Metode Penyelesaian Untuk Persoalan Pertidaksamaan Variasional Dengan Kendala Persamaan Dan Pertidaksamaan
METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN
PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN
KENDALA PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN
TESIS
Oleh
RUTH MAYASARI SIMANJUNTAK
117021050/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
Universitas Sumatera Utara
METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN
PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN
KENDALA PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
RUTH MAYASARI SIMANJUNTAK
117021050/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
Nama Mahasiswa
Nomor Pokok
Program Studi
: METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN
PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN
KENDALA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
: Ruth Mayasari Simanjuntak
: 117021050
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 17 Desember 2013
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal 17 desember 2013
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
: Prof. Dr. Herman Mawengkang
Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Prof. Dr. Muhammad Zarlis
3. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN
PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, Desember 2013
Penulis,
Ruth Mayasari Simanjuntak
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Pertidaksamaan variasional adalah pertidaksamaan yang melibatkan fungsi yang
harus diselesaikan untuk semua nilai dari suatu variabel, biasanya untuk himpunan konveks. Kelas fungsi vektor simetri yang membentuk pasangan kendala
persamaan dan pertidaksamaan telah diperkenalkan. Ada beberapa metode yang
digunakan untuk menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasi yaitu metode
yang melibatkan modifikasi fungsi Lagrange, metode prediksi type proximal, dan
metode prediksi type gradient. Kekonvergenan dari metode tersebut dibuktikan.
Dari analisa yang dilakukan ketiga metode itu kurang efisien digunakan karena
membutuhkan waktu yang lama dalam penyelesaian. Metode proyeksi sederhana,
alternating direction method, dan metode ekstragradien adalah metode yang tepat
dalam menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasional karena menggunakan
algoritma, dan algoritma yang dihasilkan menarik, sederhana, dan sangat cepat.
Kata kunci: Persoalan pertidaksamaan variasional, Alternating direction method,
Optimisasi.
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Variational inequality is an inequality involving a functional, which has to be solved
for all possible values of a given variable, belonging usually to a convex set. The
class of symmetric vector functions that form inequality and equality constrains
is introduced. There are several methods used to solve the variational inequality
problems, i.e the methods involving the modified Lagrange functions, a prediction
type proximal, and a prediction type gradient method. The convergence of the
methods is proved. The simple projection method, alternating direction method,
and extragradient method is a appropriate methods in solving variational inequality
problems because the resulting algorithm is attractive, simple, and very fast.
Keyword:Variational inequality problem, Alternating direction method,Optimization
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang selalu memberikan rahmat yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul:
METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN. Penulis menyampaikan terima kasih kepada:
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K)
selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan
kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister
Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembimbing-I yang
telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan
tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembanding-II
yang telah memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Muhammad Zarlis, Pembanding-I yang telah memberikan
saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-II yang memberikan
bimbingan, arahan, dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak/Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas
Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.
Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses administrasi.
iv
Universitas Sumatera Utara
Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada :
Ibunda dan ayahanda tercinta, yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan
baik selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini.
Suami tercinta yang telah memberikan doa, kasih sayang, dukungan baik secara
moril maupun materi.
Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas
Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2011 genap, dan semua pihak
yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan
Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.
Medan, Desember 2013
Penulis,
Ruth Mayasari Simanjuntak
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Ruth Mayasari Simanjuntak, dilahirkan di Tobasari pada tanggal 22 Juli
1983, merupakan anak keempat dari lima bersaudara dari ayah W. Simanjuntak
dan ibunda A.Aritonang. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD)
di SD Negeri 060925 Kabupaten Simalungun pada tahun 1995, Sekolah Lanjutan
Tingkat Pertama (SLTP) di SLTP Pembangunan Kabupaten Simalungun pada
tahun 1998, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA RK Budi Mulia Pematangsiantar pada tahun 2001.
Pada tahun 2002 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Pendidikan Matematika di Universitas Negeri Medan dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada
tahun 2007. Pada Februari 2012 penulis melanjutkan studi pada Program Studi
Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
4
1.4 Manfaat Penelitian
4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
5
2.1 Pertidaksamaan Variasional (Variational Inequalities)
5
2.2 Quasi-Variational Inequalities
7
2.3 Metode Pengali Lagrange
7
2.4 Equality dan Inequality Constraint (Kendala Persamaan dan
Pertidaksamaan)
8
BAB 3 LANDASAN TEORITIS
9
3.1 Pendekatan Optimasi
9
3.2 Kondisi Convex
9
3.3 Kondisi Optimal KKT
10
3.4 Fungsi Simmetri
10
vii
Universitas Sumatera Utara
3.5 Kesimetrian
12
3.6 Mereduksi Masalah Saddle-Point
13
BAB 4 PEMBAHASAN DAN HASIL
16
4.1 Metode yang Melibatkan Fungsi Modifikasi Lagrange
16
4.2 Metode Prediksi Type Proximal yang Menghubungkan Variabel
Dual
20
4.3 Metode Prediksi Type Gradient yang Menghubungkan Variabel
Primal dan Dual
23
4.4 Alternating Direction Method
27
4.5 Metode Proyeksi Sederhana
29
4.6 Metode Ekstragradien
29
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
31
5.1 Kesimpulan
31
5.2 Saran
31
DAFTAR PUSTAKA
32
viii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Pertidaksamaan variasional adalah pertidaksamaan yang melibatkan fungsi yang
harus diselesaikan untuk semua nilai dari suatu variabel, biasanya untuk himpunan konveks. Kelas fungsi vektor simetri yang membentuk pasangan kendala
persamaan dan pertidaksamaan telah diperkenalkan. Ada beberapa metode yang
digunakan untuk menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasi yaitu metode
yang melibatkan modifikasi fungsi Lagrange, metode prediksi type proximal, dan
metode prediksi type gradient. Kekonvergenan dari metode tersebut dibuktikan.
Dari analisa yang dilakukan ketiga metode itu kurang efisien digunakan karena
membutuhkan waktu yang lama dalam penyelesaian. Metode proyeksi sederhana,
alternating direction method, dan metode ekstragradien adalah metode yang tepat
dalam menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasional karena menggunakan
algoritma, dan algoritma yang dihasilkan menarik, sederhana, dan sangat cepat.
Kata kunci: Persoalan pertidaksamaan variasional, Alternating direction method,
Optimisasi.
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Variational inequality is an inequality involving a functional, which has to be solved
for all possible values of a given variable, belonging usually to a convex set. The
class of symmetric vector functions that form inequality and equality constrains
is introduced. There are several methods used to solve the variational inequality
problems, i.e the methods involving the modified Lagrange functions, a prediction
type proximal, and a prediction type gradient method. The convergence of the
methods is proved. The simple projection method, alternating direction method,
and extragradient method is a appropriate methods in solving variational inequality
problems because the resulting algorithm is attractive, simple, and very fast.
Keyword:Variational inequality problem, Alternating direction method,Optimization
iii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Optimasi adalah tindakan memperoleh hasil terbaik dalam keadaan tertentu. Permasalahan optimasi sering digunakan untuk mendapatkan suatu solusi
yang ideal atau optimal dari permasalahan yang bersifat linier atau nonlinier
(Rao, 1984). Pembagian pemograman nonlinier dapat ditentukan dari bentuk
fungsi tujuan, dari karakteristik fungsi objektif atau dari keberadaan fungsi-fungsi
kendala. Salah satu bentuk persoalan nonlinier programming yaitu
min f(x)
s.t
g(x) ≥ 0
dimana f : Rn → R dan g : Rn → Rm adalah fungsi mulus (Luenberger dan
Yinyu, 2008).
Pertidaksamaan variasional adalah pertidaksamaan yang melibatkan fungsi
yang harus diselesaikan untuk semua nilai dari suatu variabel. Studi tentang
pertidaksamaan variasional mengacu pada metodologi optimasi nonlinier, solusi
dari persamaan nonlinier dan teori titik tetap. Teori pertidaksamaan variasional
telah menyaksikan pertumbuhan eksplosif dalam kemajuan teoritis, perkembangan algoritma dan aplikasi di semua disiplin ilmu murni dan ilmu terapan. Teori
ini sering diterapkan pada masalah equilibrium yang timbul di bidang ekonomi,
keuangan, transportasi, elastisitas, optimasi, riset operasi dan analisis struktural
(Noor et al., 2003).
Persoalan pertidaksamaan variasional adalah menemukan sebuah vektor v ∗ ∈
Ω0 sedemikian hingga
(w − v ∗)T F (v ∗) > 0, ∀w ∈ Ω0
(1.1)
1
Universitas Sumatera Utara
2
dimana Ω0 adalah himpunan bagian conveks tertutup yang tidak kosong dari Rn ,
(.,.) adalah produk dalam di Rn , dan F = Rn → Rn adalah fungsi kontinu, ketika
Ω0 = Rn+ itu termasuk masalah nonlinier complementary dan ketika Ω0 = Rn itu
termasuk sistem persamaan linier. Min (2010) menggunakan alternating direction
method yang baru untuk mengatasi masalah pertidaksamaan variasional dalam
menemukan vektor v ∗ tersebut. Dalam tesis ini difokuskan untuk menyelesaikan
persoalan pertidaksamaan variasional yang dinotasikan dengan VI (Variational
Inequalities) (F, Ω0) yang memiliki kendala persamaan dan pertidaksamaan, sehingga bentuk persamaannya menjadi sebagai berikut:
Ω0 = {v ∈ Rn | Av − b, Cv ≤ d, v ∈ X}
dimana C ∈ Rl×n , d ∈ Rl dan X adalah himpunan bagian konveks tertutup yang
tidak kosong dari Rn .
Dikatakan bahwa fungsi Ω0 co-coersive pada X apabila ada sebuah konstanta
µ > 0 sedemikian hingga
(v − v ′)T (F (v) − f(v ′ )) ≥ µ k F (v) − f(v ′ ) k2 , ∀v, v ′ ∈ X
dapat dikatakan bahwa co-coersive dengan modulus µ menyiratkan Lipschitz continuity dan kemonotonan.
Sebuah alternating direction method dapat juga digunakan untuk memecahkan masalah pertidaksamaan variasional (F, Ω0) dengan memperkenalkan vektor
slack z ke kendala persamaan linier untuk mengubah bentuk persamaan sebagai
berikut :
Ω0 = {(v, z) ∈ Rn × Rl | Av = b, Cv + z = d, v ∈ X, z ≥ 0}
Akan tetapi ini akan meningkatkan besarnya persoalan pertidaksamaan variasional dari n ke n+l, mendorong ke arah perhitungan yang lebih kompleks, terutama
ketika ada beberapa kendala persamaan linier di Ω0 .
Begitu juga dengan Solodov dan Suater (1999) menggunakan sebuah metode
projeksi yang baru untuk mengatasi masalah ketaksamaan variasi. Tetapi Solodov
Universitas Sumatera Utara
3
dan Suater menggunakan perhitungan yang mahal dalam kasus umum ketika operator projeksi
Pc [v] := arg min k y − z k
y∈C
ini adalah salah satu cara untuk mengatasi masalah optimasi untuk menemukan
sebuah projeksi. Selanjutnya, dibuat tidak ada asumsi pada masalah yang lain
dari kontinuitas F (·) dan kondisi pada bentuk umum dari ketaksamaan variasi.
Digunakan algoritma untuk meminimumkan angka dari operasi projek yang dilakukan setiap iterasi. Dengan catatan bahwa pada kasus ini ketika F (·) adalah
tidak kontinu Lipschitz atau konstanta dari Lipschitz tidak diketahui. Solodov
dan Tseng (1996) mengatakan bahwa ini akan menjadi perhitungan yang sangat
mahal.
Persoalan pertidaksamaan variasional banyak diterapkan dalam Matematika. Termasuk salah satunya adalah model equilibrium dalam ekonomi yang
melibatkan definisi dan kendala anggaran. Banyak metode yang diusulkan dalam
menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasi ini seperti publikasi ilmiah oleh
Noor pada tahun 2002 yang mengusulkan metode type projection untuk pertidaksamaan variasional yang umum dan pada tahun 2003 Noor mengusulkan beberapa
metode projeksi yang baru untuk mengatasi persoalan tersebut. Min mengusulkan
sebuah metode alternating direction untuk mengatasi persoalan pertidaksamaan
variational yang monoton, pada metode ini dia hanya mengatasi persamaan linier
dan diterapkan pada projeksi orthogonal kemudian pada tahun 2010 dia kembangkan kembali dengan mengusulkan metode alternating direction untuk mengatasi persoalan pertidaksamaan variasional co-coersive yang memiliki kendala
persamaan dan pertidaksamaan. Berdasarkan hal tersebut maka dalam tesis ini
akan dianalisa metode-metode penyelesaian persoalan ketaksamaan variasi untuk
menemukan fungsi pokok dari F .
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan v adalah sebuah vektor dan F (v ∗) adalah sebuah fungsi pokok pada pertidaksamaan variasional. Seperti apa nilai dari vektor v ∗ sehingga (v − v ∗)T
dikali dengan fungsi pokok F (v ∗) bernilai positif.
Universitas Sumatera Utara
4
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menganalisa metode penyelesaian dari pertidaksamaan variasional dengan kendala persamaan dan pertidaksamaan untuk
menentukan nilai dari vektor v ∗ pada (1.1).
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan teoritis dalam bidang Matematika khususnya pada kasus-kasus operasi riset yaitu optimisasi. Dengan menggunakan beberapa metode dapat menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasional dan dapat membatasi pergerakan nilai optimal yang dihasilkan
pada setiap iterasinya.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pertidaksamaan Variasional (Variational Inequalities)
Dalam Matematika, pertidaksamaan variasional adalah sebuah pertidaksamaan yang melibatkan fungsi yang harus diselesaikan untuk semua nilai variabel
tertentu, termasuk himpunan konveks. Teori Matematika pertidaksamaan variasional diformulasikan untuk merumuskan berbagai masalah equilibrium, masalah
analisis kualitatif dalam hal keberadaan dan keunikan solusi, stabilitas dan analisis
sensitivitas, dan algoritma dengan analisis konvergensi yang menyertainya untuk
keperluan komputasi. Dalam pertidaksamaan variasional berisi kasus khusus tentang masalah-masalah dalam pemograman Matematika yaitu sistem persamaan
nonlinier, masalah optimasi, complementary problem, dan juga berkaitan dengan
masalah titik tetap (Nagurney, 2002).
