Ringkasan matematika sma ipa Dimensi Tiga

NOTASI SIGMA, BARISAN, DERET DAN INDUKSI MATEMATIKA

• = −
¹ ₂ ^{1 n} _i ⁱ U 7.

  ) ( =

  V U ₁ ²

  ∑ =

  U 9. a.

  ∑ − − =

  =

  U

  U = ∑

  ; dimana 1< m < n 8.

  ∑ = ^{n m i i}

  U ₁

  U ₁

  ∑ = ^{m i i}

  =

  U ₁

  ∑ = ^{n i i}

  ∑

  =

  ∑ = ^{n i i}

  U ₁ ²

  V U ∑

  = ¹

  Bentuk umum barisan aritmetika : a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b Bentuk umum deret aritmetika: a + (a+b) + (a+2b) +… + {a+(n-1)b} dimana: a = suku pertama b = beda n = banyak suku

  − ⁿ

  , U _n disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku sebelum dan sesudahnya tetap, dimana selish tersebut dinamakan beda (b). b = U ₂ - U ₁ = U ₃ - U ₂ = U _n - U ₁

  − ⁿ

  Suatu barisan U ₁ , U ₂ , U ₃ ,…, U ₁

  V ₁ ² Barisan dan Deret Aritmetika (Deret Hitung):

  = ^{n i i}

  V U ∑

  = ¹

  U ₁ ²

  ∑ = ^{n i i}

  ) ( =

  V U ₁ ²

  − ⁿ _{i i i}

  ∑ =

  V ₁ ² b.

  = ^{n i i}

  ∑ − =

  U ₁

  =

  ∑ =

  Notasi Sigma : ∑

  ∑ = ^{n i i}

  KU ₁

  = K

  ∑ = ^{n i i}

  U ₁ 5.

  ± ⁿ _{i i i}

  ∑ = ^{n i i}

  V U ₁

  ) ( =

  ∑ = ^{n i i}

  U ₁ ±

  ∑ = ^{n i i}

  V ₁ 6.

  adalah notasi sigma, digunakan untuk menyatakan penjumlahan berurutan dari suatu bilangan yang sudah berpola.

• ¹
^{1 n} _i ⁱ
• ∑
• = ^{n m i i}
• = − ^{p n} _{p m i} ^{p i}
• ^{p n} _{p m i} ^{p i}
• 2 _i ⁿ _{i i}
• ⁿ _{i i i}
• ∑

  U ₁ 3.

  ∑ = ^{n k k}

  = nK ; dimana K adalah konstanta 4.

  K ₁

  ∑

  merupakan huruf capital “S” dalam abjad Yunani adalah huruf pertama dari kata SUM yang berarti jumlah. Bentuk umum notasi sigma:

  ∑ = ^{n i i}

  U ₁

  = U ₁ + U ₂ + U ₃ + . . . + U _n

  ∑ = ^{n i i}

  U ₁

  dibaca penjumlahan suku U _i untuk i=1 sampai dengan i=n i = indeks penjumlahan i =1 disebut batas bawah penjumlahan i = n disebut batas atas penjumlahan {1,2,3,…,n} adalah wilayah penjumlahan Contoh: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + … + 100 dapat ditulis dengan notasi sigma yaitu

• 2 _i ⁿ _{i i}
• ∑

  ∑ = ^{50 1}

  2 _i

  i Sifat-sifat notasi sigma: 1.

  ∑ = ^{n i i}

  U ₁

  = U ₁ + U ₂ + U ₃ + . . . + U _n 2.

  ∑ = ^{n i i}

  ∑ = ^{n i}

  =

  U ₁

  Rumus-rumus :

  n

  c. . jika banyaknya suku =4 U ₁ , …,U ₂ ,…, U ₃ ,…, U ₄ k suku k suku k suku banyaknya suku baru: n ^' = 4 +3 k = 3 +(4-1)k Jadi, jika banyaknya suku adalah n buah maka banyaknya suku baru adalah: n ^' = n + (n-1) k

  3. Jumlah n suku setelah sisipan (S _n ^' ) S _n ^' =

  2 ^'

  n

  (a + _n

  U ^'

  ) atau S _n ^' = {

  2 ^'

  (2a + (n ^' -1) b ^' } _n

  a. jika banyaknya suku =2 U ₁ , …,U ₂ k suku banyaknya suku baru: n ^' = 2 + k = 2 +(2-1)k

  U ^'

  = _n

  U maka,

  S _n ^' =

  2 ^'

  n

  (a + _n

  U )

  contoh soal sisipan :

  b. jika banyaknya suku =3 U ₁ , …,U ₂ ,…, U ₃ k suku k suku banyaknya suku baru: n ^' = 3 +2 k = 3 +(3-1)k

