Ruang Hasil Kali Dalam
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
43
BAB VI Ruang Hasil Kali Dalam
VI.1 Hasil kali dalam Definisi
Hasil kali dalam adalah fungsi yang mengaitkan setiap pasangan vektor di ruang vektor V misalkan pasangan u dan v , dinotasikan dengan
u , v dengan bilangan riil dan memenuhi 4 aksioma , yaitu :
1. Simetris : u , v = v , u
2. Aditivitas : u + v , w = u , w + v , w
3. Homogenitas : k u , v = k u , v , k skalar
4. Positivitas : u , u ≥ 0 dan u , u = 0 ↔ u = 0
Ruang vektor yang dilengkapi hasil kali dalam seperti diatas disebut Ruang hasil kali dalam yang biasa disingkat dengan RHD.
Contoh 6.1.1 Tunjukkan bahwa operasi perkalian titik titik standar di R
3
Euclides merupakan hasil kali dalam
Jawab Akan ditunjukkan bahwa perkalian titik standar memenuhi keempat aksioma hasil kali
dalam , yaitu : Misalkan
a
= a
1
,a
2
,a
3
, b = b
1
,b
2
,b
3
,
c
= c
1
,c
2
,c
3
maka
a
, b ,
c
∈ R
3
1. Simetris
a
, b =
a
. b
= a
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
= b
1
a
1
+ b
2
a
2
+ b
3
a
3
= b ,
a
………… terpenuhi 2. Aditivitas
a
+ b ,
c
=
a
+ b .
c
= a
1
+b
1
, a
2
+b
2
, a
3
+b
3
. c
1
,c
2
,c
3
= a
1
c
1
+ b
1
c
1
+ a
2
c
2
+b
2
c
2
+ a
3
c
3
+ b
3
c
3
= a
1
c
1
+ a
2
c
2
+ a
3
c
3
+ b
1
c
1
+ b
2
c
2
+ b
3
c
3
=
a
.
c
+ b .
c
=
a
,
c
+ b ,
c
…… terpenuhi 3. Homogenitas
k
a
, b
= k
a
. b
= ka
1
b
1
+ ka
2
b
2
+ ka
3
b
3
= ka
1
b
1
+ a
2
b
2
+ a
3
b
3
= k
a
. b
= k
a
, b ………… terpenuhi
Ruang Hasil Kali Dalam
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
44
4. Positivitas
a
,
a
=
a
.
a
= a
1 2
+ a
2 2
+ a
3 2
≥ 0 ………… terpenuhi dan
u , u = a
1 2
+ a
2 2
+ a
3 2
= 0
↔ u = 0,0,0 = 0 . … … terpenuhi
RHD yang memiliki hasil kali dalam berupa perkalian titik standar seperti diatas biasa disebut RHD Euclides.
Contoh 6.1.2 Diketahui
u , v = ad + cf dengan u = a,b,c dan v = d,e,f , Apakah u , v tersebut merupakan hasil kali dalam ?
Jawab Akan ditunjukkan apakah
u , v tersebut memenuhi keempat aksioma hasil kali dalam
Aksioma 1. Simetris
u , v = ad + cf = da + fc
= v , u ………… terpenuhi
2. Aditivitas
Misalkan w = g,h,i u + v , w = a+d , b+e , c+f , g,h,i
= a+d g + c+fi = ag + ci
+ dg + fi =
u , w + v , w …… terpenuhi 3. Homogenitas
k u , v = kad + kcf
= k ad + cf = k
u , v ………… terpenuhi 4. Positivitas
u , u = u . u = a
2
+ c
2
≥ 0 ………… terpenuhi dan
u , u = a
2
+ c
2
= 0 tidak selalu ↔ u = 0,0,0 karena untuk nilai
u = 0,b,0 dengan b ≠ 0 maka nilai u , u = 0 …… tidak terpenuhi
Aksioma positivitas tidak terpenuhi maka u , v = ad + cf dengan u = a,b,c
dan v = d,e,f bukan merupakan hasil kali dalam. VI.2 Panjang vektor , jarak antar vektor ,dan besar sudut dalam RHD
Ketika kita membahas tentang panjang vektor , maka kita harus menghilangkan rumusan yang selama ini kita gunakan mengenai panjang vektor dalan ruang –n
Euclides berdasarkan operasi hasil kali titik . Kita akan menghitung panjang suatu berdasarkan hasil kali dalam yang telah diberikan, dan sudah dibuktikan bersama –
sama bahwa hasil
Ruang Hasil Kali Dalam
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
45
kali titik dalan ruang – n Euclides juga merupakan hasil kali dalam jadi konsep yang digunakan ini akan lebih luas daripada konsep sebelumnya.
Misalkan V merupakan ruang hasil kali dalam , u , v ∈ V maka a. Panjang u =
u , u
½
b. Jarak u dan v , d u , v = u − v , u − v
Kategori