (daerah solusi yang layak).

• Beberapa titik dalam daerah solusi yang layak akan menghasilkan laba maksimum bagi perusahaan tersebut.

Daerah solusi fisibel

Gambar 3.5 Daerah fisibel

d. .

Langkah berikutnya adalah menentukan titik dalam daerah solusi yang layak yang menghasilkan laba terbesar. • Untuk memulai menganalisis solusi,

. Sebagai contoh, jika laba Z adalah 80, fungsi tujuannya adalah sebagai berikut.

80 = 4x 1 +5 x 2

• Seperti halnya garis batasan, persamaan ini juga digambarkan sebagai garis seperti pada gambar 3.6.

Gambar 3.6 Mencari solusi dengan menggunakan persamaan garis fungsi tujuan

• Selanjutnya geser garis tersebut menjauhi titik origin (0,0). Laba meningkat jika fungsi tujuan menjauhi titik (0,0). Laba maksimum yang akan dicapai adalah pada titik dimana garis fungsi tujuan merupakan yang terjauh dari titik pangkal dan masih menyentuh suatu titik dalam daerah solusi yang layak.

• Dari gambar 3.6 didapatkan bahwa solusi optimal dicapai di titik B.

Gambar 3.7 Garis bantu digeser menjauhi titik orijin untuk mencari solusi optimum

Langkah ketiga dalam pendekatan solusi grafik adalah mencari nilai x 1 dan x 2 ketika titik solusi optimal diperoleh. Koordinat x 1 dan x 2 dapat langsung diperoleh dari grafik seperti gambar 3.8 adalah x 1 =24 dan x 2 = 8. Dengan demikian fungsi tujuan

Z= 4 x 24 + 5 x 8 = 136.

Gambar 3.8 Titik solusi optimum

2.2 Solusi Grafik Masalah Minimasi

• Secara umum, solusi grafik masalah minimasi mempunyai cara yang sama dengan masalah maksimasi, kecuali untuk sedikit perbedaan.

" $ # Pemecahan Masalah Minimasi Programa Linier dengan Metode Grafik. Formulasi Model Minimasi

Meminimkan Z = 6x 1 + 3x 2

terbatas pada

• Untuk menyelesaikan model Programa linier dengan metode grafik: Langkah pertama adalah menggambarkan persamaan dari dua model batasan (lihat Gambar 3.9).

Gambar 3.9 Garis batasan untuk model minimasi

• Menentukan daerah solusi fisibel. Berikut adalah daerah solusi yang layak dipilih yang menggambarkan ketidaksamaan ≥ pada batasan batasan tersebut (Gambar 3.10).

Daerah solusi yang layak

Gambar 3.10 Daerah solusi yang layak

• Langkah berikutnya adalah menentukan titik optimal. Solusi optimal untuk masalah minimasi adalah juga pada batasan daerah solusi yang layak, akan tetapi batas daerah solusi terdiri dari titik titik terdekat dari titik pangkal (titik orijin).

• Solusi optimal terdapat pada salah satu titik yang terekstrim pada batas daerah solusi. Dalam hal ini titik sudut yang menunjukkan tingkat ekstrim pada batas solusi yang terdekat pada titik pangkal, tiga titik sudut A, B, dan C dan garis fungsi tujuan.

• Pada saat fungsi tujuan bergeser mengarah ke titik pangkal, titik terakhir yang tersentuh dalam daerah solusi adalah titik yang layak. Hal ini menunjukkan bahwa nilai terendah telah dicapai.

Gambar 3.11 Titik Solusi Optimal

• Langkah terakhir dalam pendekatan solusi secara grafik adalah mencari nilai x 1 dan x 2 pada titik A. • Solusi optimalnya adalah dengan mensubstitusikan nilai A pada fungsi tujuan

1 + 3x Z = 6x 2 (Coba Anda hitung sendiri!)

