2.2 LINIER PROGRAMMING
2.2.1 Model Linier Programming
Linier programming merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal.
Linier programming memakai suatu model matematis yang menggambarkan masalah yang dihadapi. Linier memiliki arti bahwa semua fungsi matematis dalam model harus
merupakan fungsi-fungsi linier, sedangkan programmingpemrograman dapat diartikan sebagai perencanaan. Dengan demikian linier programming dapat
didefenisikan sebagai membuat rencana kegiatan-kegiatan dengan menggunakan suatu model umum dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber daya-sumber daya
yang terbatas secara optimal.
Model dasar atau Persamaan linier dapat dirumuskan sebagai berikut : Cari nilai-nilai
yang dapat menghasilkan berbagai kombinasi optimum maksimum atau minimum dari :
n
X X
X ,...,
,
2 1
n n
X C
X C
X C
Z
...
2 2
1 1
fungsi tujuan
Dengan syarat bahwa fungsi tujuan tersebut memenuhi kendala-kendala atau syarat-syarat ikatan sebagai berikut :
2 2
2 22
2 21
1 1
2 12
1 11
... ...
b atau
X a
X a
X a
b atau
X a
X a
X a
n n
n n
. .
. .
. .
. .
. .
. .
m n
mn m
m
b atau
X a
X a
X a
...
2 2
1 1
dan bahwa : j = 1,2,…,n
untuk X
j
,
syarat non-negatif
Universitas Sumatera Utara
atau dalam bentuk kompaknya : optimumkan maksimumkan atau minimumkan :
n j
i i
X C
Z
1
untuk j = 1, 2, …n
dengan syarat ikatan :
n i
i j
ij
b atau
X a
1
, untuk i = 1, 2, … m
Konsep linier programming ditemukan dan diperkenalkan pertama kali oleh George Dantzig yang berupa metode mencari solusi masalah linier programming
dengan banyak variabel keputusan. Kemudian banyak ahli yang bergabung dengan Dantzig dalam konsep pengembangan linier programming. Paper pertamanya adalah
metode solusi yang bernama metode simplex. Dalam pengembangan linier programming, Dantzig bekerjasama dengan Marshal Wood dan Alex O, dan masih
banyak para ahli yang lainnya ikut. Kemudian, setelah berhasil diterapkan pada sektor pemerintah dan swasta, akhirnya disadari bahwa linier programming merupakan
masalah yang sangat membantu dalam analisis bidang bisnis.
Model Linier Programming ini merupakan bentuk dan susunan dari dalam menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan teknik linier
programming. Dalam model linier programming dikenal 2 dua macam fungsi, yaitu :
1. fungsi tujuan objective function adalah fungsi yang menggambarkan
tujuansasaran di dalam permasalahan linier programming yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal, untuk memperoleh keuntungan maksimal
atau biaya minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z.
2. fungsi batasan constraint function adalah bentuk penyajian secara matematis
batasan-batasan kapasitas yang tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan.
Universitas Sumatera Utara
Tabel 2.1 Tabel Awal Linier Programming
1 2
3 4
5
1
C
j
1
X
… …
… …
2
X
k
X
n
X
1
d
l
d
n
d
B
C
B
V
B
W
0 0 … 0 … 0 …
…
1
w
l
w
n
w
1
d
1
X
1
b
11
a
12
a
2 …
… 1 … 0 … 0
k
a
1 n
a
1
2
d
2
X
2
b
21
a
22
a
… …
0 … 0 … 0
k
a
2 n
a
2
… … … ……………………………………………………… 3
Baris 1
l
d
l
X
l
b
1 l
a …
… 0 … 1 … 0
2 l
a
lk
a
ln
a
… …
… ………………………………………………………
n
d
n
X
n
b
nl
a …
… 0 … 0 … 1
2 n
a
nk
a
n
a
i i
d b
: Variabel keputusan dan variabel deviasi
Kolom 5 : Nilai sebelah kanan
putusan Kolom 4
: Matriks identitas menunjukkan pemasukan variabel deviasi negatif
Kolom 1 : Faktor prioritas
dan bobot untuk setiap variabel deviasi positif
yakni variabel basis dan memasukkan variabel deviasi artificial
Kolom 2 :
wakili jumlah total deviasi dari
Baris 2 :
fungsi objektif.
j
X
i
d .
Kolom 3 : Koefisien variabel ke
ij
a .
.
i
d
i
P
i
W
seperti ditampilkan dalam kolom 2. Nilai total deviasi absolut, yang me
semua tujuan untuk tiap tabel sebagai interasi proses pendapatan. Vektor baris dari penunjuk nol pada proses perhitungan
Baris 3 : Bobot
untuk setiap variabel deviasi yang dimasukkan dalam
i
W Z
j
C
j
– Z
j
Universitas Sumatera Utara
Pada garis besarnya langkah-langkah dalam analisis persoalan linier programming dengan metode simpleks adalah seperti terlihat dalam Gambar 2.3.
Langkah
Langkah 1
Langkah 1
Langkah 2
Langkah 3
Langkah 4
Konversikan semua ketidaksamaan menjadi kesamaan bentuk baku:
Gunakan peubah disposal slack dan surplus atau artifisial
Tentukan penyelesaian pendahuluan yang layak initial basic feasible solution :
Gunakan peubah astifisialpeubah disposal
Lakukan penyempurnaan penyelesaian kelayakan
Penyelesaian kelayakan yang
dicari perlu diteruskan …?
Apakah penyelesaian
kelayakan yang kini sudah layak
feasible dan optimal …?
