62
Latihan 8 Dengan menggunakan rumus reduksi selesaikan pengintegralan di bawah ini
1.
xdx sin
4
9.
xdx cos
x sin
5 4
2.
xdx cos
4
10.
xdx 3
cos x
3 sin
4
3.
xdx cos
5
11.
dx 3
x 2
cos 3
x 2
sin
2 3
4.
xdx sin
5
12.
dx 2
x 3
sin x
2
5.
xdx 3
cos
5
13.
dx 3
x 2
cos x
3
6.
dx 3
x 2
cos
3
14.
dx 6
x 4
sin 3
x 2
3
7.
dx 5
x 3
cos
5
15.
dx 6
x 4
cos .
3 x
2
2
8.
xdx cos
x sin
2 3
16.
dx 3
x 2
sin x
4
5. Pengintegralan
u du
Dari fx = ln x f
x =
x 1
maka
c |
x |
ln x
dx
Yang berarti
c |
u |
ln u
du .
Contoh 1. Tentukanlah
dx
e e
1
x 2
2 x
2
Jawab : Misalkan u = 1 – e
2x
maka du = -2e
2x
dx e
2x
dx =
du 2
1
Sehingga
du
u 2
1 du
2 1
u dx
e 2
1
2 2
x 2
x 2
= c
u 3
1 .
2 1
3
=
c e
1 6
1
x 2
Contoh 2. Tentukanlah
dx e
x sin
x cos
- 3
Jawab misalkan u = 3 – cos x
du = sin x dx sehingga
du
e dx
e x
sin
u x
cos -
3
= e
u
+ c
63
= e
3-cos x
+ c Contoh 3.
Integralkanlah
x ln
5 x
dx Jawab : Misalkan u = 5 + ln x
du =
x dx
Sehingga
u du
x ln
3 x
dx = ln |u| + c
= ln5 + ln |x| + c Contoh 4.
Integralkanlah
dx 3
2x log
Jawab : Misalkan u = log 2x + 3 =
10 ln
3 2x
ln
du = 10
3ln 2x
dx .
2
du = dx =
c 3
x 2
2 1
u 3
2x d
2 1
Sehingga :
10
3ln 2x
dx 2
. 3
x 2
2 1
3 x
2 log
3 x
2 2
1 2dx
2x log
=
dx 10
ln 1
- 3
2x log
3 x
2 2
1
=
. c
10 ln
x -
3 2x
log 3
x 2
2 1
Contoh 5. Integralkanlah
dx x
sin e
x
Jawab :
x cos
d ex
- dx
x sin
e
x x
=
e d
x cos
- x
cos e
x x
. =
dx x
cos e
x cos
e
x x
=
dsin x e
x cos
e
x x
=
de sin x
- sin x
e x
cos e
x x
x
64
=
dx sin x
e -
sin x e
x cos
e
x x
x
=
c
sin x e
x cos
e -
dx sin x
e 2
x x
x
Jadi
c. x
cos -
sin x e
2 1
dx sin x
e
x x
Latihan 9. Tentukanlah integral dari :
1.
1 x
dx x
2
11.
3 e
dx e
x 2
x 2
2.
1 x
dx 2
x
12.
1 e
dx 1
e
x x
3. dx
e
x
13.
3 e
dx 1
e
x 2
x 2
4.
dx e
x 4
3
14.
5x tg
dx 5x
sec
2
5.
1 u
dx
x
15.
x 2
x
e 1
dx e
6.
3 2
x 2
1 dx
x 16.
x 2
x 2
e 1
dx e
7.
dx 4
x 3
tg 17.
dx 16
x
2
8.
dx 4
x ctg
x
2 2
18.
dx 36
x
2
9.
x tg
x sec
u mis.
Petunjuk dx
x sec
19. dx
5 x
3
2
10.
dx 3x
cos 20.
dx 5
x 4
x 3
2
B. Integral Tentu 1. Pengertian Integral Tentu Integral Riemann
Gambar disamping memperlihatkan daerah L yang dibatasi oleh y = fx, sumbu x dari x = a
sampai dengan x = b. Untuk mencari luas daerah L ditempuh langkah-
langkah sebagai berikut.
fx
1
fx
n
y =fx
x
4
x
3
x
2
x
1
a b
x
n
x
3
x
2
x
1
L
65
Gb.3.1 Langkah pertama, interval [a,b] dibagi menjadi n interval dengan panjang masing-
masing interval bagian x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
. Sedang pada masing-masing interval ditentukan titik-titik x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
. Selanjutnya dibuat persegipanjang-persegi- panjang dengan panjang masing-masing fx
1
, fx
2
, fx
3
, …, fx
n
dan lebar masing- masing
x
1
, x
2
, x
3
, …, x
n
sehingga : Luas persegipanjang pertama
= fx
1
. x
1
Luas persegipanjang kedua = fx
2
. x
2
Luas persegipanjang ketiga = fx
3
. x
3
… = …
Luas persegipanjang ke-n = fx
n
. x
n
Jumlah luas seluruh persegipanjang = fx
1
. x
1
+fx
2
. x
2
+fx
3
. x
3
+…+fx
n
. x
n
=
n 1
i i
i
. x
. x
f Dan untuk menekankan bahwa pengambilan jumlah tersebut meliputi daerah pada
interval [a,b], notasi sigma di atas sering kita tulis dengan notasi. Jumlah semua luas persegipanjang =
b a
x
. x
. x
f
Jika n dibuat cukup besar maka jumlah luas diatas mendekati luas daerah L. Sehingga luas daeah L adalah nilai limit jumlah di atas.
L =
b a
x x
x. fx.
lim Notasi tersebut di atas biasa ditulis dengan notasi integral tertentu atau integral
Riemann :
L =
b a
. fxdx
b a
: notasi integral tertentu a : batas bawah integral
b : batas atas integral Contoh 8
Tunjukkan dengan jalan mengarsir daerah yang ditunjukkan oleh
3 1
. dx
1 x
2 Jawab : Persamaan kurva y = 2x + 1
+
66
Integral di atas menyajikan daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2x + 1, sumbu x, dengan garis-
garis x = -1 dan x = 2, seperti daerah yang diarsir disamping.
2. Menentukan nilai