C. Tugas

Kerjakan latihan latihan soal di bawah menggunakan solusi grafik !

1. memaksimumkan Z = 4 x 1 +5x 2

terbatas pada

2. memaksimumkan Z = 5 x 1 + x 2

terbatas pada

3. meminimumkan Z = 8 x 1 +6x 2

terbatas pada

4. meminimumkan Z = 5 x 1 +2x 2

terbatas pada

1 + x 2 6x ≥6

1 +3x 2 4x ≥2

1 +2x 2 ≥4 x

1 ,x 2 ≥0 x

4. Programa Linier: Solusi Simplex

A. Tujuan Kompetensi Khusus

Mahasiswa mampu memahami dan mampu menyelesaikan permasalahan menggunakan metode simplex.

B. Uraian Materi

1. Pendahuluan

• Tidak semua permasalahan Programa Linier dapat diselesaikan secara grafik. • Untuk mengatasinya akan diperkenalkan sebuah metode dengan menggunakan

pendekatan matematis yaitu:

• ) merupakan suatu prosedur ulang yang bergerak dari satu jawab layak basis ke jawab berikutnya sedemikian rupa sehingga harga fungsi tujuan terus menaik (

). Proses ini akan terus berkelanjutan sampai dicapai jawab optimal (jika ada) yang memberi harga maksimum (minimum).

) atau fungsi tujuan menurun (

• Dalam pemecahan metode simplex model Programa Linier diubah ke dalam bentuk sebuah tabel, dinamakan tabel simplex, kemudian dilakukan langkah langkah matematis pada tabel tersebut.

• Langkah langkah matematis ini pada dasarnya merupakan replikasi proses pemindahan dari suatu titik

lainnya pada batas daerah solusi. • Tidak seperti metode grafik dimana dengan mudah titik terbaik dapat dicari diantara semua titik titik solusi, metode simplex bergerak dari satu solusi ke solusi lain yang lebih baik sampai pada akhirnya solusi yang terbaik didapat.

ke titik

2. Solusi Metode Simplex

• untuk memecahkan Programa Linier dengan metode simplex adalah

• Metode simplex memberikan suatu prosedur standar untuk mentransformasikan batasan pertidaksamaan berjenis ≤

ke dalam bentuk persamaan (=). • Transformasi ini dicapai dengan cara menambahkan suatu variabel baru yang dinamakan dengan variabel

), diberi notasi s, dari sisi kiri batasan (

" & ' : Penambahan Variabel Slack

1 + 2x x 2 ≤≤≤ 40 diubah menjadi x ≤ 1 + 2x 2 + s 1 = 40, dimana s 1 ≥0

& # Formulasi Model Programa Linier Dengan Penambahan Variabel Slack

Kembali pada contoh permasalahan sebelumnya, kasus Perusahaan Tembikar PT. XYZ dengan formulasi model berikut:

memaksimumkan Z = Rp (4x 1 + 5x 2 )

terbatas pada

1 + 2x 2 ≤ 40 jam tenaga kerja x

1 + 3x 2 ≤ 120 kg tanah liat 4x

1, x 2 ≥≥≥≥ 0

• Penambahan suatu variabel pengurang (s) pada setiap pertidaksamaan batasan di atas akan menghasilkan persamaan persamaan berikut:

1 + 2x x 2 +s 1 = 40 jam tenaga kerja

1 + 4x 3x 2 +s 2 = 120 kg tanah liat

• Apa yang dimaksud dengan

Variabel , s 1 dan s 2 , merupakan suatu nilai sebarang yang diperlukan, sehingga nilai sisi kiri dari tanda persamaan akan bernilai sama dengan nilai sisi kanannya. • Sebagai contoh, misalkan suatu solusi hipotetis dari x 1 = 5 dan x 2 = 10. Substitusikan nilai nilai tersebut (x 1 = 5 dan x 2 = 10) ke dalam persamaan persamaan batasan pada ilustrasi 4.2, sehingga akan menghasilkan nilai:

