diinginkan sama dengan . Jika kendala persamaan dianggap perlu dalam perumusan
model linier programming, ia dapat dimasukkan dengan menempatkan sebuah artificial variabel
, seperti pada persamaan keempat.
i
b
i
d
2.3 Analisis Dualitas
Setiap persoalan program linier selalu memiliki dua macam analisis, atau katakanlah dua pakar yang menjadi satu, yaitu 1 analisis primal dan 2 analisis dual yang
biasanya disebut analisis primal-dual.
Untuk persoalan maksimisasi, maka semua rumusan fungsi kendalanya mempunyai tanda “lebih kecil daripada atau sama dengan”. Jika persoalannya adalah
minimisasi maka tanda fungsi syarat ikatanya harus “lebih besar daripada atau sama dengan”, ingat bahwa tidak perlu semua konstanta atau nilai sebelah kanan disingkat
nsk
Jika suatu persoalan dalam rumusan program liniernya memiliki fungsi kendala kesamaan nilai nsk-nya bertanda sama dengan, maka fungsi kendala
tersebut dapat ditukar atau diganti dengan dua fungsi lainnya yaitu : Pertama, bertanda “lebih kecil daripada atau sama dengan”
Kedua, bertanda “lebih besar daripada atau sama dengan”, Salah satu diantara kedua fungsi kendala lain tersebut pilih mana saja,
kemudian diambil, dan kalikan dengan -1 unutk mendapatkan fungsi kendala baru yang sesuai dengan aturan yang diminta.
Model Umum
Masalah primal Masalah
dual
Maksimumkan
n j
i i
X C
Z
1
dengan kendala : ,
i n
j j
ij
b X
a
1
untuk i =1, 2, … m dan x
j
≥ 0 untuk j = 1, 2, …n
Minimumkan
n i
i i
Y b
G
1
dengan kendala : ,
i m
i j
ij
C Y
a
1
untuk i =1, 2, … m dan Y
j
≥ 0 untuk j = 1, 2, …n
Universitas Sumatera Utara
Apabila bentuk persamaan diatas dinyatakan dalam bentuk notasi matriks, maka kita peroleh rumusannya seperti terlihat dalam persamaan berikut :
Masalah primal Masalah dual
Minimum :
Y b
G
dengan kendala : AY ≤ C
Y ≥ 0
Maksimum :
X C
Z
dengan kendala : AX ≤ b
X ≥ 0
BAB 3
Universitas Sumatera Utara
PEMBAHASAN
3.1. Penggunaan Teknik Linear Programming dengan Metode Simpleks
Andaikan suatu persoalan penentuan model multiple regresi yaitu diberikan data sebagai berikut :
, 3
5 1
2 4
1 1
3 1
2 2
1 3
1 1
X
5
5 4
3 4
Y
dengan menentukan regresi MINMAD yang terdiri dari ,
estimasi
2 2
1 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ
X X
Y
2 1
, ,
.
i i
i
d d
d
2 1
i i
i
d d
d
2 1
bentuk umum minimum
: Z =
i i
d d
2 1
kendala :
Y d
d X
2 1
bentuk standart minimum
: Z =
25 24
23 22
21 15
14 13
12 11
d d
d d
d d
d d
d d
kendala :
4 3
21 11
2 1
d
d
5 3
5 5
2 4
4 3
3 2
2
25 15
2 1
24 14
2 1
23 13
2 1
22 12
2 1
d d
d d
d d
d d
Universitas Sumatera Utara
ij
d
misalkan :
1
X
4 11
X d
9 21
X d
3 2
2 1
X X
6 13
5 12
X d
X d
11 23
10 22
X d
X d
8 15
7 14
X d
X d
13 25
12 24
X d
X d
fungsi tujuan minimum :
13 12
11 10
9 8
7 6
5 4
X X
X X
X X
X X
X X
Z
kendala :
4 3
9 4
3 2
1
X
X X
X X
5 3
5 5
2 4
4 3
3 2
2
13 8
3 2
1 12
7 3
2 1
11 6
3 2
1 10
5 3
2 1
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
X X
i
X
selanjutnya, persamaan fungsi tujuan dan kendala dimasukkan ke dalam tabel awal simpleks sebagai berikut :
Tabel 3.1 Tabel Awal Simpleks
C
j
0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B
C
B
V
B
W
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
X
7
X
8
X
9
X
10
X
11
X
12
X
13
X
Universitas Sumatera Utara
1
4
X
4 1 1 3 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 1
5
X
3 1 2 2 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 1
6
X
4 1 3 1 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 1
7
X
5 1 4 2 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 1
8
X
5 1
5 3
1 -1
Z
j
21 5 15 11 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1
C
j
– Z
j
-5 -15
-11 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2
Kolom kunci Baris kunci
Pada tabel dapat dilihat bahwa nilai
j j
Z C
yang negatif terbesar adalah -15,
maka kolom kuncinya adalah X
2
, dan rasio yang positif paling kecil dari X
2
yaitu : 41, 32, 43, 54, 55 adalah 55 maka baris kunci adalah X
8.
