Ruang Hasil Kali Dalam
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
45
kali titik dalan ruang – n Euclides juga merupakan hasil kali dalam jadi konsep yang digunakan ini akan lebih luas daripada konsep sebelumnya.
Misalkan V merupakan ruang hasil kali dalam , u , v ∈ V maka a. Panjang u =
u , u
½
b. Jarak u dan v , d u , v = u − v , u − v
½
c. Misalkan φ sudut antara u dan v dalam RHD , maka besar cos φ adalah :
v u
v u ,
cos =
θ
Jika u dan v saling tegak lurus maka
2 2
2
v u
v u
+ =
+
Bukti
v u
v u
v u
+ +
= +
,
2
=
v v
u u
v u
, ,
+ +
+
=
v u
v v
u u
, 2
, ,
+ +
=
2 2
v u
+
Contoh 6.2.1 Diketahui V adalah RHD dengan hasil kali dalam
u , v = u
1
v
1
+ 2u
2
v
2
+ u
3
v
3
dengan u = u
1
,u
2
,u
3
, v = v
1
,v
2
,v
3
. Jika vektor – vektor
a
, b ∈ V dengan
a
= 1,2,3 dan b = 1,2,2 , Tentukan a. Besar
cos α jika sudut yang dibentuk antara
a
dan b adalah α
b. Jarak antara
a
dan b
Jawab
b a
b a ,
cos =
θ
a
, b = 1.1 + 2.2.2 + 2.3 = 15
2 2
2
3 2
. 2
1 +
+ =
a
=
18
2 2
2
2 2
. 2
1 +
+ =
b
=
13
Jadi
b a
b a ,
cos =
θ
=
13 18
15
=
234 15
VI.3 Basis orthonormal Diketahui V ruang hasil kali dalam dan v
1
, v
2
,…, v
n
adalah vektor – vektor dalam V. Beberapa definisi penting
a. H = { v
1
, v
2
,…, v
n
} disebut himpunan orthogonal bila setiap vektor dalam V
saling tegak lurus ,yaitu v
i
, v
j
= 0 untuk i ≠ j dan i,j = 1,2,…,n.
Ruang Hasil Kali Dalam
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
46
b. G = { v
1
, v
2
,…, v
n
}disebut himpunan orthonormal bila
- G himpunan orthogonal
- Norm dari v
i
= 1 , i = 1,2,…,n atau v
i
, v
i
= 1
Metode Gramm–Schimdt Metode Gramm–Schimdt digunakan untuk merubah suatu himpunan vektor yang bebas
linier menjadi himpunan yang orthonormal. , jadi dalam hal ini disyaratkan himpunan yang ditransformasikan ke himpunan orthonormal adalah himpunan yang bebas linier.
Jika yang akan ditransformasikan adalah himpunan vektor yang merupakan basis dari ruang vektor V maka metode Gramm–Schimdt akan menghasilkan basis orthonormal
untuk V. Sebelum membahas tentang metode ini, akan dibahas tentang proyeksi orthogonal
vektor terhadap ruang yang dibangun oleh himpunan vektor. Diketahui H = { v
1
, v
2
,…, v
n
} adalah himpunan vektor yang bebas linier dari ruang vektor V dengan dim
≥ n dan S = { w
1
, w
2
,…, w
n
} merupakan himpunan yang orthonormal . Jika W menyatakan ruang yang dibangun oleh w
1
, w
2
,…, w
n
maka untuk setiap vektor z
1
dalam W , dapat dituliskan z
1
= k
1
w
1
+ k
2
w
2
+…+ k
n
w
n
dengan k
1
, k
2
, …,k
n
skalar.
Jika u adalah sembarang vektor dalam V , maka tentunya u dapat dituliskan sebagai jumlah dari dua vektor yang saling tegak lurus misalkan z
1
dan z
2
, jadi dapat dituliskan u = z
1
+ z
2
. Karena z
1
dalam W , maka sebenarnya z
1
merupakan proyeksi orthogonal u terhadap W , sedangkan z
2
merupakan komponen vektor u yang tegak lurus terhadap W. Jadi untuk menentukan z
1
, maka harus ditentukan nilai k
1
, k
2
, …,k
n
sedemikian hingga nilai k
1
merupakan panjang proyeksi u terhadap w
1
, k
2
merupakan panjang proyeksi u terhadap w
2
dan seterusnya sehingga k
n
merupakan
panjang proyeksi u terhadap w
n
. Proyeksi orthogonal u terhadap w
i
adalah proy
Wi
u =
u , w
i
, dikarenakan w
1
, w
2
,…, w
n
merupakan vektor – vektor yang orthonormal .
