II.2 Syarat-syarat Dirichlet
Agar suatu fungsi dapat diekspresikan kedalam bentuk deret Fourier, maka fungsi tersebut harus memenuhi beberapa persyaratan yang disebut dengan syarat-
syarat Dirichlet, antara lain: 1.
fx kontinu, hanya terdapat sejumlah diskontinuitas yang terbatas dalam interval -L,L.
2. fx periodik diluar -L,L dengan periode 2L.
3. fx mempunyai nilai yang berhingga finite didalam interval -L,L
Bila syarat-syarat Dirichlet ini dipenuhi, maka sebuah fungsi fx dapat diekspresikan kedalam bentuk deret Fourier seperti yang ditunjukkan pada
persamaan 2.1.
Dimana koefisien Fourier a , a
n
, b
n
adalah
∀
∃
∃
∋
n = 1,2,3,…
Budiman Saragih : Perbaikan Unjuk Kerja Inverter Satu Phasa Dengan Menggunakan Kontrol Sinyal Modulasi Lebar Pulsa, 2008 USU e-Repository © 2008
dimana: a
= suku konstan a
n
= suku-suku cosinus deret Fourier b
n
= suku-suku sinus deret Fourier koefisien Fourier juga dapat dinyatakan dengan:
∗
+
∗
,
∗
−
dimana: c = konstanta sembarang.
Bila ada suatu fungsi . dengan periode 0, maka L = 0. Dengan
memasukkan nilai c = 0, maka persamaan deret Fourier juga dapat dituliskan:
. 12
12 3
Dengan a , a
n
, b
n
adalah:
Budiman Saragih : Perbaikan Unjuk Kerja Inverter Satu Phasa Dengan Menggunakan Kontrol Sinyal Modulasi Lebar Pulsa, 2008 USU e-Repository © 2008
0 . .
4
5
0 . .
∗4
.
0 . .
∗4
.
II.3 Simetri Bentuk Gelombang
Pada persamaan 2.1 terlihat bahwa deret Fourier tersusun atas suku-suku sinus, suku-suku cosinus serta satu suku konstan. Dengan demikian suatu fungsi
periodik dapat mengandung ketiga suku, kombinasi ketiga suku, atau bahkan hanya salah satu suku. Bila suku-suku ini disintesis secara terpisah ternyata menghasilkan
suatu bentuk gelombang dengan simetri tertentu. Maka dengan melihat simetri suatu gelombang, perhitungan dapat disederhanakan untuk mendapatkan deret Fourier.
Bentuk-bentuk simetri ini antara lain:
II.3.1 Simetri Fungsi Genap
Suatu fungsi fx disebut fungsi genap jika memenuhi persamaan fx = f-x. Hal ini berarti fungsi tersebut simetri terhadap sumbu vertikal. Koefisien Bn dari
fungsi ini adalah nol.
Budiman Saragih : Perbaikan Unjuk Kerja Inverter Satu Phasa Dengan Menggunakan Kontrol Sinyal Modulasi Lebar Pulsa, 2008 USU e-Repository © 2008
6 0 7 12
12 8 12
∗4
6 0 7 12
12 8 12
4 ∃4
6 0 7 12
12 8 12
∃4
0 7 12 12 8 12
4
6 Sehingga untuk simetri fungsi genap berlaku:
7 12 9 9
:
12
Dengan demikian fungsi genap hanya akan mengandung suku-suku cosinus. Penjumlahan atau perkalian dari dua fungsi genap atau lebih akan menghasilkan
fungsi genap. Dengan penambahan sebuah konstanta, sifat-sifat genap dari fungsi tersebut masih dipertahankan.
II.3.2 Simetri fungsi ganjil
Suatu fungsi fx disebut sebagai fungsi ganjil jika fx = -f-x. Koefisien An dari fungsi ganjil adalah samadengan nol atau komponen cosinusnya hilang.
9 0 7 12
12 8 12
∗4
9 0 7 12
12 8 12
4 ∃4
Budiman Saragih : Perbaikan Unjuk Kerja Inverter Satu Phasa Dengan Menggunakan Kontrol Sinyal Modulasi Lebar Pulsa, 2008 USU e-Repository © 2008
9 0 7 12
12 8 12
∃4
0 7 12 12 8 12
4
9 Dengan cara yang sama dapat diturunkan bahwa:
9 Sehingga untuk fungsi ganjil berlaku:
7 12 6
:
12
dengan demikian sebuah fungsi ganjil hanya akan mengandung suku-suku sinus. Penjumlahan dari dua fungsi ganjil atau lebih akan menghasilkan fungsi ganjil.
Tetapi penambahan suatu konstanta atau perkalian dua fungsi ganjil akan menghilangkan sifat-sifat ganjil dari fungsi tersebut.
II.3.3. Simetri setengah-gelombang
Suatu fungsi fx dikatakan mempunyai simetri setengah-gelombang jika fx = -fx + T2, dimana T adalah periode. Simetri ini akan mengandung suku-suku
sinus dan cosinus tetapi hanya pada orde-orde ganjil saja. Dengan demikian a
n
dan b
n
akan sama dengan nol untuk n = 2,4,6,…. Pada suatu gelombang dengan simetri setengah-gelombang.
