Penentuan Selang Kepercayaan Yang Bersifat Fuzzy Dari Koefisien Multiple Regresi

PENENTUAN SELANG KEPERCAYAAN YANG BERSIFAT

FUZZY DARI KOEFISIEN MULTIPLE REGRESI

SKRIPSI

HANNARIA RH SINAGA

080823003

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2010

PENENTUAN SELANG KEPERCAYAAN YANG BERSIFAT

FUZZY DARI KOEFISIEN MULTIPLE REGRESI

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

HANNARIA RH SINAGA

080823003

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2010

PERSETUJUAN

Judul : PENENTUAN SELANG KEPERCAYAAN YANG BERSIFAT

FUZZY DARI KOEFISIEN MULTIPLE REGRESI Kategori : SKRIPSI

Nama : HANNARIA RH. SINAGA

NIM : 080823003

Program Studi : S1 MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, 15 Oktober 2010

Komisi Pembimbing

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Drs. Djakaria Sebayang Drs. Marwan Harahap, M.Eng NIP. 19511271985031002 NIP. 194612251974031001

Diketahui/Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP.196401091988031004

PERNYATAAN

PENENTUAN SELANG KEPERCAYAAN YANG BERSIFAT FUZZY DARI KOEFISIEN MULTIPLE REGRESI

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing–masing disebutkan sumbernya.

Medan, 15 Oktober 2010

HANNARIA RH. SINAGA 080823003

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, atas kasih dan berkat-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dalam waktu yang ditetapkan.

Ucapan terima kasih saya sampaikan kepada:

1. Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Drs. Djakaria Sebayang selaku pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan tulisan ini.

2. Drs. Pasukat Sembiring, M.Si dan Dra. Elvina Herawati, M.Si selaku pembanding pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberikan panduan dan kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan tulisan ini.

3. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Ketua dan Sekretaris Departemen Dr. Saib Suwilo, M.Sc dan Drs. Henri Rani Sitepu, M.Si.

4. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, semua dosen pada Program S1 Matematika FMIPA USU.

5. Kedua orang tua saya S. Sinaga dan R. Saragih serta abang dan kedua adik saya Andyka Sinaga, Desy CH. Sinaga dan Christian Sinaga dan seluruh keluarga saya yang selalu memberi dukungan dan arahan selama ini.

6. Teman-teman yang telah membantu saya Jenhery Purba, Benny Sofyan Samosir, Vitis Jeniver, Hendra Pasaribu, Hadisem Lase, Amir Irianto Sinaga, Harvi Rahman, Lewi S. Tarigan. Thanks for everything buat motivasi, kehangatan keluarga dan keceriaannya.

Tuhan bagiMu tiada yang mustahil, penulis memanjatkan doa kepada Tuhan Yang Maha Esa agar segala kebaikan dan bantuan yang diberikan kepada penulis dapat dibalas oleh Tuhan.

ABSTRAK

Didalam pengambilan sampel dari populasi, diharapkan mendapatkan pengetahuan mengenai populasi. Penggunaan estimasi titik terkadang tidak cukup baik dalam menentukan dimana parameter berada. Untuk itu digunakan estimasi selang yang jauh lebih baik karena mengandung tingkat kesalahan yang lebih kecil dan mendekati nilai kebenaran pada populasi. Menentukan luas selang kepercayaan melalui seberapa yakin nilai kepercayaan yang diambil memenuhi parameter. Karena selang kepercayaan tersebut mempunyai batas yang tidak tegas, maka disini digunakan fuzzy set yaitu alpha-cut dan direpresentasikan dengan fungsi keanggotaan fuzzy set dalam bentuk kurva trapesium. Penggunaan alpha-cut tersebut digunakan untuk memprediksi selang kepercayaan pada multiple regresi.

Penggunaan fuzzy set yaitu alpha-cut didalam multiple regresi sangat memungkinkan untuk memprediksi selang kepercayaan. Koefisien pada multiple regresi digunakan sebagai penaksir fuzzy. Maka dari itu, penelitian ini menggunakan pendekatan fuzzy pada multiple regresi.

Dalam kajian ini dimisalkan variabel bebasnya adalah serta variabel tak bebasnya adalah y. Bentuk persamaan multiple regresi fuzzy adalah :

DETERMINATION OF CONFIDANCE INTERVAL WITH FUZZY CHARACTER FROM COEFICIEN

OF MULTIPLE REGRESSION

ABSTRACT

In taking sample from population, we hope to take more knowledge about population. Sometimes using of point estimation is not good enough for determining where parameter is. Hence, using of interval estimation is better than using of pointestimation owing to contains smaller error level and near the true value of population. Determining confidence interval area through how much we sure that confidence value which taken satisfy the parameter. Because the confidence interval has uncrisplimit, so it’s be used fuzzy set here, that is alpha-cut and it’s represented by fuzzy set membership function in trapezium curve form. The using of the alpha-cut is used to predict the confidence interval in multiple regression.

Using of fuzzy set like as alpha-cut in multiple regression is so possible to predict the confidence interval. The coefficient in multiple regression is used as fuzzy estimator. Hence from at that, this research explains how to get conffidence interval by using fuzzy approach in multiple regression.

