Konstanta Kekonsistenan Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik Dengan Tren Linear
Definisi 28 Proses Stokastik
Proses stokastik adalah suatu
himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh
Ω ke ruang state .
{
T t
t N
∈ ,
}
S [Ross,1996]
Jadi, untuk setiap pada himpunan indeks adalah suatu peubah acak. Indeks
sering diinterpretasikan sebagai waktu meskipun dalam berbagai penerapannya
tidak selalu menyatakan waktu, dan
t
t N
T ,
t t
t N
kita sebut sebagai state dari proses pada waktu . Ruang state
mungkin berupa:
t
S i
Z himpunan bilangan bulat,
atau himpunan bagiannya. =
S ii
R
himpunan bilangan nyata, atau himpunan bagiannya.
= S
Suatu proses stokastik disebut proses
stokastik dengan waktu diskret jika himpunan indeks
N
T
adalah himpunan tercacah, sedangkan
kita sebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika
T
adalah suatu interval.
N
Definisi 29 Proses Pencacahan Suatu proses stokastik
disebut proses pencacahan jika
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai
waktu .
{
, ≥
t t
N
}
t N
t
[Ross, 1996] Kadangkala proses pencacahan
{ }
, ≥
t t
N ditulis
, yang menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang waktu
[ ]
t N
,
[ ]
t ,
. Proses pencacahan
harus memenuhi syarat- syarat sebagai berikut:
t N
i untuk semua
≥ t
N
[
∞ ∈ ,
t .
ii Nilai
t N
adalah bilangan bulat. iii
Jika
t s
maka t
N s
N ≤
,
[
∞ ∈ ,
, t s
. iv
Untuk
t s
maka s
N t
N −
, sama dengan banyaknya kejadian yang
terjadi pada selang .
]
t s,
Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen bebas jika banyaknya
kejadian yang terjadi pada sebarang dua selang waktu yang tidak tumpang tindih tidak
overlap adalah bebas. Sedangkan suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen
statsioner jika sebaran distribusi dari banyaknya kejadian yang terjadi pada
sebarang selang waktu, hanya tergantung dari panjang selang tersebut.
Salah satu proses pencacahan yang penting adalah proses Poisson, yang juga
merupakan proses stokastik dengan waktu kontinu.
Definisi 30 Proses Poisson Suatu proses pencacahan
disebut proses Poisson dengan laju
{ }
, ≥
t t
N λ ,
λ , jika
dipenuhi tiga syarat berikut: i
. =
N ii Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
iii Banyaknya kejadian pada sebarang interval waktu dengan panjang
t
, memiliki sebaran distribusi Poisson
dengan nilai harapan t λ . Jadi, untuk
semua ,
s t
,.... 1
, ,
= =
= −
+ Ρ
−
k k
t e
k s
N t
s N
k t
λ
λ
Dari syarat iii bisa diketahui bahwa proses Poisson memiliki inkremen yang statsioner.
Dari syarat ini juga diperoleh bahwa t
t N
λ =
Ε . Proses Poisson dengan laju
λ yang merupakan kostanta untuk semua waktu
t disebut proses Poisson homogen. Jika laju
λ bukan konstanta, tetapi merupakan fungsi dari waktu,
t
λ , maka disebut proses Poisson tak-homogen
. Untuk kasus ini, t
λ disebut fungsi intensitas dari proses Poisson
tersebut. Fungsi intensitas t
λ harus memenuhi syarat
≥ t
λ untuk
. ≥
t
Lema 11 Misalkan
X
dan
Y
adalah peubah acak saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan
parameter berturut-turut dan v . Maka
u Y
X + memiliki sebaran Poisson dengan
parameter v
u + .
[Taylor dan Karlin, 1984] Bukti
: Lihat Lampiran 6.
Definisi 31 Fungsi Periodik Suatu fungsi
λ disebut periodik jika s
k s
λ τ
λ =
+ untuk semua
∈
s R
dan