Perkalian vektor dengan skalar memenuhi hukum asosiatif
a a
km m
k =
, dan hukum distributif
k b
a b
a
+ =
+ k
k
dan
a a
a k
+ =
+ k
m k
.
Pengurangan Dua buah vektor atau lebih dalam ruang yang sama dapat dikurangkan,
dinotasikan
b -
a
.
n 1
a a
a ,
, ,
2
L =
a
dan
n 1
b b
b ,
, ,
2
L =
b
, maka
n n
1
b b
b a
a a
, ,
, 1
, ,
,
2 1
2
L L
− +
= −
=
b a
c
. ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
,
2 1
2 2
1 1
2 1
2 n
n n
n n
1
c c
c b
a b
a b
a b
b b
a a
a L
L L
L =
− −
− =
− −
− +
=
. 2.4
Misalkan vektor
2,4 =
a
dan
3,1 =
b
, maka penjumlahan vector
a
dan
b
adalah
3 ,
3 1
, 3
6,4 =
− =
− =
b a
c
Inner Product Dua buah vektor dalam ruang yang sama dapat dikalikan yang disebut
inner product
∑
=
= +
+ +
= =
n j
j j
n n
b a
b a
b a
b a
1 2
2 1
1
L
a.b
α
2.5 Inner product memenuhi hukum komutatif
b.a a.b
=
dan memenuhi kondisi berikut
a.c a.b
a c
b c
b a
+ =
+ =
+
b.d b.c
a.d a.c
b a
+ +
+ =
+ +
d c
Perlu diperhatikan
≥
a.a
. Inner product sama dengan nol
=
a.a
jika dan hanya jika
=
a
. Dua buah vektor disebut orthogonal jika inner product-nya sama dengan nol.
Jika
3,2 =
a
dan
2,-3 =
b
adalah orthogonal, karena
3 2
2 3
= −
+ =
a.b
.
Vektor norm
∑
=
= +
+ +
= =
n j
j n
n
a a
a a
a a
a
1 2
2 2
1 1
L
a.b a
2.7
2.3 Linear Dependent dan Independent
Himpunan vektor
n 2
1
a ,
, a
, a
L
yang berada dalam ruang yang sama
n
R
dikatakan ”Linearly dependent” atau saling bergantung linier bila ada suatu himpunan dari n skalar
yaitu
n
α α
α ,
, ,
2 1
L
tidak semuanya nol atau paling sedikit satu
≠
α
, bila hasil kombinasi liniernya adalah vektor nol null vector. Jadi
a a
a
n n
2 2
1 1
= +
+ +
α α
α
L
2.8 dimana 0 adalah vektor nol.
Sedangkan apabila dari n skalar yaitu
n
α α
α ,
, ,
2 1
L
masing-masing mempunyai nilai nol disebut lynearly independent atau saling bebas linier. Jadi dalam hal ii dapat ditulis:
2 1
= =
= =
n
α α
α L
2.9 Himpunan vektor
n 2
1
a ,
, a
, a
L
dalam ruang
n
R
adalah linear independent jika salah satu dari vektor tersebut adalah suatu kominasi linier dari vektor-vektor lainnya. Jika salah satu
dari vektor tersebut adalah suatu kombinasi linier dari vektor-vektor lainnya, vektor-vektor tersebut, salah satunya adalah
n
a
. Maka
1 n-
1 n-
1 1
n
a a
a
α α
+ +
= L
2.10 atau
a a
a
1 n-
1 n-
1 1
= −
+ +
+
n
1 α
α L
. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa dari seluruh skalar
α
tidak seluruhnya nol,
tetapi -1 dan disebut linear independent.
Sedangkan apabila
1
=
∑
= n
i i
i
a
α
adalah linear independent, maka
i
α
adalah
2 1
= =
= =
n
α α
α L
. Jika salah satu
α
, maka jelas bahwa vektor-vektor tersebut linearly dependent. Jadi
n 1
0a 0a
+ +
= L
, adalah linearly dependent.
2.4 Basis
Kategori