In this study, independent variable are , and dependent variable is y

.

The equation form of fuzzy multiple regression is

DAFTAR ISI

Persetujuan ii

Pernyataan iii

Penghargaan iv

Abstrak v

Abstract vi

Daftar Isi vii

Daftar Gambar viii

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Perumusan Masalah 2

1.3 Tinjauan Pustaka 2

1.4 Tujuan Penelitian 4

1.5 Kontribusi Penelitian 5

1.6 Metode Penelitian 5

BAB 2 LANDASAN TEORI 6

2.1 Himpunan Fuzzy 6

2.1.1 Alpha-Cuts (α-cuts) 8

2.1.2 Bentuk Persamaan Regresi Fuzzy 10

2.2 Analisis Regresi 11

2.2.1 Regresi Linear sederhana 12

2.2.2 Metode Kuadrat Terkecil 12

2.2.3 Metode Regresi Kuadrat Terkecil 14

2.3 Selang Kepercayaan 15

2.3.1 Estimasi Tunggal 15

2.3.2 Estimasi Interval 16

2.3.3 Selang Kepercayaan pada Koefisien Multiple Regresi 16 2.3.4 Prediksi Selang Kepercayaan pada Multiple Regresi 17

BAB 3 PEMBAHASAN DAN HASIL 20

3.1 Multiple Regresi 20

3.2 Penaksir Fuzzy 25

3.3 Contoh Kasus 25

3.4 Prediksi Fuzzy 27

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 34

4.1 Kesimpulan 34

4.2 Saran 35

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Representasi Linear Naik 9

Gambar 2.2 Representasi kurva segitiga 9

ABSTRAK

Didalam pengambilan sampel dari populasi, diharapkan mendapatkan pengetahuan mengenai populasi. Penggunaan estimasi titik terkadang tidak cukup baik dalam menentukan dimana parameter berada. Untuk itu digunakan estimasi selang yang jauh lebih baik karena mengandung tingkat kesalahan yang lebih kecil dan mendekati nilai kebenaran pada populasi. Menentukan luas selang kepercayaan melalui seberapa yakin nilai kepercayaan yang diambil memenuhi parameter. Karena selang kepercayaan tersebut mempunyai batas yang tidak tegas, maka disini digunakan fuzzy set yaitu alpha-cut dan direpresentasikan dengan fungsi keanggotaan fuzzy set dalam bentuk kurva trapesium. Penggunaan alpha-cut tersebut digunakan untuk memprediksi selang kepercayaan pada multiple regresi.

Penggunaan fuzzy set yaitu alpha-cut didalam multiple regresi sangat memungkinkan untuk memprediksi selang kepercayaan. Koefisien pada multiple regresi digunakan sebagai penaksir fuzzy. Maka dari itu, penelitian ini menggunakan pendekatan fuzzy pada multiple regresi.

Dalam kajian ini dimisalkan variabel bebasnya adalah serta variabel tak bebasnya adalah y. Bentuk persamaan multiple regresi fuzzy adalah :

DETERMINATION OF CONFIDANCE INTERVAL WITH FUZZY CHARACTER FROM COEFICIEN

OF MULTIPLE REGRESSION

ABSTRACT

In taking sample from population, we hope to take more knowledge about population. Sometimes using of point estimation is not good enough for determining where parameter is. Hence, using of interval estimation is better than using of pointestimation owing to contains smaller error level and near the true value of population. Determining confidence interval area through how much we sure that confidence value which taken satisfy the parameter. Because the confidence interval has uncrisplimit, so it’s be used fuzzy set here, that is alpha-cut and it’s represented by fuzzy set membership function in trapezium curve form. The using of the alpha-cut is used to predict the confidence interval in multiple regression.

Using of fuzzy set like as alpha-cut in multiple regression is so possible to predict the confidence interval. The coefficient in multiple regression is used as fuzzy estimator. Hence from at that, this research explains how to get conffidence interval by using fuzzy approach in multiple regression.

In this study, independent variable are , and dependent variable is y

.

The equation form of fuzzy multiple regression is

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari tidak terlepas dari data, baik itu bersifat kuantitatif maupun kualitatif. Apabila dikumpulkan data dari seluruh elemen dalam suatu populasi, maka akan diperoleh informasi yang sesungguhnya, yang biasanya dikenal dengan istilah parameter, sedangkan jika dilakukan penarikan sampel (mengumpulkan data sebagian elemen dari suatu populasi) maka akan diperoleh hasil berupa data pendugaan yang biasanya disebut statistik. Jadi statistik merupakan penduga dari parameter. Tidak akan diketahui harga-harga parameter tersebut selama tidak dilakukan observasi yang menyeluruh dan yang meliputi seluruh populasi itu. Untuk itu diambil sampel yang representative dari populasi tersebut.

