57
Latihan 6 Tentukanlah integral dari soal-soal di bawah ini
1.
2
x 1
dx 11.
2 3
2
x 4
dx
2.
2
x 25
dx 12.
2 2
2
x a
x dx
3.
2
x 3
dx 13.
2 5
2 2
x 4
dx x
4.
2
x 5
dx 14.
2 3
2 2
2
x a
dx x
5.
2
x 4
9
dx 15.
2 2
x 9
x dx
6.
2
x 4
3
dx 16.
2 2
3
x a
x
dx 7.
2
x 3
5
dx 17.
2 1
2
x x
4 dx
8.
6 2
3 2
x x
9 16
dx 18.
2
x x
2 3
dx 9.
2 2
x x
2 dx
x 19.
2
x 5
dx
10.
2 3
2
27 x
24 x
4 dx
20.
2
x 9
16 dx
4. Integral Parsial
Misalkan u dan v masing-masing fungsi yang diferensiabel dalam x, maka diferensial dari y = u.v adalah :
du.v = u.dv + v.du dan jika kedua ruas diintegralkan, akan diperoleh :
vdu udv
uv d
uv =
vdu udv
atau :
vdu uv
udv
58
Rumus integral ini disebut rumus integral parsial dimana rumus ini biasa digunakan
apabila
vdu
mudah dicari dalam upaya mencari penyelesaian dari
udv
yang secara langsung sulit.
Contoh 1. Tentukan integral-integral :
a.
x 3
x
dx b.
x 3
sin x
dx Jawab :
a. Misalkan u = x maka du = dx
dan dv =
x 3
maka v =
x 3
dx =
x 3
d x
3
2 1
=
2 3
x 3
3 2
+ c
Sehingga
x 3
x
dx = x.
2 3
x 3
3 2
–
2 3
x 3
3 2
dx =
2 3
x 3
x
3 2
–
x 3
d x
3
2 3
3 2
=
2 3
x 3
x
3 2
–
c x
3 .
2 5
5 2
3 2
=
2 3
x 3
x
3 2
–
c x
3
2 5
15 4
b. Misal u = x du = dx dv = sin 3x dx v =
c
x 3
cos xdx
3 sin
3 1
Sehingga
x 3
sin x
dx = x –
dx x
3 cos
x 3
cos
3 1
3 1
= –
c x
3 sin
x 3
cos x
9 1
3 1
Untuk soal-soal tertentu kadang-kadang diperlukan lebih dari sekali memparsialkan. Contoh 2.
Tentukanlah
dx 3
x 2
cos x
2
Jawab : Misalkan u = x
2
maka du = 2x dx dan dv = cos2x + 3 dx Maka v =
c 3
x 2
sin dx
3 x
2 cos
2 1
Sehingga :
dx 3
x 2
cos x
2
= x
2
3 x
2 sin
2 1
–
xdx
2 .
3 x
2 sin
2 1
=
dx
3 x
2 sin
x 3
x 2
sin x
2 2
1
…. i Integral
dx 3
x 2
sin x
dapat dicari dengan memparsialkan sekali lagi
59
dx 3
x 2
sin x
=
3 x
2 cos
d x
2 1
= –
3
x 2
cos xd
2 1
= –
dx
3 x
2 cos
3 x
2 cos
x
2 1
= –
c 3
x 2
sin 3
x 2
cos x
4 1
2 1
……..ii Dari i dan ii diperoleh :
dx 3
x 2
cos x
2
=
2 1
x
2
sin2x+3 ––
3 x
2 cos
x
2 1
+ c
3 x
2 sin
4 1
=
2 1
x
2
sin2x+3 + 3
x 2
cos x
2 1
– c
3 x
2 sin
4 1
Pengembangan :
Khusus untuk pengintegralan parsial berulang bentuk
udv yang turunan ke-k dari u adalah 0 nol, dan integral ke-k dari v ada, maka integral berulang di atas dapat
ditempuh cara praktis sebagaimana contoh di bawah ini. Contoh 2
Tentukanlah
dx 3
x 2
cos x
2
Jawab : x
2
cos2x+3 2x
3 x
2 sin
2 1
2
– 3
x 2
cos
4 1
–
3 x
2 sin
8 1
Sehingga :
dx 3
x 2
cos x
2
= c
3 x
2 sin
3 x
2 cos
x 3
x 2
sin x
2 1
2 1
2 2
1
Contoh 3 Integralkanlah :
dx 3
x 2
sin x
4
Jawab : x
4
sin2x+3 4x
3
– 3
x 2
cos
2 1
12x
2
– 3
x 2
sin
4 1
24x
3 x
2 cos
8 1
24
3 x
2 sin
16 1
diturunkan diintegralkan
– +
+
diturunkan diintegralkan
+ –
– +
+
60
– 3
x 2
cos
32 1
Sehingga :
dx 3
x 2
sin x
4
= 3
x 2
cos x
4 2
1
+ x
3
sin2x+3 + 3
x 2
cos x
2 2
3
– –
3 x
2 sin
x
2 3
– c
3 x
2 cos
4 3
Latihan 7 Dengan menggunakan integral parsial, carilah integral berikut ini :
1.
