Integral Taktentu 1. Integral sebagai operasi invers dari turunan.

49

BAB V KALKULUS INTEGRAL

Kegunaan integral sebagai ilmu bantu dalam geometri, teknologi, biologi dan ekonomi tak dapat disangkal lagi. Orang yang tercatat dalam sejarah pertama kali mengemukakan ide tentang integral adalah Archimedes seorang ilmuwan bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa 287 – 212 SM. Archimedes menggunakan ide integral tersebut untuk mencari luas daerah suatu lingkaran, daerah yang dibatasi oleh parabola dan tali busur dan sebagainya. Sejarah mencatat orang yang paling berjasa dalam hal pengembangan kalkulus integral adalah Georg Friederich Benhard Riemann 1826 – 1866.

A. Integral Taktentu 1. Integral sebagai operasi invers dari turunan.

Misalkan fungsi f adalah turunan dari fungsi F, yang berarti fx Fx dx dFx   Pandanglah pendiferensialan fungsi-fungsi di bawah ini Fx = x 3  Fx = fx = 3x 2 Fx = x 3 + 5  Fx = fx = 3x 2 Fx = x 2  17  Fx = fx = 3x 2 Fx = x 3 + c c = konstanta  Fx = fx = 3x 2 Sekarang timbul pertanyaan apakah dari hubungan F x = fx ini jika fx dikethui maka fx pasti dapat ditentukan ? Suatu operasi mencari Fx jika fx diketahui yang merupakan invers dari operasi pendiferensialan disebut operasi anti derivatif, anti diferensial, anti turunan yang biasa disebut Operasi integral. Dari contoh di atas dapat ditarik kesimpulan bahwa anti turunan dari fx = 3x 2 adalah Fx = x 3 + c , c = konstanta. Dari pengertian bahwa integral adalah invers dari Operasi pendiferensialan, maka apabila terdapat fungsi Fx yang diferensial pada interval [a, b] sedemikian hingga fx x F dx dfx   maka anti turunan dari fx adalah Fx + c, dan biasa kita tulis dengan notasi.     c Fx fxdx Notasi  adalah notasi integral tak tentu. Catatan : Orang yang pertama kali memperkenalkan lambang  sebagai lambang integral adalah Leibniz, yang disepakati sebagai slah seorang penemu dari Kalkulus. Dari contoh di atas diperoleh hasil    c x dx 3x 3 2 Dengan memperhatikan diferensial-diferensial di bawah ini: Fx = x + c  Fx = 1 Fx = ax + c  Fx = a Fx = c x 1 n 1 n 1     Fx = n 1 n 1 n 1 x n x    1 Fx = c x 1 n 1 n a     Fx = n 1 n 1 n a ax n x    50 maka diperoleh integral fungsi-fungsi aljabar : 1    c x dx 2    c ax adx 3 1 n , c x dx x 1 n 1 1 n        n 4 1 n , c x dx x 1 n 1 1 n        n Dari integral adalah invers diferensial maka 5         gxdx fx fx fx dx 6    fxdx fxdx a a Contoh 1. Tentukan   dx 2x x 3  Jawab:   c x 2. x dx 2x x 2 2 1 4 4 1 3      = c x x 2 4 4 1   Contoh 2. Integralkanlah   2 3 4 3  x Jawab:     dx 16 24x gx dx 4 3x 3 6 2 3       = c 16x x 24. x 9. 4 4 1 7 7 1    = c 16x 6x x 4 7 7 9    Mengingat pendiferensialan fungsi-fungsi yang lain; yaitu: Jika fx sin x maka f x = cos x Jika fx cos x maka f x = -sin x Jika fx tg x maka f x = sec 2 x Jika fx cotg x maka f x = -cosec 2 x Jika fx sec x maka f x = sec x tgx Jika fx cosec x maka f x = -cosec x cotg x Jika fx e x maka f x = e x Jika fx ln x maka f x = x 1 Dengan mengingat integral adalah operasi invers dari pendiferensialan, maka akan diperoleh rumus-rumus pengintegralan. 