Dari data sampel yang diambil tersebut dapat diamati apakah mempunyai hubungan atau berdampak terhadap peristiwa lain. Anggap kasus yang dipilih perubahan harga suatu barang akan berpengaruh terhadap jumlah yang diminta bagi barang tersebut, jumlah makanan yang diberikan pada ternak berhubungan dengan berat badannya, dan sebagainya. Secara umum, perubahan nilai suatu variabel tidak selalu terjadi dengan sendirinya, namun perubahan nilai variabel lain yang berhubungan dengan variabel tersebut. Perubahan nilai dua variabel lain yang memiliki hubungan sebab akibat akan cenderung membentuk pola tertentu. Pola yang

terbentuk dari hubungan dua variabel ini menunjukkan hubungan linear maupun nonlinear. Untuk mengetahui pola perubahan nilai suatu variabel yang disebabkan variabel lain diperlukan alat analisis yang memungkinkan untuk membuat perkiraan nilai variabel tersebut pada nilai tertentu variabel yang mempengaruhinya. Untuk itu digunakan selang kepercayaan.

1.2Perumusan Masalah

Menentukan persamaan regresi populasi berdasarkan regresi sampel yang diambil dari parameter, melihat sejauhmana regresi sampel dapat mendekati nilai kebenaran pada regresi populasi menggunakan selang kepercayaan dengan penaksir fuzzy. Kemudian memprediksi selang kepercayaan tersebut pada multiple regresi.

1.3Tinjauan Pustaka

Multiple regresi banyak dibahas, beberapa permasalahan regresi dapat mencakup lebih dari satu variabel bebas. Model-model regresi yang menggunakan lebih dari satu variabel bebas disebut model regresi berganda. Regresi berganda adalah salah satu teknik statistik yang digunakan secara luas.

Apabila variabel Y mempunyai hubungan linear dengan n buah variabel X, maka model matematika multiple regresinya adalah :

Dengan :

Y = variabel dependent atau respon X = variabel independent atau predictor

= konstanta yang merupakan titik potong kurva terhadap sumbu y = kemiringan kurva linier

= nilai kesalahan

Pada model regresi linier, yaitu model regresi dimana nilai ekspektasi variabel dependent berhubungan linier terhadap seluruh variabel independent. Misalnya untuk kasus dimana variabel dependent Y, berhubungan dengan sepasang variabel independent dan , digunakan untuk mewakili nilai ekspektasi variabel dependent bila variabel independentnya mempunyai nilai dan

maka

Untuk memudahkan perhitungan notasi untuk diganti dengan a,b,c sehingga diperoleh model matematika multiple regresinya adalah:

Untuk menghitung selang kepercayaan pada koefisien multiple regresi digunakan distribusi t yaitu:

Dimana sehingga dengan tingkat kepercayaan 100(1- )% maka:

Dengan tingkat kepercayaan 100(1- )%, maka rumus selang kepercayaan untuk a yaitu:

Sedangkan rumus confident interval (1-a)100% untuk b yaitu

Dan rumus confident interval (1-a)100% untuk c yaitu

Dimana = nilai taksiran a, b, dan c. = nilai untuk distribusi t = nilai taksiran varians

= matriks A berukuran 3 x 3

= elemen pertama pada diagonal matriks A = elemen kedua pada diagonal matriks A = elemen ketiga pada diagonal matriks A

Untuk memprediksi fuzzy digunakan model matematika multiple regresi fuzzy sebagai berikut:

Dimana dengan merupakan bilangan fuzzy merupakan bilangan real.

Nilai fuzzy untuk diperoleh dengan menggunakan alpha cuts yaitu:

Dan

1.4Tujuan Penelitian

Menguraikan cara untuk mendapatkan keputusan dengan menggunakan pendekatan fuzzy menggunakan alpha cuts pada multiple regresi.

1.5Kontribusi Penelitian

Dengan diketahuinya bagaimana cara mendapatkan keputusan dengan penaksir fuzzy pada multiple regresi, maka dapat dilihat sejauhmana koefisien multiple regresi tersebut berada pada pengambilan keputusan. Disamping itu dengan memprediksi selang kepercayaan tersebut diharapkan sebagai dasar pembuatan keputusan/pemecahan persoalan ataupun untuk dasar penelitian lebih lanjut, untuk mengetahui besarnya pengaruh dari setiap variabel bebas (yang tercakup dalam persamaan) terhadap variabel tak bebas.

1.6Metode Penelitian

Membentuk persamaan multiple regresi dari jumlah deviasi kuadrat (regresi kuadrat terkecil) menggunakan matriks dengan dua variabel bebas dan satu variabel terikat. Berdasarkan matriks tersebut dihitung selang kepercayaan untuk setiap koefisien pada multiple regresi yang kemudian digunakan sebagai penafsir fuzzy. Langkah terakhir yaitu menghitung prediksi fuzzy pada multiple regresi dan mengambil kesimpulan dari analisa yang diperoleh.