Jadi dapat dituliskan bahwa proyeksi orthogonal u terhadap W adalah : proy
w
u = z
1
= u , w
1
w
1
+ u , w
2
w
2
+…+ u , w
n
w
n
dengan { w
1
, w
2
,…, w
n
} merupakan himpunan orthonormal. Komponen u yang tegak lurus terhadap W adalah
z
2
= u – u , w
1
w
1
+ u , w
2
w
2
+…+ u , w
n
w
n
Misal diketahui K = { v
1
, v
2
, …, v
n
} adalah himpunan yang bebas linier, maka K dapat dirubah menjadi himpunan S = { w
1
, w
2
, …, w
n
} yang orthonormal dengan menggunakan metode Gramm–Schimdt yaitu :
1.
1 1
1
v v
w =
, ini proses normalisasi yang paling sederhana karena hanya melibatkan satu vektor saja. Pembagian dengan
1
v bertujuan agar w
i
memiliki panjang = 1 , pada akhir langkah ini didapatkan w
1
orthonormal.
Ruang Hasil Kali Dalam
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
47
2.
1 1
2 2
1 1
2 2
2
, ,
w w
v v
w w
v v
w −
− =
Pada akhir langkah ini didapatkan dua vektor w
1
dan w
2
yang orthonormal. 3.
2 2
3 1
1 3
3 2
2 3
1 1
3 3
3
, ,
, ,
w w
v w
w v
v w
w v
w w
v v
w −
− −
− =
. .
.
n.
1 1
2 2
1 1
1 1
2 2
1 1
, ...
, ,
, ...
, ,
− −
− −
− −
− −
− −
=
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n
w w
v w
w v
w w
v v
w w
v w
w v
w w
v v
w
Secara umum w
i
=
i W
i i
W i
v pro
v v
pro v
− −
dengan W merupakan ruang yang dibangun oleh
w
1
,.., w
i–1
. Pada metode ini, pemilihan v
1
, v
2
,…, v
n
tidak harus mengikuti urutan vektor yang diberikan tetapi bebas sesuai keinginan kita karena satu hal yang perlu diingat bahwa
basis suatu ruang vektor tidak tunggal. Jadi dengan mengubah urutan dari v
1
, v
2
,…, v
n
sangat memungkinkan didapatkan jawaban yang berbeda – beda . Pemilihan urutan dari v
1
, v
2
,…, v
n
yang disarankan adalah yang mengandung hasil kali dalam yang bernilai 0 yaitu
v
i
, v
j
= 0, dalam kasus ini bisa diambil v
1
= v
i
dan v
2
= v
j
dan seterusnya.
Contoh 6.3.1 Diketahui H = {
a
, b ,
c
} dengan
a
= 1,1,1 , b = 1,2,1 ,
c
= −1,1,0
a. Apakah H basis R
3
? b. Jika ya , transformasikan H menjadi basis orthonormal dengan menggunakan hasil
kali dalam Euclides
Jawab a. Karena dim R
3
= 3 dan jumlah vektor dalam H = 3 , maka untuk menentukan apakah H merupakan basis R
3
atau bukan , adalah dengan cara menghitung
determinan matriks koefisien dari SPL A x = b dengan b adalah sembarang vektor
dalam R
3
, yaitu = det
− 1
1 1
2 1
1 1
1
. Jika det = 0 maka berarti H bukan merupakan
basis R
3
, sebaliknya jika det ≠ 0 maka berarti vektor – vektor di H bebas linier dan
membangun R
3
, jadi H merupakan basis R
3
. Dengan ekspansi kofaktor sepanjang baris ketiga, didapatkan
Ruang Hasil Kali Dalam
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
48
1 1
1 1
1 2
1 1
1 1
1 2
1 1
1 1
− −
− =
−
= 3 − 2 = 1
Karena det = 1 ,ini berarti H merupakan basis dari R
3
b. Hasil kali dalam antara
a
, b dan
c a
, b = 4,
a
,
c
= 0 , b ,
c
= 1 Untuk memilih basis yang perhitungannya lebih sederhana dapat diambil
v
1
=
a
, v
2
=
c
, v
3
= b a.
3 1
, 1
, 1
1
= =
a a
w
b.
= =
− −
= c
c w
w c
c w
w c
c w
1 1
1 1
2
, ,
2 ,
1 ,
1 −
{ Karena
a
,
c
= 0 maka
c
,
1
w =
, ,
= =
a c
a a
a c
}
c.