Dengan demikian X
2
mengganti X
8
di variabel dasar.
Baris kunci baru =
pivot 1
baris kunci lama =
5
1 5 1 5 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 = 1 15 1 35 0 0 0 0 15 0 0 0 0 -15
Baris-I baru = baris-I lama - 5
1 baris kunci lama
= 4 1 1 3 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 =
5
1 5 1 5 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1
= 3 45 0 125 1 0 0 0 -15 -1 0 0 0 15
Baris-II baru = baris-II lama - 5
2 baris kunci lama
= 3 1 2 2 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 0 =
5
2 5 1 5 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 = 1 35 0 45 0 1 0 0 -25 0 -1 0 0 25
Universitas Sumatera Utara
Baris-III baru = baris-III lama - 5
3 baris kunci lama
= 4 1 3 1 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 0 =
5
3 5 1 5 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 = 1 25 0 -45 0 0 1 0 -35 0 0 -1 0 35
Baris-IV baru = baris-IV lama - 5
4 baris kunci lama
= 5 1 4 2 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 0 =
5
4 5 1 5 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1 = 1 15 0 -25 0 0 0 1 -45 0 0 0 -1 45
Dengan demikian diperoleh tabel simpleks yang baru :
Tabel 3.2 Simpleks C
j
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B
C
B
V
B
W
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
X
7
X
8
X
9
X
10
X
11
X
12
X
13
X
1
4
X
3 45
125 1 0 0 0
-15 -1 0 0 0 15
1
5
X
1
35
45 1
-25 -1
25 1
6
X
1 25
-45 0 0 1 0
-35 0 0 -1 0 35
1
7
X
1 15
-25 0 0 0 1
-45 0 0 0 -1
45
2
X
1 15
1 35 0 0 0 0 15 0 0 0 0 -15
Z
j
6 2 0 2 1 1 1 1 -2 -1 -1 -1 -1 2
C
j
– Z
j
-2 0 -2 0 0 0 0 3 2 2 2 2 -1
Karena pada tabel 3.2 ini masih ada nilai
j j
Z C
yang negatif maka solusi belum
optimum, nilai negatif terbesar adalah -2 yaitu pada kolom , dengan demikian
kolom kuncinya adalah dan rasio yang memiliki nilai positif terkecil yaitu 35
pada baris baris kunci.
1
X
1
X
5
X
Universitas Sumatera Utara
Sehingga mengganti
di variabel dasar.
1
X
5
X
Baris kunci baru =
pivot 1
baris kunci lama =
5 3
1
1 35 0 45 0 1 0 0 -25 0 -1 0 0 25 = 53 1 0 43 0 53 0 0 -23 0 -53 0 0 23
Baris-I baru = baris-I lama –
5 3
5 4
baris kunci lama
= 3 45 0 125 1 0 0 0 -15 -1 0 0 0 15 =
3
4 1 35 0 45 0 1 0 0 -25 0 -1 0 0 25 = 53 1 0 43 1 -43 0 0 13 -1 43 0 0 -13
Baris-III baru = baris-III lama - 5
3 5
2 baris kunci lama
= 1 25 0 -45 0 0 1 0 -35 0 0 -1 0 35 =
3
2 1 35 0 45 0 1 0 0 -25 0 -1 0 0 25 = 13 0 0 -43 0 -23 1 0 -13 0 23 -1 0 13
Baris-IV baru = baris-IV lama – 5
3 5
1 baris kunci lama
= 1 15 0 -25 0 0 0 1 -45 0 0 0 -1 45 =
3
1 1 35 0 45 0 1 0 0 -25 0 -1 0 0 25 = 23 0 0 -23 0 -13 0 1 -23 0 13 0 -1 23
Baris-V baru = baris-V lama - 5
3 5
1 baris kunci lama
= 1 15 1 35 0 0 0 0 15 0 0 0 0 -15 =
3 1
1 35 0 45 0 1 0 0 -25 0 -1 0 0 25 = 23 0 1 13 0 -13 0 0 13 0 13 0 0 -13
Universitas Sumatera Utara
Maka dibentuk tabel 3.3 Simpleks dan substitusikan nilai baris barunya dan masukkan dan keluarkan X
5.