  U

  1. Suku ke n barisan aritmetika (U _n ) ditulis sbb: U _n = a + (n-1) b

  3. Jika n ganjil, maka suku tengah barisan aritmetika (U _t ) ditulis sbb: U _t =

  2. Jumlah n suku pertama deret aritmetika (S _n ) ditulis sbb: S _n = U ₁ + U ₂ + U ₃ + . . . + U _n =

  2

  n

  (a + U _n ) =

  2

  n

  (2a +(n-1) b) hubungan U _n dan S _n adalah: U _n = S _n - S ₁

  − ⁿ

  2

  = _n

  1 (a + U _n )

  Sisipan: Suatu barisan aritmetika : a , a+b, a +2b,…, a+(n-1)b apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka barisan aritmetika yang baru adalah sbb: a , (a+ b ^' ), (a+2 b ^' ),…,(a+k b ^' ),{a+(k+1) b ^' },… k buah bilangan sisipan U ₁ barisan lama U ₂ barisan lama dengan b ^' = beda baru setelah ada k bilangan sisipan

  1. Beda barisan baru (b ^' ) hubungan barisan baru dan lama : a +b = a+(k+1) b ^' b = (k+1) b ^' b ^' = 1 +

  k b

  b = beda deret lama b ^' = beda deret baru k = banyaknya bilangan yang disisipkan

  2. Menentukan banyaknya suku baru (n ^' ) Barisan lama : U ₁ , U ₂ , U ₃ ,…, U ₁

  − ⁿ

  , U _n Barisan baru: U ₁ , …,U ₂ ,…, U ₃ ,…, U ₄ ,… U _n k suku k suku k suku k suku dari barisan baru dapat dilihat bahwa _n

  U ^'

  1. Antara bilangan 60 dan 110 disisipkan 10 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terbentuk deret aritmetika. Tentukan jumlah deret yang terbentuk .

  , ar ⁿ

  − − r r a ⁿ

  U U

  Bentuk umum barisan geometri:

  a, ar, ar ² , ar ³ , . . . , ar ¹

  − ⁿ

  , ar ⁿ Bentuk umum deret geometri: a + ar + ar ² + ar ³ + . . . + ar ¹

  − ⁿ

  Rumus-rumus:

  1. Suku ke n barisan geometri (U _n ) ditulis sbb: U _n = ar ¹

  − ⁿ

  2. Jumlah n suku pertama deret geometri (S _n ) ditulis sbb: S _n =

  1 ) 1 (

  untuk r >1 S _n =

  U

  r r a ⁿ − −

  1 ) 1 ( untuk r <1

  Hubungan U _n

   dan S _n

  U _n = S _n - S ₁

  − ⁿ

  3. Untuk n ganjil, maka suku tengah barisan geometri (U _t ) adalah : U _t = _n

  U a .

  Sisipan: Suatu barisan geometri:

  a, ar, ar ² , ar ³ , . . . , ar ¹

  − ⁿ

  = . . .= _{1 − n} ⁿ

  = ₂ ³ U

• ar ⁿ a = suku pertama n = banyaknya suku r = rasio

  2

  k b

  =

  U

  4

  10

  12 (60+110)

  =

  = 1020

  U )

  (a + _n

  n

  2 ^'

  jawab: banyaknya suku awal = 2 n deret setelah sisipan 60+ … + 110 10 bilangan Banyaknya suku baru: n ^' = n+(n-1)k = 2+(2-1)10 = 12 Jumlah deret yang terbentuk : S _n ^' =

  Jadi r = ₁ ² U

  2. Diantara dua suku berurutan pada barisan 5, 15, 25,… disisipkan 4 bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru . Tentukan jumlah 10 suku pertama dari barisan yang terbentuk Jawab: dari barisan 5, 15, 25,… diketahui a = 5 b = 10 k = 4 beda barisan yang baru: b ^' = 1 +

• = 2

  Jumlah 10 suku pertama barisan yang terbentuk : S _n ^' = {

  2 ^'

  n

  (2a + (n ^' -1) b ^' } S ₁₀ =

  2

  10 {2.5+(10-1)2} = 5(10+18) = 140

  Barisan dan Deret Geometri (Deret Hitung):

  Suatu barisan U ₁ , U ₂ , U ₃ ,…, U _{1 − n} , U _n disebut barisan geometri jika perbandingan antara dua suku sebelum dan sesudahnya selalu tetap, perbandingan dua suku tersebut disebut pembanding atau rasio (r).