2 2
1 1
2 2
1 1
3
, ,
, ,
w w
b w
w b
b w
w b
w w
b b
w −
− −
− =
=
c c
b a
a b
b c
c b
a a
b b
, 2
1 ,
3 1
, 2
1 ,
3 1
− −
− −
c c
b a
a b
b ,
2 1
, 3
1 −
−
=
=
− −
−
1
1 2
1 1
1 1
3 4
1 2
1
−
3 1
6 1
6 1
=
− 2 1
1 6
1
6 1
6 6
, 2
1 ,
3 1
= =
− −
c c
b a
a b
b
Jadi w
3
=
− 2 1
1 6
1
s Normalisasi himpunan orthogonal ke himpunan orthonormal
Diketahui V RHD dan H = { v
1
, v
2
,…, v
n
} ∈ V merupakan himpunan orthogonal
dengan v
i
≠ 0 maka bisa didapatkan himpunan orthonormal yang didefinisikan sebagai S = {
s
1
,
s
2
,…,
s
n
} dengan s
i
=
i i
v v
, i = 1,2,…,n. Kalau dilihat secara seksama , sebenarnya rumusan ini merupakan rumusan dari metode Gramm– Schimdt yang telah
mengalami reduksi yaitu untuk nilai proy
W
v
i
= 0 akibat dari v
1
, v
2
,…, v
n
yang saling orthogonal. Proses untuk mendapatkan vektor yang orthonormal biasa disebut
dengan menormalisasikan vektor. Jika dim V = n , maka S juga merupakan basis orthonormal dari V.
Ruang Hasil Kali Dalam
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
49
Contoh 6.3.2 Diketahui dan
a
, b , c ∈ R
3
dengan
a
= 2,–1,1 , b = 2,5,1 , c = –1,0,2 .Jika R
3
merupakan RHD Euclides, Transformasikan
a
, b , c ke basis orthonormal Jawab
a
, b = 0 ,
a
, c = 0 , b , c = 0
2 2
2
1 1
2 a
+ −
+ =
=
6
, 30
1 5
2 b
2 2
2
= +
+ =
, 5
2 1
c
2 2
2
= +
+ −
= Misalkan H = {
a
, b , c } maka H merupakan himpunan orthogonal
Dim R
3
= 3 jadi dapat ditentukan basis orthonormal untuk R
3
. Misalkan
s
1
=
1 ,
1 ,
2 6
1 −
= a
a
,
s
2
=
1 ,
5 ,
2 30
1 =
b b
,
s
3
=
2 ,
, 1
5 1
− =
c c
Basis orthonormal untuk R
3
adalah {
1 ,
1 ,
2 6
1 −
,
1 ,
5 ,
2 30
1
,
2 ,
, 1
5 1
−
}
VI.4 Perubahan Basis Seperti diketahui bahwa suatu ruang vektor bisa memiliki beberapa basis . Dari sifat
inilah tentunya jika terdapat sembarang vektor x dalam suatu ruang vektor V yang memiliki himpunan vektor A dan B sebagai basisnya maka x tentunya merupakan
kombinasi linier dari vektor – vektor di A dan B. Kajian yang dilakukan sekarang ini adalah melihat hubungan antar kombinasi linier tersebut . Secara sistematis , langkah –
langkahnya dapat dilihat seperti berikut ini; Jika V ruang vektor, S : {
s
1
,
s
2
,…,
s
n
} merupakan basis V maka untuk sembarang
x
∈ V, dapat dituliskan : x = k
1
s
1
+ k
2
s
2
…+k
n
s
n
dengan k
1
, k
2
, …, k
n
skalar. k
1
, k
2
, …, k
n
juga disebut koordinat x relatif terhadap basis S.
[ ]
=
n S
k k
k x
:
2 1
disebut matriks x relatif terhadap basis S.
Jika S merupakan basis orthonormal , maka
[ ]
= \
, :
, ,
2 1
n S
s x
s x
s x
x
Ruang Hasil Kali Dalam
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
50
Jika A = { x
1
, x
2
} dan B = { y
1
, y
2
} berturut – turut merupakan basis dari V , maka
untuk sembarang z ∈ V bisa didapatkan
[ ]
A
z dan
[ ]
B
z . Bagaimana hubungan
[ ]
A
z dan
[ ]
B
z ?