dx
3 x
2 x
5
11.
dx 3
x 3
sin x
2
2.
dx
4 x
3 x
6
12.
dx 2
x 3
sin x
2
3.
dx
2 x
2 3
2 x
3
13.
dx x
9 x
2
4.
3 x
xdx 14.
dx 3
x 2
cos x
3
5.
1 x
3 xdx
2 15.
xdx sin
3
petunjuk ubah kebentuk
xdx sin
x sin
2
6.
4 x
dx x
2 3
16.
xdx cos
4
7.
xdx 3
cos x
3 17.
1 x
xdx
8.
dx x
sin x
5 1
18.
dx x
2 x
9.
dx 3
x 4
cos 4
x 3
19.
xdx cos
x 10.
xdx cos
x
2
20.
dx x
2 cos
x
3 5
Pengayaan : Pengintegralan fungsi-fungsi trigonometri, kecuali dengan substitusi dapat juga
digunakan rumus – rumus reduksi di bawah ini :
1.
udu sin
n
=
udu sin
n u
cos u
sin
2 n
n 1
n 1
n
2.
udu cos
n
=
udu
cos n
u sin
u cos
2 n
n 1
n 1
n
3.
du cos
u sin
m n
=
m n
, udu
cos u
sin n
m u
cos u
sin
2 m
n m
n 1
m 1
m 1
n
61
=
m n
, udu
cos u
sin n
m u
cos u
sin
n 2
n m
n 1
n 1
m 1
n
Bukti : 1.
udu sin
n
=
udu sin
u sin
1 n
= –
u cos
ud sin
1 n
= – sin
1 n
u cos u +
u sin
ud cos
1 n
= – sin
1 n
u cos u + n-1
udu cos
u sin
u cos
2 n
= – sin
1 n
u cos u + n-1
udu sin
u cos
2 n
2
= – sin
1 n
u cos u + n-1
udu
sin u
sin 1
2 n
= – sin
1 n
u cos u + n-1
udu sin
1 n
udu sin
n 2
n
n
udu sin
n
= – sin
1 n
u cos u + n-1
udu sin
2 n
Jadi
udu sin
n
=
udu sin
u u
cos u
sin
2 n
n 1
n 1
n
Contoh 1 Tentukanlah
dx 2
x 5
sin
3
Jawab :
dx 2
x 5
sin
3
=
2 x
5 d
2 x
5 sin
3 5
1
=
2 x
5 d
2 x
5 sin
3 2
x 5
cos 2
x 5
sin
3 2
2 5
1
= –
2 x
5 cos
2 x
5 cos
2 x
5 sin
15 2
15 1
Contoh 2 Tentukanlah
dx 3
x 2
cos
4
Jawab :
dx 3
x 2
cos
4
=
3 x
2 d
3 x
2 cos
4 2
1
=
3
x 2
d 3
x 2
cos 4
3 x
2 sin
3 x
2 cos
2 4
3 3
2 1
=
8 3
3 8
1
3 x
2 sin
3 x
2 cos
3 x
2 d
2 3
x 2
sin 3
x 2
cos
2 1
= c
3 x
2 3
x 2
sin 3
x 2
cos 3
x 2
sin 3
x 2
cos
16 3
16 3
3 8
1
62
Latihan 8 Dengan menggunakan rumus reduksi selesaikan pengintegralan di bawah ini
1.
xdx sin
4
9.
xdx cos
x sin
5 4
2.
xdx cos
4
10.
xdx 3
cos x
3 sin
4
3.
xdx cos
5
11.
dx 3
x 2
cos 3
x 2
sin
2 3
4.
xdx sin
5
12.
dx 2
x 3
sin x
2
5.
xdx 3
cos
5
13.
dx 3
x 2
cos x
3
6.
dx 3
x 2
cos
3
14.
dx 6
x 4
sin 3
x 2
3
7.
dx 5
x 3
cos
5
15.
dx 6
x 4
cos .
3 x
2
2
8.
xdx cos
x sin
2 3
16.
dx 3
x 2
sin x
4
5. Pengintegralan
