I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Selama ini, untuk menghitung nilai arus
listrik I dari suatu jaringan listrik sering menggunakan perhitungan rumus-rumus fisika.
Mungkin jaringan listrik yang diberikan sangat sederhana terdiri dari beberapa resistor dan
sumber tegangan listrik. Tetapi jika jaringan listrik yang diberikan terdiri dari banyak
jaringan resistor, maka penentuan besarnya nilai arus listrik I yang mengalir pada
jaringan listrik tersebut, mungkin memerlukan waktu yang cukup lama.
Salah satu cara yang digunakan untuk menghitung nilai arus listrik I pada suatu
jaringan listrik yang sangat kompleks yaitu dengan menggunakan perpaduan antara
perhitungan matriks dan penggunaan Scilab 4.1. Resistor Pengganti di antara dua simpul
α dan
β, yaitu R
αβ
dari jaringan resistor dapat dihitung dengan menggunakan nilai-nilai eigen
dan vektor-vektor eigen yang ortonormal dari matriks Laplace L. Matriks Laplace L dapat
diperoleh dari hubungan gambar jaringan resistor. Setelah diperoleh nilai Resistor
Pengganti R
αβ
, maka dapat dihitung besarnya nilai arus listrik I dari jaringan listrik tersebut
dengan menggunakan Scilab 4.1. 1.2 Tujuan
Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk mengetahui bagaimana hubungan antara
nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen yang ortonormal dari suatu matriks Laplace L dalam
mencari nilai Resistor Pengganti di antara dua simpul dan nilai arus listrik I yang mengalir
pada suatu jaringan listrik yang kompleks. Jaringan listrik yang kompleks terdiri dari
beberapa jaringan resistor dan beberapa sumber tegangan listrik V.
II LANDASAN TEORI
2.1 Matriks Berikut ini diberikan beberapa definisi tentang
matriks yang menjadi landasan teori untuk bab pembahasan.
Definisi 1 Operasi Baris Dasar Matriks I. Saling menukarkan baris ke-i dengan baris
ke-j, diberi notasi E
ij
, dengan i ≠ j.
II. Mengalikan baris ke-i dengan suatu
konstanta k ≠ 0, diberi notasi E
ik.
III. Menempatkan atau mengisikan baris ke-i
dengan k kali baris ke-j ditambah baris ke-i, diberi notasi E
ijk
dengan i ≠ j.
[Leon, 1998]
Definisi 2 Bentuk Eselon Baris Tereduksi Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk
eselon baris jika i entri bukan nol pertama dalam setiap baris
adalah 1. ii jika baris k tidak seluruhnya mengandung
nol, maka banyaknya entri nol di bagian muka pada baris k + 1 lebih besar dari
banyaknya entri nol di bagian muka pada baris k,
iii jika terdapat baris-baris yang entrinya semuanya adalah nol, maka baris-baris ini
berada di bawah baris-baris yang memiliki entri-entri bukan nol.
Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris tereduksi jika :
i matriks memiliki bentuk eselon baris, ii entri bukan nol pertama dalam setiap baris
adalah satu-satunya entri bukan nol dalam kolom yang bersangkutan.
[Leon, 1998]
Definisi 3 Matriks Hermite Misalkan M = m
ij
adalah suatu matriks m × n dengan m
ij
= a
ij
+ ib
ij
untuk setiap i dan j, maka M dapat dituliskan dalam bentuk
M = A + iB dengan A = a
ij
dan B = b
ij
mempunyai entri bilangan real. Dapat didefinisikan matriks
sekawan M dengan iB
A M
− =
. Tranpos dari M dilambangkan sebagai M
H
. Suatu matriks
M disebut Hermite jika M = M
H
. [Leon, 1998]
Ilustrasi : 3
2 3
2 maka
2 4
2 4
T H
i i
M M
i i
− −
= =
+ +
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
3 2
3 2
2 4
2 4
T
i i
M i
i +
− =
= =
− +
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
Definisi 4 Kronecker Products ⊗
Misalkan A = a
mn
mempunyai orde m×n dan
B = b
st
mempunyai orde s×t, maka
A ⊗ B =
11 12
1 21
22 2
1 2
n n
m m
mn
a B a B
a B a B
a B a B
a B a B
a B
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
dengan ukuran matriks A
⊗ B adalah ms×nt. Secara khusus, untuk
u = u
1
, u
2
, … , u
n T
, v = v
1
, v
2
, … , v
n T
∈C
n
, dengan C
n
adalah himpunan bilangan kompleks maka
T n
n n
n
v u
v u
v u
v u
v u
, ...
