Ringkasan matematika sma ipa Dimensi Tiga 2
DIMENSI TIGA
3. Limas
Macam-macam Bangun Ruang :
1. Kubus :
1 Volume Limas = luas alas x tinggi
3 Luas limas = luas alas + luas bidang sisi tegak Kubus ABCD. EFGH di atas mempunyai rusuk-rusuk yang panjangnya a.
4. Kerucut Panjang diagonal bidang (AH) = a 2 Panjang diagonal ruang (BH) = a 3 3 Volume Kubus = a 2 Luas Kubus = 6 a
2. Balok: Kerucut di atas mempunyai panjang jari-jari alas r, tinggi t dan panjang garis pelukis s. Balok ABCD.EFGH di atas mempunyai panjang p, hubungan ketiganya dirumuskan sbb: lebar l dan tinggi t. 2 2 2 s = r + t
Volume Balok = p x l x t Luas Balok = 2 ( p.l + l . t + p. t )
1 2 Volume Kerucut = π r t 2
3 Luas Kerucut = r r s
π π
5 5. Bola
3.Bidang D C A B
Daerah dan Bidang:
1 Bola di atas mempunyai jari-jari r (diameter = r ) Daerah : mempunyai luas tertentu
2 Bidang : mempunyai luas tak terbatas ,
4 3 untuk menggambarkan bidang Volume Bola = π r
3 2 hanya sebagian saja sebagai perwakilan Luas Bola = 4 π r
Daerah ABC daerah ABCD
≠
Bidang ABC = bidang ABCD
Pengertian titik, garis dan bidang
1. Titik Titik tidak mempunyai ukuran yang berarti tidak
Jarak, Proyeksi dan Sudut
mempunyai panjang, lebar atau tinggi sehingga titik dikatakan berdimensi nol. Titik ditandai dengan tanda Jarak noktah.
1. Jarak antara dua titik
A B
A B
2. Garis Jarak antara titik A dan B = panjang ruas garis AB
P Q R
2. Jarak antara titik dan garis
Perbedaan ruas garis dan garis:
A
- Ruas garis PQ mempunyai panjang tertentu yaitu sebesar jarak antara titik P dan titik Q Garis mempunyai panjang tak hingga, garis t
- g
mungkin digambar secara keseluruhan atau yang dapat B igambar hanya sebagian saja (yang tergambar masih bisa diperpanjang.
Jarak antara titk A dan garis g = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g) Ruas garis PQ ruas garis QR
≠
garis PQ = garis QR karena bila diperpanjang akan mewakili garis yang sama
3. Jarak antara titik dan bidang Jarak antara titik A dan bidang α = panjang ruas garis AB ( AB tegak lurus bidang α )
4. Jarak antara dua garis sejajar garis g sejajar garis h jarak garis g dan garis h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g dan h)
5. Jarak antara dua garis bersilangan garis g bersilangan dengan garis h jarak garis g dan h = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus garis g dan h) sama dengan point 3 di atas
6. Jarak antara garis dan bidang yang sejajar garis g sejajar dengan bidang
α
jarak antara garis g dengan bidang α = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus bidang α dan garis g)
7. Jarak antara dua bidang yang sejajar Bidang α sejajar dengan bidang
β
Jarak kedua bidang = panjang ruas garis AB (AB tegak lurus dengan kedua bidang)
Proyeksi :
1. Proyeksi titik pada garis Titik B adalah proyeksi titik A pada garis g (AB tegak lurus garis g)
2. Proyeksi titik pada bidang
Sudut
1. Sudut antar dua garis yang bersilangan Titik B adalah proyeksi titi A pada bidang α (AB tegak lurus dengan bidang α )
3. Proyeksi garis pada bidang garis g dan h bersilangan g // g’ dan h // h’
a. Garis g menembus bidang α ' ' ' ' (g,h) = (g ,h ) = (g, h ) = ( g ,h)
∠ ∠ ∠ ∠
2. Sudut antara garis dan bidang garis BA menembus bidang di titik A
α
titik B’ adalah proyeksi titik B pada bidang α proyeksi garis BA pada bidang α adalah = ruas garis AB’
b. garis g sejajar dengan bidang
α ∠ (BA, bidang α ) = ∠ (BA,AB’)
3. Sudut antara dua bidang Titik A dan B terletak pada garis g titk A’ dan B’ merupakan proyeksi titik A dan B pada bidang
α
Ruas garis A’B’ adalah proyeksi garis g pada bidang α ( α , ) adalah garis potong antara bidang α
β dan bidang .
