Jaringan Dua Dimensi dengan Kondisi Batas Bebas

1 1 2 1 2 1 2 free { 1} _ , N n N N N n v v nx nx x x R λ − = × = ∑ jika nilai resistansi r adalah 1 ohm. Atau dalam bentuk umum adalah 1 2 1 1 free 1 2 { 1} 2 , 1 1 cos cos 2 2 1 cos N n N n n n x x R x Φ x Φ r N Φ − = × = + − + ∑ − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ Pembuktian penghitungan untuk menentukan formula rumus nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen ortonormal dari free N T dapat dilihat di Lampiran 10. 3.4 Jaringan Satu Dimensi dengan Kondisi Batas Periodik Misalkan terdapat suatu jaringan resistor, yang jika digambarkan akan membentuk suatu jaringan graf berbentuk lingkaran yang terdiri dari N resistor yang masing-masing dihubungkan oleh dua simpul. Pada jaringan graf tersebut simpul-simpulnya bernomor mulai dari 1 sampai N. Penomoran simpul ini berdasarkan pada penomoran simpul di gambar graf jaringan resistornya. Seperti diperlihatkan pada Gambar 8 di Lampiran 1. Jika terdapat suatu gambar jaringan resistor dalam satu dimensi dengan kondisi batas periodik berbentuk graf berarah terdiri dari N – 1 resistor, misalkan nilai resistansi dari resistor di setiap sisi diasumsikan sama masing-masing sebesar r ohm, selanjutnya dapat diperoleh suatu matriks diagonal C B dengan nilai komponen poros diagonal utama merupakan nilai-nilai dari konduktansi resistor di setiap sisi sebesar 1r = r -1 . Karena nilai r -1 diasumsikan sama dapat diasumsikan bahwa nilai-nilai r -1 merupakan suatu konstanta sehingga matriks diagonal C B dapat dituliskan dalam bentuk C B = r -1 I , dengan I matriks identitas berorde n×n. Selanjutnya, dari gambar graf jaringan resistor tersebut dapat diperoleh suatu matriks incidence B dengan B berbentuk sehingga akan diperoleh suatu matriks Laplace L = BC B B T = Br -1 I B T = r -1 BIB T = r -1 BB T = r -1 T per N catatan : sebenarnya matriks incidence B mempunyai bentuk yang banyak tidak hanya satu, sesuai dengan arah panah yang dibuat pada gambar graf. Maka dari gambar tersebut jika terdapat N – 1 resistor maka dapat diperoleh suatu matriks Laplace L berbentuk per 1 per { 1} N N r − × = L T dengan per 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 N − − − − = − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T Dengan nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen ortonormal dari per N T adalah per 21 cos2 1 2 , , 0,1,..., 1 n n Φ λn i x Φ e v nx N n x N = − = = − Dan nilai resistansi di antara simpul x 1 dan x 2 adalah 1 1 2 1 2 1 2 { 1} per per per _ , N n N n v v nx nx x x R λ − = × = ∑ jika nilai resistansi r adalah 1 ohm. Atau dalam bentuk umum adalah 1 2 1 1 2 1 2 per { 1} 2 2 2 1 cos2 N n n n n N i x Φ i x Φ e e r x , x R N Φ − = × − = ∑ − dengan N n π Φn = . Pembuktian penghitungan untuk menentukan formula rumus nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen ortonormal dari T per N dapat dilihat di Lampiran 11.