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Himpunan Fuzzy

Tidak semua himpunan yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari terdefinisi secara jelas, misalnya himpunan orang miskin, himpunan orang pandai, himpunan orang tinggi, dan sebagainya. Pada himpunan orang tinggi, misalnya, tidak dapat ditentukan secara tegas apakah seseorang adalah tinggi atau tidak. Anggap didefinisikan bahwa “orang tinggi” adalah orang yang tingginya lebih besar atau sama dengan 1.75 meter, maka orang yang tinnginya 1.74 meter menurut definisi tersebut termasuk orang yang tidak tinggi. Sulit diterima bahwa orang yang tingginya 1.74 meter itu tidak termasuk orang tinggi. Hal ini menunjukkan bahwa memang batas antara kelompok orang tinggi dan kelompok orang yang tidak tinggi tidak dapat ditentukan secara tegas.

Untuk mengatasi permasalahan himpunan dengan batas yang tidak tegas itu, Zadeh mengaitkan himpunan semacam itu dengan suatu fungsi yang menyatakan nilai keanggotaan pada suatu himpunan tak kosong sebarang dengan mengaitkan pada interval [0,1]. Fungsi ini disebut fungsi keanggotaan (membership function) dan nilai fungsi itu disebut derajat keanggotaan suatu unsur dalam himpunan tak kosong tersebut, yang selanjutnya disebut himpunan fuzzy.

Himpunan fuzzy (fuzzy set) adalah generalisasi dari konsep fungsi karakteristik. Dengan kata lain himpunan fuzzy didefinisikan sebagai berikut :

Jika Ω sebarang himpunan tak kosong, himpunan fuzzy pada Ω adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada himpunan Ω yang bernilai pada interval [0,1]. Yang dinotasikan dengan → [0,1].

Nilai pada x menyatakan nilai keanggotaan dari x pada Ω. Jika menyatakan nilai keanggotaan yang hanya mengambil dua nilai yaitu 0 dan 1 ;

Dengan untuk

untuk

Maka fungsi seperti ini disebut fungsi karakteristik.

Secara matematis suatu himpunan fuzzy pada Ω dapat dinyatakam sebagai himpunan pasangan terurut

Dimana adalah fungsi keanggotaan dari himpunan kabur , yang merupakan suatu pemetaan dari himpunan Ω ke selang tertutup [0,1]. Apabila himpunan Ω adalah himpunan yang diskrit, maka fuzzy seringkali dinyatakan dengan

Dimana lambang ∑ disini tidak melambangkan operasi penjumlahan seperti yang dikenal dalam aritmatika, tetapi melambangkan keseluruhan unsur-unsur

bersama dengan derajat keanggotaannya dalam himpunan fuzzy .

Contoh 2.3 : Dalam himpunan Ω = { -5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}, himpunan fuzzy dapat dinyatakan sebagai

Bilangan 5 dan -5 mempunyai derajat keanggotaan 0, yang biasanya tidak ditulis dalam penyajian himpunan fuzzy diskrit.

2.1.1 Alpha-Cuts (α-cuts)

Suatu cara lain untuk menyatakan suatu himpunan fuzzy, yaitu dengan menggunakan alpha-cuts. Alpha-Cuts adalah suatu himpunan yang nilai keanggotaannya lebih besar

atau sama dengan α dari suatu elemen anggota [0,1]. Himpunan seperti ini dinotasikan

dengan . Dan didefinisikan sebagai berikut:

Sedangkan alpha-cuts kuat dari himpunan fuzzy yaitu

Contoh 2.1.1: pada contoh 2.1, alpha-cuts dari dengan α = 0.5 adalah , sedangkan alpha-cuts kuatnya adalah .

Pada himpunan fuzzy dapat direpresentasikan melalui kurva-kurva berikut: a. Representasi Linear

Pada representasi linear, pemetaan input ke derajat keanggotaannya digambarkan sebagai suatu garis lurus. Ada dua keadaan himpunan fuzzy yang linear. Pertama, kenaikan himpunan dimulai pada nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan nol [0] bergerak ke kanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat kenggotaan lebih tinggi.

Gambar 2.1 Representasi Linear Naik Fungsi keanggotaan:

b. Representasi Kurva Segitiga

Kurva segitiga pada dasarnya merupakan gabungan antara 2 garis (linear) seperti terlihat pada gambar 2.2

Gambar 2.2 Representasi kurva segitiga Fungsi Keanggotaan :

c. Representasi Kurva Trapesium

Kurva Trapesium pada dasarnya seperti bentuk segitiga, hanya saja ada beberapa titik yang memiliki nilai keanggotaan 1.

Gambar 2.3 Kurva Trapesium Fungsi Keanggotaan:

2.1.2 Bentuk Persamaan Regresi Fuzzy

Bentuk hubungan linear antara variable Y mempunayai hubungan dengan dua variable bebas dan , maka model matematika multiple regresi fuzzy adalah :

Untuk dengan merupakan bilangan fuzzy dan merupakan bilangan real.

adalah penaksir bilangan fuzzy untuk rata-rata dari E(Y) diberikan untuk dengan notasi .

Nilai baru yang diperoleh untuk untuk memprediksi nilai fuzzy yang baru untuk E(Y) yaitu

Dan

Semua perhitungan fuzzy dilakukan menggunakan α-cuts dan interval aritmatik.

dan

Untuk semua dengan α-cuts adalah selang kepercayaan .

