1 1
2 1
2 1
2 free
{ 1}
_
,
N n
N N
N n
v v
nx nx
x x R
λ
− =
×
= ∑ jika nilai resistansi r adalah 1 ohm.
Atau dalam bentuk umum adalah
1 2
1 1
free 1
2 {
1} 2
, 1
1 cos
cos 2
2 1 cos
N n
N n
n n
x x R
x Φ
x Φ
r N
Φ
− =
×
= +
− +
∑ −
⎡ ⎤
⎣ ⎦
Pembuktian penghitungan untuk menentukan formula rumus nilai-nilai eigen dan nilai-nilai
dari komponen pada vektor-vektor eigen ortonormal dari
free N
T
dapat dilihat di Lampiran 10.
3.4 Jaringan Satu Dimensi dengan Kondisi Batas Periodik
Misalkan terdapat suatu jaringan resistor, yang jika digambarkan akan membentuk suatu
jaringan graf berbentuk lingkaran yang terdiri dari
N resistor yang masing-masing dihubungkan oleh dua simpul. Pada jaringan
graf tersebut simpul-simpulnya bernomor mulai dari 1 sampai N. Penomoran simpul ini
berdasarkan pada penomoran simpul di gambar graf jaringan resistornya. Seperti diperlihatkan
pada Gambar 8 di Lampiran 1. Jika terdapat suatu gambar jaringan resistor
dalam satu dimensi dengan kondisi batas periodik berbentuk graf berarah terdiri dari
N – 1 resistor, misalkan nilai resistansi dari resistor di setiap sisi diasumsikan sama
masing-masing sebesar r ohm, selanjutnya dapat diperoleh suatu matriks diagonal C
B
dengan nilai komponen poros diagonal utama merupakan nilai-nilai dari konduktansi resistor
di setiap sisi sebesar 1r = r
-1
. Karena nilai r
-1
diasumsikan sama dapat diasumsikan bahwa nilai-nilai r
-1
merupakan suatu konstanta sehingga matriks diagonal C
B
dapat dituliskan dalam bentuk C
B
= r
-1
I , dengan I matriks
identitas berorde n×n. Selanjutnya, dari gambar graf jaringan resistor tersebut dapat
diperoleh suatu matriks incidence B dengan B berbentuk
sehingga akan diperoleh suatu matriks Laplace L
= BC
B
B
T
= Br
-1
I B
T
= r
-1
BIB
T
= r
-1
BB
T
= r
-1
T
per N
catatan : sebenarnya matriks incidence B mempunyai bentuk yang banyak tidak hanya
satu, sesuai dengan arah panah yang dibuat pada gambar graf.
Maka dari gambar tersebut jika terdapat N – 1 resistor maka dapat diperoleh suatu
matriks Laplace L berbentuk
per 1
per {
1} N
N
r
− ×
= L
T
dengan
per
2 1
1 1
2 1
1 2
1 1
1 2
N
− −
− −
= −
− −
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
T
Dengan nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen
ortonormal dari
per N
T adalah
per
21 cos2 1
2 ,
, 0,1,...,
1
n n
Φ λn
i x Φ
e v nx
N n x
N =
− =
= −
Dan nilai resistansi di antara simpul x
1
dan x
2
adalah
1 1
2 1
2 1
2 {
1} per
per per
_
,
N n
N n
v v
nx nx
x x R
λ
− =
×
= ∑ jika nilai resistansi r adalah 1 ohm.
Atau dalam bentuk umum adalah
1 2
1 1
2 1
2 per
{ 1}
2 2
2 1 cos2
N n
n n
n N
i x Φ
i x Φ
e
e r
x , x R
N Φ
− =
×
−
= ∑
− dengan
N n
π Φn =
. Pembuktian penghitungan untuk menentukan
formula rumus nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen
ortonormal dari T
per N
dapat dilihat di Lampiran 11.