3.5 Jaringan Dua Dimensi dengan Kondisi Batas Bebas

Misalkan terdapat suatu jaringan resistor, yang jika digambarkan akan membentuk suatu jaringan resistor berbentuk persegi panjang dengan ukuran array barisan M ×N simpul dengan kondisi batas bebas. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B Seperti diperlihatkan pada Gambar 9 di Lampiran 1, yang jika digambarkan lebih lanjut pada bidang koordinat akan membentuk suatu graf berbentuk persegi panjang yang terdiri dari beberapa persegi dengan sejumlah simpul yang merupakan titik-titik koordinat {m,n}, dengan 0 ≤ m ≤ M – 1, 0 ≤ n ≤ N – 1. Artinya persegi panjang pada bidang koordinat tersebut berukuran M – 1 × N – 1 yang masing- masing resistor dihubungkan oleh dua simpul dua titik koordinat. Cara memperoleh matriks Laplace free } { N M × L , yaitu misalkan koordinat bidang-MN pada gambar graf jaringan resistor diganti dengan koordinat bidang-XY. Kemudian dapat ditentukan suatu matriks Laplace L 1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − I I I I I I I I I I O O O O O O O O O O O O O O 2 2 yang bersesuaian dengan gambar graf bidang- X , dengan I suatu matriks identitas berorde N ×N, O suatu matriks nol berorde N×N, L1 suatu matriks Laplace berorde MN×MN dan matriks Laplace L 2 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ L L L L O O O O O O O O O O O O yang bersesuaian dengan gambar graf pada bidang-Y, dengan L suatu matriks Laplace dalam bentuk free N T berorde N×N, O suatu matriks nol berorde N×N, L2 suatu matriks Laplace berorde MN×MN. Selanjutnya dapat diperoleh suatu matriks free } { N M × L = L1 + L2 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − I I I I I I I I I I O O O O O O O O O O O O O O 2 2 + , berdasarkan definisi tentang Kronecker Products dapat diperoleh juga free } { N M × L = I ⊗ − − − − − − × ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ M M 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 + L ⊗ × ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ M M 1 1 1 1 . Jika diasumsikan bahwa nilai dari r -1 = 1 dan nilai dari s -1 = 1. Maka dari gambar jaringan resistor tersebut dapat diperoleh suatu matriks Laplace L berbentuk 1 1 free free free { } M N M N M N r s − − × = ⊗ + ⊗ L T I I T dengan ⊗ adalah notasi direct matrix products dan free free M N = T T adalah free free M N = T T = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 Dengan nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace L adalah -1 -1 , free , ; , 2 1 2 m n m n M N m n x y mx ny r cos s 1 cos Φ v v v λ θ = − + − = free , ; , m n x y v adalah hasil dari proses Kronecker products antara matriks yang terbentuk dari vektor-vektor eigen ortonormal matriks free M T dan free N T . Proses penghitungan mencari nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks Laplace free } { N M × L adalah sebagai berikut, misalkan m m M , free R T ∈ dan n n N , free R T ∈ , jika i i i M u u λ = free T , i = 1, ... , m, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ L L L L O O O O O O O O O O O O j j j N v v µ = free T , j = 1, ... , n, maka untuk i = 1, ... , m, j = 1, ... , n free free j i N M N M v u ⊗ ⊗ + ⊗ T I I T free j i N M v u ⊗ ⊗ = I T + free j i N M v u ⊗ ⊗ T I free j N i M v u I T ⊗ = + free j N i M v u T I ⊗ j N i i v u I ⊗ = λ + j j i M v u µ ⊗ I j i N i v u ⊗ ⊗ = I λ + j i j M v u ⊗ ⊗ µ I j i j M N i v u ⊗ ⊗ + ⊗ = µ λ I I j i j i v u ⊗ + = µ λ , dengan catatan bahwa r -1 = s -1 = 1. Dan resistansi di antara dua simpul r 1 = x 1 , y 1 dan r 2 = x 2 , y 2 adalah 1 1 1 1 2 2 free 1 2 { } 2 free free , ; , ; , , 0,0 _ , M N m n M N m n x y m,n x y m n m, n r r R v v λ − − = = × ≠ = ∑ ∑ dengan , m π n π θ Φn m M N = = . 3.6 Jaringan Dua Dimensi dengan Kondisi Batas Silindrik Misalkan terdapat suatu jaringan resistor berukuran M×N simpul dengan kondisi batas silindrik, yang jika digambarkan pada bidang koordinat MN akan membentuk suatu jaringan graf berbentuk penampang melintang dari sisi yang mengelilingi bangun ruang silinder dengan kondisi batas periodik pada bidang-M dan kondisi batas bebas pada bidang-N atau berbentuk lingkaran dalam dua dimensi yang terdiri dari beberapa lingkaran dengan ukuran jari-jari yang tidak sama dalam kondisi batas bebas. Tetapi mempunyai pusat lingkaran yang sama, yang masing-masing lingkaran dihubungkan oleh beberapa resistor. Berarti