  1

• ^k
• ^k
• =
^{4 4} 2 = 2

  r a −

  16

  Barisan geometri tak hingga:

  Deret geometri yang banyak suku-sukunya tak terbatas /tak hingga dinamakan deret geometri tak hingga. Deret : a + ar + ar ² + ar ³ + . . . + ar ¹

  − ⁿ

  disebut deret terhingga dengan n suku. Deret : a + ar + ar ² + ar ³ + . . . disebut deret tak hingga (n nya tak hingga) Jumlah n suku pertama deret geometri tak hingga :

  1. Bila |r| < 1 atau -1 < r < 1 S

  ∞

  =

  1 ; dinamakan konvergen (mempunyai nilai)

  r

  2. Bila |r| > 1 S

  ∞

  =

  ∞

  ; dinamakan divergen (tidak mempunyai nilai) Contoh deret tah hingga:

  1. Diketahui deret geometri :

  2

  1

  1

  = ^{1 3}

  = 16 Rasio barisan baru, r ^' = ¹

  48 768

  apabila diantara dua suku disisipkan k buah bilangan , maka barisan geometri yang baru adalah sbb: a, ar ^' , a(r ^' ) ² , a(r ^' ) ³ ,…, a(r ^' ) ^k , a(r ^' ) ¹

  ,… k buah bilangan sisipan U ₁ barisan lama U ₂ barisan lama r ^' = rasio baru setelah ada k bilangan sisipan

  1. Banyaknya suku baru: n ^' = n + (n-1) k

  2. Rasio baru (r ^' ) : hubungan rasio lama dan baru ar = a(r ^' ) ¹

• ^k
• ^k
• ^k

  r = (r ^' ) ¹

  r ^' = ¹

  r

  r = rasio lama ; k = banyaknya suku baru yang disisipkan

• ar ⁿ

  3. Jumlah n suku setelah sisipan (S _n ^' ): Jumlah n suku pertama setelah sisipan : S _n ^' =

  1 ]

  [( 1 ) _' ^{' ' '}

  − − r r a ⁿ

  ; r ^' > 1 atau S _n ^' = _' ^{' '}

  1 ] ) ( 1 [ ^'

  r r a ⁿ − −

  ; r ^' < 1 Contoh soal sisipan: Diantara bilangan 48 dan 768 disisipkan 3 buah bilangan sehingga terbentuk barisan geometri. Tentukan rasio dan jumlah barisan setelah sisipan.

  Jawab: Barisan baru : 48, sisipan1, sisipan2, sisipan3, 768 3 sisipan Banyaknya suku barisan lama n = 2 banyaknya suku barisan baru : n ^' = n + (n-1) k = 2 +(2-1)3= 5 rasio barisan lama , r =

  1 + . . . Berapakan jumlah deret tsb?

• 8
• 32
jawab:

  Induksi Matematika:

  1

  1

  1

8 Induksi matematika adalah suatu cara pembuktian suatu

  Diketahui : a = ; r = =

  1

  2

  4 pernyataan umum mengenai deret yang berlaku untuk setiap 2 bilangan asli.

  1 Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika r = memenuhi syarat |r| < 1 atau -1 < r < 1, maka

  4 adalah: konvergen.

  1. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = 1

  1

  1

  2. Buktikan bahwa pernyataan benar untuk n = k

  a

  4

  2

  2

2 S = = = = =

  3. Buktikan bahwa pernyataan juga benar untuk n = k+1

  ∞ r

  1

  3 1 −

  6

  3 1 −

  4

  4 contoh induksi matematika:

  2. Apabila suatu deret geometri tak hingga mempunyai

  1. Buktikan jumlah 10 dengan suku pertamanya adalah 5. Berapa 2 + 4 + 6 + …+2n = n (1+n) rasio dan jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut ? langkah 1 : jawab: untuk n = 1 diketahui S = 10 ; a = 5

  ∞

  masukkan nilai n =1 karena S = 10 maka deret tak hingga ini adalah

  ∞

  2n = n (1+n) konvergen. 2.1 = 1 (1+1)

  a

  2 = 2 terbukti S =

  ∞ r

  1 − langkah 2 :

  5

  5 10 = ; 1 - r =

  r

  1 −

  10 untuk n = k misalkan rumus berlaku untuk n = k maka rumus menjadi

  1

  1

  1 1 – r = ; r = 1 - =

  2

  2 2 2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k) langkah 3 :