Carilah penyelesaian
kelayakan yang lebih
baik
Penyelesaian kelayakan sudah
optimal Tidak ada penyelesaian
tidak layaktidak optimal
MULAI
SELESAI
Gambar 2.3 Langkah-langkah dalam analisis PL dengan metode simpleks
Universitas Sumatera Utara
2.2.2 Asumsi-Asumsi Dasar Linier Programming
Dalam model linier programming terdapat asumsi-asumsi yang harus dipenuhi agar permasalahan linier programming menjadi absah, adapun asumsi linier programming
adalah sebagai berikut :
1. Proportionality
Asumsi ini berarti bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding propotional dengan
perubahan tingkat kegiatan. contoh :
a.
n n
X C
X C
X C
X C
Z
.......
3 3
2 2
1 1
Setiap pertambahan 1 unit X
1
akan menaikkan Z sebesar C
1
b.
1 3
13 2
12 1
11
....... b
X a
X a
X a
X a
n n
Setiap pertambahan 1 unit X
1
akan menaikkan penggunaan sumber sebesar a
11
2. Additivity
Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan setiap kegiatan bersifat independent bebastidak saling bergantung dan dalam linier programming dianggap
bahwa kenaikan nilai tujuan Z yang diakibatkan oleh suatu kegiatan dapat langsung ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai kegiatan lain.
misalnya : Z = 3X
1
+ 5X
2
dengan X
1
= 10 ; X
2
= 2 sehingga Z = 30 + 10 = 40
Andaikan X
1
bertambah 1 unit, maka sesuai dengan asumsi pertama, nilai Z menjadi 40 + 3 = 43. Jadi nilai 3 karena kenaikan X
1
dapat langsung ditambahkan pada nilai Z mula-mula tanpa mengurangi bagian Z yang
diperoleh dari kegiatan 2 X
2
. Dengan kata lain, tidak ada korelasi antara X
1
dan X
2
.
Universitas Sumatera Utara
3. Divisibility
Dalam linier programming diperbolehkan menggunakan angka pecahan. misalnya :
dari hasil perhitungan didapat nilai X
1
= 4,5 ; X
2
= 7,25 dan Z = 85.000,25
Dalam hal tertentu nilai pecahan ini harus dibulatkan dengan menggunakan integer, misalnya : jumlah mahasiswa diperguruan tinggi tidak mungkin dalam
bentuk pecahan.
4. Deterministik
Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model linier programming yang berupa a
ij
, b
i
dan C
j
dapat diketahui secara pasti.
2.2.3 Terminologi Linier Programming
Agar memahami dengan baik bidang yang dipelajari , pembaca selalu harus mengerti istilah-istilah dan lambang-lambang khusus yang digunakan orang dalam bidang studi
itu. Berikut ini adalah defenisi dari beberapa istilah dan lambang yang biasa digunakan dalam Linier Programming.
1. Decision variabel adalah seperangkat variabel yang tidak diketahui
dilambangkan
j
x , dengan j =1, 2, … n yang akan dicari nilainya variabel keputusan.
2. Right hand side value RHS adalah nilai-nilai yang biasanya menunjukkan
ketersediaan sumber daya dilambangkan dengan
i
b yang akan ditentukan kekurangan atau kelebihan penggunaannya nilai sisi kanan.
3. Variabel Dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi kanan dari
persamaan. 4.
Kolom Kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel. Pilih kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi tujuan yang bernilai
negatif dengan angka terbesar.
Universitas Sumatera Utara
5. Baris Kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah tabel
tersebut. Untuk itu terlebih dahulu carilah indeks tiap-tiap baris dengan cara membagi nilai-nilai pada kolom RHS dengan nilai yang sebaris pada kolom
kunci. 6.
Angka Kunci Pivot merupakan perpotongan antara kolom kunci dengan baris kunci.
2.2.4 Unsur-Unsur Linier Programming
Setiap model Linier Programming paling sedikit terdiri dari dua komponen yaitu : fungsi tujuan, dan kendala-kendala tujuan.
Fungsi Tujuan
Adapun fungsi tujuan dalam linier programming, yaitu : Minimumkan
m i
i i
d d
Z
1
Dalam hal ini peubah deviasi positif dan deviasi negatif adalah tidak lain daripada peubah-peubah slek dan surplus.
Model Linier Programming, nilai yang tidak diketahui, tetapi akan
melakukannya secara tidak langsung melalui minimisasi simpangan negatif dan positif dari nilai RHS kendala tujuan. Linier Programming mencari nilai solusi
secara langsung melalui minimisasi penyimpangan-penyimpangan dari nilai RHSnya.
j
x
j
x
Kendala Tujuan
Ada empat jenis kendala tujuan yang berlainan. Maksud setiap jenis kendala itu ditentukan oleh hubungannya dengan fungsi tujuan. Pada Tabel 2.1 disajikan keempat
jenis kendala itu. Terlihat bahwa setiap jenis kendala tujuan harus punya satu atau dua variabel simpangan yang ditempatkan pada fungsi tujuan. Dimungkinkan adanya
kendala-kendala yang tidak memiliki variabel simpangan. Kendala-kendala ini sama seperti kendala-kendala persamaan linier. Persamaan pertama pada Tabel 2.1
maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ≤ dalam masalah program linier
maksimasi. Persamaan kedua maknanya serupa dengan kendala pertidaksamaan ≥
pada masalah program linier minimisasi. Persamaan ketiga memperbolehkan penyimpangan dua arah, tetapi persamaan ini mancari penggunaan sumber daya yang
Universitas Sumatera Utara
diinginkan sama dengan . Jika kendala persamaan dianggap perlu dalam perumusan
model linier programming, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah artificial variabel
, seperti pada persamaan keempat.
i
b
i
d
2.3 Analisis Dualitas
Kategori