pada bidang koordinat terdapat beberapa lingkaran yang masing-masing resistornya dihubungkan oleh dua simpul. Maka pada jaringan graf tersebut ada simpul yang terhubung dengan tiga resistor dan ada simpul yang terhubung dengan empat resistor. Seperti diperlihatkan pada Gambar 10 di Lampiran 1. Cara memperoleh matriks Laplace cyl } { N M × L , yaitu misalkan koordinat bidang-MN pada gambar graf jaringan resistor diganti dengan koordinat bidang-XY. Kemudian dapat ditentukan suatu matriks Laplace L 1 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − − I I I I I I I I I I I I 2 2 2 2 O O O O O O O O O O O O yang bersesuaian dengan gambar graf bidang- X, dengan I suatu matriks identitas berorde N×N, O suatu matriks nol berorde N×N, L1 suatu matriks Laplace berorde MN×MN dan matriks Laplace L 2 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ L L L L O O O O O O O O O O O O yang bersesuaian dengan gambar graf pada bidang-Y, dengan L suatu matriks Laplace dalam bentuk free N T berorde N×N, O suatu matriks nol berorde N×N, L2 suatu matriks Laplace berorde MN×MN. Selanjutnya dapat diperoleh suatu matriks cyl } { N M × L = L1 + L2 = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − − − − I I I I I I I I I I I I 2 2 2 2 O O O O O O O O O O O O + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ L L L L O O O O O O O O O O O O , berdasarkan definisi tentang Kronecker Products dapat diperoleh juga free } { N M × L = I ⊗ − − − − − − − − × ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ M M 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 + L ⊗ × ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ M M 1 1 1 1 . Jika diasumsikan bahwa nilai dari r -1 = 1 dan nilai dari s -1 = 1. Maka dari gambar jaringan resistor tersebut dapat diperoleh suatu matriks Laplace L berbentuk cyl per free 1 1 { } M N M N M N r s − − × = ⊗ + ⊗ L T I I T dan per M T adalah per M T = 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 − − − − − − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ serta free 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 N − − − = − − − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ T hanya berbeda dalam ukuran orde matriks. Dengan nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace L adalah , ; , -1 -1 2 2 1 cos2 2 1 cos , m m n N m n x y i x e v ny r s Φ λ m n 1 v M θ θ = − + − = , ; , m n x y v adalah hasil dari proses Kronecker products antara matriks yang terbentuk dari vektor-vektor eigen ortonormal matriks per M T dan free N T . Proses penghitungan mencari nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks Laplace cyl } { N M × L adalah sebagai berikut, misalkan m m M , per R T ∈ dan n n N , free R T ∈ , jika i i i M u u λ = per T , i = 1, ... , m, j j j N v v µ = free T , j = 1, ... , n, maka untuk i = 1, ... , m, j = 1, ... , n free per j i N M N M v u ⊗ ⊗ + ⊗ T I I T per j i N M v u ⊗ ⊗ = I T + free j i N M v u ⊗ ⊗ T I per j N i M v u I T ⊗ = + free j N i M v u T I ⊗ j N i i v u I ⊗ = λ + j j i M v u µ ⊗ I j i N i v u ⊗ ⊗ = I λ + j i j M v u ⊗ ⊗ µ I j i j M N i v u ⊗ ⊗ + ⊗ = µ λ I I j i j i v u ⊗ + = µ λ , dengan catatan bahwa r -1 = s -1 = 1. Dan resistansi di antara dua simpul r 1 = x 1 , y 1 dan r 2 = x 2 , y 2 adalah 1 2 1 1 1 1 2 2 cyl { } 2 , ; , , ; , 0,0 , _ , dengan , M N m n M N m n x y m n x y m,n m n r r R v v m π n π θ Φn m M N λ − − = = × ≠ = ∑ ∑ = = 3.7 Penghitungan Nilai Resistor Pengganti Menggunakan Nilai Eigen dan Vektor Eigen Ortonormal dari Matriks Laplace dengan Scilab 4.1 Untuk menghitung nilai Resistor Pengganti R αβ , perhatikan proses penghitungan berikut ini. 1. Buatkan suatu matriks incidence B dari graf berarah. 2. Buatkan suatu matriks diagonal C B .

3. Buatkan suatu matriks Laplace L = BC

B B T berdasarkan gambar jaringan resistornya dalam berbagai kondisi. 4. Tentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks Laplace L. 5. Tentukan vektor-vektor eigen yang ortonormal dari matriks Laplace L. 6. Tentukan besarnya nilai Resistor Pengganti R αβ dengan menggunakan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen yang ortonormal dari matriks Laplace L. 7. Gunakan formula dalam Teorema Resistansi Dua-Simpul. Sedangkan jika menggunakan Scilab 4.1 maka penghitungannya diperlihatkan di Lampiran 7.

3.8 Penghitungan Nilai Arus Listrik I dengan Scilab 4.1