2.2 Metode Analisis Regresi

Dalam beberapa masalah terdapat dua atau lebih variable yang hubungannya tidak dapat dipisahkan, dan hal tersebut biasanya diselidiki sifat hubungannya. Analisis regresi adalah sebuah teknik statistika untuk memeriksa dan memodelkan hubungan diantara variable-variabel. Tahapan regresi terdiri dari 2 yaitu regresi sederhana dan multiple regresi. Penerapannya dapat dijumpai secara luas di banyak bidang seperti teknik, ekonomi, manajemen, ilmu-ilmu biologi, ilmu-ilmu social, dan ilmu-ilmu pertanian. Analisis regresi berguna dalam menelaah hubungan dua variable atau lebih, dan terutama untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum diketahui dengan sempurna, sehingga dalam penerapannya lebih bersifat eksploratif.

2.2.1 Regresi Linear Sederhana

Regresi linear sederhana adalah suatu prosedur untuk mendapatkan hubungan matematis dalam bentuk suatu persamaan antara variable dependent tunggal dengan variable independent tunggal. Hubungan antara variable dependent dengan variable independent ini dapat dirumuskan ke dalam suatu bentuk hubungan fungsional sebagai berikut:

, untuk i = 1,2,…,n Dengan : = variable terikat ke-i

= variable bebas ke-i

a = intersep (titik potong kurva terhadap sumbu Y) b = kemiringan (slope) kurva linear

Diketahui hubungan antara dua (atau lebih) variable acak. Anggap kasus yang dipilih adalah hubungan antara berat dan tinggi orang, hubungan antara tekanan dan suhu udara, dan lain-lain. Untuk mendapatkan suatu persamaan antara dua variable X dan Y, mula-mula dikumpulkan data (X,Y). Anggap X menyatakan tinggi dan Y berat seorang pria dewasa, maka dipandang ( , masing-masing pasangan bebas dan X serta Y didefinisikan pada ruang sampel yang sama, yaitu kumpulan orang pria dewasa, yang sedang diselidiki.

2.2.2 Metode Kuadrat Terkecil

Untuk mendapatkan garis regresi yang paling baik yaitu garis regresi yang memiliki deviasi atau kesalahan terkecil, maka digunakan metode kuadrat terkecil. Metode

kuadrat terkecil ialah suatu metode untuk menghitung , sedemikian sehingga

jumlah kesalahan kuadrat memiliki nilai terkecil. Dengan bahasa matematika, maka dinyatakan sebagai berikut:

Jadi metode kuadrat terkecil adalah metode untuk menghitung

sedemikian rupa sehingga = terkecil (minimum). Caranya ialah dengan membuat turunan parsial (partial differensial) dari mula-mula terhadap kemudian terhadap dan menyamakannya dengan nol.

…(2.1)

…(2.2)

Persamaan (2.1) dibagi dengan n

Sehingga

Sehingga

2.2.3 Regresi Kuadrat Terkecil

Metode ini didasarkan pada pemilihan sehingga meminimalkan jumlah kuadrat deviasi titik-titik data dari garis yang dicocokkan.

Jumlah dari kuadrat deviasi (SSD) dari garis adalah

…(2.3) Kemudian akan dipilih taksir sehingga jika taksiran ini disubstitusikan ke dalam persamaan (2.3) maka jumlah deviasi kuadrat menjadi minimum. Dengan mendeferensialkan persamaan (2.3) terhadap dengan menetapkan derivative parsial yang dihasilkan sama dengan nol, diperoleh

…(2.4)

Dan karenanya

…(2.5)

Dari persamaan (2.5), diperoleh

Persamaan (2.6) disebut dengan persamaan normal. Dari persamaan (2.6) diperoleh

Dan , dimana dan adalah dan . dan yang

diperoleh dengan cara ini disebut taksiran kuadrat terkecil masing-masing dari dan . Dengan demikian, taksiran persamaan regresi dapat ditulis sebagai, , yang disebut persamaan prediksi kuadrat terkecil.

2.3 Selang Kepercayaan 2.3.1 Estimasi Tunggal

Suatu Estimasi tunggal pada sebuah parameter populasi adalah nilai tunggal numeric pada sebuah statistik yang berhubungan dengan parameter tersebut. Estimasi tunggal adalah sebuah pemilihan yang tunggal untuk sebuah nialai parameter populasi yang tidak diketahui. Lebih jelasnya, jika X sebuah variable random dengan distribusi probabilitas f(x), mempunyai parameter θ yang tidak diketahui, dan jika

sebuah sampel random yang besarnya n dari X, maka statistic

yang berhubunga dengan θ disebut estimator θ. Perhatikan bahwa estiamator adalah sebuah variable random yaitu variable yang mempunyai harga dan probabilitas, karena estimator tersebut merupakan sebuah fungsi data sampel. Setelah sampel dipilih, diperoleh berdasarkan nilai tertentu yang disebut perkiraan tunggal θ.

