1
BAB II KAJIAN TEORI
Pada bab ini dibahas tentang materi dasar yang digunakan untuk mendukung pembahasan pada bab-bab berikutnya, yaitu peubah acak, distribusi normal,
matriks, analisis multivariat, aturan bayes, turunan, moving average, investasi dan portofolio.
A. Peubah Acak
Persamaan matematika dinyatakan dalam bentuk nilai numerik bukan sebagai warna, macam-macam gambar, atau hal lainnya, sehingga lebih mudah
untuk menentukan fungsi yang dikenal sebagai peubah acak. Peubah acak menghubungkan setiap hasil dalam percobaan dengan bilangan real. Definisi
peubah acak dapat dilihat sebagai berikut:
Definisi 2.1 Engelhardt Bain, 1992
Peubah acak random variable adalah suatu fungsi yang didefinisikan
pada ruang sampel yang menghubungkan setiap anggota pada ruang sampel
dengan suatu bilangan real. Peubah acak dapat dinyatakan sebagai berikut:
= 2.1
dengan adalah titik sampel
∈ dan adalah bilangan real yang menyatakan nilai fungsi dari kejadian-kejadian pada titik sampel
. Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital misalnya
, dan , sedangkan nilai yang mungkin dari setiap hasil observasi pada ruang sampel
dinotasikan dengan huruf kecil misalnya , dan .
2
Contoh 2.1 Papoulis, 1984
Percobaan eksperimen pelantunan sebuah dadu, ditentukan pada keenam hasil bilangan
= ,
maka, = ,
= , … , = .
Suatu ruang sampel mengandung titik yang berhingga banyaknya disebut ruang sampel diskrit. Variabel-variabel yang memiliki nilai tertentu pada ruang
sampel diskrit disebut peubah acak diskrit. Sedangkan, variabel yang dapat memiliki nilai-nilai pada suatu interval tertentu disebut peubah acak kontinu.
Definisi peubah acak diskrit dan kontinu dapat dilihat sebagai berikut:
Definisi 2.2 Engelhardt Bain, 1992
Jika adalah peubah acak diskrit dengan fungsi densitas probabilitas maka nilai ekspektasi dari didefinisikan sebagai berikut:
= ∑ .
2.2 Jika
adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas probabilitas , maka
nilai ekspektasi dari didefinisikan sebagai berikut:
=
∞ −∞
. 2.3
Nilai harapan peubah acak sering disebut rataan
. Rataan tidak memberikan gambaran mengenai pancaran data, sehingga diperlukan besaran lain
yang menggambarkan sebaran data. Besaran-besaran lain dapat meliputi varians dan kovarian. Varians adalah ukuran korelasi antara dua peubah acak yang sama.
Definisi varians dapat dilihat sebagai berikut:
3
Definisi 2.3 Engelhardt Bain, 1992
Varians dari peubah acak didefinisikan sebagai berikut:
= [ − ].
2.4 Notasi varians yang lain adalah
� , � atau . Standar deviasi dari
didefinisikan sebagai akar positif dari varians yaitu � = � = √
. Beberapa teorema varians dapat dilihat sebagai berikut:
Teorema 2.1 Engelhardt Bain, 1992
Jika adalah peubah acak maka
= − .
2.5 Bukti:
= [ – ]
= [ − + ]
= −
+ , =
= −
+ =
− .
Teorema 2.2 Engelhardt Bain, 1992
Jika X adalah peubah acak dan
, adalah konstanta maka + =
. 2.6
Bukti: + = [
+ − + ]
= [ + −
− ],
= = [
− ]
= [ −
]
4 =
. Selain varian, terdapat besaran lain yang disebut dengan kovarian. Kovarian
adalah ukuran korelasi antara dua atau lebih peubah acak.
Definisi 2.4 Bain Eugelhardt, 1992
Kovarians dari pasangan peubah acak dan didefinisikan sebagai
berikut: , = [ −
− ].
2.7 Kovarians juga dapat dinotasikan dengan
� . Jika dan peubah acak diskret maka
, = [ − −
] = ∑ ∑ −
− , .
2.8 Jika dan peubah acak kontinu maka
, = [ − −
] =
− −
,
∞ −∞
∞ −∞
. 2.9
Jika dan peubah acak, , konstanta maka berlaku sebagai berikut:
. ,
= ,
. + , + =
, .
, + =
. ,
= , .
Keeratan hubungan antara variabel dan disebut dengan koefisien
korelasi. Semakin besar nilai koefisien korelasi maka hubungan variable dan semakin erat. Definisi koefisien korelasi dapat dilihat sebagai berikut:
5
Definisi 2.5 Bain Eugelhardt, 1992
Jika dan peubah acak dengan varians
� dan � dan kovarians � = , , maka koefisien korelasi dari dan adalah sebagai berikut:
=
� � �
2.10 Peubah acak dan
dinyatakan tidak berkorelasi jika = .
B. Distribusi Normal
Kategori