1 x + 2x 2 + s 1 = 40 jam tenaga kerja + 2.(10) + s 5 1 = 40 jam tenaga kerja

s 1 = 15 jam tenaga kerja

dan

1 + 4x 3x 2 + s 2 = 120 kg tanah liat + 4.(5) 3. (10) + s 2 = 120 kg tanah liat

2 s = 70 kg tanah liat

• Dari contoh di atas, x 1 = 5 genteng dan, x 2 = 10 bata mencerminkan suatu solusi yang belum menggunakan seluruh jumlah jam tenaga kerja dan tanah liat. • Untuk membuat 5 genteng dan 10 bata hanya memerlukan 25 jam tenaga kerja. Hal ini berarti masih ada 15 jam tenaga kerja yang belum terpakai. Begitu juga dengan tanah liat yang digunakan untuk memproduksi 5 genteng dan 10 bata masih menyisakan 70 kg tanah liat.

• Dengan demikian, secara umum

• Dalam contoh di atas, s 1 mencerminkan jumlah jam tenaga kerja yang belum terpakai,

sedangkan s 2 mencerminkan jumlah kg tanah liat yang belum terpakai.

• Sumber sumber yang tidak terpakai secara penuh akan muncul pada saat x 1 = 0 dan x 2 = 0 (di titik orijin (0,0). Dengan demikian jika nilai x 1 = 0 dan x 2 = 0 tersebut disubstitusikan ke persamaan batasan model, maka hasilnya adalah

1 + 2x x 2 + s 1 = 40

0 + 2.(0) + s 1 = 40

1 + 3x 2 4x +s 2 = 120

4.(0) + 3. (0) + s 2 = 120

• Karena tidak ada produksi pada titik orijin (titik asal (0,0)), berarti semua sumber sumber daya tersebut tidak terpakai, jadi variabel pengurang sama dengan jumlah total

tiap sumber yang tersedia, yaitu: s 1 = 40, s 2 = 120.

Pertimbangan berikutnya adalah efek dari variabel variabel pengurang yang baru ini terhadap fungsi tujuan. Fungsi tujuan dalam contoh tersebut adalah:

Z = Rp (4x 1 +5 x 2 )

• Koefisien 4 dan 5 merupakan masing masing merupakan kontribusi laba untuk tiap genteng dan bata. Lalu apa kontribusi dari variabel

s 1 dan s 2 ?

• Variabel .

• Laba baru akan diperoleh hanya jika sumber sumber digunakan untuk menghasilkan genteng dan bata. • Dengan menggunakan variabel pengurang, fungsi tujuan dapat dituliskan sebagai berikut:

Memaksimumkan Z = 4x 1 +5x 2 + 0.s 1 + 0.s 2

juga hanya dapat memiliki nilai non negatif karena sumber yang bernilai negatif adalah tidak mungkin. • Dengan demikian maka untuk formulasi model ini, non negatifnya adalah:

Seperti pada variabel keputusan (x 1 dan x 2 ), variabel

x 1, x 2 ,s 1 ,s 2 ≥0

• Formulasi model Programa Linier sekarang untuk kasus contoh di atas adalah

memaksimumkan Z = 4x 1 +5 x 2 + 0s 1 + 0s 2

terbatas pada x 1 + 2x 2 +s 1 = 40

1 + 3x 2 +s 2 = 120 4x

1, x 2 ,s 1 ,s 2 ≥≥≥≥ 0 x

3. Solusi Untuk Persamaan Simultan

• Setelah kedua batasan ini diubah ke dalam bentuk persamaan, maka untuk menentukan nilai dari variabel pada tiap titik solusi persamaan persamaan batasan dapat dipecahkan secara simultan.