3.5 Jaringan Dua Dimensi dengan Kondisi Batas Bebas
Misalkan terdapat suatu jaringan resistor, yang jika digambarkan akan membentuk suatu
jaringan resistor berbentuk persegi panjang dengan ukuran array barisan M
×N simpul dengan kondisi batas bebas.
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− −
− −
=
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
B
Seperti diperlihatkan pada Gambar 9 di Lampiran 1, yang jika digambarkan lebih
lanjut pada bidang koordinat akan membentuk suatu graf berbentuk persegi panjang yang
terdiri dari beberapa persegi dengan sejumlah simpul yang merupakan titik-titik koordinat
{m,n}, dengan 0
≤ m ≤ M – 1, 0 ≤ n ≤ N – 1. Artinya persegi panjang pada bidang koordinat
tersebut berukuran M – 1 × N – 1 yang masing-
masing resistor dihubungkan oleh dua simpul dua titik koordinat.
Cara memperoleh matriks Laplace
free }
{ N
M ×
L ,
yaitu misalkan koordinat bidang-MN pada gambar graf jaringan resistor diganti dengan
koordinat bidang-XY. Kemudian dapat ditentukan suatu matriks Laplace
L 1 =
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− −
I I
I I
I I
I I
I I
O O
O O
O O
O O
O O
O O
O O
2 2
yang bersesuaian dengan gambar graf bidang- X
, dengan I suatu matriks identitas berorde
N ×N, O suatu matriks nol berorde N×N, L1
suatu matriks Laplace berorde MN×MN dan matriks Laplace
L 2 =
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
L L
L L
O O
O O
O O
O O
O O
O O
yang bersesuaian dengan gambar graf pada bidang-Y, dengan L suatu matriks Laplace
dalam bentuk
free N
T berorde N×N, O suatu
matriks nol berorde N×N, L2 suatu matriks Laplace berorde MN×MN. Selanjutnya dapat
diperoleh suatu matriks
free }
{ N
M ×
L = L1 + L2
=
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− −
I I
I I
I I
I I
I I
O O
O O
O O
O O
O O
O O
O O
2 2
+
, berdasarkan definisi tentang Kronecker Products dapat diperoleh juga
free }
{ N
M ×
L
=
I ⊗
− −
− −
− −
×
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
M M
1 1
1 2
1 1
2 1
1 1
+
L ⊗
×
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
M M
1 1
1 1
.
Jika diasumsikan bahwa nilai dari r
-1
= 1 dan nilai dari s
-1
= 1. Maka dari gambar jaringan resistor tersebut
dapat diperoleh suatu matriks Laplace L berbentuk
1 1
free free
free {
} M N
M N
M N
r s
− −
×
= ⊗
+ ⊗
L T
I I
T
dengan ⊗ adalah notasi direct matrix products
dan
free free
M N
= T
T
adalah
free free
M N
= T
T =
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− −
−
1 1
1 1
2 1
1 2
1 1
1
Dengan nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen
ortonormal dari matriks Laplace L adalah
-1 -1
, free
, ; ,
2 1
2
m n m
n M
N m n
x y mx
ny
r cos
s 1 cos
Φ v
v v
λ θ
= −
+ −
=
free , ; ,
m n x y
v adalah hasil dari proses Kronecker
products antara matriks yang terbentuk dari
vektor-vektor eigen ortonormal matriks
free M
T
dan
free N
T
. Proses penghitungan mencari nilai-nilai
eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks Laplace
free }
{ N
M ×
L adalah sebagai berikut,
misalkan
m m
M ,
free
R T
∈ dan
n n
N ,
free
R T
∈ , jika
i i
i M
u u
λ =
free
T , i = 1, ... , m,
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
L L
L L
O O
O O
O O
O O
O O
O O
j j
j N
v v
µ =
free
T
, j = 1, ... , n, maka untuk i = 1, ... , m, j = 1, ... , n
free free
j i
N M
N M
v u
⊗ ⊗
+ ⊗
T I
I T
free j
i N
M
v u
⊗ ⊗
= I
T +
free
j i
N M
v u
⊗ ⊗ T
I
free j
N i
M
v u
I T
⊗ =
+
free j
N i
M
v u
T I
⊗
j N
i i
v u
I ⊗
= λ
+
j j
i M
v u
µ ⊗
I
j i
N i
v u
⊗ ⊗
= I
λ +
j i
j M
v u
⊗ ⊗
µ
I
j i
j M
N i
v u
⊗ ⊗
+ ⊗
= µ
λ
I I
j i
j i
v u
⊗ +
= µ
λ ,
dengan catatan bahwa r
-1
= s
-1
= 1. Dan resistansi di antara dua simpul r
1
= x
1
, y
1
dan r
2
= x
2
, y
2
adalah
1 1
1 1
2 2
free 1 2
{ }
2 free
free , ; ,
; , , 0,0
_
,
M N
m n
M N m n x y
m,n x y m n
m, n
r r R
v v
λ
− −
= =
× ≠
= ∑ ∑
dengan ,
m π
n π
θ Φn
m M
N =
= .