2.3.2 Estimasi Interval

Dalam pengambilan sampel dari populasi, diharapkan memperoleh lebih banyak pengetahuan mengenai populasi dari sampel besar relative dari pada sampel kecil. Dalam prakteknya, pendugaan tunggal yang terdiri dari satu angka tidak memberikan gambaran mengenai berapa jarak/selisih nilai penduga tersebut terhadap nilai sebenarnya. Itulah sebabnya sering digunakan pendugaan interval (selang), yaitu suatu pendugaan berupa interval yang dibatasi dua nilai, yang disebut nilai batas bawah dan nilai batas atas.

Untuk mendapatkan ukuran ketepatan suatu penaksir a dan b parameter θ yang diestimasi, yang tidak diketahui nilainya, dengan didasarkan pada informasi sampel, maka

Hal ini menunjukkan peluang selang a dan b memuat θ ialah 1-α. Penaksiran seperti ini disebut panaksir selang (interval estimation) untuk θ dengan kepercayaan 1-α. Misalnya θ adalah parameter yang akan diestimasi berdasarkan hasil penelitian sampel. Untuk membuat pendugaan interval, harus ditentukan terlebih dahulu besarnya koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan, yang diberi symbol 1-α. Besarnya nilai 1-α, misalnya

atau angka lainnya.

2.3.3 Selang Kepercayaan pada Koefisien Multipel Regresi

( berdistribusi normal dengan mean dan varians ). merupakan suatu distribusi dengan derajat kebebasan n-k. Sebab itu, dari definisi distribusi t diperoleh :

Persamaan diatas merupakan distribusi t dengan derajat kebebasan n-k dimana adalah elemen diagonal dari suatu matriks .

Untuk menguji hipotesis bahwa , ini menyatakan bahwa tidak mempunyai hubungan linear terhadap Y, maka perhitungan uji statistiknya yaitu :

2.3.4 Prediksi Selang Kepercayaan pada Multiple Regresi

Salah satu tujuan dari estimasi hubungan pada multiple regresi yaitu memungkinkan membuat prediksi dari (E(Y)). Andaikan kita mengharapkan nilai X pada periode

(n+1) ditunjukkan dengan vector kolom yaitu

Karena adalah predictor tak bias linear terbaik dari . Jadi predictor titik tersebut yakni

karena Dan varians dari adalah

Sehingga adalah berdistribusi normal yakni

Dengan distribusi t

Dimana

Merupakan distribusi t dengan derajat kebebasan (n-k). Oleh karena itu, dengan tingkat kepercayaan sebesar 100(1-α)%, maka selang kepercayaan untuk

adalah

Sedangkan nilai sebenarnya adalah

Dimana menunjukkan nilai sebenarnya pada periode ramalan. Ketidaksesuaian antara nilai ramalan dan nilai sebenarnya yaitu:

Sehingga didapat

E(d) = 0

Karena dan

Dan

Merupakan distribusi dengan derajat kebebasan (n-k). Oleh karena itu, dengan tingkat kepercayaan sebesar 100(1-α)%, maka selang kepercayaan untuk yakni

BAB 3

PEMBAHASAN DAN HASIL

3.1 Multipel Regresi

Multiple regresi adalah analisa regresi yang meramalkan pengaruh dua variabel predictor atau lebih terhadap satu variabel kriterum. Dapat juga digunakan untuk membuktikan ada atau tidaknya hubungan fungsional antara dua buah variabel bebas X atau lebih dengan sebuah variabel terikat Y.

Bentuk persamaan umum multiple regresi adalah

Y

(persen) (meter per sekon) (0C) (molar)

42 80 27 89

37 80 27 88

37 75 25 90

28 62 24 87

18 62 22 87

18 62 23 87

19 62 24 93

20 62 24 93

15 58 23 87

Keterangan:

= Persentase NH3 yang hilang karena melepaskan diri dari nitrit oksida dalam persen

= Aliran Udara dalam meter per sekon = Suhu Air Pendingin dalam 0C

= Konsentrasi Asam dalam molar

Dengan metode ekspektasi kofaktor sepanjang kolom pertama dari A, maka diperoleh determinan A yaitu 6529439

adalah adj(A), sehingga

Persamaan multiple regresinya adalah:

42 80 27 89 40.74 1.26 1.59

37 80 27 88 41.06 -4.06 16.44

37 75 25 90 33.64 3.36 11.29

28 62 24 87 21.84 6.16 37.90

18 62 22 87 19.52 -1.52 2.30

18 62 23 87 20.68 -2.68 7.19

19 62 24 93 19.94 -0.94 0.88

20 62 24 93 19.94 0.06 0.003

15 58 23 87 17.12 -2.12 4.47

14 58 18 80 13.53 0.47 0.22

∑ 661 237 881 248 0.00 82.316

Penaksir adalah

Dimana

Maka

3.2 Penaksir fuzzy

Dapat diperlihatkan penaksir fuzzy yaitu selang kepercayaan untuk a,b,c,d. andaikan . Dengan tingkat kepercayaan , maka selang kepercayaan untuk a yaitu

Untuk adalah elemen pertama dari diagonal utama matriks A. kemudian selang kepercayaan untuk b dengan tingkat kepercayaan yaitu

Untuk c yaitu

Dan untuk d yaitu

3.3 Contoh Kasus

Diasumsikan bahwa E(Y) merupakan fungsi linear dari , sehingga .

