Vektor – vektor di bidang dan di ruang
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
22
BAB IV Vektor– Vektor di bidang dan di ruang
IV.1 Pendahuluan
Definisi
Vektor didefinisikan sebagai besaran yang memiliki arah. Kecepatan, gaya dan pergeseran merupakan contoh – contoh dari vektor karena semuanya memiliki
besar dan arah walaupun untuk kecepatan arahnya hanya positif dan negatif. Vektor dikatakan berada di ruang – n R
n
jika vektor tersebut mengandung n komponen. Jika vektor bearada di R
2
maka dikatakan vektor berada di bidang, sedangkan jika vektor berada di R
3
maka dikatakan vektor berada di ruang. Secara geometris, di bidang dan di ruang vektor merupakan segmen garis
berarah yang memiliki titik awal dan titik akhir. Vektor biasa dinotasikan dengan huruf kecil tebal atau huruf kecil dengan ruas garis
Contoh 4.1.1
Dari gambar diatas terlihat beberapa segmen garis berarah vektor seperti AB
, AC dan AD dengan A disebut sebagai titik awal , sedangkan titik B, C dan D disebut titik akhir.
Vektor posisi didefinisikan sebagai vektor yang memiliki titik awal O untuk vektor di bidang , titik O adalah 0,0 .
IV.2 Operasi – operasi pada vektor
A. Penjumlahan dua vektor
Misalkan u dan
v
adalah vektor – vektor yang berada di ruang yang sama ,
maka vektor
u
+ v didefinisikan sebagai vektor yang titik awalnya = titik
awal
u
dan titik akhirnya = titik akhir v . Contoh 4.2.1
Perhatikan gambar pada contoh 4.1.1 . Misalkan
u
= AB dan
v
= BC , jika
vektor
w
didefinisikan sebagai
w
=
u
+
v
, maka
w
akan memiliki titik awal = A dan titik akhir = C, jadi w merupakan segmen garis berarah AC .
B. Perkalian vektor dengan skalar
Vektor nol didefinisikan sebagai vektor yang memiliki panjang = 0. Misalkan
u
vektor tak nol dan k adalah skalar , k ∈ R . Perkalian vektor
u
dengan skalar
B C
D
A
Vektor – vektor di bidang dan di ruang
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
23
k , k
u
didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya u kali panjang
u
dengan arah : Jika k 0 Æ searah dengan
u
Jika k 0 Æ berlawanan arah dengan
u
Contoh 4.2.2
C. Perhitungan vektor
Diketahui a dan b vektor–vektor di ruang yang komponen – komponennya adalah a
= a
1
,a
2
,a
3
dan
b
= b
1
,b
2
,b
3
Maka a
+
b = a
1
+b
1
, a
2
+b
2
, a
3
+b
3
a −
b = a
1
– b
1
, a
2
– b
2
, a
3
– b
3
k . a
= ka
1
, ka
2
, ka
3
Jika c = AB kemudian titik koordinat A = a
1
,a
2
,a
3
dan B = b
1
,b
2
,b
3
maka c = b
1
− a
1
, b
2
− a
2
, b
3
− a
3
IV.3 Hasil kali titik , panjang vektor dan jarak antara dua vektor Hasil kali titik dua vektor jika diketahui komponennya
Diketahui a = a
1
,a
2
,a
3
dan b = b
1
,b
2
,b
3
, Hasil kali titik antara vektor
a dan b didefinisikan sebagai : a
.
b =a
1
.b
1
+ a
2.
b
2
+a
3
.b
3
Hasil kali titik dua vektor jika diketahui panjang vektor dan sudut antara dua vektor
Diketahui
a
dan
b
dua buah vektor yang memiliki panjang berturut – turut
a
dan
b
sedangkan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor adalah φ, sudut φ ini terbentuk dengan cara menggambarkan kedua vektor pada titik awal yang sama.
Hasil kali titik antara vektor
a
dan
b
didefinisikan sebagai : a
.
b =
a b
cos φ , φ ∈ [ 0,π ]
X Y
u 2u
–2u
Vektor – vektor di bidang dan di ruang
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
24
Jadi hasil kali titik dua buah vektor berupa skalar. Dengan mengetahui besarnya φ , akan diketahui apakah hasil kali titik akan
bernilai positif atau negatif
a
.
b 0 ↔
φ lancip , 0 ≤ φ 90
o
a
.
b = 0 ↔
φ = 90
o
,
a
dan
b
saling tegak lurus a
.
b 0 ↔
φ tumpul, 90
o
φ ≤ 180
o
Contoh 4.3.1 Diketahui a = 1, −3 dan b = 3k, −1
Tentukan nilai k agar
a
dan
b
saling tegak lurus
Jawab Agar a dan b saling tegak lurus, maka haruslah a . b = 0
a
.