, ,
... ,
, ...
,
1 1
1 1
= ⊗
[Zhang, 1999]
Ilustrasi :
dan
1 2
1 2
3 3 4
4 5
6 A
B =
=
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
maka
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
⊗ =
⊗ 6
5 4
3 2
1 4
3 2
1 B
A
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= =
24 20
16 18
15 12
12 8
4 9
6 3
12 10
8 6
5 4
6 4
2 3
2 1
4 3
2 1
B B
B B
Definisi 5 Kronecker Sum Misalkan untuk suatu bilangan bulat r, s, k,
matriks A
∈R
r,r
, B ∈R
s,s
dan I
k
adalah suatu matriks identitas yang berorde k. Jumlah
B A
r s
⊗ +
⊗ I
I disebut sebagai Kronecker
Sum dari matriks A dan B. 2.2 Graf
Berikut ini diberikan beberapa definisi tentang graf yang akan menjadi landasan
dasar untuk pembahasan materi selanjutnya. Definisi 6 Graf
Suatu graf adalah pasangan terurut V, E dengan V adalah himpunan berhingga dan
takkosong dari elemen-elemen graf yang disebut simpul node, verteks dan E adalah
himpunan pasangan takterurut dari simpul-
simpul berbeda di V. Setiap {p, q}
∈
E dengan p
, q
∈
V disebut sisi edge dan dikatakan menghubungkan simpul-simpul p dan q.
Misalkan diberikan graf G = V, E. Jika e = {p, q}
∈E maka p dan q masing-masing dikatakan incident dengan e.
Misalkan diberikan graf G = V, E. Jika e = {p, q}
∈ E maka p dikatakan adjacent dengan q
, dan sebaliknya. Derajat simpulv
i
yaitu banyaknya sisi yang incident
dengan simpul v
i
. [Foulds, 2002]
Definisi 7 Digraf Suatu graf berarahdigraf directed graph
adalah pasangan terurut V,A, dengan V adalah himpunan takkosong dan hingga dan A
adalah himpunan pasangan terurut elemen- elemen berbeda di V. Elemen dari A biasa
disebut arc sisi berarah. Misalkan diberikan digraf D = V, A. Jika e =
{p, q}
∈A maka p dan q masing-masing dikatakan incident dengan e.
Misalkan diberikan digraf D = V,A. Jika e = {i,j} maka i incident dari e jika sisi berarah e
menjauhi simpul i dan j incident ke e jika sisi berarah e mendekati simpul j.
[Foulds, 2002]
Definisi 8 Walk Suatu walk pada graf G = V, E yang
menghubungkan simpul v
1
dengan v
n
adalah suatu barisan simpul verteks dan sisi edge
dari G dengan bentuk v
1
, {v
1
, v
2
}, v
2
, {v
2
, v
3
}, v
3
, ..., v
n-1
, {v
n-1
, v
n
}, v
n
dan dapat dituliskan sebagai v
1
, v
2
, ..., v
n
atau v
1
, v
2
, ..., v
n
. Suatu walk
yang menghubungkan v
1
dengan v
n
dikatakan tertutup closed walk jika v
1
= v
n
. Jika tidak v
1
≠ v
n
maka walk tersebut dikatakan terbuka.
[Foulds, 2002]
Definisi 9 Matriks DerajatDegree Matrix Matriks Derajat D
untuk suatu graf G
= V,E dengan V = n adalah suatu matriks persegi yang didefinisikan sebagai
{
deg jika :
0 selainnya
i ij
v i
j d
= =
dengan degv
i
adalah derajat simpulv
i
yaitu banyaknya sisi yang incident dengan simpul v
i
dan V menyatakan banyaknya simpul di G. [Skiena, 1990]
Definisi 10 Matriks Adjacency Suatu matriks adjacency dari graf G = V,
E adalah A = a
ij n×n
dengan
1, jika dengan
0, jika selainnya
i j
ij
v adjacent v
a
⎧⎪ ⎨
⎪⎩
= untuk v
i
, v
j
∈ V dan v
i
, v
j
∈ E. [Foulds, 2002]
Definisi 11 Matriks Laplace Matriks Laplace untuk suatu graf G
didefinisikan sebagai L = D – A dengan D adalah matriks derajat dari graf G
dan A adalah matriks adjacency dari G. Dengan perkataan lain, jika diberikan suatu
graf G dengan n simpul, maka matriks Laplace L
= l
ij n×n
didefinisikan sebagai
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
≠ =
= selainnya
0, dan
jika 1,
- jika
, deg
:
j i
i ij
v adjacent
v j
i j
i v
l [Bendito, et al., 2000]
Ilustrasi : Perhatikan gambar graf berikut.