1 Jadi rasionya: r =

  2 untuk n = k+1 berdasarkan langkah 2 jumlah 5 suku pertamanya: 2 + 4 + 6 + …+2k = k (1+k) Karena r <1 maka _n jika n = k +1 didapat :

  a r a

  ( 1 − ) _{n n} S = = ( 1 - r ) = S ( 1 - r ) _n

  ∞ r r

  1 − 1 − 2 + 4 + 6 + …+2k+ 2(k+1) = k (1+k) + 2 (k+1)

  1 ₅

1 S = 10 [1 – ( ) ] = 10 ( 1 - )

  ₅ k(1+k)

  2

  32 31 310

  22 = 10 . = = 9

  Catatan:

  32

  32

32 Rumus kanan awal : n (1+n) , kita masukkan n = k+1

  Menjadi (k+1) (1 +(k+1)) = (k+1) (k+2) ini yang akan dibuktikan ruas kanan dijabarkan jika n = k +1 didapat : ₂ k (1+k) + 2 (k+1) = k + k + 2k +2

  1

  1

  1

  1

  1

• . . . + + +

  k k k k

  2

  6 12 ( 1 ) ( 1 )( 2 ) ₂

  = k + 3k +2

  k

  = (k+1)(k+2) terbukti

  1

• k

  k

  1

  2. Buktikan = + 1 (

  1 )( 2 ) _n

  k k k + + + n

  1 =

  ∑ _{m 1 m ( m} n

  1 )

  1

  =

  Catatan:

  n

  jawab: Rumus kanan awal : , kita masukkan n = k+1

• n

  1 Nilai m dimasukkan menjadi

• k

  1 k

  1

  1

  1

  1 1 n Menjadi = ini yang akan dibuktikan

• . . . + =

  1

  1

  2

  2

  6 12 n ( n 1 ) n

  1 langkah 1 : ruas kanan dijabarkan :

• k
• k

  Untuk n = 1

  k

  1

  1

  1 masukkan n=1 ruas kiri dan kanan

• = + 1 ( k
• k

  1 )( k 2 ) ( k 1 )( k 2 ) ( k 1 )( k 2 ) 1 n = 1 ) n

• n ( n

  1

• k ( k

  2 )

  1 = + 1 )( k

• ( k

  2 ) ( k 1 )( k 2 )

  1

  1 = 1 (

  1

  1 )

  1

  1

• k ( k

  2 )

  1 =

• ( k

  1 )( k 2 )

  1

  1 = terbukti

  2

  2 ₂

  k

  2 k

  1

  =

• ( k

  1 )( k 2 ) Langkah 2:

• ( k

  1 )( k 1 ) Untuk n = k

  = 1 )( k

• ( k

  2 ) Misalkan rumus berlaku untuk n=k rumus menjadi

  k

• 1

  = terbukti

  1

  1 1 k

  k

• 1

  2

• . . . + = +

  2

  6 12 k ( k 1 ) k

1 Langkah 3 :

  Untuk n = k+1 Berdasrakan langkah 2 :

  1

  1

  1 1 k = + + . . . + +

  2

  6 12 k ( k 1 ) k

  1

  =

  a, a+ 3-1 , a +6

  Contoh Soal Soal-soal UN2010 – 2012 UN2010

  a a (a+2). (a+2) = a. (a+6) a ² + 4a + 4 = a ² + 6a a ² - a ² + 4 = 6a – 4a 4 = 2a a =

  6

  2 +

  a, a+ 2 , a +6 r = a a

  Jawabannya adalah D UN2010

  2. Tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika dengan beda tiga. Jika suku kedua dikurangi 1, maka terbentuklah barisan geometri dengan jumlah 14. Rasio barisan tersebut adalah ….

  Jawabannya adalah B

  a + 3 b = 110 a + 8 b = 150 -

  Substitusi (1) dan (2)

  U ₉ = a + 8 b = 150 ...(2) U ₃₀ = ...?

  Suku ke-n barisan aritmetika U _n = a + (n-1) b U ₄ = a + 3 b = 110 ...(1)

  A. 308 B. 318 C. 326 D. 344 E. 354 Jawab:

  Suku ke-4 dan ke-9 suatu barisan aritmetika berturut- turut adala 110 dan 150. Suku ke-30 barisan aritmetika tersebut adalah....

  = 2 Jawabannya adalah B UN2011 3.

