Deret Geometri

c. Deret Geometri

Seperti halnya deret-deret lainnya yang diperoleh

Tes Mandiri

dengan menjumlahkan suku-sukunya, deret geometri atau Kerjakan di buku tugas deret ukur adalah suatu deret yang diperoleh dengan

menjumlahkan suku-suku barisan geometri. Oleh karena itu, Jika r rasio (pem-

banding) suatu deret

jika a, ar, ar 2 , ..., ar n–1 adalah barisan geometri baku, deret geometrik tak hingga

2 a, ar, ar n–1 , ..., ar disebut deret geometri baku.

yang konvergen dan S

Jumlah n suku pertama dari deret geometri dinyatakan jumlah deret geometrik

tak hingga

dengan S n sehingga

S = a + ar + ar 2 + ... + ar n–1

= - ar . Rumus jumlah n

k = 1 + 1 3 + ...

suku pertama dari deret geometri dapat ditentukan sebagai ( 3 + r )

berikut. maka ....

Jadi, rumus jumlah n suku pertama suatu deret geometri

adalah sebagai berikut. e. 5 < S < 5

a Soal UMPTN, Ke- (1 < r )

S = , untuk r < 1

mampuan IPA, 1998

a n ( r < 1) S n = , untuk r > 1

Apa yang terjadi jika r = 1?

Barisan dan Deret 115

Tugas Eksplorasi

Kerjakan di buku tugas

Ambil sembarang deret geometri yang banyaknya suku ganjil. Perhatikan bahwa suku tengah deret tersebut dalah U t =

U 1 u U n = U 2 u U n < 1 = U 3 u U n < 2 = U 4 u U n < 3 demikian seterusnya.

Contoh:

1. Tentukan jumlah lima suku pertama dari deret 1 + 2 + 4 + 8 + ...

Penyelesaian:

1 + 2 + 4 + 8 + ..., berarti a = 1 dan r = 2 > 1.

2. Suatu deret geometri dinyatakan dengan notasi sigma S n = - 3 × 2 . Tentukan

berikut ini.

a. Suku pertama

b. Rasio

c. Rumus suku ke-n

d. Rumus jumlah n suku pertama

Penyelesaian:

3 × 2 n < Perhatikan bentuk 2 - .

Untuk n = 3, maka 3 × 2 n–2 =3 × 2 3–2 =3 × 2 = 6.

Untuk n = 4, maka 3 × 2 n–2 =3 × 2 4–2 =3 × 2 2 =3 × 4 = 12. Untuk n = 5, maka 3 × 2 n–2 =3 × 2 5–2 =3 × 2 3 =3 × 8 = 24.

M dan seterusnya.

Untuk n = 10, maka 3 × 2 n–2 =3 × 2 10 – 2 =3 × 2 8 =3 × 256 = 768. Oleh karena itu, bentuk panjangnya adalah 6 + 12 + 24 + ... + 768.

a. Tampak dari bentuk panjangnya bahwa suku pertamanya adalah 6. U 2 12

b. Rasio (r) = =

c. Rumus suku ke-n adalah U = ar n–1 =6 × 2 n n–1 =3 × 2 × 2 n–1 =3 × 2 n .

d. n Rumus jumlah n suku pertama adalah S

= 6(2 – 1). r < 1 2 < 1

116 Mmt Aplikasi SMA 3 Bhs

Problem Solving

Diketahui deret geometri 10 + 40 + 160 + ... (sampai dengan 6 suku). Di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkan satu suku sehingga terbentuk deret geometri baru.

a. Hitunglah jumlah deret geometri semula.

b. Hitunglah jumlah deret geometri yang baru.

c. Hitunglah jumlah suku-suku yang disisipkan.

Penyelesaian:

40 Suku pertama deret geometri yang diberikan adalah a = 10, rasionya r =

= 4, dan 10

banyaknya suku n = 6.

a. Jumlah deret geometri semula adalah

b. Di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkan satu suku sehingga terbentuk deret geometri baru dengan r' = 11 + r = 4 = 2 dan n' = n + (n – 1)k = 6 + (6 – 1)1 = 11.

Berarti, jumlah deret geometri yang baru adalah 10(2 11

S = < 1)

c. Jumlah suku-suku yang disisipkan = jumlah deret geometri yang baru – jumlah deret geometri semula = 20.470 – 13.650 = 6.850

Uji Kompetensi 7

Kerjakan di buku tugas

1. Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri berikut.

2. Dalam satu deret geometri diketahui suku ke-9 dan suku ke-4 masing-masing adalah 128 dan –4. Tentukan suku ke-12 dan jumlah 10 suku pertama deret tersebut.

3. Dalam suatu deret geometri diketahui suku pertama dan suku ke-3 masing-masing adalah 64 dan 16. Tentukan suku ke-15 dan jumlah 15 suku pertama deret tersebut.

4. Bilangan k – 2, k – 6, dan 2k + 3 membentuk deret geometri. Tentukan jumlah n

suku pertama deret tersebut jika U 1 = k – 2.

Barisan dan Deret 117

5. Diketahui deret geometri 1 + + + .... Di antara dua suku yang berurutan

disisipkan satu suku sehingga terbentuk deret geometri baru.Tentukan suku ke-8 dan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri yang baru.

6. Diketahui deret geometri 2 + 16 + 128 + ... (sampai dengan 10 suku). Di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkan dua suku sehingga terbentuk deret geometri baru.

a. Hitunglah jumlah deret geometri semula.

b. Hitunglah jumlah deret geometri yang baru.

c. Hitunglah jumlah suku-suku yang disisipkan.