Konstanta Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik Dengan Tren Linear

Definisi 28 Proses Stokastik Proses stokastik adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke ruang state . { T t t N ∈ , } S [Ross,1996] Jadi, untuk setiap pada himpunan indeks adalah suatu peubah acak. Indeks sering diinterpretasikan sebagai waktu meskipun dalam berbagai penerapannya tidak selalu menyatakan waktu, dan t t N T , t t t N kita sebut sebagai state dari proses pada waktu . Ruang state mungkin berupa: t S i Z himpunan bilangan bulat, atau himpunan bagiannya. = S ii R himpunan bilangan nyata, atau himpunan bagiannya. = S Suatu proses stokastik disebut proses stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks N T adalah himpunan tercacah, sedangkan kita sebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T adalah suatu interval. N Definisi 29 Proses Pencacahan Suatu proses stokastik disebut proses pencacahan jika menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu . { , ≥ t t N } t N t [Ross, 1996] Kadangkala proses pencacahan { } , ≥ t t N ditulis , yang menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang waktu [ ] t N , [ ] t , . Proses pencacahan harus memenuhi syarat- syarat sebagai berikut: t N i untuk semua ≥ t N [ ∞ ∈ , t . ii Nilai t N adalah bilangan bulat. iii Jika t s maka t N s N ≤ , [ ∞ ∈ , , t s . iv Untuk t s maka s N t N − , sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang . ] t s, Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang terjadi pada sebarang dua selang waktu yang tidak tumpang tindih tidak overlap adalah bebas. Sedangkan suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen statsioner jika sebaran distribusi dari banyaknya kejadian yang terjadi pada sebarang selang waktu, hanya tergantung dari panjang selang tersebut. Salah satu proses pencacahan yang penting adalah proses Poisson, yang juga merupakan proses stokastik dengan waktu kontinu. Definisi 30 Proses Poisson Suatu proses pencacahan disebut proses Poisson dengan laju { } , ≥ t t N λ , λ , jika dipenuhi tiga syarat berikut: i . = N ii Proses tersebut memiliki inkremen bebas. iii Banyaknya kejadian pada sebarang interval waktu dengan panjang t , memiliki sebaran distribusi Poisson dengan nilai harapan t λ . Jadi, untuk semua , s t ,.... 1 , , = = = − + Ρ − k k t e k s N t s N k t λ λ Dari syarat iii bisa diketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang statsioner. Dari syarat ini juga diperoleh bahwa t t N λ = Ε . Proses Poisson dengan laju λ yang merupakan kostanta untuk semua waktu t disebut proses Poisson homogen. Jika laju λ bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu, t λ , maka disebut proses Poisson tak-homogen . Untuk kasus ini, t λ disebut fungsi intensitas dari proses Poisson tersebut. Fungsi intensitas t λ harus memenuhi syarat ≥ t λ untuk . ≥ t Lema 11 Misalkan X dan Y adalah peubah acak saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut dan v . Maka u Y X + memiliki sebaran Poisson dengan parameter v u + . [Taylor dan Karlin, 1984] Bukti : Lihat Lampiran 6. Definisi 31 Fungsi Periodik Suatu fungsi λ disebut periodik jika s k s λ τ λ = + untuk semua ∈ s R dan

Z. Konstanta

terkecil ∈ k τ yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi λ tersebut. [Browder, 1996] Definisi 32 Proses Poisson Periodik 6 Proses Poisson periodik adalah proses Poisson dimana fungsi intensitas λ adalah siklik periodik. HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusan Penduga Misalkan adalah proses Poisson non homogen pada interval dengan fungsi intensitas N [ ∞ , λ yang tidak diketahui. Fungsi ini diasumsikan terintegralkan lokal dan terdiri atas 2 komponen, yaitu sebuah komponen periodik atau komponen siklik dengan periode diketahui τ dan sebuah tren linear yang tidak diketahui pula. Dengan kata lain, untuk sebarang titik , kita dapat menuliskan fungsi intensitas [ ∞ ∈ , s λ sebagai berikut: as s s c + = λ λ 1 dengan s c λ adalah fungsi periodik dengan periode τ dan adalah kemiringan dari tren linear. Dalam bahasan ini kita tidak mengasumsikan suatu bentuk parametrik dari a c λ kecuali bahwa c λ adalah periodik yaitu persamaan s k s c c λ τ λ = + 2 berlaku untuk [ ∞ ∈ ∀ , s dan ∈ k Z dengan Z adalah himpunan bilangan bulat. Karena c λ periodik dengan periode τ , maka untuk menduga c λ untuk cukup diduga nilai [ ∞ ∈ , s c λ pada [ τ , ∈ s . Misalkan untuk suatu Ω ∈ ω , terdapat sebuah realisasi ω N dari proses Poisson N yang terdefinisi dalam ruang peluang Ω, F, P dengan bentuk fungsi intensitas di persamaan 1. Tujuan kita dalam pembahasan ini adalah mempelajari penyusunan penduga konsisten bagi c λ pada ] [ τ , ∈ s , dengan menggunakan sebuah realisasi ω N dari proses Poisson yang diamati pada interval [ ] n , . Kita mengasumsikan bahwa s adalah titik Lebesgue dari λ , yang secara otomatis berarti bahwa s adalah titik Lebesgue dari c λ . Pada kajian ini kita asumsikan bahwa periode τ diketahui, tetapi slope dan fungsi a c λ pada [ τ , keduanya tidak diketahui. Dalam kondisi ini, kita boleh mendefinisikan penduga a dan penduga bagi c λ di titik s yang diberikan. Penduga bagi a diberikan oleh: [ ] 2 , 2 ˆ n n N a n = . 3 Sedangkan untuk penduga bagi s c λ pada titik [ τ , ∈ s diberikan oleh: [ ] ∑ ∞ = + + − + k = 1 , 2 , 1 ln 1 ˆ k n n n n c h h k s h s N k n s τ τ λ [ ] ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − ∩ n n s a n n ln ˆ , 4 dimana adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju 0, n h ↓ n h 5 untuk ∞ → n . Sekarang akan diuraikan ide tentang pembentukan penduga bagi . Untuk menjelaskan hal ini akan kita gunakan Lema berikut. a Lema 12 Jika fungsi intensitas c λ adalah periodik dengan periode τ dan terintegralkan lokal, maka θ λ → ∫ n c ds s n 1 untuk ∞ → n , dengan ds s c ∫ = τ λ τ θ 1 . [Damiri, 2003] Bukti : Lihat Damiri 2003. Pertama, perhatikan bahwa [ ] ds s n N n ∫ = Ε , λ ds as s n c ∫ + = λ . ∫ ∫ + = n n c asds ds s λ 7 Perhatikan suku pertama dari ruas kanan persamaan di atas. Berdasarkan Lema 12, maka