G :
Gambar 1. Graf dengan 4 simpul dan 5 sisi. v
1
v
2
v
4
v
3
Dari gambar graf tersebut dapat diperoleh matriks derajat D dan matriks adjacency A.
2 3
2 3
D
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= dan
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
= 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 A
Maka matriks Laplace L = D – A 2
1 1
1 3
1 1
1 2
1 1
1 1
3 L
− −
− −
− =
− −
− −
−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
. Berikut ini dibahas matriks yang diperoleh dari
suatu digraf D = V,A. Definisi 12 Matriks Incidence
Matriks incidence pada suatu digraf adalah matriks berukuran n×m yang
merepresentasikan hubungan antara simpul dan arc sisi berarah pada suatu graf berarah.
Jika n adalah banyaknya simpul dan m adalah banyaknya arc sisi berarah maka untuk
komponen baris i dan kolom j pada matriks incidence
adalah
⎪ ⎩
⎪ ⎨
⎧
i incident
j arc
i incident
j arc
i incident
j arc
simpul dengan
tidak jika
0, simpul
ke jika
1, -
simpul dari
jika ,
1
[Watkins Wilson, 1990] Ilustrasi :
D :
v
1
v
2
a d e b
c v
4
v
3
Gambar 2. Digraf dengan 4 simpul dan 5 arc sisi berarah.
Dari digraf D pada Gambar 2. di atas dapat diperoleh matriks incidence B :
⎟ ⎟
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
− −
− =
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
B 2.3 Aljabar Linear
Berikut ini diberikan beberapa definisi tentang materi aljabar linear yang menjadi landasan
teori untuk pembahasan selanjutnya. Definisi 13 Ruang Vektor
Misalkan V adalah himpunan di mana didefinisikan operasi-operasi penjumlahan dan
perkalian dengan skalar. Himpunan V bersama-sama dengan operasi-operasi
penjumlahan dan perkalian dengan skalar dikatakan membentuk suatu ruang vektor jika
aksioma-aksioma berikut dipenuhi. A1. x + y = y + x untuk setiap x dan y di V.
A2. x + y + z = x + y + z untuk setiap x, y,
z di V. A3. Terdapat elemen 0 di V sehingga x + 0 = x
untuk setiap x
∈
V. A4. Untuk setiap x
∈
V terdapat elemen –x di V sehingga
x + –x = 0.
A5.
αx + y = αx + αy untuk setiap skalar α dan setiap x dan y di V.
A6. α + βx = αx + βx untuk setiap skalar α
dan
β dan setiap x
∈
V. A7.
αβx = αβx untuk setiap skalar α dan β dan setiap x
∈
V. A8. 1 . x = x untuk setiap x
∈
V.
[Leon, 1998] Definisi 14 Ruang Vektor Bagian
Jika S adalah himpunan bagian takkosong dari suatu ruang vektor V, dan S memenuhi
syarat : i
αx
∈
S, untuk semua x
∈
S, dan α adalah
sembarang skalar,
ii x + y
∈
S, untuk semua x dan y
∈
S,
maka S disebut ruang bagian dari V.
[Leon, 1998]
Definisi 15 Ruang Nol dan Nulitas A Misalkan A adalah matriks m×n. Himpunan
semua penyelesaian dari sistem homogen
A x = 0 membentuk ruang bagian dari R
n
yang disebut ruang nol nullspace dari A dan
dinotasikan dengan NA = {x
∈
R
n
| Ax = 0}.
NulitasA adalah banyaknya anggota ukuran dari ruang nol nullspace dari A.