  4

  2

  1. Diketahui barisan aritmetika dengan U _n adalah suku ke– n. Jika U ₂ + U ₁₅ + U ₄₀ = 165, maka U ₁₉ = ….

  A. 10 C. 28,5 E. 82,5

  2

  B. 19 D. 55 Jawab:

  Suku ke n barisan aritmetika (U _n ) : U _n = a + (n-1) b

  U ₂ = a + b ; U ₁₅ = a + 14b ; U ₄₀ = a + 39b U ₂ + U ₁₅ + U ₄₀ = a + b + a + 14b + a + 39b = 3a + 54 b = 165 = a + 18 b = 55 U ₁₉ = a + (19-1) b = a + 18b sama dengan nilai U ₂ + U ₁₅ + U ₄₀ = a + 18 b = 55

1 E. -2

• 5b = - 40 b = 8 a + 3b = 110 a = 110 – 3b a = 110 – 3. 8 = 86 didapat a = 86 dan b = 8 sehingga U
₃₀ = a + 29b = 86 + 29. 8 = 86 + 232 = 318

  Tiga buah barisan aritmetika : U ₁ , U ₂ , U ₃ = a, a+b, a+2b dengan beda 3 maka barisannya menjadi a, a+ 3, a +6 Suku kedua dikurangi 1 menjadi barisan geometri:

  2

  2

  A. 4 C.

1 Jawab:

B. 2 D. -

  UN2011 UN2012

  6. Keuntungan seorang pedagang bertambah setiap bulan

  4. Seorang penjual daging pada bulan Januari dapat menjual dengan jumlah yang sama. Jika keuntungan pada bulan 120 kg, bulan Februari 130 kg, Maret dan seterusnya pertama sebesar Rp46.000,00 dan pertambahan keuntungan selama 10 bulan selalu bertambah 10 kg dari bulan setiap bulan Rp18.000,00 maka jumlah keuntungan sampai sebelumnya. Jumlah daging yang terjual selama 10 bulan bulan ke-12 adalah .... adalah....

  A. Rp 1.740.000,00 D. Rp 1.950.000,00

  B. Rp 1.750.000,00 E. Rp 2.000.000,00

  A. 1.050 kg B. 1.200 kg C. 1.350 kg

  C. Rp 1.840.000,00

  D. 1.650 kg E.1.750 kg Jawab: Jawab:

  Barisan soal adalah barisan aritmetika dengan:

  U = 120 ₁

  a = U = 46.000 ₁ U = 46.000 + 18.000 = 64.000 ₂ U = 130 ₂ U s/d U bertambah 10 kg _{3 10} b = U – U = 64.000 – 46.000 = 18.000 _{2 1} n

  ditanya S = ...? ₁₀ S = (2a +(n-1) b) _n

  2 U = 120 = a ₁

  12 S = (2. 46000 +(12-1). 18000) ₁₂ b = U - U = 130 – 120 = 10 _{2 1}

  2

  10 S = (2.120 +9. 10) ₁₀

  = 6 (92000 + 198000)

  2

  = 6 . 290000

  = 5 (240 + 90) = 5 . 330 = 1.650 kg

  = Rp. 1.740.000,00 Jawabannya adalah D Jawabannya A UN2012

  UN2012

  5. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan ₂

  7. Barisan geometri dengan dengan suku ke 5 adalah dan dengan S = 2n + 4n. Suku ke-9 dari deret aritmetika _n rasio = , maka suku ke-9 barisan geometri tersebut tersebut adalah .... adalah...

  A. 30 B. 34 C. 38 D. 42 E. 46 Jawab: A. 27 B. 9 C. D. E. Hubungan U dan _{n n} S

  Jawab:

  U = S - S _{n n n 1}

  − suku ke 9:

  Barisan geometri dengan: U = S – S

  9

  9

  8 U = ; r = _{5 n 1} −

  2 U = ar _n S = 2n + 4n n ₂

  = 2 . 9 + 4. 9 = 162 + 36 = 198 S

  9 ₂ cari nilai a dulu: S = 2. 8 + 4 . 8 = 128 + 32 = 160 _{8 4} U = = a.( ) ₅ maka: U = 198 – 160 = 38 ₉ Jawabannya C

  = a = = 27

  8 ⁸ maka U = a .r = 27. .( ) ₉ = = =

  Jawabannya E UN2012

  8. Suku ke-tiga dan suku ke-tujuh suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256. Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah ....

  A. 500 B. 504 C. 508 D. 512 E. 516 Jawab: Deret Geometri: U = 16 ; U = 256 _{3 7} ditanya S =...? _{n − 7 1} U = ar _{n 2} U = 16 = ar _{3 6} U = 256 = ar _{7 4} = = = r = 16 r = √16 = 2 ₂ 16 = ar ₂ 16 = a . 2 a = = 4 _n a ( r

  1 )

  − karena r > 1 , maka S = _{n 7} r −

  1 4 ( 2 − 1 )

  S = ₇

  2 −

  1 4 ( 127 )

  = = 508

  1 Jawabannya C