β
AB dan BC tegak lurus ( α , β ) Sudut antara bidang α dan :
β ∠ (AB,BC) = ∠ ABC
- x ) = 81 - x 72 - (45 - 6
9
EP=
5 324
=
5 − 81 405
=
81
5
) 2 = 81 -
9
5
= TP EP 2 = ET 2 - TP 2 = 9 2 - (
5
=
x = 9 x =
5
x
5
=
54
6
x
5
x = x 2 - x 2
5
5 324
5
5
6
2
3
3 D.
1
3
3 B.
3 E.
1
2
3 C.
1
A.
18
2. Diketahu kubus ABCD.EFGH. Nilai cosinus sudut antara CF dan bidang ACH adalah ….
cm Jawabannya adalah C UN2010
5
18
5
=
5
5
18
5
=
x - x 2 = 81 - x 2 72 – 45 – 81 + 6
x + x 2 ) = 81 - x 2 72 – 45 + 6
2 GT =
cm B.
G = siku-siku ET= 2 2 GT EG + EG =diagonal bidang =6
ETG ∠
Lihat ∆
6 P D C A 6 B Dari gambar terlihat Jarak titik E ke BT adalah EP EP 2 = EB 2 - BP 2 = ET 2 - TP 2 mencari ET:
cm Jawab: H G E F T
10
18
5
5 cm D.
9
5
5
2
E. 5
cm
5
18
5
5 cm C.
3
5
A.
1. UN2010 Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 6 cm dan T adalah titik tengah CG. Jarak titik E ke BT adalah ….
Contoh Soal : UN2010 - 2012
- 54 = - 6
1 CG =
5
1
5
) - (3
2
5 EP 2 = EB 2 - BP 2 = ET 2 - TP 2 (6
= 3
45
=
9 36 +
=
3 6 +
. 6 = 3 = 2 2
2
2
=
1
2
= 9 Titik P terletak diantara titik BT Misal TP = x maka BP = BT – x BT= 2 2 CT BC + ; CT = CG .
81
=
9 72 +
=
2 6 ( +
3 )
. 6 = 3 ET= 2 2
1
3 Jawab:
1
1
a
6 a
6 CO
2
3
3 Cos = = =
α FC a
2 a
2
2 H G
1
1
1
1 E F = . = .2 = .
12
3
3
3
2
6
3 P
Jawabannya adalah B O D C UN2010 Q lingkaran luar 8 cm adalah ….
A B 2 2 2 A. 192 cm 2 C. 162 cm 2 E. 144 cm Yang dicari adalah
( FC ), ( CO )
∠ B. 172 cm
D. 148 cm F Jawab: Luas segi n beraturan dengan panjang jari-jari lingkaran r adalah:
α
1 360 2 L = n . . r . sin
O C
2 n
L uas segi 12 beraturan dengan panjang jari-jari CO bidang datar
Cos = = α lingkaran luar 8 cm adalah:
FC bidang miring
1 2 360
L = 12. . 8 . Sin
1 Titik P adalah titik tengah AH maka AP = AH ; misal 2
12
2
panjang rusuk =a
1
= 384 . sin 30 = 384 . = 192
1
2 Maka AP = .a
2
2 2 2 Jawabannya adalah A
CP = AC − AP 2 UN2010
1 2
=
( a 2 ) ( a 2 )
−
4. Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF dengan
2 panjang rusuk AB = 6 cm, BC = 3 cm, dan AC = 3 cm.
7 2
1
1 2
3 2
3 2
2 Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah ….
= = = =
2 a a a a . a
6
−
2
2
2
2
2 D F
1 E
PO adalah titik berat segitiga = CP
3
1
2
2
1
1 CO = CP – PO = CP - CP = CP = =
a
6 a
6
3
3
3
2
3 A C
B
1
1 L = x jarak bidang datar x t = . 3 . 3 3 3 alas
3
2
2 A. 55 cm
C. 75 cm
2
3 3
9
=
3 E. 120 cm
3 3 3
2 B. 60 cm
D. 90 cm
2
3 Volume = L x tinggi alas
9 3
= . 20 = 90 cm
3
3 Jawab:
2 D F
Jawabannya adalah D E
UN2011
5. Dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 8 cm, dibuat
20
segi-8 beraturan. Panjang sisi segi-8 tersebut adalah....
A 3 C 6 3
7 A.
128 64√3 cm D. 128 16√2 cm
B B.
128 64√2 cm E. 128 16√3 cm
Volume = L x tinggi alas C.