• Pada contoh tersebut, terdapat dua persamaan dengan empat variabel yang tidak diketahui (yaitu:

$& '

* +), suatu situasi yang membuat solusi simultan secara langsung tidak memungkinkan. Perhatikan kembali kedua persamaan batasan contoh di atas.

x 1 + 2x 2 +s 1 = 40

1 + 3x 2 +s 2 = 120 4x

• Jumlah variabel yang diberi nilai nol adalah n,m, dimana sedangkan

• Untuk contoh model ini berarti n = 4 variabel dan m = 2 batasan, sehingga dua dari empat variabel tersebut diberi nilai nol (yaitu, 4 – 2 = 2). • Sebagai contoh, misalkan x 1 = 0 dan s 1 = 0, maka kedua persamaan batasan tersebut akan menghasilkan seperti di bawah ini.

1 + 3x 4x 2 +s 2 = 120 4.(0) + 3 (40) +s 2 = 120

• Solusi ini berhubungan dengan titik A pada gambar 4.1. Grafik pada gambar 4.1 memperlihatkan bahwa pada titik A, dimana x 1 = 0, x 2 = 20, s 1 = 0, dan s 2 = 60 adalah solusi yang diperoleh jika diselesaikan dengan memecahkan persamaan simultan. • Solusi ini nyata sebagai suatu solusi fisibel dasar.

Gambar 4.1 Solusi pada titik titik A, B, C, dan D

• Suatu solusi fisibel dasar adalah solusi yang memenuhi batasan model. •

• Biasanya, sebanyak m variabel mempunyai nilai solusi yang positif, namun, bila satu dari m variabel mempunyai nilai nol, solusi fisibel dasar dinyatakan mengalami .

4. Metode Simplex Menggunakan Tabel Simplex

• Langkah langkah metode simplex dilakukan dalam suatu kerangka tabel, atau disebut dengan tabel simplex. • Tabel simplex adalah

• Tabel ini juga mengatur model ke dalam suatu bentuk yang memungkinkan untuk penerapan langkah langkah matematis menjadi lebih mudah. • Bentuk umum tabel simplex awal dengan judul kolom dan baris diperlihatkan pada tabel 4.1.

Tabel 4.1 Tabel Awal (Secara Umum)

Variabel Kuantitas dasar

" & $ Solusi Metode Simplex dengan Tabel Simplex

Berikut adalah langkah langkah penyelesaian permasalahan Programa linier menggunakan metode simplex dengan tabel simplex dengan contoh persoalan Perusahaan Tembikar PT. XYZ. Kita tuliskan kembali model matematikanya

memaksimumkan Z = $ (4x 1 +5 x 2 )

terbatas pada

1 + 2x 2 ≤ 40 jam tenaga kerja x

1 + 3x 2 ≤ 120 kg tanah liat 4x

1, x 2 ≥0

Langkah 1:

. Untuk persoalan Perusahaan Tembikar PT. XYZ, hasil transformasi modelnya adalah sebagai berikut. (lihat

memaksimumkan Z = 4x 1 +5 x 2 + 0s 1 + 0s 2 terbatas pada x 1 + 2x 2 +s 1 = 40

• Tabel simplex awal untuk model Perusahaan Tembikar PT. XYZ, dengan berbagai judul kolom dan baris diperlihatkan pada tabel 4.2.

Langkah 3: ,

Tabel 4.2 Tabel Simplex

Variabel Kuantitas dasar

1) Tahap pertama dalam mengisi tabel 4.2 adalah menuliskan variabel variabel model sepanjang

. Kedua variabel keputusan ditulis terlebih dahulu dengan mengikuti urutan besarnya subskripnya, diikuti dengan variabel pengurang yang juga ditulis mengikuti urutan besarnya subskripnya. Langkah ini menghasilkan

suatu baris berisi x 1, x 2 ,s 1 ,s 2 dalam tabel 4.2.

2) Tahap berikutnya adalah menentukan suatu solusi fisibel dasar. Dengan kata lain, dua variabel manakah yang akan membentuk solusi fisibel dasar dan variabel mana yang akan diberi nilai nol?