[Leon, 1998]
Definisi 16 Kombinasi Linear Jika a
1
, a
2
, ..., a
n
adalah vektor-vektor
dalam R
m
dan c
1
, c
2
, ..., c
n
adalah skalar-skalar, maka jumlah berbentuk c
1
a
1
+ c
2
a
2
+ ... + c
n
a
n
disebut suatu kombinasi linear linear combination dari vektor-vektor a
1
, a
2
, ..., a
n
. [Leon, 1998]
Definisi 17 Bebas Linear Vektor-vektor v
1
, v
2
, ..., v
n
dalam ruang
vektor V disebut bebas linear linearly independent jika c
1
v
1
+ c
2
v
2
+ ... + c
n
v
n
= 0
mengakibatkan semua skalar c
1
, ..., c
n
harus sama dengan nol.
[Leon, 1998]
Definisi 18 Bergantung Linear Vektor-vektor v
1
, v
2
, ..., v
n
dalam ruang
vektor V disebut bergantung linear linearly dependent jika terdapat skalar-skalar c
1
, c
2
, ..., c
n
yang tidak semuanya nol sehingga c
1
v
1
+ c
2
v
2
+ ... + c
n
v
n
= 0.
[Leon, 1998]
Teorema 1 Misalkan A matriks persegi. Jika detA = 0
maka A
1
, A
2
, ..., A
n
adalah saling bergantung linear.
Catatan : A
1
, A
2
, ..., A
n
adalah vektor-vektor kolom ke-j dari matriks A.
BUKTI :
⇒
Diketahui detA = 0 maka A singular,
sehingga Ax = 0 mempunyai penyelesaian taktrivial untuk setiap x
≠ 0. Jadi x
11
A
1
+ x
21
A
2
+ ... + x
n1
A
n
= 0. Karena x ≠ 0 maka x
11
, x
21
, x
31
, ..., x
n1
adalah skalar tidak semuanya nol. Jadi, A
1
, A
2
, ..., A
n
adalah saling bergantung
linear. Terbukti Definisi 19 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Misalkan A adalah suatu matriks n ×n.
Skalar λ disebut sebagai suatu nilai eigen atau
nilai karakteristik characteristic value dari A jika terdapat suatu vektor taknol v, sehingga
memenuhi Av = λv. Vektor v disebut vektor
eigen atau vektor karakteristik dari λ. Misalkan
A adalah matriks n×n dan λ adalah suatu
skalar. Pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen.
a λ adalah nilai eigen dari A.
b A –
λIv = 0 mempunyai penyelesaian
taktrivial. c NA –
λI ≠ {0}.
d A –
λI adalah singular.
e detA –
λI = 0.
[Leon, 1998]
Teorema 2 Misalkan A dan B adalah matriks persegi
dengan entri bilangan kompleks yang masing- masing berorde m×m dan n×n dengan nilai-
nilai eigen λ
i
dan µ
j
, i = 1, ... , m, j = 1, ... , n. Maka nilai-nilai eigen dari A
B ⊗ adalah
i j
λ µ , i = 1, ... , m, j = 1, ... ,n, dan nilai-nilai eigen dari
n m
A B
⊗ +
⊗ I
I
adalah
i j
λ µ
+ , i = 1, ... , m, j = 1, ... , n.
[Zhang, 1999]
BUKTI : lihat di Lampiran 13. Teorema 3
Misalkan A
∈R
r,r
dan B
∈R
s,s
dan Au
i
= λ
i
u
i
, i = 1, ... , r, Bv
j
= µ
j
v
j
, j = 1, ... , s, maka untuk i = 1, ... , r, j = 1, ... , s
j i
j i
j i
v u
v u
B A
⊗ =
⊗ ⊗
µ λ
j i
j i
j i
r s
v u
v u
B A
⊗ +
= ⊗
⊗ +
⊗ µ
λ
I I
[Lyche, 2006]
BUKTI : Dari Teorema 2 diperoleh
j i
v u
B A
⊗ ⊗
j i
Bv Au
⊗ =
j j
i i
v u
µ λ
⊗ =
j i
j i
v u
⊗ ⊗
=
µ λ
j i
j i
v u
⊗ =
µ λ
. ■
Dari persamaan di atas dapat diperoleh
j i
i j
i s
v u
v u
A ⊗
= ⊗
⊗ λ
I ,
dan
j i
j j
i r
v u
v u
B ⊗
= ⊗
⊗ µ
I
hasilnya sekarang digunakan untuk membuktikan persamaan kedua
j i
r s
v u
B A
⊗ ⊗
+ ⊗
I I
j i
s
v u
A ⊗
⊗ =
I +
j i
r
v u
B ⊗
⊗ I
j s
i
v Au
I ⊗
= +
j i
r
Bv u
⊗ I
j s
i i
v u
I ⊗
= λ
+
j j
i r
v u
µ ⊗
I
j i
s i
v u
⊗ ⊗
= I
λ +
j i
j r
v u
⊗ ⊗
µ
I
j i
i
v u
⊗ =
λ +
j i
j
v u
⊗ µ
j i
j i
v u
⊗ +
= µ
λ .