Budiman Saragih : Perbaikan Unjuk Kerja Inverter Satu Phasa Dengan Menggunakan Kontrol Sinyal Modulasi Lebar Pulsa, 2008 USU e-Repository © 2008
Dengan demikian deret Fourier dari fungsi-fungsi periodik seperti pada gambar 2.1 dapat disederhanakan dengan memperhatikan simetri bentuk
gelombangnya. a.
Gelombang trapezoidal seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.1a mempunyai simetri fungsi genap. Dengan demikian deret Fouriernya tidak
memiliki suku-suku sinus. Selain itu karena luasan daerah yang dibentuk oleh fungsi terhadap sumbu horizontal kearah positif dan negatif tidak sama, maka
deret fouriernya juga akan mengandung sebuah suku konstan yang merupakan nilai rata-rata nilai dc dari fungsi periodik tersebut. Dengan
demikian deret Fouriernya dapat ditulis: .
.
Dengan n = 1,3,5,… b.
Gelombang persegi pada gambar 2.1b mempunyai simetri fungsi genap dan simetri setengah-gelombang. Dengan demikian deret Fouriernya hanya
memiliki suku-suku sinus pada orde ganjil. Selain itu karena luasan daerah yang dibentuk oleh fungsi terhadap sumbu horizontal kearah positif dan
negatif sama, maka deret fouriernya juga tidak mengandung suku konstan. Maka deret fouriernya dapat ditulis:
. .
Dengan n = 1,3,5,…
Budiman Saragih : Perbaikan Unjuk Kerja Inverter Satu Phasa Dengan Menggunakan Kontrol Sinyal Modulasi Lebar Pulsa, 2008 USU e-Repository © 2008
c. Gelombang segi tiga pada gambar 2.1c hanya mempunyai simetri setengah-
gelombang. Dengan demikian deret fouriernya hanya memiliki suku-suku sinus dan cosinus pada orde ganjil. Selain itu karena luasan daerah yang
dibentuk oleh fungsi terhadap sumbu horizontal kearah positif dan negatif sama, maka deret fouriernya juga tidak mengandung suku konstan. Dengan
demikian deret fouriernya dapat ditulis: .
. .
Dengan n = 1,3,5,…
II.4 Spektrum Garis
Sebuah kurva yang memperlihatkan masing-masing amplitudo harmonisa didalam gelombang disebut spektrum garis. Garis-garis berkurang secara cepat pada
gelombang-gelombang dengan deret yang mengecil konvergen secara cepat. Gelombang-gelombang dengan diskontinuitas, seperti gelombang gigi gergaji dan
gelombang persegi, memiliki spektra dengan amplitudo yang berkurang secara lambat karena deretnya mempunyai harmonisa-harmonisa yang kuat. Harmonisa-
harmonisa ke-10 akan sering mempunyai amplitudo yang cukup tinggi jika dibandingkan dengan amplitudo dasar. Sebaliknya, deret untuk bentuk-bentuk
gelombang tanpa diskontinuitas dan dengan penampilan yang umumnya lembut akan mengecil secara cepat, dan untuk membangkitkan gelombang hanya dibutuhkan
beberapa orde. Konvergensi yang sedemikian cepat akan jelas terlihat dari garis
Budiman Saragih : Perbaikan Unjuk Kerja Inverter Satu Phasa Dengan Menggunakan Kontrol Sinyal Modulasi Lebar Pulsa, 2008 USU e-Repository © 2008
spektrum dimana amplitudo-amplitudo harmonisa berkurang secara cepat sehingga harmonisa dengan orde diatas 5 atau 6 tidak akan berpengaruh.
Kandungan harmonisa dan spektrum garis dari sebuah gelombang adalah bagian yang sangat alamiah dari gelombang tersebut dan tidak pernah berubah, tanpa
memperhatikan metode analisa. Pergeseran titik asal memberikan suatu penampilan deret trigonometri yang sangat berbeda.
Dari persamaan 2.8 dapat juga ditulis dalam suatu bentuk deret sinus dengan menghilangkan deret cosinusnya menjadi persamaan dibawah ini:
. ;
; .
Dimana: ;
= =
;
∗ ∗
∋
∃
? ≅ +
Pada gambar 2.2 terlihat suatu gelombang segitiga beserta spektrum garis dari komponen-komponen harmonisanya. Gelombang tersebut tidak memiliki titik-titik
diskontinuitas sehingga spektrumnya mengecil secara cepat. Amplitudo harmonisa orde-orde tingginya relatif lebih kecil dari amplitudo orde dasar.
Budiman Saragih : Perbaikan Unjuk Kerja Inverter Satu Phasa Dengan Menggunakan Kontrol Sinyal Modulasi Lebar Pulsa, 2008 USU e-Repository © 2008
Gambar 2
Berbeda halnya gambar 2.3. Karena ge
periode, akibatnya spek menyebabkan gangguan
tidak memiliki diskontin
Gambar
II.5 Sintesis Bentuk
Kategori