128 16√2 cm
Mencari L : alas
Jawab:
1 L = x jarak bidang datar x t alas
2
x Lihat ABC:
∆
45
8cm 8cm
B
45
8 cm
6 t 3
7 A 3-x x C 2 2 2 2 2 ditanya = panjang sisi segi-8 = x = ...?
t = 6 - (3-x) = (3 ) - x
7 2 2 diketahui jari-jari = 8 cm
36 - (9 - 6x + x ) = 63 - x 2 2 sudut antar sisi = = 45 36 - 9 + 6x - x = 63 - x
pakai rumus aturan cosinus:
36 – 9 – 63 = - 6x
b a
- 36 = - 6x x = 6 2 2 2 α t = (3 ) - x
- 2
- 2bc cos
- 8
- – 2 . 8 . 8 cos 45
- 2
- 2bc cos
- BC
- – 2 AB. BC cos
7 c
= 63 – 36 = 27 t = = 3
27
3
Volume Prisma = Luas alas x tinggi =
α = 60
1
2
24 =
48
= =
α = .
= ( √ ) . .
cos
α
2
2
= AB
2
AC
2
2
1 AB.BC. sin α x tinggi =
√8 + 4 =
√80 − 48 = √32 = 4√2 cm
%(4√5 ) − (4√3 ) =
√3 cm =
√3 cm (diagonal ruang) AO = AG = 4
√!" − !$ AG = 8
titik M ke AG = OM =
√64 + 16 = √80 = 4√5 cm jarak
√ ! + " =
1 .4.6. sin 60 x 8 = 12 .
8 D O C A 8 B EH = 8 cm EM = EH = . 8 = 4 cm AM =
F
A. 4 √6 cm C. 4√3 cm E. 4 cm B. 4 √5 cm D. 4√2 cm Jawab: Dimensi Tiga H G E M
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm. M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah.....
3 Jawabannya adalah D UN2011 7.
√3 cm
2 1 √3 . 8 = 48
α
= 2 b
c
2
√2 x= 128 − 64√2 cm
2 = 128 - 64
= 64 + 64 – 128 √
2
X
2
= 8
6. Diketahui prisma segitiga tegak ABC.DEF. Panjang AB= 4 cm , BC = 6 cm, AC = 2 √7 cm, dan CF = 8 cm. Volume prisma tersebut adalah ......
2
45 ; x = a x
α =
α b = 8 cm ; c = 8 cm ;
c
= 2 b
2 a
Jawabannya adalah B UN2011
A. 96 √3 cm
α dengan aturan cosinus. 2 a
3 B. 96
cari
α
1 AB.BC. sin
2
A 4 B Volume Prisma = Luas alas x tinggi Luas alas = luas segitiga =
α
2 √7 6
8 D E C
Trigonometri dan Dimensi Tiga F
3 Jawab:
√2 cm
3 E. 48
√3 cm
3 D. 48
3 C. 96 cm
√2 cm
Jawabannya adalah D
UN2011 8. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm.
=
√180 = 6 √5 = BP ∆ BHP adalah sama kaki HO = BO = ½ . 12 √3 = 6 √3 OP = (56) − (5$) = %(6 √5) − (6 √3)
ditanya OP =...? BH = 12 √3 ; GP = CP = ½ . 12 = 6 HP 2 = GH 2 + GP 2 = 12 2 + 6 2 = 144 + 36 = 180 HP =
H O B
P
H G E F P O D C A 12 cm B
A. 8 √5 cm C. 6√3 cm E. 6 cm B. 6 √5 cm D. 6√2 cm Jawab:
9. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 12 cm. Jika P titik tengah CG, maka jarak titik P dengan garis HB adalah ....
Jawabannya adalah A UN2012
= √6 = √6
√ √ √
=
√
3√
Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah....
=
21
1
=
()() *+,+- ()() .)-)/0
cos α =
O C C G CG = 10 cm AC = 10 √2 cm OC = AC = 5 √2 cm OG = √$& + &' = %(5√2) + 10 = √50 + 100 = √150 = 5√6 cm
α
10 D C O A 10 B G O α
E F α
Dimensi Tiga H G
√6 B. √3 C. √2 D. √3 E. √2 Jawab:
A.
= √180 − 108 = √72 = 6 √2 cm Jawabannya D
UN2012
10. Diketahui limas segi empat beraturan P.QRST. Dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak 3 √2 cm. Tangen sudut antara garis PT dan alas QRST adalah ....
A.
√3 D. 2 √2 B. √2 E. 2 √3 C.
Jawab: P 3 √2 cm T S O Q 3 cm R Alas limas T S O O T α O Q R
7
29 Tan α = = OP =
√6; − $; 8 2: panjang diagonal RT = panjang diagonal QS = 3 x
√2 = 3√2 PT = 3 √2 ; OT = ½ diagonal RT = ½ . 3√2 = √2 OP =
%(3√2 ) − ( √2 ) = %18 −
3 = = = % % √6
< √
7
29 √ Tan α = = = = =
< % = √3 8 2: √
√ Jawabannya C