Ambil Ω0 ⊂ Rn adalah sebuah himpunan bagian konveks tertutup yang
tidak kosong dari Rn dan F adalah pemetaan dari Rn ke Rn . Min (2010) mengemukakan persoalan pertidaksamaan variasional adalah menemukan sebuah vektor
v ∗ ∈ Ω0 sedemikian hingga
(w − v ∗ )T F (v ∗) ≥ 0, ∀v ∈ Ω0
(2.1)
Pertidaksamaan variasional (F, Ω0 ) meliputi program linier dengan pengaturan
F = c, vektor konstan, dan Ω0 = {v ∈ Rn : Av = b, v ≥ 0}. Ada beberapa
metode untuk pertidaksamaan variasional (F, Ω0) (Min, 2009). Diantara metode
ini, metode jenis proyeksi yang menarik, sederhana, dan efisiensi. Terutama ketika
daerah layak Ω0 memiliki beberapa struktur khusus (misalnya, Ω0 adalah orthant
nonnegatif). Bentuk alternating direction method untuk pertidaksamaan variasional nonlinier co-coersive adalah
Ω0 = {v ∈ Rn | Av = b, v ∈ X}
(2.2)
5
Universitas Sumatera Utara
6
dimana A ∈ Rm × n, b ∈ Rm dan X adalah himpunan bagian konveks tertutup
sederhana dari Rn . Dikatakan pemetaan F adalah monoton jika
(F (v) − F (v ∗), v − v ∗) ≥ 0, ∀v, v ∗ ∈ Rn
(2.3)
Pertidaksamaan variasional (F, Ω0 ) adalah monoton ketika pemetaan F juga monoton. Dikatakan strictly monoton pada Ω0 jika
(v − v ∗)T (F (v) − F (v ∗)) > 0, ∀v, v ∗ ∈ S, v 6= v ∗
(2.4)
Dikatakan monoton kuat pada Q jika terdapat konstan cs m > 0 sedemikian hingga
(v − v ∗)(F (v) − F (v ∗)) ≥ cs m k v − v ∗ k2 , ∀v, v ∈ Ω0
(2.5)
Secara umum, Noor (2002) juga mengatakan jika F adalah pseudomonoton untuk
semua v, v ∈ Rn jika
{F (v ∗), (v − v ∗)} ≥ 0 ⇒ {F (v), (v − v ∗)} ≥ 0
(2.6)
Solodov dan Suater (1999) mengatakan dalam kasus ini ketika F (·) adalah monoton kuat dan/atau daerah layak Ω0 memiliki beberapa stuktur spesial (contohnya
Ω0 adalah nonnegatif orthant atau secara umum sebuah kotak) ada beberapa
metode yang efisien dapat digunakan untuk mengatasi kasus-kasus spesial dari
pertidaksamaan variasional.
Berdasarkan vektor pengali lagrangian y ∈ Rm ke kendala persamaan linier
Ax = b dan vektor pengali lagrangian yang lain z ∈ Rl ke kendala persamaan
linier Cx ≤ d, bentuk eqivalen dari persoalan pertidaksamaan variasional (f, S)
dapat ditekankan sebagai berikut, dinotasikan oleh (Q, W ): Menentukan vektor
w∗ ∈ W sedemikian hingga
(w − w∗)T Q(w∗) ≥ 0, ∀w ∈ W
dimana
#
"
f(x) − AT y + C T z
x
w = y , Q(w) =
, W = X × Rm × Z
Ax − b
z
d − Cx
dimana Z = Rl+ (Min, 2010).
Universitas Sumatera Utara
7
2.2 Quasi-Variational Inequalities
Dengan mempertimbangkan suatu permainan dua orang bilinear dengan
kendala yang digabungkan ditentukan oleh sebuah konveks, himpunan tertutup
K ∈ Q1 × Q2 ∈ Rn × Rn . Dengan memperbaiki titik x = (x1, x2 ) ∈ K, dibuat
menjadi dua bagian K1 (x) = {x1 ∈ Rn | (x1, x2 ) ∈ K} dan K2 (x) = {x2 ∈ Rn |
(x1 , x2) ∈ K} melalui titik tersebut dan mempertimbangkan permainan
x1 ∗ ∈ Arg min{(A1x1, x2 ∗) + (l1 , x1) | x1 ∈ K1 (x∗)},
(2.7)
x2∗ ∈ Arg min{(x1∗ , A2x2) + (l2, x2 ) | x2 ∈ K2 (x∗)}
(2.8)
dimana x∗ = (x1 ∗, x2 ∗). Dengan memperkenalkan vektor l = (l1, l2) dan matriks
AT dengan entri a1 1 = 0, a12 = A − 1T , a2 1 = A2 T , a22 = 0, dimana T adalah
transpose, masalah tersebut dapat digambarkan setara dengan pertidaksamaan
variasional sebagai berikut:
(AT x∗ , x − x∗ ) + (l, x − x∗) ≥ 0, ∀x ∈ K(x∗ )
(2.9)
dimana K(x∗) = K1 (x∗ ) × K2 (x∗).
Ketika A − 1T dan A2T adalah operator differensial dan K ∈ Q1 × Q2 ⊆
H 1 × H 2 , dimana H 1 dan H 2 adalah Hilbert spaces, permasalahan (2.3.1) disebut
quasi-variational inequality (Sofonea, 2009).
2.3 Metode Pengali Lagrange
Permasalahan-permasalahan non linier yang tidak dalam bentuk standar
diselesaikan dengan mengubahnya ke dalam bentuk standar. Untuk menyelesaikan
permasalahan ini, maka perlu dibentuk fungsi pengali Lagrange. Fungsi pengali
Lagrange didefinisikan sebagai:
L(x1, x2 , ..., xn, λ1 , λ2 , ...λn ) = f(X) −
m
X
λi gi (X)
i=1
dimana λi = (i = 1, 2, ..., m) adalah tetapan-tetapan yang disebut pengali Lagrange (Lagrange multipliers). Kemudian dibentuk kembali persamaan berikut:
∂L
= 0,
∂xj
(j = 1, 2, ..., n)
Universitas Sumatera Utara
8
∂L
= 0,
∂xi
(i = 1, 2, ..., m)
Metode pengali Lagrange ini ekuivalen dengan menggunakan persamaan
kendala untuk menghilangkan beberapa variabel x tertentu dari fungsi objektif
dan kemudian menyelesaikan persoalan maksimasi tanpa kendala dalam variabelvariabel x tersisa.
2.4 Equality dan Inequality Constraint (Kendala Persamaan dan Pertidaksamaan)
Pandang sebuah persoalan dengan kendala persamaan
max f(x)
s.t
gi (x) = bi , i = 1, ..., m
hj (x) = dj , j = 1, ..., p
Ax = b
Cx ≤ d
f,g, dan h dianggap berbentuk konveks dan dapat diturunkan dua kali secara
kontinu. A adalah matriks p × n pada p < n dan C adalah matriks l × n. Jika
kita memiliki sebuah program dengan kendala ≥ dapat di ubah menjadi ≤ dengan
mengalikan -1, begitu juga mengubah meminimumkan menjadi memaximumkan.
Daerah layak tidak hanya termasuk kendala persamaan linier melainkan kendala
pertidaksamaan linier, contohnya sebagai berikut :
S = {x ∈ Rn | Ax − b, Cx ≤ d, x ∈ X}
Dimana C ∈ Rl × n, d ∈ Rl dan X adalah himpunan bagian konveks tertutup
yang tidak kosong dari Rn .
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
LANDASAN TEORITIS
Penentuan nilai optimal dalam persoalan pertidaksamaan vaiasional dapat
dilakukan dengan menggunakan pendekatan optimasi, kondisi konvex, kondisi optimal KKT, fungsi kesimetrian, kesimetrian, dan mereduksi masalah saddle-point.
3.1 Pendekatan Optimasi
Dari beberapa kasus equilibri dapat ditemukan dengan melibatkan masalah
optimasi. Dalam penelitian ini dipertimbangkan masalah optimasi dengan dua
kendala yaitu kendala persaman dan pertidaksamaan seperti yang diungkapkan
oleh Luenberger dan Yinyu (2008) sebagai berikut:
min f(x)
s.t
h(x) = 0, g(x) ≤ 0
dimana
h(x) = (h1(x), ..., hm(x))T
g(x) = (g1 (x), ..., gj (x))T
3.2 Kondisi Convex
Sebuah permasalahan harus memenuhi syarat konveksitas agar dapat diselesaikan dan mempunyai solusi yang optimal. Syarat konveksitas yang harus
dipenuhi yaitu bagaimana kondisi konveks secara umum dan hubungan differensial dengan kondisi konveks. Sebuah permasalahan mempunyai nilai solusi optimal
jika fungsi tujuannya memenuhi syarat konveks dan ruang solusinya merupakan
himpunan konveks (Hariadi, 2009).
9
Universitas Sumatera Utara
10
3.3 Kondisi Optimal KKT
Kondisi KKT adalah kondisi yang diperlukan bagi penyelesaian permasalahan optimasi linier. Jaminan akan diperoleh solusi optimal jika kondisi KKT
dipenuhi.
Misalkan bahwa daerah layak Ω0 dari pertidaksamaan variasional (F, Ω0 )
digambarkan dengan pasangan persamaan dan pertidaksamaan
Ω0 = {v : g(v) ≤ 0, h(v) = 0}
Dan beberapa kualifikasi kendala yang dipegang. Kemudian pertidaksamaan variasional (F, Ω0 ) adalah ekivalen ke kondisi KKT:
0 = f(v) + ∇g(v)T λ + ∇h(v)T µ
0 ≤ λ⊥g(v) ≤ 00 − h(v)
Untuk memperoleh kondisi KKT itu sukses, menyadari bahwa jika v adalah solusi untuk pertidaksamaan variasional maka harus memecahkan masalah optimasi
konveks dan sebaliknya
min v T f(v ∗ )
v
s.t
v ∈ Ω0
jika tidak, akan ada sebuah titik w dengan v T f(v ∗ ) < (v ∗)T f(v ∗ ) yang berarti
(w − v ∗ )T f(v ∗) < 0
3.4 Fungsi Simmetri
Alasan dasar pada penelitian ini adalah mengasumsi bahwa fungsi g(v, w)
terlibat dalam kendala konveks secara bersama-sama di v dan w. Ini persyaratan
yang berat dan tidak berlaku untuk kendala pada model ekonomi equilibrium,
karena melibatkan persediaan kendala seperti (p, x) ≤ m, dimana p menyatakan
harga, x- komoditas, dan m-biaya. Disini, g(p, x) = (p, x) konveks bersamaan di
variabelnya.
Universitas Sumatera Utara
11
Dalam tulisan ini, ada persyaratan bahwa g(v, w) menjadi konveks bersamasama di v dan w dan disamping itu, menggunakan fungsi dari simetri tentang
diagonal dari persegi Ω0 × Ω0 , yakni keberagaman v=w.
Definisi 1. Sebuah fungsi g(v,w) dari Rn × Rn kedalam Rm dikatakan men-
jadi simetri pada Rn × Rn jika memenuhi kondisi
g(v, w) = g(w, v), ∀w, v ∈ Ω0
(3.1)
Contoh fungsi simetri termasuk fungsi yang menghasilkan keterbatasan anggaran secara utama pada model ekonomi equilibrium. Yang memiliki bentuk
g(v, w) = (v, w) atau g(v, w) = (Av, w) dimana A adalah matriks simetri. Karakteristik fungsi simetri yang membedakan (3.1) dengan w diperoleh
∇w T g(v, w) = ∇v T g(w, v), ∀w, v ∈ Ω0
(3.2)
dimana ∇w T g(v, w) dan ∇v T g(w, v) adalah matriks m × n yang barisnya adalah
vektor ∇w gi (v, w) dan ∇v gi (w, v), i = 1, 2, ..., m.
Misalkan w=v dalam (3.2) maka hasilnya
∇w T g(v, v) = ∇v T g(w, v), ∀v ∈ Ω0
(3.3)
Dengan demikian dapat dinyatakan sebagai berikut
Sifat 1. Untuk gradien dari fungsi vektor simetri g(v,w) menghubungkan v
dan w, matriks batasannya ke diagonal persegi Ω0 × Ω0 adalah sama.
Sesuai dengan definisi dari fungsi yang terdifferensialkan g(v,w), maka
g(v + h, w + h) = g(v, w) + ∇v T g(v, w)h + ∇w T g(v, w)k, ω(v, w, h, k)
(3.4)
dimana ω(v, w, h, k)/(|h|2 + |k|2)1/2 → 0 ketika |h|2 + |k|2 → 0. Ambil w=v dan
h=k. Kemudian, dari (3.2) dan (3.3), diperoleh
g(v + h, v + h) = g(v, v) + 2∇w T g(v, v)h + ω(v, h)
(3.5)
Universitas Sumatera Utara
12
dimana ω(v, h)/|h| → 0 karena |h| → 0. Menjadi kasus yang spesial dari (3.4),
formula (3.5) berarti bahwa batasan dari gradien ∇w T g(v, w) ke diagonal Ω0 × Ω0
gradien ∇T g(v, v) dari g(v, v), yakni:
2∇w T g(v, w)|v=w = ∇T g(v, v), ∀v ∈ Ω0
(3.6)
Sifat 2. Operator 2∇w g(v, w)|v=w potensial dan sama ke batasan gradien
dari fungsi simetri g(v,w) ke diagonal persegi, yakni 2∇w T g(v, w)|v=w = ∇T g(v, v)
Berdasarkan penjelasan diatas, jika g1 (x1, x2) dan g2 (x1 , x2) adalah sama
maka G(v,w)=G(w,v). Sehingga dapat dikatakan bahwa kedua pasangan kendala
simetri.
3.5 Kesimetrian
Kendala yang digabungkan dalam masalah pertidaksamaan variasional mungkin tidak simmetri. Sebagai contoh, mungkin antisimmetri dan lainnya yang
memenuhi kondisi g(v, w) = −g(w, v)∀v, w ∈ Ω0 . Akan ditunjukkan bahwa
kendala yang digabungkan tidak akan memiliki akibat dari penyelesaian masalah pertidaksamaan variasional. Berdasarkan sepasang masalah berikut
(F (v ∗), w − v ∗ ) ≥ 0, ∀w ∈ Ω0
dan
(F (v ∗), w − v ∗) ≥ 0, g(v ∗, w) ≤ 0, ∀w ∈ Ω0
dimana g(v, w) adalah fungsi antisimmetri. Fungsi seperti selalu hilang pada
diagonal Ω0 × Ω0 , karena pengaturan v = w di g(v, v) = −g(v, v) dimana hasil
g(v, v) = 0. Berdasarkan perpotongan dari dua himpunan : Ω0 ∩{w |g(v ∗ , w) 6 0} .
Ini selalu kosong dan merupakan himpunan bagian dari Ω0 . Karena v ∗ adalah titik
minimum dari (F (v ∗), w − v ∗) pada Ω0 (solusi untuk masalah pertama), ini juga titik minimum dari fungsi pada setiap himpunan bagiannya. Ini merupakan
solusi dari masalah kedua. Dengan demikian, antisimmetri pada kendala yang
digabungkan dalam masalah equilibrium dapat diturunkan.
Universitas Sumatera Utara
13
Dalam kasus umum, ketika g(v, w) tidak simmetri ataupun tidak antisimmetri, kendala pada pertidaksamaan variasional dapat disimetrikan. Faktanya,
definisi dua subkelas fungsi vektor yang simmetri dan antisimmetri :
g(v, w) − g(w, v) = 0, ∀w, v ∈ Ω0
(3.7)
g(v, w) + g(w, v) = 0, ∀w, v ∈ Ω0
(3.8)
Transpose dari matriks didefinisikan sebagai gT (v, w) = g(w, v). Dalam hal ini,
kondisi simmetri (3.1) dan antisimetri (3.2) memiliki bentuk
Φ(v, w) = ΦT (v, w), Φ(v, w) = −ΦT (v, w)
Dengan menggunakan relasi yang jelas
Φ(v, w) = (ΦT (v, w)T ) dan (Φ1 (v, w) + Φ2 (v, w))T = Φ1 T (v, w) + Φ2 T (v, w), ini
mudah untuk melihat fungsi real Φ(v, w) dapat diuraikan sebagai berikut :
g(v, w) = s(v, w) + k(v, w)
(3.9)
dimana s(v, w)dan k(v, w)adalah fungsi simmetri dan antisimmetri. Ambil v ∗
adalah solusi dari masalah
(F (v ∗), w − v ∗) ≥ 0, s(v ∗, w) ≤ 0, w ∈ Ω0
(3.10)
Solusi dari masalah ketaksamaan variasi (VI) memiliki sebuah interior neighborhood, sebagai contoh ketika g(v ∗, v ∗) < 0 dan w ∈ Ω0 , maka solusi (3.4) adalah
solusi dari (1.1).