b = 3k +3 = 0 Æ k = −1 Panjang norm vektor dan jarak antara dua vektor
Panjang vektor Dengan menggunakan operasi hasil kali titik jika diketahui komponen
a = a
1
,a
2
,a
3
didapatkan bahwa
a . a =
2 3
2 2
2 1
a a
a +
+
…1 Dari definisi hasil kali titik lainnya , didapatkan bahwa
a . a =
a a
cos 0 ….2 , dalam hal ini sudut antara a dan a pastilah
bernilai 0 karena keduanya saling berhimpit. Dari persamaan 1 dan 2 , didapatkan persamaan berikut :
2
a
= a . a Æ
Æ Æ
Æ
a
= a . a
12
=
2 3
2 2
2 1
a a
a +
+
Jarak antara dua vektor Jarak antara vektor a dan
b didefinisikan sebagai panjang dari vektor
a
–
b
dan biasa dinotasikan dengan d a
,
b . d a , b = a –
b . a – b
12
= b
a b
a b
a
2 3
2 3
2 2
2 2
2 1
2 1
− +
− +
− Secara geometris , dapat digambarkan seperti berikut ini :
Misalkan a =
AC
dan b =
AB
, maka jarak antara
a
dan
b
merupakan panjang
dari ruas garis berarah
BC
Contoh 4.3.2
Diketahui u = 2, –1,1 dan v = 1,1,2
Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh u dan
v B
C
A
Vektor – vektor di bidang dan di ruang
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
25
Jawab
u
.
v = 2 –1 + 2 = 3
u =
2 2
2
1 1
2 +
− +
= 6 v =
2 2
2
2 1
1 +
+ = 6
2 1
6 3
v u
v .
u cos
= =
= θ
Æ φ = 60
o
Jadi sudut yang dibentuk antara u dan v adalah 60
o
Beberapa sifat yang berlaku dalam hasil kali titik a.
a . b = b . a
b. a
.
b + c = a
.
b + a
.
c c. m
a
.
b = m a
.
b = a . m b = a
.
b m IV.4 Proyeksi
orthogonal
Diketahui vektor a dan b adalah vektor – vektor pada ruang yang sama seperti terlihat pada gambar dibawah ini :
Vektor a disusun dari dua vektor yang saling tegak lurus yaitu
1
w dan
2
w , jadi dapat dituliskan a =
1
w +
2
w
,
Dari proses pembentukannya
1
w juga
disebut sebagai vektor proyeksi orthogonal a terhadap b karena merupakan hasil proyeksi secara orthogonal vektor a terhadap b , sedangkan
2
w disebut
sebagai komponen dari a yang tegak lurus terhadap b
.
Karena
1
w merupakan hasil proyeksi di b maka dapat dituliskan
1
w = k b ,
nilai k ini akan menentukan arah dan panjang dari
1
w
.
Jika sudut antara
a dan b adalah tumpul , maka tentunya nilai k akan negatif ini juga berarti arah
1
w akan berlawanan dengan arah b . Menghitung
1
w
Untuk menghitung
1
w
,
harus dihitung terlebih dahulu nilai k. Dengan menggunakan aturan hasil kali titik , diperoleh :
a
.
b =
1
w +
2
w . b
a
b
w1 w2
Vektor – vektor di bidang dan di ruang
Yuliant Sibaroni Sekolah Tinggi Teknologi Telkom
26
=
1
w . b karena
2
w dan b saling tegak lurus maka
2
w . b = 0
=
1
w b cos θ
= b
k b cos 0 sudut yang dibentuk adalah 0 atau 180
= k
2
b Jadi k =
2
b b
. a
1
w = k b =
2
b b
. a
b dan
2
w =
a –
1
w
Panjang dari
1
w adalah
b b
. a
Contoh 4.4.1
Diketahui a = 4,1,3 dan b = 4,2,–2
Tentukan a.
Vektor proyeksi tegak lurus dari a terhadap b b.
Panjang dari vektor proyeksi tersebut c. Komponen
dari a yang tegak lurus terhadap b
Jawab a. Misalkan
1
w adalah vektor proyeksi tegak lurus dari a terhadap b , maka
1
w = k b sedangkan k =
2
b b
. a
=
2 2
2
2 2
4 2
. 3
2 .
1 4
. 4
− +
+ −
+ +
= 2
1 24
12 =
Jadi
1
w = ½ 4,2,–2 = 2,1,–1
b. Panjang
1
w adalah
b b
. a
= 6
3 24
12 =
c. Misalkan
2
w merupakan komponen dari a yang tegak lurus terhadap b ,
maka
2
w = a –
1
w = 4,1,3 – 2,1,–1 = 2,0,2
IV.5 Perkalian silang vektor
Kategori