Dan untuk matriks M yang berderajat tiga:
=
33 32
31 23
22 21
13 12
11
m m
m m
m m
m m
m M
Nilai determinannya adalah :
33 21
12 32
23 11
31 22
13 32
21 13
31 23
12 33
22 11
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
M +
+ −
+ +
=
2.2.5 Invers suatu matriks
a. Definisi invers suatu matriks
Misalkan A matriks berukuran nxn yang nonsingular, jika terdapat matriks B dan berlaku :
n
I BA
AB =
=
Maka matriks B disebut invers dari matriks A. Jika tidak terdapat matriks B, maka matriks A disebut matriks singu lar.
b. Mencari invers suatu matriks.
Ada beberapa cara mencari invers suatu matriks, salah satunya adalah dengan cara Adjoin Matriks. Pandang suatu matriks kuadrat tingkat n yakni
ij
m M
= dan
misalkan
ij
K adalah kofaktor elemen – elemen
ij
m maka Adjoin suatu matriks M disingkat adj M adalah :
Adj M
T
nn n
n n
n
K K
K K
K K
K K
K
=
2 1
2 22
21 1
12 11
Universitas Sumatera Utara
Sedangkan untuk matriks M yang berderajad 2 :
=
22 21
12 11
m m
m m
M
Adjoin matriks M adalah :
Adj M
−
− =
11 21
12 22
m m
m m
Dari MAdj M
n
I M
=
1 −
M M Adj M
n
I M
M
1 −
=
n
I Adj M
n
I M
M
1 −
=
Sehingga didapatkan :
T
nn n
n n
n
K K
K K
K K
K K
K M
M
=
−
2 1
2 22
21 1
12 11
1
1
2.3 Nilai dan Vektor Eigen
2.3.1 Definisi dan notasi
Awalan eigen dalam bahasa Jerman dapat diartikan sebagai sesuatu hal yang pribadi atau ciri. Dalam kasus matrik, nilai eigen merupakan nilai Karakteristik dari dari
matriks tersebut sehingga dari nilai eigen dapat memberikan gambaran tentang matriks itu sendiri. Nilai eigen dinotasikan dengan
λ.
Universitas Sumatera Utara
Jika diberikan matriks M berukuran nxn , dapat dicari nilai λ dan vektor tak
nol x di
n
R sehingga berlaku :
x x
M
λ
=
Sehingga vektor tak nol yang dinotasikan dengan
x
disebut vektor eigen.
2.3.2 Persamaan karakteristik
Permasalahan mencari nilai eigen dapat dipecahkan melalui persamaan karakteristik. Berdasarkan definisi, vektor tak nol
x
merupakan vektor eigen jika :
x x
M
λ
=
Dengan I merupakan suatu matriks identitas, persamaan di atas dapat kita tulis :
x I
x M
λ
=
O x
I M
= −
λ
Untuk nilai
≠ x
, hal ini terjadi jika dan hanya jika :
= −
= −
I M
I M
λ λ
det
Persamaan ini merupakan polinom dalam λ dan disebut Persamaan Karakteristik.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa bilangan real λ merupakan nilai eigen dari matriks
M jika dan hanya jika λ memenuhi persamaan karakteristik
= − I
M
λ .
Matriks I
M λ
− dapat dijabarkan sebagai :
− −
− −
= −
λ λ
λ λ
λ
nn n
n n
n n
n
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m m
m I
M
3 2
1 3
33 32
31 2
22 21
1 13
12 11
Universitas Sumatera Utara
Determinan dari suatu matriks merupakan perkalian n suku dari matriksnya, sehingga pangkat tertinggi yang mungkin dari
λ adalah n yakni yang diperoleh dari perkalian suku dari diagonal matriks. Oleh karna itu, persamaan karakteristik dari suatu matriks
yang berukuran nxn adalah :
n n
n n
n
m m
m m
f +
+ +
+ +
=
− −
−
λ λ
λ λ
λ
1 2
2 1
1
...
Nilai eigen merupakan akar – akar dari polynomial karakteristik dari matriks M.Jika kita berikan
=
λ pada
n
I M
λ
−
yang juga berlaku untuk persamaan di atas, maka akan didapatkan
n
m M
=
dan memberikan bentuk umum :
M m
n
1
− =
2.3.3 Proses diagonalisasi matriks
a. Syarat suatu matriks dapat didiagonalkan
Suatu matriks berukuran nxn dapat didiagonalkan jika dan hanya jika matriks tersebut mempunyai n buah vektor eigen yang bebas linear. Himpunan vektor – vektor
n m
R x
x x
x ∈
,... ,
,
3 2
1
dikatakan bergantung linier jika ada skalar ,...
3 ,
2 ,
1 ,
m i
k
i
= yang
tidak semuanya nol sehingga berlaku:
...
2 2
1 1
= +
+
m m
x k
x k
x k
Sedangkan bila semua =
i
k , maka disebut bebas linier.
Universitas Sumatera Utara
b. Pendiagonalan matriks
Misalkan M matriks berukuran nxn dan mempunyai n buah vektor eigen yang bebas linier. Kita tulis vektor eigen tersebut sebagai kolom dari matriks V yang juga
berukuran nxn tersebut sebagai berikut :
n
x x
x V
2 1
=
Matriks V di atas tak singular karena mempunyai n vektor kolom di
n
R yang bebas
linier.
n
x x
x M
MV
2 1
=
n
x M
x M
x M
MV
2 1
=
Karena
i i
i
x x
M λ
= dengan
i
λ merupakan nilai eigen yang berkaitan dengan vektor eigen
i
x .Dengan catatan bahwa mungkin terjadi beberapa vektor eigen yang berbeda
mempunyai nilai eigen yang sama. Maka :
n n
x x
x MV
λ λ
λ
2 2
1 1
=
Misalkan D merupakan matriks diagonal yang berisi nilai eigen
i
λ yang berkaitan dengan
i
x , diasumsikan bahwa V dan D merupakan matriks yang memiliki
ukuran yang sama, maka :
=
n n
x x
x VD
λ λ
λ
2 1
2 1
n n
x x
x VD
λ λ
λ
2 2
1 1
=
Sehingga dapat disimpulkan bahwa :
VD MV
=
Universitas Sumatera Utara
Kemudian karena matriks V mempunyai invers, persamaan di atas dapat dikalikan dengan
1 −
V dari kanan sehingga diperoleh :
1 1
− −
= VDV MVV
1 −
= VDV MI
1 −
= VDV M
Selanjutnya, dapat dicari :
1 −
= V
VD M
n n
2.2
2.4 Rantai Markov