Untuk menyelesaikan masalah ketaksamaan variasi (1.1), harus diselesaikan
terlebih dahulu masalah kesimetrian
(F (v ∗), w − v ∗), g(v ∗, w) + g T (v ∗, w) ≤ 0, ∀w ∈ Ω0
3.6 Mereduksi Masalah Saddle-Point
Masalah (1.1) dapat dilihat dengan meminimumkan fungsi linear f(w) =
(F (v ), w − v ∗) pada himpunan Ω = {w ∈ Ω0 | g(v ∗, w) ≤ 0}. Definisi fungsi
∗
Lagrange L(v ∗ , w, p) = (F (v ∗), w − v ∗) + (p, g(v ∗, w))
∀w ∈ Ω0 , ∀p ≥ 0, dimana
v ∗ adalah solusi dari masalah itu dan w dan p adalah variabel primal dan dual.
Universitas Sumatera Utara
14
Karena v ∗ adalah minimum dari f(w) pada Ω0 , pasangan (v ∗, p∗ )adalah saddle
point dari L(v ∗, w, p) yang memenuhi sistem pertidaksamaan
(F (v ∗), v ∗ − v ∗) + (p, g(v ∗, v ∗)) 6
(3.11)
6 (F (v ∗), v ∗ − v ∗) + (p∗ , g(v ∗ , v ∗)) 6
6 (F (v ∗), w − v ∗) + (p∗ , g(v ∗, w))
untuk semua w ∈ Ω0 dan p ≥ 0
Sistem ini dapat direpresentasikan dengan suatu cara yang berbeda yakni
v ∗ ∈ Arg min{(F (v ∗), w − v ∗) + (p∗ , g(v ∗, w)) | w ∈ Ω0 }
p∗ ∈ Arg min{(p, g(v ∗ , v ∗)) | p ≤ 0}
(3.12)
Diasumsikan bahwa g(v, w) berbeda jika dikaitkan dengan w untuk setiap v, dituliskan kembali sebagai berikut :
(F (v ∗) + ∇w T g(v ∗, v ∗)p∗ , w − v ∗) ≤ 0, ∀w ∈ Ω0 ,
(−g(v ∗, v ∗), p − p∗ ) ≤ 0, ∀p ≤ 0
(3.13)
Dengan menggunakan operator projection, sistem pertidaksamaan variasi dapat
direpresentasikan ke bentuk persamaan operator sebagai berikut :
v ∗ = πΩ0 (v ∗ − α(F (v ∗) + ∇Tw g(v ∗, v ∗)p∗ ),
p∗ = π + (p∗ + αg(v ∗ , v ∗))
(3.14)
dimana π + (...) dan πΩ0 adalah operator yang memproyeksikan vektor ke dalam
orthant positif R+ n dan himpunan Ω0 secara berturut-turut dan α > 0 adalah
parameter step-length. Sistem (3.3) dapat ditransformasikan sebagai berikut. Pertidaksamaan pertama pada sistem ini direpresentasikan sebagai
(F (v ∗), w − v ∗) + (p∗ , ∇w g(v ∗, v ∗)(w − v ∗)) ≤ 0, ∀w ∈ Ω0
Selanjutnya, dapat ditransformasikan kembali seperti berikut
1
1
(p∗ , ∇w g(v ∗, v ∗)(w − v ∗)) = (p∗ , ∇g(v ∗, v ∗)(w − v ∗)) ≤ (p∗ , g(w, w) − g(v ∗, v ∗))
2
2
Dan akhirnya (3.3) dapat direpresentasikan yakni
1
(F (v ∗), w − v ∗) + (p∗ , g(w, w) − g(v ∗, v ∗)) ≤ 0,
2
(−g(v ∗, v ∗), p − p∗ ) ≤ 0, ∀p ≤ 0.
∀w ∈ Ω0 ,
(3.15)
Universitas Sumatera Utara
15
Sedemikian hingga, ketidaksamaan variasi dengan kendala yang digabungkan mereduksi masalah saddle-point (Antipin, 1994).
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
PEMBAHASAN DAN HASIL
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan variational (VI) diperlukan beberapa
metode. Akan dianalisa metode-metode yang diajukan oleh Antipin (2000) dengan Min (2010). Adapun metode-metode yang dikemukakan oleh Antipin adalah
sebagai berikut:
4.1 Metode yang Melibatkan Fungsi Modifikasi Lagrange
Untuk menyelesaikan sistem (3.2) akan digunakan metode iterasi yang sederhana, yakni
1
v n+1 ∈ Arg min{ | w − v n |2 + α((F (v n), w − v n ) + (pn , g(v n , w))) | w ∈ Ω0 }
2
pn+1 = π+ (pn + αg(v n+1 , v n+1 ))
(4.1)
Dalam optimasi, situasi ini sangat memungkinkan untuk memodifikasi fungsi
Lagrange. Dengan mempertimbangkan bahwa metode modifikasi fungsi Lagrange
sebagai aplikasi dari pertidaksamaan variasional dengan kendala yang digabungkan,
maka :
1
v n+1 ∈ Arg min{ | w − v n |2 + αM(v n+1 , w, pn ) | w ∈ Ω0 },
2
n+1
p
= π+ (pn + αg(v n+1 , v n+1 )), α > 0
dimana M(v, w, p) = (F (v), w − v) +
1
|
2α
π+ (p + αg(v, w)) |2 −
1
|
2α
(4.2)
p |2 terdefinisi
untuk semua v, w, ∈ Rn × Rn dan p ≤ 0. Disini, v n , pn adalah taksiran sekarang
dan v n+1 , pn+1 adalah solusi yang diinginkan. Persamaan (4.2) dengan variabel
v n+1 , yang muncul dikiri dan kanan. Pernyataan persamaan (4.2) sebagai pertidaksamaan variasional menghasilkan
(v n+1 − v n + α(F (v n+1) + ∇w T g(v n+1 , v n+1)π+ (pn + αg(v n+1 , v n+1 )),
w − v n+1 ) ≤ 0, ∀w ∈ Ω0,
(4.3)
(pn+1 − pn − αg(v n+1 , v n+1 ), p − pn+1 ) ≤ 0, ∀p ≤ 0.
16
Universitas Sumatera Utara
17
Bandingkan pertidaksamaan variasional ini dengan masalah awal (1.1), sangat
penting untuk diketahui bahwa masalah awal dengan pasangan kendala yang digantikan oleh barisan masalah, yang terdiri dari sistem pertidaksamaan variasional yang biasa (tanpa pasangan kendala) sehingga diperoleh teknik penyelesaian
yang beragam.
Sebelum membuktikan kekonvergenan dari metode (4.2) ke penyelesaian masalah equilibrium, ada catatan penting yang harus diperhatikan yaitu kondisi dari
teorema mengharuskan bahwa g(v, w) menjadi konveks hanya di diagonal Ω0 × Ω0
dan tidak diharuskan konveks di w untuk setiap v. Namun, metode (4.2) men-
ganggap meminimalisasi fungsi umum M(v n+1 , w, pn ) pada w untuk setiap v, dan
fungsi ini melibatkan g(v, w).
Kemudian akan ditunjukkan setiap fungsi yang gradiennya memenuhi kondisi Lipschitz bisa dibuat konveks. Andaikan gradien dari f(x) memenuhi kondisi
Lipschitz, yakni (∇f(x + h) − ∇f(x), h) ≤ L|h|2 pada beberapa himpunan atau
−L|h|2 ≤ (∇f(x + h) − ∇f(x), h) ≤ L|h|2
Pertidaksamaan yang disebelah kiri pada bentuk diatas menghasilkan
((∇f(x + h) + LI(x + h) − (∇f(x) + LI(x), h) ≥ 0.
artinya bahwa untuk semua α ≥ L, fungsi fα (x) = f(x) + (1/2)α|x|2 adalah konveks di beberapa himpunan x. Begitu juga untuk pertidaksamaan yang disebelah
kanan pada bentuk diatas dapat ditunjukkan bahwa fα (x) = f(x) − (1/2)α|x|2
adalah konkav di beberapa himpunan untuk semua α ≥ L. Dengan kata lain,
regularisasi fungsi nonkonveks membuat konveks untuk nilai yang cukup besar
dari parameter.
Teorema 1. Misalkan himpunan penyelesaian dari masalah (1.1)adalah
tidak kosong, F (v) menjadi operator monoton, g(v, w)menjadi fungsi vektor simetri yang berbeda dengan menghubungkan w ke setiap v, yang memiliki batasan
g(v, w) |v=w ke diagonal persegi menjadi fungsi konveks, Ω ⊆ Rn menjadi him-
punan konveks tertutup, dan α > 0. Kemudian, barisan v n dibentuk oleh persamaan(4.2) konvergen secara monoton dalam norm menjadi solusi equilibrium
dalam masalah (1.1), v n → v ∗ ∈ Ω∗ sebagai n → ∞
Universitas Sumatera Utara
18
Bukti. Misalkan w = v ∗ (dalam 4.3) dan dimasukkan ke dalam persamaan
(4.2) sehingga diperoleh
(v n+1 − v n + αF (v n+1) + α∇w T g(v n+1 , v n+1 )pn+1 , v ∗ − v n+1) ≥ 0
Pertidaksamaan ini dapat ditransformasikan sebagai berikut :
(v n+1 − v n, v ∗ − v n+1 ) + α(F (v n+1 , v ∗ − v n+1 +
+α(∇w T g(v n+1 , v n+1 )pn+1 , v ∗ − v n+1 ) ≥ 0
(4.4)
ketika g(v, v) adalah konveks, maka pertidaksamaan itu dapat ditransformasikan
sebagai berikut :
1
(pn+1 , ∇w g(v n+1 , v n+1)(v ∗ − v n+1 )) = (pn+1 , ∇g(v n+1, v n+1 )(v ∗ − v n+1 )) ≤
2
1 n+1
≤ (p , g(v ∗, v ∗) − g(v n+1 , v n+1 ))
2
(4.5)
kemudian, diperoleh
(v n+1 − v n , v ∗ − v n+1 ) + α(F (v n+1 , v ∗ − v n+1 +
−g(v
n+1
,v
n+1
α n+1
(p , g(v ∗, v ∗)
2
(4.6)
)) ≥ 0
Misalkan w = v n+1 , maka
1
(F (v ∗), v n+1 − v ∗) + (p∗ , g(v n+1 , v n+1 − g(v ∗, v ∗)) ≥ 0
2
(4.7)
Penjumlahan (4.6) dan (4.7) diperoleh
(v n+1 − v ∗, v ∗ − v n+1 ) + α(F (v n+1 − F (v ∗), v ∗ − v n+1 +
α
+ (pn+1 − p∗ , g(v ∗, v ∗) − g(v n+1 , v n+1 )) ≥ 0
2
(4.8)
Misalkan p = p∗ di (4.4) dan pn+1 , g(v ∗, v ∗)) ≤ 0 dan (p∗ , g(v ∗, v ∗)) = 0, sehingga
dapat dituliskan menjadi
1 n+1
α
(p
− pn , p∗ − pn+1 ) − (g(v n+1 , v n+1 ) − g(v ∗, v ∗), p∗ − pn+1 ) ≥ 0
2
2
(4.9)
karena F (v) adalah operator monoton, hasil penjumlahan dari (4.9) dan (4.10)
yakni
1
(v n+1 − v n, v ∗ − v n+1 ) + (pn+1 − pn , p∗ − pn+1 ) ≥ 0
2
(4.10)
Universitas Sumatera Utara
19
Dengan menggunakan identitas
|x1 − x3|2 = |x1 − x2|2 + 2(x1 − x2 , x2 − x3) + |x2 − x3|2
(4.11)
Produk skalar dikiri dari pertidaksamaan terakhir dapat diuraikan kedalam jumlah kuadrat berikut:
2 1
n+1
2 1
2
2 1
v
− v ∗ + pn+1 − p∗ + v n+1 − v n + pn+1 − pn + |pn − p∗ |2 (4.12)
2
2
2
Penjumlahan (4.12) mulai dari n = 0 sampai n = N menghasilkan
k=N
X
X
2 k=N
N +1
2 1
pk+1 − pk 2 6
v k+1 − v k 2 + 1
v
− v ∗ + pN +1 − p∗ +
2
2 k=0
k=0
2 1
2
6 v 0 − v ∗ + p0 − p∗
2
Pertidaksamaan ini menyiratkan lintasan yang dibatasi, yakni
2
2
2 1
N +1
2 1
v
− v ∗ + pN +1 − p∗ ≤ v 0 − v ∗ + p0 − p∗
2
2
(4.13)
dan juga seri konvergennya yakni
∞
∞
X
X
k+1
2
k+1
k 2
p
v
− pk < ∞
− v < ∞,
k=0
oleh karena itu,
k=0
n+1
2
2
v
− v n → 0, pn+1 − pn → 0, n → ∞.
(4.14)
Karena barisan (v n, pn ) dibatasi, terdapat unsur (v ′, p′ ) sedemikian hingga
v ni → v ′ dan pni → p′ ketika ni → ∞, selain itu,
n +1
v i − v ni 2 → 0, pni +1 − pni 2 → 0.
Mengingat (4.3) dan (4.4) untuk semua ni → ∞ dan melewati batas maka diperoleh
(F (v ′) + ∇w T g(v ′, v ′)p′ , w − v ′) ≥ 0, p′ = π+ (p′ + αg(v ′, v ′)),
(−g(v ′, v ′), p − p′ ) ≥ 0 ∀p ≥ 0.
v ′ = v ∗ ∈ Ω0 dan p′ = p∗ ≥ 0, setiap titik batasan dari barisan (v n , pn ) adalah
penyelesaian dari masalah tersebut. Penurunan monoton dari |v n − v ∗|+ |pn − p∗ |
Universitas Sumatera Utara
20
memastikan bahwa titik batasnya adalah unik, yakni v n → v ∗ dan pn → p∗ ketika
n → ∞. Teorema tersebut terbukti.
4.2 Metode Prediksi Type Proximal yang Menghubungkan Variabel
Dual
Metode (4.2) adalah konvergen dikarenakan menggunakan fungsi Lagrange.
Akan tetapi dalam banyak kasus, fungsi modifikasi Lagrange mengganggu struktur penguraian masalah. Contohnya, stuktur pisahan balok yang memungkinkan
untuk menguraikan masalah awal ke bagian masalah itu sendiri, tetapi bisa hilang dengan menggunakan fungsi modifikasi Lagrange. Di sisi lain, penggunaan
fungsi Lagrange yang biasa bukan mempertahankan modifikasi stuktur pisahan
balok dari masalah, karena fungsi Lagrange yang biasa adalah lilitan linier dari
fungsi objektif dengan kendala fungsional. Ini berarti bahwa fungsi Lagrange
yang biasa dalam metode berulang memungkinkan seseorang untuk menguraikan
masalah optimasi tambahan kedalam serangkaian masalah independen dari ukuran terkecil di setiap langkah iterasi.