■ Jadi nilai-nilai eigen dari suatu Kronecker
product sum adalah products sums dari nilai-nilai eigen yang berbeda milik matriks A
dan B. Vektor-vektor eigen dari suatu Kronecker product sum adalah hasil kali dari
vektor-vektor eigen milik matriks A dan B. Terbukti
Selanjutnya akan dibahas suatu teorema tentang nilai-nilai eigen dan vektor-vektor
eigen dari proses Kronecker product matriks. Teorema 4
Misalkan A
∈
R
n×n
mempunyai nilai-nilai eigen λ
i
, i
∈
[1,n], dan misalkan B
∈
R
m×m
mempunyai nilai-nilai eigen µ
j
, j
∈
[1,m]. Maka mn nilai- nilai eigen dari
B A
⊗ adalah
λ
1
µ
1
, ... , λ
1
µ
m
, λ
2
µ
1
, ... , λ
2
µ
m
, ... , λ
n
µ
m
. Selanjutnya, jika x
1
, ... ,x
p
adalah vektor-vektor eigen kanan yang bebas linear dari A
bersesuaian dengan λ
1
, ... , λ
p
p ≤ n, dan z
1
, ..., z
q
adalah vektor-vektor eigen kanan yang bebas linear dari B bersesuaian dengan µ
1
, ... , µ
q
q ≤ m, maka x
i
⊗ z
j
∈
R
mn
adalah vektor- vektor eigen kanan yang bebas linear dari
B A
⊗ bersesuaian dengan
λ
i
µ
j
, i
∈
[1,p], j
∈
[1,q]. [Laub, 2004]
BUKTI : Catatan : vektor-vektor eigen kanan adalah
vektor-vektor eigen yang terletak ditulis di sebelah kanan suatu matriks atau skalar.
Misalkan A mempunyai nilai-nilai eigen λ
i
, 1
≤ i ≤ n, maka Ax
i
= λ
i
x
i
, 1 ≤ i ≤ n dan
misalkan B mempunyai nilai-nilai eigen µ
j
, 1 ≤
j ≤ m, maka Bz
j
= µ
j
z
j
, 1 ≤ j ≤ m.
Misalkan juga x
1
, ... , x
p
adalah vektor-vektor eigen kanan yang bebas linear dari A
bersesuaian dengan nilai-nilai eigen λ
1
, ... , λ
p
p ≤ n akan terdapat matriks X dengan x
j
vektor eigen kolom ke-j untuk j = 1, ... , n sehingga berlaku X
-1
AX = D
1
dan z
1
, ... , z
q
adalah vektor-vektor eigen kanan yang bebas linear dari B bersesuaian dengan µ
1
, ... , µ
q
q ≤
m akan terdapat matriks Z dengan z
j
vektor eigen kolom ke-j untuk j = 1, ... , n sehingga
berlaku juga X
-1
AX = D
2
.
.
