2.10 Basis Orthonormal Definisi 2.10.1 Darmawijaya, 2007
i Basis ortogonal ortogonal basis di dalam ruang pre-Hilbert adalah basis
yang setiap dua vektornya saling tegak lurus. ii
Basis ortonormal orthonormal basis di dalam suatu ruang pre-Hilbert adalah basis ortogonal dan setiap anggotanya merupakan vektor satuan
normanya sama dengan 1.
Teorema 2.10.2 Darmawijaya, 2007
Diketahui ruang Hilbert ℋ mempunyai basis orthonormal { }. Diperoleh
pernyataan ∈ ℋ jika dan hanya jika ada { } ∈ ℓ sehingga
= ∑
∞ =
2.11 Operator pada Ruang Hilbert
Teorema 2.11.1 Darmawijaya, 2007
Diketahui ℋ dan � masing – masing ruang Hilbert. Untuk setiap ∈ ℒ �, ℋ
terdapat ∈ ℒ �, ℋ tunggal sehingga untuk setiap ∈ ℋ dan ∈ �
berakibat
, = ,
Definisi 2.11.2 Darmawijaya, 2007
Diberikan dua ruang Hilbert ℋdan �. Menurut teorema 2.11.1, untuk setiap
operator ∈ ℒ �, ℋ terdapat ∈ ℒ �, ℋ sehingga
, = ,
Untuk setiap
∈ ℋ dan ∈ �. Operator disebut operator adjoint atau operator pendamping terhadap operator .
Teorema 2.11.3 Darmawijaya, 2007
Ini adalah sifat – sifat operator pedamping. Diberikan dua ruang Hilbert ℋ dan
�. Jika , ∈ ℒ ℋ, � dan sebarang skalar maka
i +
= +
ii = ̅
iii =
= iv
‖ ‖ = ‖
‖ = ‖ ‖ = ‖ ‖ v
= ⟺ = operator nol.
Teorema 2.11.4 Darmawijaya, 2007
Diketahui ℋ, � dan masing – masing ruang Hilbert. Jika ∈ ℒ ℋ, � dan
∈ ℒ �, maka
∈ ℒ , ℋ dan
=
Teorema 2.11.5 Darmawijaya, 2007
Diketahui ℋ
� masing – masing ruang Hilbert. ∈ ℒ ℋ, � , � ⊂ ℋ dan ℬ ⊂ �. Jika � ⊂ ℬ, maka
ℬ
⊥
⊂ �
⊥
.
Teorema 2.11.6 Darmawijaya, 2007
Diketahui dan berturut-turut merupakan ruang bagian yang tertutup di dalam
ruang Hilbert ℋ
�. Untuk setiap ∈ ℒ ℋ, � diperoleh ⊂ jika
dan hanya jika
⊥
⊂
⊥
.
Teorema 2.11.7 Darmawijaya, 2007
Diketahui ℋ
� masing – masing ruang Hilbert. Jika ∈ ℒ ℋ, � maka i
{ : ∈ ℋ = �̅} = {
� }
⊥
ii { : ∈ ℋ
= �̅}
⊥
= �
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ iii
{ : ∈ � = �} = { ℋ }
⊥
iv { : ∈ �
= �}
⊥
= ℋ ̅̅̅̅̅̅̅
Definisi 2.11.8 Darmawijaya, 2007
Diketahui ℋ suatu ruang Hilbert ∈ ℒ ℋ disebut :
1. Operator isometrik isometric operator jika
= ; 2.
Operator uniter unitary operator jika =
= ; 3.
Operator mandiri self adjoint operator jika = ;
4. Operator proyeksi projection operator jika
= dan = ;
5. Operator normal normal operator jika
= .
2.12 Operator Hilbert Schmidt