Misalkan (v ∗, p∗ ) menjadi aproksimasi sekarang. Kemudian, aproksimasi
selanjutnya (v n+1 , pn+1 ) yang ditentukan oleh formula :
p−n = π+ (pn + αn g(v n , v n )),
1
2
v n+1 = Arg min{ |w − v n | + αn L(v n+1 , w, p−n ) | w ∈ Ω},
2
n+1
n
p
= π+ (p + αn g(v n+1 , v n+1 ))
(4.15)
dimana
L(v, w, p) = (F (v), w − v) + (p, g(v, w)).
Panjang αn di (4.1) ditentukan oleh kondisi
0 < ǫ ≤ αn <
√
2/ |g| , ǫ > 0
(4.16)
dimana |g| adalah konstanta, dengan kondisi
p
αn g(v n+1 , v n+1 ) − g(v n , v n) ≤ 2(1 − ǫ) v n+1 − v n
(4.17)
Universitas Sumatera Utara
21
Untuk memverifikasi formula diatas, pertama dipilih sembarang α0 (sama untuk
semua iterasi, misalnya α0 = 1), kemudian melakukan perhitungan untuk dua
iterasi pertama seperti pada (4.1) (yakni menghitung vektor p−n dan v n+1 ) dan
selanjutnya memverifikasi kondisinya. Jika itu terpenuhi, langkah panjang ditetapkan sama dengan nilai yang telah ditemukan; jika tidak, parameter berkurang
dengan mengalikan angka terkecil dari satuannya, sampai formula yang terakhir
terpenuhi.
Metode (4.1) dapat direpresentasikan sebagai pertidaksamaan variasional
seperti berikut :
(v n+1 − v n + αn (F (v n+1) + ∇w T g(v n+1 , v n+1 )p−n ), w − v n+1 ) ≥ 0, ∀w ∈ Ω0 , (4.18)
(p−n − pn − αn g(v n , v n ), p − p−n) ≥ 0, ∀p ≥ 0,
(4.19)
(pn+1 − pn − αn g(v n+1 , v n+1), p − pn+1 ) ≥ 0, ∀p ≥ 0.
(4.20)
Akan dibuktikan konvergen monoton dari metode (4.1) ke solusi equilibrium
ke masalah (1.1)
Teorema 2. Misalkan himpunan penyelesaian dari masalah (1.1) adalah
kosong, F(v) menjadi operator monoton, g(v,w) menjadi fungsi vektor simetri
berbeda yang menghubungkan w ke setiap v, batasannya g(v, w) |v=w ke diagonal
persegi menjadi fungsi konveks, dan Ω ⊆ Rn menjadi himpunan konveks tertutup. Kemudian, barisan v n dibangun oleh metode (4.1) dengan αn ditentukan
oleh (4.2) atau(4.3) konvergen secara monoton dalam norm ke solusi equilibrium
dalam masalah (1.1), yakni v n → v ∗ ∈ Ω∗ ketika n → ∞
Bukti. Misalkan w = v ∗ dalam (4.4) hasilnya
(v n+1 − v n + αn (F (v n+1 ) + ∇w T g(v n+1 , v n+1 ), p−n , v ∗ − v n+1 ) ≥ 0.
(4.21)
kemudian ditranformasikan sebagai berikut :
(v n+1 − v n , v ∗ − v n+1 ) + αn (F (v n+1, v ∗ − v n+1 +
(4.22)
αn
+ (p−n , g(v ∗, v ∗) − g(v n+1 , v n+1 ) ≥ 0.
2
Berdasarkan Pertidaksamaan (4.5) dan (4.6). Misalkan p = p∗ , sehingga diperoleh
(pn+1 − pn , p∗ − pn+1 ) − αn (g(v n+1 , v n+1 ), p∗ − pn+1 ) ≥ 0
(4.23)
Universitas Sumatera Utara
22
Misalkan p = pn+1 dalam (4.2.5) maka hasilnya adalah
(p−n − pn , pn+1 − p−n ) + αn (g(v n+1 , v n+1 ) − g(v n , v n ), pn+1 − p−n )−
−αn (g(v n+1 , v n+1 ), pn+1 − p−n ) ≥ 0,
(4.24)
Kemudian menjumlahkan formula (4.9) dan (4.10) sehingga diperoleh
(pn+1 − pn , p∗ − pn+1 ) + (p−n − pn , pn+1 − p−n )+
2
+αn 2 g(v n+1 , v n+1 ) − g(v ∗ , v ∗) − αn (g(v n+1 , v n+1 ), p∗ − p−n ) ≥ 0.
Dengan menggunakan hubungan (p−n , g(v ∗, v ∗)) ≤ 0 dan p∗ , g(v ∗, v ∗)) = 0, perti-
daksamaan ini direpresentasikan sebagai
2
1 n+1
1
αn 2 n+1 n+1
v ,v
− g(v n , v n )
(p
− pn , p∗ − pn+1 ) + (p−n − pn , pn+1 − p−n ) +
2
2
2
αn
∗ ∗
n+1
n+1
∗
+ (g(v , v ) − g(v , v ), p − p−n ) ≥ 0.
2
(4.25)
karena operator F (v) adalah monoton, maka
1
(v n+1 − v ∗, v ∗ − v n+1 ) + (pn+1 − pn , p∗ − pn+1 )+
2
2
1 −n
αn 2 n+1 n+1
n n+1
−n
+ (p − p , p
−p )+
v ,v
− g(v n , v n ) ≥ 0.
2
2
(4.26)
Dengan menggunakan identitas, tiga produk skalar pertama kedalam jumlah kuadrat:
2 1
n+1
2
2 αn 2 n+1 n+1
2
v
v , v
− v ∗ + (pn+1 − p∗ + v n+1 − v n −
− g(v n , v n ) +
2
2
1 n+1
1
1
2
2
− p−n + (p−n − pn ≤ |v n − v ∗|2 + |(pn − p∗ |2
+ (p
2
2
2
(4.27)
Mengingat
2
2
2
1 n+1
p
− pn ≤ pn+1 − p−n + p−n − pn
2
(4.28)
sehingga (4.13) dapat direpresentasikan sebagai:
n+1
2 1
2 1
2
2
v
− v ∗ + pn+1 − p∗ + ǫ v n+1 − v ∗ + pn+1 − pn ≤
2
4
1 n
∗ 2
n
∗ 2
≤ |v − v | + |(p − p |
2
(4.29)
Universitas Sumatera Utara
23
Akan tetapi jika panjang langkah αn dalam (4.1) ditentukan oleh (4.2) diperoleh
n+1
2 1
2
2
v
− v ∗ + (pn+1 − p∗ + (1 − (αn 2 /2|g|2 ) v n+1 − v n +
2
2
1
1 n+1
2
2
− pn ≤ |v n − v ∗| + |(pn − p∗ |
+ p
4
2
(4.30)
karena (1 − (αn 2 /2|g|2 ) ≥ ǫ, pertidaksamaan ini memiliki bentuk dari (4.15). Teo-
rema tersebut terbukti.
4.3 Metode Prediksi Type Gradient yang Menghubungkan Variabel
Primal dan Dual
Pada bagian sebelumnya, dianalisis yang disebut skema iterasi implisit yakni
skema yang sisi kanan dan kiri melibatkan variabel dari pertidaksamaan variasional tambahan yang diselesaikan disetiap iterasi. Sehingga, setiap langkah iterasi
harus dipecahkan pertidaksamaan variasional menengah biasa atau sistem dari
pertidaksamaan variasional, tetapi tidak dengan pasangan kendala persamaan
dan pertidaksamaan. Pertidaksamaan ini menggambarkan masalah yang agak
rumit. Dengan alasan ini, muncul pertanyaan apakah situasi ini dapat disederhanakan sehingga setiap langkah iterasi melibatkan hanya satu atau dua masalah tambahan untuk mengoptimalkan fungsi konveks yang kuat pada himpunan
sederhana bukan malah melibatkan pertidaksamaan variasional yang agak rumit.
Dan dapat dijawab bahwa situasi tersebut dapat disederhanakan dengan mempertimbangkan salah satu skema iterasi gradien yang tepat dengan langkah prediksi
yang menghubungkan kedua variabel primal dan dual. Ambil v 0 dan p0 menjadi aproksimasi awal. Aproksimasi selanjutnya dihitung menggunakan relasi yang
berulang.
p̄n
= π+ (pn + αn g(v n , v n)),
v̄ n
= πΩ0 (v n − αn (F (v n) + ∇Tw g(v n , v n)p̄n )),
pn+1 = π+ (pn + αn g(v̄ n , v̄ n )p̄n ))
(4.31)
v n+1 = πΩ0 (v n − αn (F (v̄ n) + ∇Tw g(v n , v n )p̄n ))
Universitas Sumatera Utara
24
Metode (4.31) dapat dipresentasikan sebagai pertidaksamaan variasional.
Dengan definisi dari operator proyeksi, persamaan pertama dan ketiga ditulis
sebagai berikut :
(p̄n − pn − αn g(v n , v n ), p − p̄n ) ≥ 0, ∀p ≥ 0
(4.32)
(p̄n+1 − pn − αn g(un , un ), p − p̄n+1 ) ≥ 0, ∀p ≥ 0
(4.33)
dan
Persamaan yang pertama dan keempat dipresentasikan sebagai berikut :
(v̄ n − v n + αn (F (v n) + ∇w T g(v n , v n )p̄n ), w − v̄ n ) ≥ 0, ∀w ∈ Ω0
(4.34)
(v n+1 − v n + αn (F (v̄ n) + ∇w T g(v̄ n , v̄ n )p̄n ), w − v n+1 ) ≥ 0, ∀w ∈ Ω0
(4.35)
dan
Akan ditunjukkan bahwa metode (4.31) konvergen secara monoton dalam
norm ke solusi equilibrium.
Teorema 3. Misalkan himpunan penyelesaian dari masalah (1.1) adalah
kosong, F(v) menjadi operator monoton, g(v,w)menjadi fungsi vektor simetri yang
berbeda dan konveks yang menghubungkan w ke setiap v, batasannya g(v, w) |v=w
ke diagonal persegi menjadi fungsi konveks, dan Ω ⊆ Rn menjadi himpunan kon-
veks tertutup, dan |pn | ≤ C∀n. Kemudian, barisan v n dibangun oleh metode
(4.31) dengan αn ditentukan oleh (4.32) atau (4.33) konvergen secara monoton
dalm norm ke solusi equilibrium pada masalah (1.1), yakni v n → v ∗ ∈ Ω∗ ketika
n→∞
Bukti. Misalkan w = v ∗ dalam (4.35) hasilnya
(v n+1 − v n , v ∗ − v n+1 + αn (F (v̄ n), v ∗ − v n+1 + αn (∇w T g(v̄ n , v̄ n )p̄n ), v ∗ − v n+1 ) ≥ 0
(4.36)
Misalkan w = v n+1 , maka diperoleh
(v̄ n − v n + αn (F (v n) + ∇w T g(v n , v n)p̄n ), v n+1 − v̄ n ) ≥ 0.
(4.37)
Universitas Sumatera Utara
25
kemudian
(v̄ n − v n , v n+1 − v̄ n) + αn (F (v̄ n), v n+1 − v̄ n )+
+αn (∇w T g(v̄ n , v̄ n )p̄n ), v n+1 − v̄ n )+
(4.38)
2
+αn 2 F (v̄ n) − F (v n) + (∇w T g(v̄ n , v̄ n ) − ∇w T g(v n , v n )p̄n ≥ 0.
Misalkan w = v̄ pada pertidaksamaan tersebut, maka diperoleh
1
(F (v ∗), v̄ n − v ∗) + (p∗ , g(v̄ n , v̄ n) − g(v ∗, v ∗)) ≥ 0
2
(4.39)
Dengan menjumlahkan kedua persamaan terakhir maka hasilnya adalah
(vn+1 − v n , v ∗ − v n+1 ) + (v̄ n − v n , v n+1 − v̄ n ) + αn (F (v̄ n ) − F (v ∗), v ∗ − v̄ n)+
αn
+ (p̄n − p∗ , g(v ∗, v ∗) − g(v̄ n , v̄ n )) + αn 2 |F (v̄ n) − F (v n)+
2
+(∇T w g(v̄ n , v̄ n ) − (∇T w g(v n , v n ))p̄n |2 ≥ 0
(4.40)
Selanjutnya adalah memisalkan p = p∗ , maka diperoleh
(pn+1 − pn , p∗ − pn+1 ) − α(g(v̄ n , v̄ n ), p∗ − pn+1 ) ≥ 0
(4.41)
Misalkan p = pn+1 , maka hasilnya
(p̄n − pn , pn+1 − p̄n ) + αn (g(v̄ n , v̄ n ) − g(v n , v n), pn+1 − p̄n )−
−αn (g(v̄ n , v̄ n ), pn+1 − p̄n ) ≥ 0
(4.42)
Dengan menjumlahkan kedua formula tersebut maka diperoleh
(pn+1 − pn , p∗ − pn+1 ) + (p̄n − pn , pn+1 − p̄n )+
+α2 n |g(v̄ n , v̄ n) − g(v n , v n )|2 − αn (g(v̄ n , v̄ n), p∗ − p̄n ) ≥ 0
(4.43)
Dengan menggunakan relasi p̄n , g(v ∗, v ∗)) ≤ 0 dan (p∗ , g(v ∗, v ∗)) = 0, pertidaksa-
maan ini dapat juga ditulis sebagai
1
1 n+1
(p
− pn , p∗ − pn+1 ) + (p̄n − pn , pn+1 − p̄n )+
2
2
α2n
α
n
+ |g(v̄ n , v̄ n ) − g(v n , v n )|2 +
(g(v ∗, v ∗) − g(v̄ n , v̄ n ), p∗ − p̄n ) ≥ 0.
2
2
(4.44)
Universitas Sumatera Utara
26
Menjumlahkan (4.40) dan (4.44) dan membuat perhitungan kemonotonan
dari F (v) diperoleh
(v n+1 − v n , v ∗ − v n+1 ) + (v̄ n − v n, v n+1 − v̄ n )+
1
1
+ (pn+1 − pn , p∗ − pn+1 ) + ( )(p̄n − pn , pn+1 − p̄n )+
2
2
2
n
n
T
n n
+αn (|F (v̄ ) − F (v ) + (∇w g(v̄ , v̄ ) − ∇Tw g(v n , v n ))p̄n |2+
1
1
+ |g(v̄ n, v̄ n ) − g(v n , v n )|2) ≤ |v n − v ∗|2 + |pn − p∗ |2 .
2
2
Berdasarkan formula (4.32), maka pertidaksamaan terakhir dapat direpresentasikan sebagai berikut:
1
1
|v n+1 − v ∗|2 + |pn+1 − p∗ |2 + |pn+1 − pn |2 + |v n+1 − v̄ n|2 +
2
4
n
n 2
2
n
n
+|v̄ − v | − αn (|F (v̄ ) − F (v ) + (∇Tw g(v̄ n , v̄ n) − ∇Tw g(v n , v n ))p̄n |2+
1
1
+ |g(v̄ n , v̄ n) − g(v n , v n )|2 ≤ |v n − v ∗|2 + |pn − p∗ |2 .
2
2
(4.45)
Kemudian, menetapkan jumlah dari pertidaksamaan itu sehingga diperoleh
1
1
|v n+1 − v ∗|2 + |pn+1 − p∗ |2 + |pn+1 − pn |2 + |v n+1 − v̄ n |2 + ǫ|v̄ n − v n |2 ≤
2
4
1
≤ |v n − v ∗|2 + |pn − p∗ |2.