51 7    c sin x dx x cos 8    c x -cos dx sin x 9    c tan x dx x sec 2 10     c cot x dx x cosec 2 11    c x sec dx x tan x sec 12    c x c cs - dx cot x x csc 13    c e dx e x 14 c x ln x dx    Contoh 3. Gradien pada titik x,y dari suatu kurva y = fx diketahui memenuhi hubungan 3 2x dx dy   dan melalui 3, 5. Tentukan persamaan kurvanya. Jawab: Gradien kurva y = fx adalah 3 2x dx dy   Sehingga y =     dx 3 2x y = c 3x x 2. 2 2 1    y = x 2 – 3x + c Melalui 3, 5  5 = 3 2 – 3.3 + c 5 = c Jadi persamaannya : y = x 2 – 3x + 5 Jika suatu soal integral tak dapat diselesaikan dengan integral langsung, mungkin dengan mensubstitusi variabel baru soal tersebut dapat dipecahkan. 2. Pengintegralan Dengan Substitusi Menentukan integral fungsi yang dapat disederhanakan menjadi bentuk      fx d x f n . Mengacu pada rumus pengintegralan bentuk       1 - n , c x 1 n 1 dx x 1 n n , maka pengintegralan       1 - n , c u 1 n 1 dx u 1 n n Contoh 1. Tentukan   dx x 2 x 2 3 52 Jawab : Misalkan u = x 3 + 2 maka du = 3x 2  x 2 dx = du 3 1 . Sehingga du 3 1 . u dx x 2 x 2 3     = du u 3 1 2 1  = c u 3 2 . 3 1 2 1  = . c 2 x 9 2 2 9 3   Contoh 2. :    9 1 2 x 6 x dx 3 x Jawab : Misalkan u = x 2 + 6x  du = 2x + 6dx  x + 3dx = . du 2 1 Sehingga :      3 1 2 1 9 1 2 u du x 6 x dx 3 x = du u 2 1 9 1   = c u 3 . 2 1 9 2 2 1  = . c x 6 x 4 3 9 2 2   Contoh 3. Integralkanlah  dx x 3 sin 5 Jawab :    dx 3x sin x 3 sin dx x 3 sin 2 2 5 Misalkan u = cos 3x  du = -3 sin 3x dx sin 3x dx = du 3 1  Sehingga    dx 3x sin x 3 cos - 1 dx 3x sin x 3 sin 2 2 2 2 =    du 3 1 u 1 2 2 53 =     du u u 2 1 3 1 4 2 = . c x 3 cos 15 1 x 3 cos 9 2 3x cos 3 1 5 3     Contoh 4.  dx x 5 cos x 5 sin 3 5 Jawab : Misalkan u = sin 5x  du = 5 cos 5x dx dx 5x cos du 5 1  c x 5 sin 45 1 x 5 sin 35 1 c u 9 1 u 7 1 5 1 du u u 5 1 du 5 1 . u 1 u dx 5x cos . x 6 sin - 1 . x 5 sin dx 5x cos . x 6 sin 1 . x 5 sin dx x 5 cos x 5 sin 9 7 9 7 3 6 2 6 2 6 2 6 3 6                    Latihan 5. Tentukanlah : 1.   dx x 3 2 x 2 2 3 9.  x cos dx sin x 3 2.   dx x 2 x 2 2 1 3 10.  x sin dx x cos 2 3.   3 3 2 2 x dx x 8 11.  x cos dx x tg 3 4.   2 x dx x 3 2 12.  x sin dx x g cot 2 54 5. dx x 2 1 x 3 2   13.    2 x 3 cos dx 2 x 3 tg 6. dx 2x - 1 x 3 2  14.  2 2x cos - 1 dx 2x sin 7. dx x 2 3 x 4 3   15.   3x sin 2 3 dx 3x cos 8.   3 2x dx x 2 16.   dx x cos 1 x tan 2 Tentukan pula antiderivatif dari soal-soal di bawah ini 17.   dx 3 x x 4 3 24. xdx 2 sin x 2 cos 3 4  18.    2 2 1 x x 2 x dx 25.  x 3 cos x 3 sin 5 3 dx 19.     4 x 2 x dx 1 x 2 26.  3 x cos 3 dx 20.   3 1 bx a dx dx 27.  x sin 4 dx 21.   3 2 bx a xdx 28.  x 3 cos x 3 sin 2 4 dx 22.  x cos 5 dx 29.   x 3 sin x 3 cos 1 2 3 dx 23.  xdx cos x sin 3 2 30.  dx x 3 sec x 3 tan 4 3

3. Menentukan Hasil dari