Dimana menyatakan nilai ekspektasi variabel

dependent bila variabel independent mempunyai nilai spesifik dimana nilai parameter a,b,c, dan d menentukan hubungan sifat tersebut.

Persamaan multiple regresi menjadi

Persamaan multiple regresi dasar untuk rata-rata Y adalah

Matriks

Dari matriks A diatas dapat dihitung , untuk mencari selang kepercayaan yaitu

Dengan tingkat keyakinan sebesar 99%, diperoleh:

. Dari tabel distribusi t, dengan dan derajat kebebasan sebesar , diperoleh nilai

Selang kepercayaan untuk b:

Selang kepercayaan untuk c:

Selang kepercayaan untuk d :

3.4 Prediksi Fuzzy

Setelah menghitung penaksir fuzzy maka dapat dihitung prediksi fuzzy dengan persamaan regresi fuzzy sebagai berikut

Untuk menghitung prediksi E(Y) dua tahun ke depan, diasumsikan nilai pada bulan ke 11 dan 12 yaitu dan .

dari telah dihitung yaitu ,

, dan . Dengan –

, maka dihitung:

Sehingga selang kepercayaan untuk . Yang berarti bahwa prediksi fuzzy untuk Y(E) yaitu persentase NH3 yang hilang karena melepaskan diri dari nitrit oksida pada bulan ke 11 terletak diantara interval

sampai dengan .

Untuk bulan ke 12 dengan diperoleh

Selang kepercayaan untuk . Yang

berarti bahwa prediksi fuzzy untuk Y(E) yaitu persentase NH3 yang hilang karena melepaskan diri dari nitrit oksida pada bulan ke 12 terletak diantara interval

sampai dengan .

Selang kepercayaan untuk E(Y) dengan tingkat kepercayaan 99% Andaikan diharapkan nilai x pada bulan ke 11 yaitu

Maka selang kepercayaan untuk E(Y) yaitu :

Jadi selang kepercayaan untuk . Yang berarti bahwa dengan tingkat kepercayaan 99%, rata-rata persentase NH3 yang hilang karena

melepaskan diri dari nitrit oksida pada bulan ke 11 terletak di interval sampai dengan .

Pada bulan ke 12 dengan ditunjukkan dengan

vector kolom sebagai berikut:

Jadi selang kepercayaan untuk . Yang berarti bahwa dengan tingkat kepercayaan 99%, rata-rata persentase NH3 yang hilang karena melepaskan diri dari nitrit oksida pada bulan ke12 terletak di interval sampai dengan

Selang kepercayaan untuk nilai y dengan tingkat kepercayaan 99% Untuk periode bulan 11

Jadi prediksi selang kepercayaan untuk . Yang berarti bahwa dengan tingkat kepercayaan 99% prediksi persentase NH3 yang hilang karena melepaskan diri dari nitrit oksida pada periode bulan ke 11 di interval sampai dengan

Jadi prediksi selang kepercayaan untuk ). Yang berarti bahwa dengan tingkat kepercayaan 99% prediksi persentase NH3 yang hilang karena melepaskan diri dari nitrit oksida pada periode bulan ke 12 terletak di interval

sampai dengan

Hasil diatas dapat dilihat pada tabel di bawah ini

Selang Kepercayaaan

99% CI untuk E(Y)

99% CI untuk y

CI pada tabel di atas merupakan confidence interval atau selang kepercayaan. Dari penjelasan di atas diperoleh bahwa:

1. Untuk E(Y) dengan tingkat kepercayaan 99% adalah himpunan bagian dari

untuk 2 bulan yaitu dan

.

2. Untuk nilai y dengan tingkat kepercayaan 99% juga termuat dalam interval .

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil perhitungan dan penganalisaan data yang telah dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

1. Persamaan multiple regresi linear dengan menggunakan matriks :

Diperoleh hasil

2. Dengan menggunakan penaksir fuzzy, selang kepercayaan untuk a adalah , sedangkan untuk kepercayaan untuk b berada dalam interval , selang kepercayaan untuk c berada dalam interval . Dan selang kepercayaan untuk d berada dalam

interval .

3. Alpha-cuts merupakan salah satu cara baru yang dapat digunakan untuk memprediks selang kepercayaan pada multiple regresi.

4. Prediksi fuzzy dapat menggambarkan secara luas selang kepercayaan karena memuat nilai E(Y) dan nilai y.

4.2 Saran

Untuk mencari koefisien multiple regresi pada persamaan regresi dapat menggunakan matriks karena jauh lebih mudah perhitungannya bila dibandingkan dengan perhitungan biasa.

Dan diharapkan persentase NH3 yang hilang karena melepaskan diri dari nitrit oksida tidak melampaui dari batas-batas yang telah ditentukan.

DAFTAR PUSTAKA

1. Adiningsih, Sri, 1993. Statistika. Yogyakarta: BPFE.

2. Arnord, F. Shapiro. 2005. Journal: Fuzzy Regression Models. Penn State University. 3. Buckley, James J. 2006. Fuzzy Probability and Statistic. New York: SpringerVerlag. 4. Dudewicz, J. Edward. 1995. Statistika Matematika Modern. Bandung.