2
(4.46)
Jika panjang langkah αn di (4.31) ditentukan oleh (4.32), dan penggabungan
dengan (x, y) ≤ |
PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN
KENDALA PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN
TESIS
Oleh
RUTH MAYASARI SIMANJUNTAK
117021050/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
Universitas Sumatera Utara
METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN
PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN
KENDALA PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN
TESIS
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
RUTH MAYASARI SIMANJUNTAK
117021050/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2013
Universitas Sumatera Utara
Judul Tesis
Nama Mahasiswa
Nomor Pokok
Program Studi
: METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN
PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN
KENDALA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
: Ruth Mayasari Simanjuntak
: 117021050
: Magister Matematika
Menyetujui,
Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua
(Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc)
Anggota
Ketua Program Studi
Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang)
(Dr. Sutarman, M.Sc)
Tanggal lulus: 17 Desember 2013
Universitas Sumatera Utara
Telah diuji pada
Tanggal 17 desember 2013
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua
: Prof. Dr. Herman Mawengkang
Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc
2. Prof. Dr. Muhammad Zarlis
3. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
Universitas Sumatera Utara
PERNYATAAN
METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN
PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, Desember 2013
Penulis,
Ruth Mayasari Simanjuntak
i
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Pertidaksamaan variasional adalah pertidaksamaan yang melibatkan fungsi yang
harus diselesaikan untuk semua nilai dari suatu variabel, biasanya untuk himpunan konveks. Kelas fungsi vektor simetri yang membentuk pasangan kendala
persamaan dan pertidaksamaan telah diperkenalkan. Ada beberapa metode yang
digunakan untuk menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasi yaitu metode
yang melibatkan modifikasi fungsi Lagrange, metode prediksi type proximal, dan
metode prediksi type gradient. Kekonvergenan dari metode tersebut dibuktikan.
Dari analisa yang dilakukan ketiga metode itu kurang efisien digunakan karena
membutuhkan waktu yang lama dalam penyelesaian. Metode proyeksi sederhana,
alternating direction method, dan metode ekstragradien adalah metode yang tepat
dalam menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasional karena menggunakan
algoritma, dan algoritma yang dihasilkan menarik, sederhana, dan sangat cepat.
Kata kunci: Persoalan pertidaksamaan variasional, Alternating direction method,
Optimisasi.
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Variational inequality is an inequality involving a functional, which has to be solved
for all possible values of a given variable, belonging usually to a convex set. The
class of symmetric vector functions that form inequality and equality constrains
is introduced. There are several methods used to solve the variational inequality
problems, i.e the methods involving the modified Lagrange functions, a prediction
type proximal, and a prediction type gradient method. The convergence of the
methods is proved. The simple projection method, alternating direction method,
and extragradient method is a appropriate methods in solving variational inequality
problems because the resulting algorithm is attractive, simple, and very fast.
Keyword:Variational inequality problem, Alternating direction method,Optimization
iii
Universitas Sumatera Utara
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang selalu memberikan rahmat yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul:
METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA PERSAMAAN DAN
PERTIDAKSAMAAN. Penulis menyampaikan terima kasih kepada:
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K)
selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan
kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister
Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembimbing-I yang
telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan
tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembanding-II
yang telah memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Muhammad Zarlis, Pembanding-I yang telah memberikan
saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembimbing-II yang memberikan
bimbingan, arahan, dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak/Ibu Dosen Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas
Sumatera Utara yang telah memberikan ilmunya selama masa perkuliahan.
Ibu Misiani, S.Si, staf administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang banyak membantu proses administrasi.
iv
Universitas Sumatera Utara
Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada :
Ibunda dan ayahanda tercinta, yang telah memberikan kasih sayang dan dukungan
baik selama penulis dalam pendidikan dan penyelesaian tesis ini.
Suami tercinta yang telah memberikan doa, kasih sayang, dukungan baik secara
moril maupun materi.
Rekan-rekan mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas
Sumatera Utara khususnya angkatan reguler tahun 2011 genap, dan semua pihak
yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu pada tesis ini. Semoga Tuhan
Yang Maha Kuasa membalas segala kebaikan dan bantuan yang telah diberikan.
Medan, Desember 2013
Penulis,
Ruth Mayasari Simanjuntak
v
Universitas Sumatera Utara
RIWAYAT HIDUP
Ruth Mayasari Simanjuntak, dilahirkan di Tobasari pada tanggal 22 Juli
1983, merupakan anak keempat dari lima bersaudara dari ayah W. Simanjuntak
dan ibunda A.Aritonang. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar (SD)
di SD Negeri 060925 Kabupaten Simalungun pada tahun 1995, Sekolah Lanjutan
Tingkat Pertama (SLTP) di SLTP Pembangunan Kabupaten Simalungun pada
tahun 1998, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA RK Budi Mulia Pematangsiantar pada tahun 2001.
Pada tahun 2002 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Pendidikan Matematika di Universitas Negeri Medan dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan pada
tahun 2007. Pada Februari 2012 penulis melanjutkan studi pada Program Studi
Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara.
vi
Universitas Sumatera Utara
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN
i
ABSTRAK
ii
ABSTRACT
iii
KATA PENGANTAR
iv
RIWAYAT HIDUP
vi
DAFTAR ISI
vii
BAB 1 PENDAHULUAN
1
1.1 Latar Belakang
1
1.2 Perumusan Masalah
3
1.3 Tujuan Penelitian
4
1.4 Manfaat Penelitian
4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
5
2.1 Pertidaksamaan Variasional (Variational Inequalities)
5
2.2 Quasi-Variational Inequalities
7
2.3 Metode Pengali Lagrange
7
2.4 Equality dan Inequality Constraint (Kendala Persamaan dan
Pertidaksamaan)
8
BAB 3 LANDASAN TEORITIS
9
3.1 Pendekatan Optimasi
9
3.2 Kondisi Convex
9
3.3 Kondisi Optimal KKT
10
3.4 Fungsi Simmetri
10
vii
Universitas Sumatera Utara
3.5 Kesimetrian
12
3.6 Mereduksi Masalah Saddle-Point
13
BAB 4 PEMBAHASAN DAN HASIL
16
4.1 Metode yang Melibatkan Fungsi Modifikasi Lagrange
16
4.2 Metode Prediksi Type Proximal yang Menghubungkan Variabel
Dual
20
4.3 Metode Prediksi Type Gradient yang Menghubungkan Variabel
Primal dan Dual
23
4.4 Alternating Direction Method
27
4.5 Metode Proyeksi Sederhana
29
4.6 Metode Ekstragradien
29
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
31
5.1 Kesimpulan
31
5.2 Saran
31
DAFTAR PUSTAKA
32
viii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRAK
Pertidaksamaan variasional adalah pertidaksamaan yang melibatkan fungsi yang
harus diselesaikan untuk semua nilai dari suatu variabel, biasanya untuk himpunan konveks. Kelas fungsi vektor simetri yang membentuk pasangan kendala
persamaan dan pertidaksamaan telah diperkenalkan. Ada beberapa metode yang
digunakan untuk menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasi yaitu metode
yang melibatkan modifikasi fungsi Lagrange, metode prediksi type proximal, dan
metode prediksi type gradient. Kekonvergenan dari metode tersebut dibuktikan.
Dari analisa yang dilakukan ketiga metode itu kurang efisien digunakan karena
membutuhkan waktu yang lama dalam penyelesaian. Metode proyeksi sederhana,
alternating direction method, dan metode ekstragradien adalah metode yang tepat
dalam menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasional karena menggunakan
algoritma, dan algoritma yang dihasilkan menarik, sederhana, dan sangat cepat.
Kata kunci: Persoalan pertidaksamaan variasional, Alternating direction method,
Optimisasi.
ii
Universitas Sumatera Utara
ABSTRACT
Variational inequality is an inequality involving a functional, which has to be solved
for all possible values of a given variable, belonging usually to a convex set. The
class of symmetric vector functions that form inequality and equality constrains
is introduced. There are several methods used to solve the variational inequality
problems, i.e the methods involving the modified Lagrange functions, a prediction
type proximal, and a prediction type gradient method. The convergence of the
methods is proved. The simple projection method, alternating direction method,
and extragradient method is a appropriate methods in solving variational inequality
problems because the resulting algorithm is attractive, simple, and very fast.
Keyword:Variational inequality problem, Alternating direction method,Optimization
iii
Universitas Sumatera Utara
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Optimasi adalah tindakan memperoleh hasil terbaik dalam keadaan tertentu. Permasalahan optimasi sering digunakan untuk mendapatkan suatu solusi
yang ideal atau optimal dari permasalahan yang bersifat linier atau nonlinier
(Rao, 1984). Pembagian pemograman nonlinier dapat ditentukan dari bentuk
fungsi tujuan, dari karakteristik fungsi objektif atau dari keberadaan fungsi-fungsi
kendala. Salah satu bentuk persoalan nonlinier programming yaitu
min f(x)
s.t
g(x) ≥ 0
dimana f : Rn → R dan g : Rn → Rm adalah fungsi mulus (Luenberger dan
Yinyu, 2008).
Pertidaksamaan variasional adalah pertidaksamaan yang melibatkan fungsi
yang harus diselesaikan untuk semua nilai dari suatu variabel. Studi tentang
pertidaksamaan variasional mengacu pada metodologi optimasi nonlinier, solusi
dari persamaan nonlinier dan teori titik tetap. Teori pertidaksamaan variasional
telah menyaksikan pertumbuhan eksplosif dalam kemajuan teoritis, perkembangan algoritma dan aplikasi di semua disiplin ilmu murni dan ilmu terapan. Teori
ini sering diterapkan pada masalah equilibrium yang timbul di bidang ekonomi,
keuangan, transportasi, elastisitas, optimasi, riset operasi dan analisis struktural
(Noor et al., 2003).
Persoalan pertidaksamaan variasional adalah menemukan sebuah vektor v ∗ ∈
Ω0 sedemikian hingga
(w − v ∗)T F (v ∗) > 0, ∀w ∈ Ω0
(1.1)
1
Universitas Sumatera Utara
2
dimana Ω0 adalah himpunan bagian conveks tertutup yang tidak kosong dari Rn ,
(.,.) adalah produk dalam di Rn , dan F = Rn → Rn adalah fungsi kontinu, ketika
Ω0 = Rn+ itu termasuk masalah nonlinier complementary dan ketika Ω0 = Rn itu
termasuk sistem persamaan linier. Min (2010) menggunakan alternating direction
method yang baru untuk mengatasi masalah pertidaksamaan variasional dalam
menemukan vektor v ∗ tersebut. Dalam tesis ini difokuskan untuk menyelesaikan
persoalan pertidaksamaan variasional yang dinotasikan dengan VI (Variational
Inequalities) (F, Ω0) yang memiliki kendala persamaan dan pertidaksamaan, sehingga bentuk persamaannya menjadi sebagai berikut:
Ω0 = {v ∈ Rn | Av − b, Cv ≤ d, v ∈ X}
dimana C ∈ Rl×n , d ∈ Rl dan X adalah himpunan bagian konveks tertutup yang
tidak kosong dari Rn .
Dikatakan bahwa fungsi Ω0 co-coersive pada X apabila ada sebuah konstanta
µ > 0 sedemikian hingga
(v − v ′)T (F (v) − f(v ′ )) ≥ µ k F (v) − f(v ′ ) k2 , ∀v, v ′ ∈ X
dapat dikatakan bahwa co-coersive dengan modulus µ menyiratkan Lipschitz continuity dan kemonotonan.
Sebuah alternating direction method dapat juga digunakan untuk memecahkan masalah pertidaksamaan variasional (F, Ω0) dengan memperkenalkan vektor
slack z ke kendala persamaan linier untuk mengubah bentuk persamaan sebagai
berikut :
Ω0 = {(v, z) ∈ Rn × Rl | Av = b, Cv + z = d, v ∈ X, z ≥ 0}
Akan tetapi ini akan meningkatkan besarnya persoalan pertidaksamaan variasional dari n ke n+l, mendorong ke arah perhitungan yang lebih kompleks, terutama
ketika ada beberapa kendala persamaan linier di Ω0 .
Begitu juga dengan Solodov dan Suater (1999) menggunakan sebuah metode
projeksi yang baru untuk mengatasi masalah ketaksamaan variasi. Tetapi Solodov
Universitas Sumatera Utara
3
dan Suater menggunakan perhitungan yang mahal dalam kasus umum ketika operator projeksi
Pc [v] := arg min k y − z k
y∈C
ini adalah salah satu cara untuk mengatasi masalah optimasi untuk menemukan
sebuah projeksi. Selanjutnya, dibuat tidak ada asumsi pada masalah yang lain
dari kontinuitas F (·) dan kondisi pada bentuk umum dari ketaksamaan variasi.
Digunakan algoritma untuk meminimumkan angka dari operasi projek yang dilakukan setiap iterasi. Dengan catatan bahwa pada kasus ini ketika F (·) adalah
tidak kontinu Lipschitz atau konstanta dari Lipschitz tidak diketahui. Solodov
dan Tseng (1996) mengatakan bahwa ini akan menjadi perhitungan yang sangat
mahal.
Persoalan pertidaksamaan variasional banyak diterapkan dalam Matematika. Termasuk salah satunya adalah model equilibrium dalam ekonomi yang
melibatkan definisi dan kendala anggaran. Banyak metode yang diusulkan dalam
menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasi ini seperti publikasi ilmiah oleh
Noor pada tahun 2002 yang mengusulkan metode type projection untuk pertidaksamaan variasional yang umum dan pada tahun 2003 Noor mengusulkan beberapa
metode projeksi yang baru untuk mengatasi persoalan tersebut. Min mengusulkan
sebuah metode alternating direction untuk mengatasi persoalan pertidaksamaan
variational yang monoton, pada metode ini dia hanya mengatasi persamaan linier
dan diterapkan pada projeksi orthogonal kemudian pada tahun 2010 dia kembangkan kembali dengan mengusulkan metode alternating direction untuk mengatasi persoalan pertidaksamaan variasional co-coersive yang memiliki kendala
persamaan dan pertidaksamaan. Berdasarkan hal tersebut maka dalam tesis ini
akan dianalisa metode-metode penyelesaian persoalan ketaksamaan variasi untuk
menemukan fungsi pokok dari F .
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan v adalah sebuah vektor dan F (v ∗) adalah sebuah fungsi pokok pada pertidaksamaan variasional. Seperti apa nilai dari vektor v ∗ sehingga (v − v ∗)T
dikali dengan fungsi pokok F (v ∗) bernilai positif.
Universitas Sumatera Utara
4
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah menganalisa metode penyelesaian dari pertidaksamaan variasional dengan kendala persamaan dan pertidaksamaan untuk
menentukan nilai dari vektor v ∗ pada (1.1).
1.4 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan teoritis dalam bidang Matematika khususnya pada kasus-kasus operasi riset yaitu optimisasi. Dengan menggunakan beberapa metode dapat menyelesaikan persoalan pertidaksamaan variasional dan dapat membatasi pergerakan nilai optimal yang dihasilkan
pada setiap iterasinya.