1 1
1 1
1 1
1 2
1
Z X
B A
Z X
Z X
B A
Z X
Z X
B Z
A X
BZ Z
AX X
D D
⊗ ⊗
⊗ =
⊗ ⊗
⊗ =
⊗ ⊗
= ⊗
= ⊗
− −
− −
− −
−
Jadi, Z
X ⊗
adalah suatu matriks yang mempunyai nm vektor kolom yang bebas
linear dengan
j i
z x
⊗ vektor eigen kolom ke-j
untuk j = 1, ... , nm. Selanjutnya
j i
z x
B A
⊗ ⊗
j i
Bz Ax
⊗ =
j j
i i
z x
µ λ
⊗ =
j i
j i
z x
⊗ ⊗
= µ
λ
j i
j i
z x
⊗ =
µ λ
. Jadi, mn nilai-nilai eigen dari
B A
⊗ adalah
λ
1
µ
1
, ... , λ
1
µ
m
, λ
2
µ
1
, ... , λ
2
µ
m
, ... , λ
n
µ
m
. Begitu juga
Z X
B A
⊗ ⊗
= BZ
AX ⊗
j i
Bz Ax
⊗ =
j j
i i
z x
µ λ
⊗ =
j i
j i
z x
⊗ ⊗
= µ
λ
j i
j i
z x
⊗ =
µ λ
Jadi
j i
z x
⊗
∈
R
mn
adalah vektor-vektor eigen kanan yang bebas linear berbeda dari
B A
⊗ bersesuaian dengan
λ
i
µ
j
, i ≤ p ≤ n,
j ≤ q ≤ m.
Terbukti Teorema 5
Suatu matriks A
∈
M
n
adalah singular jika dan hanya jika 0
∈
σA. Catatan :
σA adalah himpunan nilai-nilai eigen dari matriks A.
[Horn Johnson, 1985] BUKTI :
Matriks A adalah singular jika dan hanya jika Ax = 0 untuk setiap x
≠ 0. Hal ini terjadi jika dan hanya jika Ax = 0x untuk setiap x
≠ 0, Ax = 0x berlaku, jika dan hanya jika
λ = 0 adalah suatu nilai eigen.
Terbukti Definisi 20 Hasil Kali Dalam
Hasil Kali Dalam
pada ruang vektor V adalah sebuah operasi pada V yang memadankan
setiap pasang vektor-vektor x dan y di dalam V dengan sebuah bilangan real x,y yang
memenuhi syarat berikut : i x, x
≥ 0 dengan persamaan berlaku jika dan hanya jika x = 0.
ii x, y = y, x untuk semua x dan y di dalam V.
iii αx + βy, z = αx, z + βy, z untuk
semua x, y, z di dalam V dan semua skalar
α dan
β.
Sebuah ruang vektor V dengan hasil kali dalamnya disebut ruang hasil kali dalam.
Hasil kali dalam baku untuk R
n
adalah hasil
kali skalar x, y = x
T
y .
[Leon, 1998]
Definisi 21 Norma Sebuah ruang vektor V dikatakan ruang linear
bernorma normed linear space jika untuk setiap vektor v
∈V dikaitkan dengan sebuah bilangan real v yang disebut norma dari v
yang memenuhi :
i v 0 dengan kesamaan berlaku jika dan hanya jika v = 0.
ii v
v
α α =
untuk tiap skalar α.
iii w
v w
v
+ ≤
+
untuk semua v, w ∈V.
[Leon, 1998]
Definisi 22 Himpunan Ortogonal dan Ortonormal
Misalkan v
1
, v
2
, …, v
n
adalah vektor- vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam
V . Jika v
i
, v
j
= 0 bilamana i
≠ j, maka {v
1
,
v
2
, …, v
n
} dikatakan sebagai sebuah himpunan ortogonal dari vektor-vektor.
Sebuah himpunan ortonormal dari vektor- vektor adalah sebuah himpunan ortogonal dari
vektor-vektor satuan. Himpunan {u
1
, u
2
, …, u
n
} akan menjadi
ortonormal jika dan hanya jika u
i
, u
j
=
ij
dengan
⎩ ⎨
⎧ =
≠ =
j i
j i
ij
jika jika
1
Jika diberikan himpunan ortogonal dari vektor- vektor taknol {v
1
, v
2
, … , v
n
}, maka dimungkinkan untuk membentuk sebuah
himpunan ortonormal dengan mendefinisikan
i i
v v
u
⎟⎟ ⎠
⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
= 1
untuk i = 1, 2, …, n dengan =
i i
i
v v
v
, .
[Leon, 1998] Definisi 23 Matriks Ortogonal
Sebuah matriks Q yang berorde n×n dikatakan sebagai matriks ortogonal jika
vektor-vektor kolom dari Q membentuk sebuah himpunan ortonormal di dalam R
n
, maka Q dapat dibalik dan Q
T
= Q
-1
sehingga Q
T
Q = I.
