2.3 KONVOLUSI
Konvolusi secara umum dapat diartikan sebagai cara untuk mengkombinasikan dua buah deret angka untuk menghasilkan deret angka ketiga. Dalam hal ini konvolusi
digunakan untuk mengoperasikan dua sinyal dan menghasilkan sinyal ketiga. Konvolusi dilambangkan secara asterisk . Bagi para insinyiur konvolusi adalah
instrument yang sangat penting. Sebagai contoh, konvolusi digunakan dalam sistem linier dan teori kontrol untuk mendapatkan respon yt dari sebuah sistem xt jika
diberikan jika diberikan impuls ht. Secara umum konvolusi dua buah sinyal x
1
t dan x
2
t dituliskan sebagai berikut :
yt = x
1
t x
2
= x t
2
t x
1
atau t
2.13
yt = x
1
λx
2
t- λdλ
= x
2
λx
1
Di mana λ adalah variable dummy. t-
λdλ 2.14
Jika terjadi pergeseran waktu Time-Shifting, persamaannya tereduksi menjadi, x
1
t+t
1
x
2
t = yt+t
1
dan 2.15
x
1
t + t
1
+ t
2
x
2
= y t + t
1
+ t
2
2.16
Keluaran dari sebuah sistem disebut juga respon. Jika sinyal berupa unit impuls masuk kedalam sistem, maka akan memberikan respon yang disebut respon impuls impulse
response, jika sistemnya kontinyu diberi simbolnya ht. Jika respon impuls sebuah sistem linier diketahui, maka respon sistem terhadap sembarang bentuk sinyal dapat
dihitung. Jika ht adalah respon impuls sistem linier kontinyu, dan xt adalah sinyal masukan maka sinyal keluarannya adalah
yt = xtht =
2.17
Universitas Sumatera Utara
yt = ht xt Yw = H X 2.18 Persamaan 2.17 di atas disebut sebagai integral konvolusi, yang juga merupakan
yang merupakan input dari sistem LTI Linier Time Invariant. Dan juga merupakan hasil transformasi fourier dari sinyal impuls dan fungsi singularitas. I.J.p.78
Sifat operasional dari konvolusi adalah :
Komutatif : xtht = htxt 2.19 Asosiatif : {xth
1
t}h
2
t = xt{h
1
th
2
Distributif : xt{h t} 2.20
1
t+h
2
t} = xth
1
t+ xth
2
t} 2.21
2.4 TRANFORMASI FOURIER
Sifat-Sifat Transformasi Fourier Waktu Kontinyu
Linieritas Jika sinyal x
1
x t memiliki transformasi fourier sebagai berikut
1
t X
1
dan sinyal x 2.21.1
2
x t
2
t X
2
maka, 2.21.2
ax
1
t + bx
2
t aX
1
+ bX
2
2.21.3 Sifat Simetri
Jika xt adalah fungsi waktu bersifat real, maka X- = X 2.21.4
Persamaan dia atas menyatakan kompleks conjugate. Time Shifting Pergeseran Waktu
Pada Time ShiftingPergeseran Waktu, jika transformasi fourier dari xt adalah
Universitas Sumatera Utara
xt X 2.21.5
maka transformasi fourier dari xt-t xx-t
diperoleh, X
2.21.6 Difrensiasi dan integrasi
Untuk Difrensiasi dan Integrasi, jika transformasi fourier xt adalah xt
X 2.21.7
maka transformasi forier dari 2.21.8
atau X + X0 2.21.9
Persamaan diatas merupakan bentuk umum dari hasil kovolusi xt dan ut. Time and Frequency Shifting Perkalian waktu dan frekuensi
Pada Time and Frequency Shifting, jika transformasi xt adalah xt
X 2.21.10 maka transformasi fourier dari
xat , 2.21.11
a = konstanta real Sifat Modulasi
rt = stpt Rw = 2.21.12
Universitas Sumatera Utara
Tabel 1. Beberapa Sifat dari Transformasi Fourier
Fungsi, ft Transformasi Fourier, Fω
Defenisi dari Invers Transformasi Fourier ft=
Defenisi dari Transformasi Fourier F
t ft-t
F ft
F f
Ft 2
j
n
F -jt
n
ft
1 2
sgnt ut
ut utt
ut rt + F0 d
Universitas Sumatera Utara
2.5 KONVOLUSI DENGAN FUNGSI SINGULARITAS