Universitas Sumatera Utara
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pertidaksamaan Variasional (Variational Inequalities)
Dalam Matematika, pertidaksamaan variasional adalah sebuah pertidaksamaan yang melibatkan fungsi yang harus diselesaikan untuk semua nilai variabel
tertentu, termasuk himpunan konveks. Teori Matematika pertidaksamaan variasional diformulasikan untuk merumuskan berbagai masalah equilibrium, masalah
analisis kualitatif dalam hal keberadaan dan keunikan solusi, stabilitas dan analisis
sensitivitas, dan algoritma dengan analisis konvergensi yang menyertainya untuk
keperluan komputasi. Dalam pertidaksamaan variasional berisi kasus khusus tentang masalah-masalah dalam pemograman Matematika yaitu sistem persamaan
nonlinier, masalah optimasi, complementary problem, dan juga berkaitan dengan
masalah titik tetap (Nagurney, 2002).
Ambil Ω0 ⊂ Rn adalah sebuah himpunan bagian konveks tertutup yang
tidak kosong dari Rn dan F adalah pemetaan dari Rn ke Rn . Min (2010) mengemukakan persoalan pertidaksamaan variasional adalah menemukan sebuah vektor
v ∗ ∈ Ω0 sedemikian hingga
(w − v ∗ )T F (v ∗) ≥ 0, ∀v ∈ Ω0
(2.1)
Pertidaksamaan variasional (F, Ω0 ) meliputi program linier dengan pengaturan
F = c, vektor konstan, dan Ω0 = {v ∈ Rn : Av = b, v ≥ 0}. Ada beberapa
metode untuk pertidaksamaan variasional (F, Ω0) (Min, 2009). Diantara metode
ini, metode jenis proyeksi yang menarik, sederhana, dan efisiensi. Terutama ketika
daerah layak Ω0 memiliki beberapa struktur khusus (misalnya, Ω0 adalah orthant
nonnegatif). Bentuk alternating direction method untuk pertidaksamaan variasional nonlinier co-coersive adalah
Ω0 = {v ∈ Rn | Av = b, v ∈ X}
(2.2)
5
Universitas Sumatera Utara
6
dimana A ∈ Rm × n, b ∈ Rm dan X adalah himpunan bagian konveks tertutup
sederhana dari Rn . Dikatakan pemetaan F adalah monoton jika
(F (v) − F (v ∗), v − v ∗) ≥ 0, ∀v, v ∗ ∈ Rn
(2.3)
Pertidaksamaan variasional (F, Ω0 ) adalah monoton ketika pemetaan F juga monoton. Dikatakan strictly monoton pada Ω0 jika
(v − v ∗)T (F (v) − F (v ∗)) > 0, ∀v, v ∗ ∈ S, v 6= v ∗
(2.4)
Dikatakan monoton kuat pada Q jika terdapat konstan cs m > 0 sedemikian hingga
(v − v ∗)(F (v) − F (v ∗)) ≥ cs m k v − v ∗ k2 , ∀v, v ∈ Ω0
(2.5)
Secara umum, Noor (2002) juga mengatakan jika F adalah pseudomonoton untuk
semua v, v ∈ Rn jika
{F (v ∗), (v − v ∗)} ≥ 0 ⇒ {F (v), (v − v ∗)} ≥ 0
(2.6)
Solodov dan Suater (1999) mengatakan dalam kasus ini ketika F (·) adalah monoton kuat dan/atau daerah layak Ω0 memiliki beberapa stuktur spesial (contohnya
Ω0 adalah nonnegatif orthant atau secara umum sebuah kotak) ada beberapa
metode yang efisien dapat digunakan untuk mengatasi kasus-kasus spesial dari
pertidaksamaan variasional.
Berdasarkan vektor pengali lagrangian y ∈ Rm ke kendala persamaan linier
Ax = b dan vektor pengali lagrangian yang lain z ∈ Rl ke kendala persamaan
linier Cx ≤ d, bentuk eqivalen dari persoalan pertidaksamaan variasional (f, S)
dapat ditekankan sebagai berikut, dinotasikan oleh (Q, W ): Menentukan vektor
w∗ ∈ W sedemikian hingga
(w − w∗)T Q(w∗) ≥ 0, ∀w ∈ W
dimana
#
"
f(x) − AT y + C T z
x
w = y , Q(w) =
, W = X × Rm × Z
Ax − b
z
d − Cx
dimana Z = Rl+ (Min, 2010).
Universitas Sumatera Utara
7
2.2 Quasi-Variational Inequalities
Dengan mempertimbangkan suatu permainan dua orang bilinear dengan
kendala yang digabungkan ditentukan oleh sebuah konveks, himpunan tertutup
K ∈ Q1 × Q2 ∈ Rn × Rn . Dengan memperbaiki titik x = (x1, x2 ) ∈ K, dibuat
menjadi dua bagian K1 (x) = {x1 ∈ Rn | (x1, x2 ) ∈ K} dan K2 (x) = {x2 ∈ Rn |
(x1 , x2) ∈ K} melalui titik tersebut dan mempertimbangkan permainan
x1 ∗ ∈ Arg min{(A1x1, x2 ∗) + (l1 , x1) | x1 ∈ K1 (x∗)},
(2.7)
x2∗ ∈ Arg min{(x1∗ , A2x2) + (l2, x2 ) | x2 ∈ K2 (x∗)}
(2.8)
dimana x∗ = (x1 ∗, x2 ∗). Dengan memperkenalkan vektor l = (l1, l2) dan matriks
AT dengan entri a1 1 = 0, a12 = A − 1T , a2 1 = A2 T , a22 = 0, dimana T adalah
transpose, masalah tersebut dapat digambarkan setara dengan pertidaksamaan
variasional sebagai berikut:
(AT x∗ , x − x∗ ) + (l, x − x∗) ≥ 0, ∀x ∈ K(x∗ )
(2.9)
dimana K(x∗) = K1 (x∗ ) × K2 (x∗).
Ketika A − 1T dan A2T adalah operator differensial dan K ∈ Q1 × Q2 ⊆
H 1 × H 2 , dimana H 1 dan H 2 adalah Hilbert spaces, permasalahan (2.3.1) disebut
quasi-variational inequality (Sofonea, 2009).
2.3 Metode Pengali Lagrange
Permasalahan-permasalahan non linier yang tidak dalam bentuk standar
diselesaikan dengan mengubahnya ke dalam bentuk standar. Untuk menyelesaikan
permasalahan ini, maka perlu dibentuk fungsi pengali Lagrange. Fungsi pengali
Lagrange didefinisikan sebagai:
L(x1, x2 , ..., xn, λ1 , λ2 , ...λn ) = f(X) −
m
X
λi gi (X)
i=1
dimana λi = (i = 1, 2, ..., m) adalah tetapan-tetapan yang disebut pengali Lagrange (Lagrange multipliers). Kemudian dibentuk kembali persamaan berikut:
∂L
= 0,
∂xj
(j = 1, 2, ..., n)
Universitas Sumatera Utara
8
∂L
= 0,
∂xi
(i = 1, 2, ..., m)
Metode pengali Lagrange ini ekuivalen dengan menggunakan persamaan
kendala untuk menghilangkan beberapa variabel x tertentu dari fungsi objektif
dan kemudian menyelesaikan persoalan maksimasi tanpa kendala dalam variabelvariabel x tersisa.
2.4 Equality dan Inequality Constraint (Kendala Persamaan dan Pertidaksamaan)
Pandang sebuah persoalan dengan kendala persamaan
max f(x)
s.t
gi (x) = bi , i = 1, ..., m
hj (x) = dj , j = 1, ..., p
Ax = b
Cx ≤ d
f,g, dan h dianggap berbentuk konveks dan dapat diturunkan dua kali secara
kontinu. A adalah matriks p × n pada p < n dan C adalah matriks l × n. Jika
kita memiliki sebuah program dengan kendala ≥ dapat di ubah menjadi ≤ dengan
mengalikan -1, begitu juga mengubah meminimumkan menjadi memaximumkan.
Daerah layak tidak hanya termasuk kendala persamaan linier melainkan kendala
pertidaksamaan linier, contohnya sebagai berikut :
S = {x ∈ Rn | Ax − b, Cx ≤ d, x ∈ X}
Dimana C ∈ Rl × n, d ∈ Rl dan X adalah himpunan bagian konveks tertutup
yang tidak kosong dari Rn .
Universitas Sumatera Utara
BAB 3
LANDASAN TEORITIS
Penentuan nilai optimal dalam persoalan pertidaksamaan vaiasional dapat
dilakukan dengan menggunakan pendekatan optimasi, kondisi konvex, kondisi optimal KKT, fungsi kesimetrian, kesimetrian, dan mereduksi masalah saddle-point.
3.1 Pendekatan Optimasi
Dari beberapa kasus equilibri dapat ditemukan dengan melibatkan masalah
optimasi. Dalam penelitian ini dipertimbangkan masalah optimasi dengan dua
kendala yaitu kendala persaman dan pertidaksamaan seperti yang diungkapkan
oleh Luenberger dan Yinyu (2008) sebagai berikut:
min f(x)
s.t
h(x) = 0, g(x) ≤ 0
dimana
h(x) = (h1(x), ..., hm(x))T
g(x) = (g1 (x), ..., gj (x))T
3.2 Kondisi Convex
Sebuah permasalahan harus memenuhi syarat konveksitas agar dapat diselesaikan dan mempunyai solusi yang optimal. Syarat konveksitas yang harus
dipenuhi yaitu bagaimana kondisi konveks secara umum dan hubungan differensial dengan kondisi konveks. Sebuah permasalahan mempunyai nilai solusi optimal
jika fungsi tujuannya memenuhi syarat konveks dan ruang solusinya merupakan
himpunan konveks (Hariadi, 2009).
9
Universitas Sumatera Utara
10
3.3 Kondisi Optimal KKT
Kondisi KKT adalah kondisi yang diperlukan bagi penyelesaian permasalahan optimasi linier. Jaminan akan diperoleh solusi optimal jika kondisi KKT
dipenuhi.
Misalkan bahwa daerah layak Ω0 dari pertidaksamaan variasional (F, Ω0 )
digambarkan dengan pasangan persamaan dan pertidaksamaan
Ω0 = {v : g(v) ≤ 0, h(v) = 0}
Dan beberapa kualifikasi kendala yang dipegang. Kemudian pertidaksamaan variasional (F, Ω0 ) adalah ekivalen ke kondisi KKT:
0 = f(v) + ∇g(v)T λ + ∇h(v)T µ
0 ≤ λ⊥g(v) ≤ 00 − h(v)
Untuk memperoleh kondisi KKT itu sukses, menyadari bahwa jika v adalah solusi untuk pertidaksamaan variasional maka harus memecahkan masalah optimasi
konveks dan sebaliknya
min v T f(v ∗ )
v
s.t
v ∈ Ω0
jika tidak, akan ada sebuah titik w dengan v T f(v ∗ ) < (v ∗)T f(v ∗ ) yang berarti
(w − v ∗ )T f(v ∗) < 0
3.4 Fungsi Simmetri
Alasan dasar pada penelitian ini adalah mengasumsi bahwa fungsi g(v, w)
terlibat dalam kendala konveks secara bersama-sama di v dan w. Ini persyaratan
yang berat dan tidak berlaku untuk kendala pada model ekonomi equilibrium,
karena melibatkan persediaan kendala seperti (p, x) ≤ m, dimana p menyatakan
harga, x- komoditas, dan m-biaya. Disini, g(p, x) = (p, x) konveks bersamaan di
variabelnya.
Universitas Sumatera Utara
11
Dalam tulisan ini, ada persyaratan bahwa g(v, w) menjadi konveks bersamasama di v dan w dan disamping itu, menggunakan fungsi dari simetri tentang
diagonal dari persegi Ω0 × Ω0 , yakni keberagaman v=w.
Definisi 1. Sebuah fungsi g(v,w) dari Rn × Rn kedalam Rm dikatakan men-
jadi simetri pada Rn × Rn jika memenuhi kondisi
g(v, w) = g(w, v), ∀w, v ∈ Ω0
(3.1)
Contoh fungsi simetri termasuk fungsi yang menghasilkan keterbatasan anggaran secara utama pada model ekonomi equilibrium. Yang memiliki bentuk
g(v, w) = (v, w) atau g(v, w) = (Av, w) dimana A adalah matriks simetri. Karakteristik fungsi simetri yang membedakan (3.1) dengan w diperoleh
∇w T g(v, w) = ∇v T g(w, v), ∀w, v ∈ Ω0
(3.2)
dimana ∇w T g(v, w) dan ∇v T g(w, v) adalah matriks m × n yang barisnya adalah
vektor ∇w gi (v, w) dan ∇v gi (w, v), i = 1, 2, ..., m.
Misalkan w=v dalam (3.2) maka hasilnya
∇w T g(v, v) = ∇v T g(w, v), ∀v ∈ Ω0
(3.3)
Dengan demikian dapat dinyatakan sebagai berikut
Sifat 1. Untuk gradien dari fungsi vektor simetri g(v,w) menghubungkan v
dan w, matriks batasannya ke diagonal persegi Ω0 × Ω0 adalah sama.
Sesuai dengan definisi dari fungsi yang terdifferensialkan g(v,w), maka
g(v + h, w + h) = g(v, w) + ∇v T g(v, w)h + ∇w T g(v, w)k, ω(v, w, h, k)
(3.4)
dimana ω(v, w, h, k)/(|h|2 + |k|2)1/2 → 0 ketika |h|2 + |k|2 → 0. Ambil w=v dan
h=k. Kemudian, dari (3.2) dan (3.3), diperoleh
g(v + h, v + h) = g(v, v) + 2∇w T g(v, v)h + ω(v, h)
(3.5)
Universitas Sumatera Utara
12
dimana ω(v, h)/|h| → 0 karena |h| → 0. Menjadi kasus yang spesial dari (3.4),
formula (3.5) berarti bahwa batasan dari gradien ∇w T g(v, w) ke diagonal Ω0 × Ω0
gradien ∇T g(v, v) dari g(v, v), yakni:
2∇w T g(v, w)|v=w = ∇T g(v, v), ∀v ∈ Ω0
(3.6)
Sifat 2. Operator 2∇w g(v, w)|v=w potensial dan sama ke batasan gradien
dari fungsi simetri g(v,w) ke diagonal persegi, yakni 2∇w T g(v, w)|v=w = ∇T g(v, v)
Berdasarkan penjelasan diatas, jika g1 (x1, x2) dan g2 (x1 , x2) adalah sama
maka G(v,w)=G(w,v). Sehingga dapat dikatakan bahwa kedua pasangan kendala
simetri.
3.5 Kesimetrian
Kendala yang digabungkan dalam masalah pertidaksamaan variasional mungkin tidak simmetri. Sebagai contoh, mungkin antisimmetri dan lainnya yang
memenuhi kondisi g(v, w) = −g(w, v)∀v, w ∈ Ω0 . Akan ditunjukkan bahwa
kendala yang digabungkan tidak akan memiliki akibat dari penyelesaian masalah pertidaksamaan variasional. Berdasarkan sepasang masalah berikut
(F (v ∗), w − v ∗ ) ≥ 0, ∀w ∈ Ω0
dan
(F (v ∗), w − v ∗) ≥ 0, g(v ∗, w) ≤ 0, ∀w ∈ Ω0
dimana g(v, w) adalah fungsi antisimmetri. Fungsi seperti selalu hilang pada
diagonal Ω0 × Ω0 , karena pengaturan v = w di g(v, v) = −g(v, v) dimana hasil
g(v, v) = 0. Berdasarkan perpotongan dari dua himpunan : Ω0 ∩{w |g(v ∗ , w) 6 0} .