5. Frans Susilo, SJ. 2006. Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu.

6. H. F Wang. 2000. Fuzzy Sets Theories and it’s Application. Chapter 9-21. 7. Johnston, J. 1972. Econometric Methods. Second Edition. Japan: McGrawHill.

8. K. Pal, Sankar. Dutta Mujumder, Dwijesh K. 1989. Fuzzy Pendekatan Matematik Untuk Pengenalan Pola. Universitas Indonesia (UI-Press).

9. Samuel, S. Wilks. 1962. Mathematical Statistic. New York : John Wiley and Sons, Inc 10.Supranto, J. 2001. Statistik: Teori dan Aplikasi. Jakarta: Erlangga.

11.Supranto, J. 2004. Analisis Multivariat: Arti dan Interpretasi. Yogyakarta: Rineka Cipta.

12.Usman Husaini, Setiady R. Purnomo. 2008. Pengantar Statistika. Jakarta: PT. Bumi Angkasa.

13.Weisberg, Sanford. 2005. Applied Linear Regression. Canada: John wiley and Sons inc.

melepaskan diri dari nitrit oksida pada bulan ke 11 terletak di interval sampai dengan .

Pada bulan ke 12 dengan ditunjukkan dengan

vector kolom sebagai berikut:

Jadi selang kepercayaan untuk . Yang berarti bahwa dengan tingkat kepercayaan 99%, rata-rata persentase NH3 yang hilang karena melepaskan diri dari nitrit oksida pada bulan ke12 terletak di interval sampai dengan

Selang kepercayaan untuk nilai y dengan tingkat kepercayaan 99% Untuk periode bulan 11

Jadi prediksi selang kepercayaan untuk . Yang berarti bahwa dengan tingkat kepercayaan 99% prediksi persentase NH3 yang hilang karena melepaskan diri dari nitrit oksida pada periode bulan ke 11 di interval sampai dengan

Jadi prediksi selang kepercayaan untuk ). Yang berarti bahwa dengan tingkat kepercayaan 99% prediksi persentase NH3 yang hilang karena melepaskan diri dari nitrit oksida pada periode bulan ke 12 terletak di interval

sampai dengan

Hasil diatas dapat dilihat pada tabel di bawah ini

Selang Kepercayaaan

99% CI untuk E(Y) 99% CI untuk y

CI pada tabel di atas merupakan confidence interval atau selang kepercayaan. Dari penjelasan di atas diperoleh bahwa:

1. Untuk E(Y) dengan tingkat kepercayaan 99% adalah himpunan bagian dari

untuk 2 bulan yaitu dan

.

2. Untuk nilai y dengan tingkat kepercayaan 99% juga termuat dalam interval .

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil perhitungan dan penganalisaan data yang telah dilakukan, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

1. Persamaan multiple regresi linear dengan menggunakan matriks :

Diperoleh hasil

2. Dengan menggunakan penaksir fuzzy, selang kepercayaan untuk a adalah , sedangkan untuk kepercayaan untuk b berada dalam interval , selang kepercayaan untuk c berada dalam interval . Dan selang kepercayaan untuk d berada dalam

4.2 Saran

Untuk mencari koefisien multiple regresi pada persamaan regresi dapat menggunakan matriks karena jauh lebih mudah perhitungannya bila dibandingkan dengan perhitungan biasa.

Dan diharapkan persentase NH3 yang hilang karena melepaskan diri dari nitrit oksida tidak melampaui dari batas-batas yang telah ditentukan.

DAFTAR PUSTAKA

1. Adiningsih, Sri, 1993. Statistika. Yogyakarta: BPFE.

2. Arnord, F. Shapiro. 2005. Journal: Fuzzy Regression Models. Penn State University. 3. Buckley, James J. 2006. Fuzzy Probability and Statistic. New York: SpringerVerlag. 4. Dudewicz, J. Edward. 1995. Statistika Matematika Modern. Bandung.

5. Frans Susilo, SJ. 2006. Himpunan dan Logika Kabur serta Aplikasinya. Yogyakarta: Graha Ilmu.

6. H. F Wang. 2000. Fuzzy Sets Theories and it’s Application. Chapter 9-21. 7. Johnston, J. 1972. Econometric Methods. Second Edition. Japan: McGrawHill.

8. K. Pal, Sankar. Dutta Mujumder, Dwijesh K. 1989. Fuzzy Pendekatan Matematik Untuk Pengenalan Pola. Universitas Indonesia (UI-Press).

9. Samuel, S. Wilks. 1962. Mathematical Statistic. New York : John Wiley and Sons, Inc 10.Supranto, J. 2001. Statistik: Teori dan Aplikasi. Jakarta: Erlangga.

11.Supranto, J. 2004. Analisis Multivariat: Arti dan Interpretasi. Yogyakarta: Rineka Cipta.

12.Usman Husaini, Setiady R. Purnomo. 2008. Pengantar Statistika. Jakarta: PT. Bumi Angkasa.