Tabel 4.3 Solusi Fisibel Dasar

Variabel Kuantitas dasar

• Pada titik orijin tersebut (x 1 = 0 dan x 2 = 0), yang merupakan variabel variabel dalam !

untuk kasus ini adalah s 1 dan s 2 . Dengan demikian, jika nilai x 1 =0 dan x 2 = 0, maka kita substitusikan nilai nilai tersebut pada kedua persamaan batas, hasilnya adalah

• Dengan kata lain, pada titik orijin, dimana tidak ada produksi, semua sumber sumber tersebut tidak terpakai, dan variabel s 1 dan s 2 , yang membentuk solusi fisibel dasar. • Dalam tabel 4.3 ditulis di bawah kolom variabel dasar dengan nilai nilainya masing masing 40 dan 120 ditulis di bawah kolom kuantitas (

• Karena tabel simplex awal selalu dimulai dengan solusi pada titik orijin, maka variabel variabel dasar pada titik orijin adalah variabel pengurang, s 1 dan s 2 . •

Tabel 4.4 Tabel Simplex dengan nilai nilai c j

Variabel Kuantitas dasar

• Selanjutnya isi nilai c j , yaitu: koefisien koefisien fungsi tujuan, yang mencerminkan kontribusi pada keuntungan (atau biaya) untuk setiap variabel x j atau s j pada fungsi tujuan. Sepanjang baris teratas dimasukkan nilai nilai c j , yaitu 4, 5, 0, dan 0 untuk setiap variabel, seperti ditunjukkan pada tabel 4.4.

• Nilai nilai c j pada sisi kiri tabel adalah kontribusi keuntungan dari variabel variabel yang termasuk pada solusi fisibel dasar, dalam hal ini s 1 dan s 2 . Variabel variabel ini dituliskan pada sisi kiri tabel dengan tujuan digunakan untuk menghitung nilai pada baris zj.

• Kolom kolom di bawah tiap variabel (x x 1 , 2 , s 1 , s 2 ) mengikuti koefisien variabel keputusan dan variabel pengurang dalam persamaan batasan model, dan hasilnya dapat dilihat pada tabel 4.5.

Tabel 4.5 Tabel Simplex dengan Koefisien Batasan Model

Variabel Kuantitas dasar

• Sampai di sini proses pengisian tabel simplex awal telah lengkap. • Nilai nilai yang harus diisi pada baris z j dan c j – z j , seperti juga nilai nilai tabel

selanjutnya diperoleh dari hasil perhitungan matematis yang menggunakan formula formula simplex.

Menghitung z j dan Baris c j ,z j • Langkah 4 :

• Nilai pada baris z j dihitung dengan jalan mengalikan tiap nilai kolom c j (pada sisi kiri) dengan tiap kolom variabel (di bawah x 1 ,x 2 ,s 1 , dan s 2 ), dan kemudian menjumlahkan tiap set nilai nilai ini satu persatu. Nilai z j ini ditunjukkan dalam tabel 4.6.

Tabel 4.6 Tabel Simplex dengan nilai nilai c j

Variabel Kuantitas dasar

0 s 1 40 1 2 1 0

0 s 2 120

" Nilai baris z j di bawah kolom kuantitas; nilai baris z j di bawah kolom x 1

c j kuantitas

• Baris c j z j dihitung dengan jalan mengurangkan nilai baris z j dari nilai nilai baris (teratas) c j . Sebagai contoh, pada kolom x 1 , nilai c j z j dihitung sebagai 4 – 0 = 4. Nilai ini seperti juga nilai c j z j lainnya ditunjukkan pada tabel 4.7.

Tabel 4.7 Tabel Simplex Awal Lengkap

Variabel Kuantitas dasar

0 s 1 40 1 2 1 0

0 s 2 120