Turunan Fungsi Trigonometri Turunan Fungsi Tersusun Fungsi Komposit

22 Contoh 3 Tentukan f x untuk fx = 2 x 3 x 2  Jawab : fx = 2 x 3 x 2  maka mengingat 2 v v u v u v u      diperoleh fx = 2 2 2 x x 2 . 3 x 2 x . 2   = 4 2 2 x x 6 x 4 x 2   = 4 2 x x 6 x 2  

B. Turunan Fungsi Trigonometri

a. y = sin x  y = x sin x - x sinx lim x      = x 2 x x x cos 2 x - x x sin 2 lim x         =                       2 x x cos . 2 x 2 x sin lim x = 1. cosx + 0 = cos x Analog y = cos x  y = sin x. b. y = tan x  y = x cos x sin dengan mengingat 2 v v u v u v u       y = 2 x cos x sin x-sin - x cos = x sec x cos 1 x cos x sin x cos 2 2 2 2 2    Analog y = tan x  y = sec 2 x c. y = sec x  y = x cos 1 y  = x cos 1 . x cos x sin x cos -sin x . 1 - x cos . 2  = tan x . sec x Analog y = cosec x  y = cot x cosec x. Jadi : 23 y = sin x  y = cos x y = cot x  y = cosec 2 x y = cos x  y = sin x y = sec x  y = sec x tan x y = tan x  y = sec 2 x y = cosec x  y = ˗ cosec x cot x.

C. Turunan Fungsi Tersusun Fungsi Komposit

Misalkan y = fx dimana u = gx, menentukan fungsi tersusun y = f  gx = fgx dan apabila g mempunyai turunan di x, dan f mempunyai turunan di u = gx maka turunan fungsi komposisi f  gx ditentukan dengan rumus : f  g x = fgx.gx atau dengan notasi Leibniz : dx du du dy dx dy .  Rumus ini dikenal dengan nama aturan rantai . Cara yang mudah untuk mengingat aturan rantai adalah : Variabel kiri Variabel antara Variabel kanan y = fu dan u = gx du dy = du dy . dx du Turunan variabel Turunan variabel Turunan variabel kiri terhadap = kiri terhadap antara terhadap variabel kanan variabel antara variabel kanan Aturan rantai tersebut dapat dibuktikan sebagai berikut : Bukti : Misalkan y = fu dan u = gx; g mempunyai turunan di x dan f mempunyai turunan di u = gx. Apabila variabel x bertambah dengan x  yang berubah menjadi x + x  , maka u = gx bertambah menjadi gx + x  dan y = fgx bertambah menjadi fgx + x  , sebagaimana diagram di bawah ini : 24 Pertambahan untuk u = gx adalah gx+ x g x g x     , dan dari hubungan ini akan diperoleh x g   apabila x    x g f  = fgx + x  - fgx Berdasar definisi umum turunan fungsi, maka turunan dari fungsi komposisi : f gx = x x g f x x g f lim x         = x x g f x x g f lim x       = x x g f x g x g f lim x       = x x g x g x g f x g x g f lim x          = x x g x x g lim x g x g x g f lim x x g             = f gx.gx terbukti Dan apabila aturan rantai di atas kita tulis dengan notasi Leibniz akan diperoleh : Jika y = fx dan u = gx maka dx dy = dx du du dy  Contoh 3 Tentukan turunan fungsi fx = 2x 3 – 4 7 Jawab : Misal, u = 2x 3 – 4  u = 6x 2 fx = u 7  fx = 7u 6 . u  Jadi fx = 2x 3 – 4 7  fx = 72x 3 – 4 6 . 6x 2 . = 42x 2 2x 2 – 4 6 . Dalil Rantai di atas dapat dikembangkan lebih lanjut. x gx fgx x+ x  g x+ x  fgx+ x  g f 25 Jika y = fu, u = gv dan v = hx, maka f  g x = fgx.gx dx dv . dv d . du dy dx dy  Begitu dan seterusnya. Contoh 4 Jika fx = sin 3 2x – 5, maka tentukan fx. Jawab : Misal u = sin2x – 5 dan v = 2x – 5, sehingga v = 2x – 5  2 dx dv  u = sin v  v cos dv du  y = u 3  2 u 3 du dy  f x = dx dv . dv du . du x df dx x df  = 3 . u 2 . cos v . 2 = 6 sin 2 2x – 5 . cos2x – 5

D. Turunan Fungsi Logaritma