Sisipan dalam Barisan Geometri (Pengayaan)

b. Sisipan dalam Barisan Geometri (Pengayaan)

Seperti pada barisan aritmetika, pada barisan geometri juga dapat disisipkan beberapa suku di antara setiap dua suku yang berurutan sehingga diperoleh barisan geometri yang baru. Perhatikan barisan geometri baku berikut.

a, ar, ar 2 , ar 3 , ..., ar n–1

Jika di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkan k bilangan, diperoleh barisan geometri baru dengan suku pertama sama dengan suku pertama barisan geometri semula

yaitu U 1 = a, rasio = r', dan banyaknya suku yang baru adalah n'. Untuk mengetahui hubungan antara r' dan n' dengan r dan n, perhatikan tabel berikut.

Tabel 3.3

Barisan Geometri Semula

Barisan Geometri Baru

1 U 1 2 42 U 4 3 ... U k + 1 U k + 2 43 4 U 1 k 4 + 3 4 U k 4 + 4 4 U 2 k 4 + 5 4 ... U 4 2 4 k 3 + 2 U 2+ k 3

k suku k suku

Dari tabel tersebut, tampak adanya kesesuaian antara suku ke-2 barisan semula, yaitu U 2 = ar dengan suku ke- (k + 2) pada barisan yang baru, yaitu U' k+2 = a(r') k+1 sehingga diperoleh

Barisan dan Deret 113

ar = a(r') k+1 ‹ r = (r') k+1

‹ r' = k +1 r Dengan demikian, rumus suku ke-n pada barisan yang baru adalah

U = a(r') n'–1 n'

dengan n' = n + (n – 1)k dan r' = k +1 r

Contoh:

Diketahui barisan geometri 1, 9, 81, .... Di antara masing-masing suku yang berurutan disisipkan satu suku sehingga terbentuk barisan geometri yang baru. Tentukan rasio dan suku ke-8 dari barisan yang baru.

Penyelesaian:

Barisan geometri semula adalah 1, 9, 81, .... Berarti a = 1 dan r = 9. Di antara dua suku yang berurutan disisipkan 1 suku (k = 1) sehingga rasio barisan yang baru adalah

k +1

r' = + r = 11 9 = 9 = 3.

Oleh karena itu, suku ke-8 barisan yang baru adalah U

8 = a(r') 8–1 = 1( 3 ) = 2.187.

Uji Kompetensi 6

Kerjakan di buku tugas

1. Dari barisan-barisan geometri berikut, tentukan suku pertama, rasio, suku ke-12, dan suku ke-15.

2. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 35 dan hasil kalinya 1.000. Tentukan ketiga bilangan tersebut.

3. Bilangan k – 2, k – 6, dan 2k + 3, untuk k > 0, membentuk tiga suku pertama dari deret geometri. Tentukan ketiga bilangan tersebut.

4. Jika 2k – 5, k – 4, dan (k – 4) adalah tiga bilangan yang membentuk barisan 5

geometri, tentukan nilai k.

5. Tiga buah bilangan membentuk suatu barisan geometri, dengan rasio lebih besar dari satu. Jika bilangan terakhir dikurangi 3, ketiga bilangan itu membentuk barisan aritmetika, sedangkan jika ketiga bilangan itu dijumlahkan, hasilnya adalah 54. Tentukan selisih bilangan ke-3 dan bilangan ke-1.

6. Jika suku pertama dan ke-3 dari barisan geometri masing-masing adalah 3 m dan m, untuk m > 0, tentukan suku ke-13 dan ke-15.

7. Sebuah tali dipotong menjadi 6 bagian. Panjang bagian yang satu dengan yang lain membentuk suatu barisan geometri. Jika potongan tali terpendek adalah 3 cm dan terpanjang adalah 96 cm, tentukan panjang tali semula.

114 Mmt Aplikasi SMA 3 Bhs

8. Diketahui barisan geometri 1, 8, 64, .... Di antara masing-masing suku yang berurutan disisipkan dua suku sehingga terbentuk barisan geometri yang baru. Tentukan rasio dan suku ke-10 dari barisan geometri yang baru.

Soal Terbuka

Kerjakan di buku tugas

1. Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat

2x + x + a = 0. Jika p, q, dan pq membentuk barisan

geometri, tentukan nilai a.

2. Tiga bilangan positif membentuk barisan geometri, dengan rasio r > 1. Jika suku tengah ditambah 4, terbentuk sebuah barisan aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan aritmetika itu 30, tentukan hasil kali ketiga bilangan itu.