[Leon, 1998] Ilustrasi :
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
= 6
1 2
1 3
1 6
2 3
1 6
1 2
1 3
1 Q
maka
1
6 1
6 2
6 1
2 1
2 1
3 1
3 1
3 1
−
= −
− =
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
Q Q
T
Dapat ditunjukkan bahwa vektor-vektor kolom dari
Q membentuk sebuah himpunan ortonormal yaitu
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
= 3
1 3
1 3
1
1
u ,
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− =
2 1
2 1
2
u ,
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− =
6 1
6 2
6 1
3
u maka u
1
,u
2
= u
1
,u
3
= u
2
,u
3
= 0,
u
1
,u
1
= u
2
,u
2
= u
3
,u
3
= 1, dan 1
3 2
1
= =
=
u u
u
. Definisi 24 Matriks Uniter
Matriks uniter U n × n adalah suatu matriks kompleks atau real yang memenuhi U
H
U =
UU
H
= I, jika vektor-vektor kolomnya
membentuk suatu himpunan ortonormal dalam C
n
, dengan U
H
= U
-1
dan |detU| = 1 untuk suatu matriks uniter U, maka suatu matriks uniter
sesungguhnya adalah matriks ortogonal.
Catatan : matriks U
H
=
T
U .
[Zhang, 1999] Ilustrasi :
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
= 6
1 2
1 3
1 6
2 3
1 6
1 2
1 3
1
U maka
1
6 1
6 2
6 1
2 1
2 1
3 1
3 1
3 1
−
= −
− =
⎟ ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎜
⎝ ⎛
U U
T
Teorema 6 Untuk matriks-matriks A, B, C, dan D dengan
ukuran yang berbeda, berlaku 1.
BD AC
D C
B A
⊗ =
⊗ ⊗
, 2.
B A
B A
⊗ =
⊗ , dengan
T
A A
= dan
T
B B
= ,
3.
1 1
1 −
− −
⊗ =
⊗ B
A B
A jika
A dan B adalah matriks taksingular,
4. A
B B
A ⊗
≠ ⊗
, 5.
B A
⊗ adalah uniter jika A dan B adalah uniter.
[Zhang, 1999]
BUKTI : lihat di Lampiran 12. Definisi 25 Matriks Definit
Suatu matriks simetrik real A disebut
i definit positif jika x
T
Ax 0 untuk semua x
taknol dalam R
n
.
ii definit negatif jika x
T
Ax 0 untuk semua x taknol dalam
R
n
.
iii semidefinit positif jika x
T
Ax
≥ 0 untuk
semua x taknol dalam R
n
.
iv semidefinit negatif jika x
T
Ax
≤ 0 untuk
semua x taknol dalam R
n
. [Leon, 1998]
Definisi 26 Matriks Definit Positif Sifat-Sifat Matriks Definit Positif Simetrik :
Sifat I. Jika
A adalah matriks definit positif simetrik, maka
A taksingular.
Sifat II. Jika A adalah suatu matriks definit
positif simetrik, maka det A 0.
Sifat III. Semua nilai-nilai eigen matriks
definit positif simetrik A adalah
positif.
Sifat IV. Jika A adalah suatu matriks definit
positif simetrik, maka submatriks utama
A
1
, A
2
, ... , A
n
dari A adalah
definit positif.
Sifat V. Jika A adalah matriks definit positif
simetrik, maka A dapat direduksi
menjadi matriks segitiga atas hanya dengan menggunakan operasi baris III
dan semua elemen-elemen porosnya adalah positif.
Sifat VI. Jika A adalah suatu matriks definit
positif, maka A dapat difaktorkan ke
dalam hasil kali LDL
T
, dengan L
adalah matriks segitiga bawah dengan elemen-elemen 1 sepanjang diagonal
dan D adalah suatu matriks diagonal
yang entri-entri diagonalnya positif semua.
Sifat VII. Dekomposisi Cholesky Jika
A adalah matriks definit positif simetrik,
maka A dapat difaktorkan ke dalam
suatu hasil kali LL
T
, dengan L adalah
matriks segitiga bawah dengan elemen-elemen diagonal positif.
[Leon, 1998]
2.4 Jaringan Listrik dan Jaringan Resistor Berikut ini beberapa definisi tentang jaringan