3.6 Jaringan Dua Dimensi dengan Kondisi Batas Silindrik
Misalkan terdapat suatu jaringan resistor berukuran M×N simpul dengan kondisi batas
silindrik, yang jika digambarkan pada bidang koordinat MN akan membentuk suatu jaringan
graf berbentuk penampang melintang dari sisi yang mengelilingi bangun ruang silinder
dengan kondisi batas periodik pada bidang-M dan kondisi batas bebas pada bidang-N atau
berbentuk lingkaran dalam dua dimensi yang terdiri dari beberapa lingkaran dengan ukuran
jari-jari yang tidak sama dalam kondisi batas bebas. Tetapi mempunyai pusat lingkaran yang
sama, yang masing-masing lingkaran dihubungkan oleh beberapa resistor.
Berarti pada bidang koordinat terdapat beberapa lingkaran yang masing-masing
resistornya dihubungkan oleh dua simpul. Maka pada jaringan graf tersebut ada simpul
yang terhubung dengan tiga resistor dan ada simpul yang terhubung dengan empat resistor.
Seperti diperlihatkan pada Gambar 10 di Lampiran 1.
Cara memperoleh matriks Laplace
cyl }
{ N
M ×
L ,
yaitu misalkan koordinat bidang-MN pada gambar graf jaringan resistor diganti dengan
koordinat bidang-XY. Kemudian dapat ditentukan suatu matriks Laplace
L 1 =
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− −
− −
I I
I I
I I
I I
I I
I I
2 2
2 2
O O
O O
O O
O O
O O
O O
yang bersesuaian dengan gambar graf bidang- X, dengan I suatu matriks identitas berorde
N×N, O suatu matriks nol berorde N×N, L1 suatu matriks Laplace berorde MN×MN dan
matriks Laplace
L 2 =
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
L L
L L
O O
O O
O O
O O
O O
O O
yang bersesuaian dengan gambar graf pada bidang-Y, dengan L suatu matriks Laplace
dalam bentuk
free N
T berorde N×N, O suatu
matriks nol berorde N×N, L2 suatu matriks Laplace berorde MN×MN. Selanjutnya dapat
diperoleh suatu matriks
cyl }
{ N
M ×
L = L1 + L2
=
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− −
− −
I I
I I
I I
I I
I I
I I
2 2
2 2
O O
O O
O O
O O
O O
O O
+
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
L L
L L
O O
O O
O O
O O
O O
O O
, berdasarkan definisi tentang Kronecker Products dapat diperoleh juga
free }
{ N
M ×
L
=
I ⊗
− −
− −
− −
− −
×
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
M M
2 1
1 1
2 1
1 2
1 1
1 2
+
L ⊗
×
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎜
⎝ ⎛
M M
1 1
1 1
.