Ini selalu kosong dan merupakan himpunan bagian dari Ω0 . Karena v ∗ adalah titik
minimum dari (F (v ∗), w − v ∗) pada Ω0 (solusi untuk masalah pertama), ini juga titik minimum dari fungsi pada setiap himpunan bagiannya. Ini merupakan
solusi dari masalah kedua. Dengan demikian, antisimmetri pada kendala yang
digabungkan dalam masalah equilibrium dapat diturunkan.
Universitas Sumatera Utara
13
Dalam kasus umum, ketika g(v, w) tidak simmetri ataupun tidak antisimmetri, kendala pada pertidaksamaan variasional dapat disimetrikan. Faktanya,
definisi dua subkelas fungsi vektor yang simmetri dan antisimmetri :
g(v, w) − g(w, v) = 0, ∀w, v ∈ Ω0
(3.7)
g(v, w) + g(w, v) = 0, ∀w, v ∈ Ω0
(3.8)
Transpose dari matriks didefinisikan sebagai gT (v, w) = g(w, v). Dalam hal ini,
kondisi simmetri (3.1) dan antisimetri (3.2) memiliki bentuk
Φ(v, w) = ΦT (v, w), Φ(v, w) = −ΦT (v, w)
Dengan menggunakan relasi yang jelas
Φ(v, w) = (ΦT (v, w)T ) dan (Φ1 (v, w) + Φ2 (v, w))T = Φ1 T (v, w) + Φ2 T (v, w), ini
mudah untuk melihat fungsi real Φ(v, w) dapat diuraikan sebagai berikut :
g(v, w) = s(v, w) + k(v, w)
(3.9)
dimana s(v, w)dan k(v, w)adalah fungsi simmetri dan antisimmetri. Ambil v ∗
adalah solusi dari masalah
(F (v ∗), w − v ∗) ≥ 0, s(v ∗, w) ≤ 0, w ∈ Ω0
(3.10)
Solusi dari masalah ketaksamaan variasi (VI) memiliki sebuah interior neighborhood, sebagai contoh ketika g(v ∗, v ∗) < 0 dan w ∈ Ω0 , maka solusi (3.4) adalah
solusi dari (1.1).
Untuk menyelesaikan masalah ketaksamaan variasi (1.1), harus diselesaikan
terlebih dahulu masalah kesimetrian
(F (v ∗), w − v ∗), g(v ∗, w) + g T (v ∗, w) ≤ 0, ∀w ∈ Ω0
3.6 Mereduksi Masalah Saddle-Point
Masalah (1.1) dapat dilihat dengan meminimumkan fungsi linear f(w) =
(F (v ), w − v ∗) pada himpunan Ω = {w ∈ Ω0 | g(v ∗, w) ≤ 0}. Definisi fungsi
∗
Lagrange L(v ∗ , w, p) = (F (v ∗), w − v ∗) + (p, g(v ∗, w))
∀w ∈ Ω0 , ∀p ≥ 0, dimana
v ∗ adalah solusi dari masalah itu dan w dan p adalah variabel primal dan dual.
Universitas Sumatera Utara
14
Karena v ∗ adalah minimum dari f(w) pada Ω0 , pasangan (v ∗, p∗ )adalah saddle
point dari L(v ∗, w, p) yang memenuhi sistem pertidaksamaan
(F (v ∗), v ∗ − v ∗) + (p, g(v ∗, v ∗)) 6
(3.11)
6 (F (v ∗), v ∗ − v ∗) + (p∗ , g(v ∗ , v ∗)) 6
6 (F (v ∗), w − v ∗) + (p∗ , g(v ∗, w))
untuk semua w ∈ Ω0 dan p ≥ 0
Sistem ini dapat direpresentasikan dengan suatu cara yang berbeda yakni
v ∗ ∈ Arg min{(F (v ∗), w − v ∗) + (p∗ , g(v ∗, w)) | w ∈ Ω0 }
p∗ ∈ Arg min{(p, g(v ∗ , v ∗)) | p ≤ 0}
(3.12)
Diasumsikan bahwa g(v, w) berbeda jika dikaitkan dengan w untuk setiap v, dituliskan kembali sebagai berikut :
(F (v ∗) + ∇w T g(v ∗, v ∗)p∗ , w − v ∗) ≤ 0, ∀w ∈ Ω0 ,
(−g(v ∗, v ∗), p − p∗ ) ≤ 0, ∀p ≤ 0
(3.13)
Dengan menggunakan operator projection, sistem pertidaksamaan variasi dapat
direpresentasikan ke bentuk persamaan operator sebagai berikut :
v ∗ = πΩ0 (v ∗ − α(F (v ∗) + ∇Tw g(v ∗, v ∗)p∗ ),
p∗ = π + (p∗ + αg(v ∗ , v ∗))
(3.14)
dimana π + (...) dan πΩ0 adalah operator yang memproyeksikan vektor ke dalam
orthant positif R+ n dan himpunan Ω0 secara berturut-turut dan α > 0 adalah
parameter step-length. Sistem (3.3) dapat ditransformasikan sebagai berikut. Pertidaksamaan pertama pada sistem ini direpresentasikan sebagai
(F (v ∗), w − v ∗) + (p∗ , ∇w g(v ∗, v ∗)(w − v ∗)) ≤ 0, ∀w ∈ Ω0
Selanjutnya, dapat ditransformasikan kembali seperti berikut
1
1
(p∗ , ∇w g(v ∗, v ∗)(w − v ∗)) = (p∗ , ∇g(v ∗, v ∗)(w − v ∗)) ≤ (p∗ , g(w, w) − g(v ∗, v ∗))
2
2
Dan akhirnya (3.3) dapat direpresentasikan yakni
1
(F (v ∗), w − v ∗) + (p∗ , g(w, w) − g(v ∗, v ∗)) ≤ 0,
2
(−g(v ∗, v ∗), p − p∗ ) ≤ 0, ∀p ≤ 0.
∀w ∈ Ω0 ,
(3.15)
Universitas Sumatera Utara
15
Sedemikian hingga, ketidaksamaan variasi dengan kendala yang digabungkan mereduksi masalah saddle-point (Antipin, 1994).
Universitas Sumatera Utara
BAB 4
PEMBAHASAN DAN HASIL
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan variational (VI) diperlukan beberapa
metode. Akan dianalisa metode-metode yang diajukan oleh Antipin (2000) dengan Min (2010). Adapun metode-metode yang dikemukakan oleh Antipin adalah
sebagai berikut:
4.1 Metode yang Melibatkan Fungsi Modifikasi Lagrange
Untuk menyelesaikan sistem (3.2) akan digunakan metode iterasi yang sederhana, yakni
1
v n+1 ∈ Arg min{ | w − v n |2 + α((F (v n), w − v n ) + (pn , g(v n , w))) | w ∈ Ω0 }
2
pn+1 = π+ (pn + αg(v n+1 , v n+1 ))
(4.1)
Dalam optimasi, situasi ini sangat memungkinkan untuk memodifikasi fungsi
Lagrange. Dengan mempertimbangkan bahwa metode modifikasi fungsi Lagrange
sebagai aplikasi dari pertidaksamaan variasional dengan kendala yang digabungkan,
maka :
1
v n+1 ∈ Arg min{ | w − v n |2 + αM(v n+1 , w, pn ) | w ∈ Ω0 },
2
n+1
p
= π+ (pn + αg(v n+1 , v n+1 )), α > 0
dimana M(v, w, p) = (F (v), w − v) +
1
|
2α
π+ (p + αg(v, w)) |2 −
1
|
2α
(4.2)
p |2 terdefinisi
untuk semua v, w, ∈ Rn × Rn dan p ≤ 0. Disini, v n , pn adalah taksiran sekarang
dan v n+1 , pn+1 adalah solusi yang diinginkan. Persamaan (4.2) dengan variabel
v n+1 , yang muncul dikiri dan kanan. Pernyataan persamaan (4.2) sebagai pertidaksamaan variasional menghasilkan
(v n+1 − v n + α(F (v n+1) + ∇w T g(v n+1 , v n+1)π+ (pn + αg(v n+1 , v n+1 )),
w − v n+1 ) ≤ 0, ∀w ∈ Ω0,
(4.3)
(pn+1 − pn − αg(v n+1 , v n+1 ), p − pn+1 ) ≤ 0, ∀p ≤ 0.
16
Universitas Sumatera Utara
17
Bandingkan pertidaksamaan variasional ini dengan masalah awal (1.1), sangat
penting untuk diketahui bahwa masalah awal dengan pasangan kendala yang digantikan oleh barisan masalah, yang terdiri dari sistem pertidaksamaan variasional yang biasa (tanpa pasangan kendala) sehingga diperoleh teknik penyelesaian
yang beragam.
Sebelum membuktikan kekonvergenan dari metode (4.2) ke penyelesaian masalah equilibrium, ada catatan penting yang harus diperhatikan yaitu kondisi dari
teorema mengharuskan bahwa g(v, w) menjadi konveks hanya di diagonal Ω0 × Ω0
dan tidak diharuskan konveks di w untuk setiap v. Namun, metode (4.2) men-
ganggap meminimalisasi fungsi umum M(v n+1 , w, pn ) pada w untuk setiap v, dan
fungsi ini melibatkan g(v, w).
Kemudian akan ditunjukkan setiap fungsi yang gradiennya memenuhi kondisi Lipschitz bisa dibuat konveks. Andaikan gradien dari f(x) memenuhi kondisi
Lipschitz, yakni (∇f(x + h) − ∇f(x), h) ≤ L|h|2 pada beberapa himpunan atau
−L|h|2 ≤ (∇f(x + h) − ∇f(x), h) ≤ L|h|2
Pertidaksamaan yang disebelah kiri pada bentuk diatas menghasilkan
((∇f(x + h) + LI(x + h) − (∇f(x) + LI(x), h) ≥ 0.
artinya bahwa untuk semua α ≥ L, fungsi fα (x) = f(x) + (1/2)α|x|2 adalah konveks di beberapa himpunan x. Begitu juga untuk pertidaksamaan yang disebelah
kanan pada bentuk diatas dapat ditunjukkan bahwa fα (x) = f(x) − (1/2)α|x|2
adalah konkav di beberapa himpunan untuk semua α ≥ L. Dengan kata lain,
regularisasi fungsi nonkonveks membuat konveks untuk nilai yang cukup besar
dari parameter.
Teorema 1. Misalkan himpunan penyelesaian dari masalah (1.1)adalah
tidak kosong, F (v) menjadi operator monoton, g(v, w)menjadi fungsi vektor simetri yang berbeda dengan menghubungkan w ke setiap v, yang memiliki batasan
g(v, w) |v=w ke diagonal persegi menjadi fungsi konveks, Ω ⊆ Rn menjadi him-
punan konveks tertutup, dan α > 0. Kemudian, barisan v n dibentuk oleh persamaan(4.2) konvergen secara monoton dalam norm menjadi solusi equilibrium
dalam masalah (1.1), v n → v ∗ ∈ Ω∗ sebagai n → ∞
Universitas Sumatera Utara
18
Bukti. Misalkan w = v ∗ (dalam 4.3) dan dimasukkan ke dalam persamaan
(4.2) sehingga diperoleh
(v n+1 − v n + αF (v n+1) + α∇w T g(v n+1 , v n+1 )pn+1 , v ∗ − v n+1) ≥ 0
Pertidaksamaan ini dapat ditransformasikan sebagai berikut :
(v n+1 − v n, v ∗ − v n+1 ) + α(F (v n+1 , v ∗ − v n+1 +
+α(∇w T g(v n+1 , v n+1 )pn+1 , v ∗ − v n+1 ) ≥ 0
(4.4)
ketika g(v, v) adalah konveks, maka pertidaksamaan itu dapat ditransformasikan
sebagai berikut :
1
(pn+1 , ∇w g(v n+1 , v n+1)(v ∗ − v n+1 )) = (pn+1 , ∇g(v n+1, v n+1 )(v ∗ − v n+1 )) ≤
2
1 n+1
≤ (p , g(v ∗, v ∗) − g(v n+1 , v n+1 ))
2
(4.5)
kemudian, diperoleh
(v n+1 − v n , v ∗ − v n+1 ) + α(F (v n+1 , v ∗ − v n+1 +
−g(v
n+1
,v
n+1
α n+1
(p , g(v ∗, v ∗)
2
(4.6)
)) ≥ 0
Misalkan w = v n+1 , maka
1
(F (v ∗), v n+1 − v ∗) + (p∗ , g(v n+1 , v n+1 − g(v ∗, v ∗)) ≥ 0
2
(4.7)
Penjumlahan (4.6) dan (4.7) diperoleh
(v n+1 − v ∗, v ∗ − v n+1 ) + α(F (v n+1 − F (v ∗), v ∗ − v n+1 +
α
+ (pn+1 − p∗ , g(v ∗, v ∗) − g(v n+1 , v n+1 )) ≥ 0
2
(4.8)
Misalkan p = p∗ di (4.4) dan pn+1 , g(v ∗, v ∗)) ≤ 0 dan (p∗ , g(v ∗, v ∗)) = 0, sehingga
dapat dituliskan menjadi
1 n+1
α
(p
− pn , p∗ − pn+1 ) − (g(v n+1 , v n+1 ) − g(v ∗, v ∗), p∗ − pn+1 ) ≥ 0
2
2
(4.9)
karena F (v) adalah operator monoton, hasil penjumlahan dari (4.9) dan (4.10)
yakni
1
(v n+1 − v n, v ∗ − v n+1 ) + (pn+1 − pn , p∗ − pn+1 ) ≥ 0
2
(4.10)
Universitas Sumatera Utara
19
Dengan menggunakan identitas
|x1 − x3|2 = |x1 − x2|2 + 2(x1 − x2 , x2 − x3) + |x2 − x3|2
(4.11)
Produk skalar dikiri dari pertidaksamaan terakhir dapat diuraikan kedalam jumlah kuadrat berikut:
2 1
n+1
2 1
2
2 1
v
− v ∗ + pn+1 − p∗ + v n+1 − v n + pn+1 − pn + |pn − p∗ |2 (4.12)
2
2
2
Penjumlahan (4.12) mulai dari n = 0 sampai n = N menghasilkan
k=N
X
X
2 k=N
N +1
2 1
pk+1 − pk 2 6
v k+1 − v k 2 + 1
v
− v ∗ + pN +1 − p∗ +
2
2 k=0
k=0
2 1
2
6 v 0 − v ∗ + p0 − p∗
2
Pertidaksamaan ini menyiratkan lintasan yang dibatasi, yakni
2
2
2 1
N +1
2 1
v
− v ∗ + pN +1 − p∗ ≤ v 0 − v ∗ + p0 − p∗
2
2
(4.13)
dan juga seri konvergennya yakni
∞
∞
X
X
k+1
2
k+1
k 2
p
v
− pk < ∞
− v < ∞,
k=0
oleh karena itu,
k=0
n+1
2
2
v
− v n → 0, pn+1 − pn → 0, n → ∞.
(4.14)
Karena barisan (v n, pn ) dibatasi, terdapat unsur (v ′, p′ ) sedemikian hingga
v ni → v ′ dan pni → p′ ketika ni → ∞, selain itu,
n +1
v i − v ni 2 → 0, pni +1 − pni 2 → 0.
