II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar pengertian yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian.
2.1 Ruang Vektor
Definisi 2.1.1 Darmawijaya, 2007
Diketahui , + grup komutatif dan ℱ, ⨁, . lapangan dengan elemen identitas
1. disebut ruang vektor vector space atas ℱ jika ada operasi luar antara
keduanya sehingga untuk setiap ∈ dan ∈ ℱ menentukan dengan tunggal
∈ yang memenuhi sifat – sifat :
i +
= +
, ii
⨁ =
+ ,
iii .
= ,
iv = ,
untuk setiap , ∈ dan , ∈ ℱ.
Teorema 2.1.2 Darmawijaya, 2007
Jika suatu ruang vektor atas lapangan ℱ , maka berlaku pernyataan-pernyataan
berikut: i
Untuk setiap , ∈ terdapat tepat satu ∈ sehingga + = .
ii Jika
∈ dan + = , maka = � � vektor nol.
iii � = � untuk setiap skalar .
iv = � untuk setiap x∈ .
v −
= − untuk setiap ∈ . vi
Jika suatu scalar dan ∈ sehingga = �, maka = atau =
�.
2.2 Ruang Vektor Bagian dan Bebas Linear
Definisi 2.2.1 Darmawijaya, 2007
Diketahui ruang vektor atas lapangan
ℱ dan ⊂ . Jika himpunan
terhadap operasi – operasi yang sama dengan operasi – operasi di bagian juga
merupakan ruang vektor atas ℱ, maka disebut ruang vektor bagian vector sub-
space dari .
Teorema 2.2.2 Darmawijaya, 2007
Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ dan
≠ �. Himpunan merupakan ruang vektor bagian jika dan hanya jika untuk setiap
, ∈ dan
, ∈ ℱ berlaku
+ ∈
. Teorema 2.2.3
Darmawijaya, 2007
Jika ruang vektor terhadap lapangan ℱ dan , � masing – masing ruang vektor
bagian maka + � = { + ∶ ∈ , ∈ �},
juga merupakan ruang vektor bagian yang memuat
dan � sebagai ruang
vektor bagiannya. Teorema 2.2.4 Darmawijaya, 2007
Jika ruang vektor terhadap lapangan ℱ dan , � ⊂ masing – masing ruang
vektor bagian dan � = {�}, maka untuk setiap ∈
+ � terdapat dengan tunggal
∈ dan ∈ � sehingga = + .
Teorema 2.2.5 Darmawijaya, 2007
Diberikan ruang vektor atas lapanngan
ℱ. Jika , ∈ dan �, ,
∈ ℱ untuk setiap
� = , , … , maka benar bahwa i
∑ + ∑
= ∑ +
= =
=
, ii
� ∑
=
= ∑ �
=
, iii
∑
=
= ∑
=
, dan iv
∑
=
∑
=
= ∑ ∑
= =
. Teorema 2.2.6 Darmawijaya, 2007
Diberikan ruang vektor atas lapangan
ℱ. Jika , , … ∈ , maka
= [ , , … , ] merupakan ruang vektor bagian .
Teorema 2.2.7 Darmawijaya, 2007
Jika ruang vektor atas lapangan ℱ dan ⊂ , maka [ ] merupakan ruang
vektor bagian . Lebih lanjut, [ ] merupakan ruang vektor terkecil yang memuat
.
Definisi 2.2.8 Darmawijaya, 2007
Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … ,
∈ atau { , , … , } ⊂ dikatakan bebas linier liniearly independent jika
, , … , ∈ ℱ dan
+ + ⋯ +
= � � vektor nol
berakibat =
= ⋯ = = .
Teorema 2.2.9 Darmawijaya, 2007
Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … ,
∈ tak bebas linier jika dan hanya jika terdapat
� dengan �
sehingga vektor merupakan kombinasi linier
− vektor – vektor lainnya.
Akibat 2.2.10 Darmawijaya, 2007
Diberikan ruang vektor atas lapangan
ℱ. Vektor – vektor , , … , ∈
bebas linier jika dan hanya jika untuk setiap �,
� .
Vektor bukan merupakan kombinasi linier
− vektor – vektor lainnya.
Teorema 2.2.11 Darmawijaya, 2007
Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , bebas
linier jika dan hanya jika setiap persamaan
∑ = ∑
= =
berakibat = untuk setiap �.
2.3 Basis dan Dimensi Definisi 2.3.1 Darmawijaya, 2007
Kategori