Dengan demikian tabel 3.3 simpleks yang baru yaitu :
1
X
Tabel 3.3 Simpleks C
j
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B
C
B
V
B
W
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
X
7
X
8
X
9
X
10
X
11
X
12
X
13
X
1
4
X
53 0 0 43 1 -43 0 0 13 -1 43 0 0 -13
1
X
53 1 0 43 0 53 0 0 -23 0 -53 0 0 23 1
6
X
13 -43
-23 1
-13
23
-1 13
1
7
X
23 0 0 -23
0 -13 0 1 -23
0 13 0 -1 23
2
X
23 0 1 13 0 -13 0 0 13 0 13 0 0 -13 Z
j
83 0 0 -23
1 -73 1 1 -23
-1 73 -1 -1 23
C
j
– Z
j
0 0 23 0 103 0 0 53 2 -43 2 2 13
Pada tabel 3.3 masih ditemukan nilai
j j
Z C
yang negatif sehingga belum
ditemukannya solusi yang optimum, maka proses harus dilanjutkan lagi. Kolom kunci adalah -43 yaitu pada kolom
. Dan rasio yang memiliki nilai positif terkecil
adalah 23 yaitu pada baris sebagai baris kunci.
10
X
6
X Maka
mengganti pada variabel dasar.
10
X
6
X
Baris kunci baru =
pivot 1
baris kunci lama =
3 2
1
13 0 0 -43 0 -23 1 0 -13 0 23 -1 0 13 = 12 0 0 -2 0 -1 32 0 -12 0 1 -32 0 12
Universitas Sumatera Utara
Baris-I baru = baris-I lama - 3
2 3
4 baris kunci lama
= 53 0 0 43 1 -43 0 0 13 -1 43 0 0 -13 =
2 13 0 0 -43 0 -23 1 0 -13 0 23 -1 0 13 = 1 0 0 4 1 0 -2 0 1 -1 0 2 0 -1
Baris-II baru = baris-II lama - 3
2 3
5
baris kunci lama
= 53 1 0 43 0 53 0 0 -23 0 -53 0 0 23 =
2 5
13 0 0 -43 0 -23 1 0 -13 0 23 -1 0 13
= 52 1 0 -2 0 0 52 0 -32 0 0 52 0 32
Baris-III baru = baris-III lama - 4
2
baris kunci lama
= 12 0 0 -2 0 -1 32 0 -12 0 1 -32 0 12 =
2 1
1 0 0 4 1 0 -2 0 1 -1 0 2 0 -1
= 1 0 0 0 12 -1 12 0 0 -12 1 -12 0 0
Baris-IV baru = baris-IV lama - 4
0 baris kunci lama =
12 0 0 0 0 0 -12 1 -12 0 0 12 -1 12 =
0 1 0 0 4 1 0 -2 0 1 -1 0 2 0 -1 = 12 0 0 0 0 0 -12 1 -12 0 0 12 -1 12
Baris-V baru = baris-V lama - 4
1 baris kunci lama
= 12 0 1 1 0 0 -12 0 12 0 0 12 0 -12 =
4
1 1 0 0 4 1 0 -2 0 1 -1 0 2 0 -1 = 14 0 1 0 -14 0 0 0 14 14 0 0 0 -14
Tabel 3.4 Simpleks
C
j
0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
B
C
B
V
B
W
1
X
2
X
3
X
4
X
5
X
6
X
7
X
8
X
9
X
10
X
11
X
12
X
13
X
3
X
14 0 0 1 14 0 -12 0 14 -14 0 12 0 -14
Universitas Sumatera Utara
1
X
3 1 0 0 12 0 32 0 -1 -12 0 72 0 1 1
10
X
1 0 0 0 12 -1 12 0 0 -12 1 -12 0 0 1
12 0 0 0 0 0 -12
1 -12
0 0 12 -1
12
7
X
2
X
14 0 1 0 -14
0 0 0 14 14 0 0 0
-14
Z
32 0 0 0 12 -1 0 1
-12 -12
1 0 -1 12
j
C
j j
– Z
0 0 0 12 2 1 0 32 32 0 1 2 12
C – Z
tidak ada lagi yang bernilai negatif maka proses dihentikan, sehingga nilai yang didapat adalah
=
Karena nilai
j j
1
X
=
14 dan
3
X =
2
=
3 ; =
2
X
1
= 14.
Sehingga didapat model multiple regresinya adalah :
2 1
4 1
X X
rogramming dengan Sistem-QM
putasi persoalan linier programming yang ukurannya
Guna dapat melakukan komputasi dengan komputer, maka diperlukan program komputer.
QM for windows merupakan paket program komputer untuk menyelasaikan persoalan-persoalan m
4 1
3
ˆ Y
3.2 Komputasi Linier P