Misalkan
[ ]
B
x
1
=
b a
dan
[ ]
B
x
2
=
d c
Dari
[ ]
B
x
1
=
b a
didapatkan x
1
= a y
1
+ b y
2
……………. .1 Dari
[ ]
B
x
2
=
d c
didapatkan x
2
= c y
1
+ d y
2
……………. 2 Untuk
[ ]
A
z =
2 1
k k
maka didapatkan z = k
1
x
1
+k
2
x
2
……...3 Dengan melakukan substitusi dari persamaan 1 dan 2 ke persamaan 3 didapatkan :
z = k
1
a y
1
+ b y
2
+k
2
c y
1
+ d y
2
= k
1
a + k
2
c y
1
+ k
1
b + k
2
d y
2
Ini berarti
[ ]
B
z =
+ +
d k
b k
c k
a k
2 1
2 1
=
d b
c a
2 1
k k
= P
[ ]
A
z P disebut matriks transisi dari basis A ke basis B.
Secara umum , jika A = { x
1
, x
2,
…, x
n
} dan B = { y
1
, y
2,
…, y
n
} berturut – turut merupakan basis dari ruang vektor V , maka matriks transisi basis A ke basis B adalah :
P =
[ ] [ ] [ ]
[ ]
B n
B B
x x
x ...
2 1
Jika P dapat dibalik , maka P
–1
merupakan matriks transisi dari basis B ke basis A.
Contoh 6.4 Diketahui A = { v , w } dan B = { x , y } berturut – turut merupakan basis R
2
,
dengan v = 2, 2 , w = 3, –1 , x = 1 , 3 dan y = –1 , –1 Tentukan
a. Matriks transisi dari basis A ke basis B
b. Hitung
A
−
3 1
c. Hitung
B
−
3 1
dengan menggunakan hasil pada b d. Matriks transisi dari basis B ke basis A
Jawab
a. Misalkan
[ ]
B
v =
b a
maka
− −
=
b
a 1
3 1
1 2
2
, didapatkan
b a
=
− 2
dan untuk
[ ]
B
w =
d c
maka
− −
=
−
d c
1 3
1 1
1 3
, maka didapatkan
− −
=
5
2 d
c
Jadi matriks transisi dari basis A ke basis B adalah : P =
− −
− 5
2 2
Ruang Hasil Kali Dalam
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
51
b. Misalkan
A
−
3 1
=
2 1
k k
maka ,didapatkan
2 1
k k
=
−1 1
c. Dari a dan b didapatkan P =
− −
− 5
2 2
dan
A
−
3 1
=
−1 1
sehingga
B
−
3 1
= P
A
−
3 1
=
− −
− 5
2 2
−1 1
=
3 2
d. Matriks transisi dari basis B ke basis A adalah P
–1
dengan P merupakan matriks transisi terhadap basis A ke basis B .
Jadi P
–1
=
−
− 2
2 5
4 1
merupakan matriks transisi dari basis B ke basis A.
Ruang Hasil Kali Dalam
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
52
Latihan
5
1. Diketahui a , b = a
1
b
1
+ a
2 2
b
2 2
dengan a = a
1
, a
2
dan b = b
1
, b
2
.
Tunjukkan sifat Hasil kali dalam yang tidak dipenuhi
2.
Diketahui a , b = a
1
b
1
− a
2
b
2
+ a
3
b
3
dengan a = a
1
, a
2
,a
3
dan b = b
1
, b
2
,b
3
Periksa apakah . a , b merupakan hasil kali dalam atau tidak jika
tidak tentukan aksioma mana yang tidak memenuhi 3. R
3
merupakan RHD dengan hasil kali dalam u , v = u
1
v
1
+ 2u
2
v
2
+ u
3
v
3
dengan u = u
1
, u
2
, u
3
, v = v
1
, v
2
, v
3
. W adalah subruang R
3
yang
memiliki basis B = { −2, 2 , 2 , 1, 3, −3 }
a. Transformasikan B menjadi basis orthonormal b. Misal
x = 2, 2,
− 4 di R
3
, nyatakan x = y + z dengan y ∈ W dan z
orthogonal terhadap W 4. R
3
merupakan RHD dengan hasil kali dalam u , v = u
1
v
1
+ 2u
2
v
2
+ 2u
3
v
3
dengan u = u
1
, u
2
, u
3
, v = v
1
, v
2
, v
3
. W adalah subruang R
3
yang
memiliki basis C = { b
1
=
−1, 0 , −1 , b
2
= 2, 1, 2 }
a. Hitung sin β jika β adalah sudut antara b
1
dan b
2
b. Tentukan jarak antara b
1
dan b
2
c. Misal x = 1, 2 ,