Jika diasumsikan bahwa nilai dari r
-1
= 1 dan nilai dari s
-1
= 1. Maka dari gambar jaringan resistor tersebut
dapat diperoleh suatu matriks Laplace L berbentuk
cyl per
free 1
1 {
} M N
M N
M N
r s
− −
×
= ⊗
+ ⊗
L T
I I
T
dan
per M
T
adalah
per M
T =
2 1
1 1
2 1
1 2
1 1
1 2
− −
− −
− −
− −
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
serta
free
1 1
1 2
1 1
2 1
1 1
N
− −
− =
− −
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
T
hanya berbeda dalam ukuran orde matriks. Dengan nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari
komponen pada vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace L adalah
, ; , -1
-1
2
2 1 cos2
2 1 cos
,
m
m n
N m n
x y
i x e
v ny
r s
Φ λ m n
1 v
M
θ
θ =
− +
− =
, ; , m n
x y
v adalah hasil dari proses Kronecker
products antara matriks yang terbentuk dari vektor-vektor eigen ortonormal matriks
per M
T
dan
free N
T
. Proses penghitungan mencari nilai-nilai
eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks Laplace
cyl }
{ N
M ×
L adalah sebagai berikut,
misalkan
m m
M ,
per
R T
∈ dan
n n
N ,
free
R T
∈ , jika
i i
i M
u u
λ =
per
T , i = 1, ... , m,
j j
j N
v v
µ =
free
T , j = 1, ... , n,
maka untuk i = 1, ... , m, j = 1, ... , n
free per
j i
N M
N M
v u
⊗ ⊗
+ ⊗
T I
I T
per j
i N
M
v u
⊗ ⊗
= I
T +
free
j i
N M
v u
⊗ ⊗ T
I
per j
N i
M
v u
I T
⊗ =
+
free j
N i
M
v u
T I
⊗
j N
i i
v u
I ⊗
= λ
+
j j
i M
v u
µ ⊗
I
j i
N i
v u
⊗ ⊗
= I
λ +
j i
j M
v u
⊗ ⊗
µ
I
j i
j M
N i
v u
⊗ ⊗
+ ⊗
= µ
λ
I I
j i
j i
v u
⊗ +
= µ
λ ,
dengan catatan bahwa r
-1
= s
-1
= 1. Dan resistansi di antara dua simpul
r
1
= x
1
, y
1
dan r
2
= x
2
, y
2
adalah
1 2
1 1
1 1
2 2
cyl {
} 2
, ; , , ;
, 0,0
,
_
,
dengan ,
M N
m n
M N m n
x y m n
x y m,n
m n
r r R
v v
m π
n π
θ Φn
m M
N λ
− −
= =
× ≠
= ∑ ∑
= =
3.7 Penghitungan Nilai Resistor Pengganti Menggunakan Nilai Eigen
dan Vektor Eigen Ortonormal dari Matriks Laplace dengan Scilab 4.1
Untuk menghitung nilai Resistor Pengganti R
αβ
, perhatikan proses penghitungan berikut ini.
1. Buatkan suatu matriks incidence B dari graf
berarah. 2. Buatkan suatu matriks diagonal
C
B
.
3. Buatkan suatu matriks Laplace L = BC
B
B
T
berdasarkan gambar jaringan resistornya dalam berbagai kondisi.
4. Tentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor
eigen dari matriks Laplace L.
5. Tentukan vektor-vektor eigen yang
ortonormal dari matriks Laplace L.
6. Tentukan besarnya nilai Resistor Pengganti R
αβ
dengan menggunakan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen yang ortonormal
dari matriks Laplace L.
7. Gunakan formula dalam Teorema Resistansi Dua-Simpul.
Sedangkan jika menggunakan Scilab 4.1 maka penghitungannya diperlihatkan di
Lampiran 7.
3.8 Penghitungan Nilai Arus Listrik I dengan Scilab 4.1