Mengingat (4.3) dan (4.4) untuk semua ni → ∞ dan melewati batas maka diperoleh
(F (v ′) + ∇w T g(v ′, v ′)p′ , w − v ′) ≥ 0, p′ = π+ (p′ + αg(v ′, v ′)),
(−g(v ′, v ′), p − p′ ) ≥ 0 ∀p ≥ 0.
v ′ = v ∗ ∈ Ω0 dan p′ = p∗ ≥ 0, setiap titik batasan dari barisan (v n , pn ) adalah
penyelesaian dari masalah tersebut. Penurunan monoton dari |v n − v ∗|+ |pn − p∗ |
Universitas Sumatera Utara
20
memastikan bahwa titik batasnya adalah unik, yakni v n → v ∗ dan pn → p∗ ketika
n → ∞. Teorema tersebut terbukti.
4.2 Metode Prediksi Type Proximal yang Menghubungkan Variabel
Dual
Metode (4.2) adalah konvergen dikarenakan menggunakan fungsi Lagrange.
Akan tetapi dalam banyak kasus, fungsi modifikasi Lagrange mengganggu struktur penguraian masalah. Contohnya, stuktur pisahan balok yang memungkinkan
untuk menguraikan masalah awal ke bagian masalah itu sendiri, tetapi bisa hilang dengan menggunakan fungsi modifikasi Lagrange. Di sisi lain, penggunaan
fungsi Lagrange yang biasa bukan mempertahankan modifikasi stuktur pisahan
balok dari masalah, karena fungsi Lagrange yang biasa adalah lilitan linier dari
fungsi objektif dengan kendala fungsional. Ini berarti bahwa fungsi Lagrange
yang biasa dalam metode berulang memungkinkan seseorang untuk menguraikan
masalah optimasi tambahan kedalam serangkaian masalah independen dari ukuran terkecil di setiap langkah iterasi.
Misalkan (v ∗, p∗ ) menjadi aproksimasi sekarang. Kemudian, aproksimasi
selanjutnya (v n+1 , pn+1 ) yang ditentukan oleh formula :
p−n = π+ (pn + αn g(v n , v n )),
1
2
v n+1 = Arg min{ |w − v n | + αn L(v n+1 , w, p−n ) | w ∈ Ω},
2
n+1
n
p
= π+ (p + αn g(v n+1 , v n+1 ))
(4.15)
dimana
L(v, w, p) = (F (v), w − v) + (p, g(v, w)).
Panjang αn di (4.1) ditentukan oleh kondisi
0 < ǫ ≤ αn <
√
2/ |g| , ǫ > 0
(4.16)
dimana |g| adalah konstanta, dengan kondisi
p
αn g(v n+1 , v n+1 ) − g(v n , v n) ≤ 2(1 − ǫ) v n+1 − v n
(4.17)
Universitas Sumatera Utara
21
Untuk memverifikasi formula diatas, pertama dipilih sembarang α0 (sama untuk
semua iterasi, misalnya α0 = 1), kemudian melakukan perhitungan untuk dua
iterasi pertama seperti pada (4.1) (yakni menghitung vektor p−n dan v n+1 ) dan
selanjutnya memverifikasi kondisinya. Jika itu terpenuhi, langkah panjang ditetapkan sama dengan nilai yang telah ditemukan; jika tidak, parameter berkurang
dengan mengalikan angka terkecil dari satuannya, sampai formula yang terakhir
terpenuhi.
Metode (4.1) dapat direpresentasikan sebagai pertidaksamaan variasional
seperti berikut :
(v n+1 − v n + αn (F (v n+1) + ∇w T g(v n+1 , v n+1 )p−n ), w − v n+1 ) ≥ 0, ∀w ∈ Ω0 , (4.18)
(p−n − pn − αn g(v n , v n ), p − p−n) ≥ 0, ∀p ≥ 0,
(4.19)
(pn+1 − pn − αn g(v n+1 , v n+1), p − pn+1 ) ≥ 0, ∀p ≥ 0.
(4.20)
Akan dibuktikan konvergen monoton dari metode (4.1) ke solusi equilibrium
ke masalah (1.1)
Teorema 2. Misalkan himpunan penyelesaian dari masalah (1.1) adalah
kosong, F(v) menjadi operator monoton, g(v,w) menjadi fungsi vektor simetri
berbeda yang menghubungkan w ke setiap v, batasannya g(v, w) |v=w ke diagonal
persegi menjadi fungsi konveks, dan Ω ⊆ Rn menjadi himpunan konveks tertutup. Kemudian, barisan v n dibangun oleh metode (4.1) dengan αn ditentukan
oleh (4.2) atau(4.3) konvergen secara monoton dalam norm ke solusi equilibrium
dalam masalah (1.1), yakni v n → v ∗ ∈ Ω∗ ketika n → ∞
Bukti. Misalkan w = v ∗ dalam (4.4) hasilnya
(v n+1 − v n + αn (F (v n+1 ) + ∇w T g(v n+1 , v n+1 ), p−n , v ∗ − v n+1 ) ≥ 0.
(4.21)
kemudian ditranformasikan sebagai berikut :
(v n+1 − v n , v ∗ − v n+1 ) + αn (F (v n+1, v ∗ − v n+1 +
(4.22)
αn
+ (p−n , g(v ∗, v ∗) − g(v n+1 , v n+1 ) ≥ 0.
2
Berdasarkan Pertidaksamaan (4.5) dan (4.6). Misalkan p = p∗ , sehingga diperoleh
(pn+1 − pn , p∗ − pn+1 ) − αn (g(v n+1 , v n+1 ), p∗ − pn+1 ) ≥ 0
(4.23)
Universitas Sumatera Utara
22
Misalkan p = pn+1 dalam (4.2.5) maka hasilnya adalah
(p−n − pn , pn+1 − p−n ) + αn (g(v n+1 , v n+1 ) − g(v n , v n ), pn+1 − p−n )−
−αn (g(v n+1 , v n+1 ), pn+1 − p−n ) ≥ 0,
(4.24)
Kemudian menjumlahkan formula (4.9) dan (4.10) sehingga diperoleh
(pn+1 − pn , p∗ − pn+1 ) + (p−n − pn , pn+1 − p−n )+
2
+αn 2 g(v n+1 , v n+1 ) − g(v ∗ , v ∗) − αn (g(v n+1 , v n+1 ), p∗ − p−n ) ≥ 0.
Dengan menggunakan hubungan (p−n , g(v ∗, v ∗)) ≤ 0 dan p∗ , g(v ∗, v ∗)) = 0, perti-
daksamaan ini direpresentasikan sebagai
2
1 n+1
1
αn 2 n+1 n+1
v ,v
− g(v n , v n )
(p
− pn , p∗ − pn+1 ) + (p−n − pn , pn+1 − p−n ) +
2
2
2
αn
∗ ∗
n+1
n+1
∗
+ (g(v , v ) − g(v , v ), p − p−n ) ≥ 0.
2
(4.25)
karena operator F (v) adalah monoton, maka
1
(v n+1 − v ∗, v ∗ − v n+1 ) + (pn+1 − pn , p∗ − pn+1 )+
2
2
1 −n
αn 2 n+1 n+1
n n+1
−n
+ (p − p , p
−p )+
v ,v
− g(v n , v n ) ≥ 0.
2
2
(4.26)
Dengan menggunakan identitas, tiga produk skalar pertama kedalam jumlah kuadrat:
2 1
n+1
2
2 αn 2 n+1 n+1
2
v
v , v
− v ∗ + (pn+1 − p∗ + v n+1 − v n −
− g(v n , v n ) +
2
2
1 n+1
1
1
2
2
− p−n + (p−n − pn ≤ |v n − v ∗|2 + |(pn − p∗ |2
+ (p
2
2
2
(4.27)
Mengingat
2
2
2
1 n+1
p
− pn ≤ pn+1 − p−n + p−n − pn
2
(4.28)
sehingga (4.13) dapat direpresentasikan sebagai:
n+1
2 1
2 1
2
2
v
− v ∗ + pn+1 − p∗ + ǫ v n+1 − v ∗ + pn+1 − pn ≤
2
4
1 n
∗ 2
n
∗ 2
≤ |v − v | + |(p − p |
2
(4.29)
Universitas Sumatera Utara
23
Akan tetapi jika panjang langkah αn dalam (4.1) ditentukan oleh (4.2) diperoleh
n+1
2 1
2
2
v
− v ∗ + (pn+1 − p∗ + (1 − (αn 2 /2|g|2 ) v n+1 − v n +
2
2
1
1 n+1
2
2
− pn ≤ |v n − v ∗| + |(pn − p∗ |
+ p
4
2
(4.30)
karena (1 − (αn 2 /2|g|2 ) ≥ ǫ, pertidaksamaan ini memiliki bentuk dari (4.15). Teo-
rema tersebut terbukti.
4.3 Metode Prediksi Type Gradient yang Menghubungkan Variabel
Primal dan Dual
Pada bagian sebelumnya, dianalisis yang disebut skema iterasi implisit yakni
skema yang sisi kanan dan kiri melibatkan variabel dari pertidaksamaan variasional tambahan yang diselesaikan disetiap iterasi. Sehingga, setiap langkah iterasi
harus dipecahkan pertidaksamaan variasional menengah biasa atau sistem dari
pertidaksamaan variasional, tetapi tidak dengan pasangan kendala persamaan
dan pertidaksamaan. Pertidaksamaan ini menggambarkan masalah yang agak
rumit. Dengan alasan ini, muncul pertanyaan apakah situasi ini dapat disederhanakan sehingga setiap langkah iterasi melibatkan hanya satu atau dua masalah tambahan untuk mengoptimalkan fungsi konveks yang kuat pada himpunan
sederhana bukan malah melibatkan pertidaksamaan variasional yang agak rumit.
Dan dapat dijawab bahwa situasi tersebut dapat disederhanakan dengan mempertimbangkan salah satu skema iterasi gradien yang tepat dengan langkah prediksi
yang menghubungkan kedua variabel primal dan dual. Ambil v 0 dan p0 menjadi aproksimasi awal. Aproksimasi selanjutnya dihitung menggunakan relasi yang
berulang.
p̄n
= π+ (pn + αn g(v n , v n)),
v̄ n
= πΩ0 (v n − αn (F (v n) + ∇Tw g(v n , v n)p̄n )),
pn+1 = π+ (pn + αn g(v̄ n , v̄ n )p̄n ))
(4.31)
v n+1 = πΩ0 (v n − αn (F (v̄ n) + ∇Tw g(v n , v n )p̄n ))
Universitas Sumatera Utara
24
Metode (4.31) dapat dipresentasikan sebagai pertidaksamaan variasional.
Dengan definisi dari operator proyeksi, persamaan pertama dan ketiga ditulis
sebagai berikut :
(p̄n − pn − αn g(v n , v n ), p − p̄n ) ≥ 0, ∀p ≥ 0
(4.32)
(p̄n+1 − pn − αn g(un , un ), p − p̄n+1 ) ≥ 0, ∀p ≥ 0
(4.33)
dan
Persamaan yang pertama dan keempat dipresentasikan sebagai berikut :
(v̄ n − v n + αn (F (v n) + ∇w T g(v n , v n )p̄n ), w − v̄ n ) ≥ 0, ∀w ∈ Ω0
(4.34)
(v n+1 − v n + αn (F (v̄ n) + ∇w T g(v̄ n , v̄ n )p̄n ), w − v n+1 ) ≥ 0, ∀w ∈ Ω0
(4.35)
dan
Akan ditunjukkan bahwa metode (4.31) konvergen secara monoton dalam
norm ke solusi equilibrium.
Teorema 3. Misalkan himpunan penyelesaian dari masalah (1.1) adalah
kosong, F(v) menjadi operator monoton, g(v,w)menjadi fungsi vektor simetri yang
berbeda dan konveks yang menghubungkan w ke setiap v, batasannya g(v, w) |v=w
ke diagonal persegi menjadi fungsi konveks, dan Ω ⊆ Rn menjadi himpunan kon-
veks tertutup, dan |pn | ≤ C∀n. Kemudian, barisan v n dibangun oleh metode
(4.31) dengan αn ditentukan oleh (4.32) atau (4.33) konvergen secara monoton
dalm norm ke solusi equilibrium pada masalah (1.1), yakni v n → v ∗ ∈ Ω∗ ketika
n→∞
Bukti. Misalkan w = v ∗ dalam (4.35) hasilnya
(v n+1 − v n , v ∗ − v n+1 + αn (F (v̄ n), v ∗ − v n+1 + αn (∇w T g(v̄ n , v̄ n )p̄n ), v ∗ − v n+1 ) ≥ 0
(4.36)
Misalkan w = v n+1 , maka diperoleh
(v̄ n − v n + αn (F (v n) + ∇w T g(v n , v n)p̄n ), v n+1 − v̄ n ) ≥ 0.
(4.37)
Universitas Sumatera Utara
25
kemudian
(v̄ n − v n , v n+1 − v̄ n) + αn (F (v̄ n), v n+1 − v̄ n )+
+αn (∇w T g(v̄ n , v̄ n )p̄n ), v n+1 − v̄ n )+
(4.38)
2
+αn 2 F (v̄ n) − F (v n) + (∇w T g(v̄ n , v̄ n ) − ∇w T g(v n , v n )p̄n ≥ 0.
Misalkan w = v̄ pada pertidaksamaan tersebut, maka diperoleh
1
(F (v ∗), v̄ n − v ∗) + (p∗ , g(v̄ n , v̄ n) − g(v ∗, v ∗)) ≥ 0
2
(4.39)
Dengan menjumlahkan kedua persamaan terakhir maka hasilnya adalah
(vn+1 − v n , v ∗ − v n+1 ) + (v̄ n − v n , v n+1 − v̄ n ) + αn (F (v̄ n ) − F (v ∗), v ∗ − v̄ n)+
αn
+ (p̄n − p∗ , g(v ∗, v ∗) − g(v̄ n , v̄ n )) + αn 2 |F (v̄ n) − F (v n)+
2
+(∇T w g(v̄ n , v̄ n ) − (∇T w g(v n , v n ))p̄n |2 ≥ 0
(4.40)
Selanjutnya adalah memisalkan p = p∗ , maka diperoleh
(pn+1 − pn , p∗ − pn+1 ) − α(g(v̄ n , v̄ n ), p∗ − pn+1 ) ≥ 0
(4.41)
Misalkan p = pn+1 , maka hasilnya
(p̄n − pn , pn+1 − p̄n ) + αn (g(v̄ n , v̄ n ) − g(v n , v n), pn+1 − p̄n )−
−αn (g(v̄ n , v̄ n ), pn+1 − p̄n ) ≥ 0
(4.42)
Dengan menjumlahkan kedua formula tersebut maka diperoleh
(pn+1 − pn , p∗ − pn+1 ) + (p̄n − pn , pn+1 − p̄n )+
+α2 n |g(v̄ n , v̄ n) − g(v n , v n )|2 − αn (g(v̄ n , v̄ n), p∗ − p̄n ) ≥ 0
(4.43)
Dengan menggunakan relasi p̄n , g(v ∗, v ∗)) ≤ 0 dan (p∗ , g(v ∗, v ∗)) = 0, pertidaksa-
maan ini dapat juga ditulis sebagai
1
1 n+1
(p
− pn , p∗ − pn+1 ) + (p̄n − pn , pn+1 − p̄n )+
2
2
α2n
α
n
+ |g(v̄ n , v̄ n ) − g(v n , v n )|2 +
(g(v ∗, v ∗) − g(v̄ n , v̄ n ), p∗ − p̄n ) ≥ 0.
2
2
(4.44)
Universitas Sumatera Utara
26
Menjumlahkan (4.40) dan (4.44) dan membuat perhitungan kemonotonan
dari F (v) diperoleh
(v n+1 − v n , v ∗ − v n+1 ) + (v̄ n − v n, v n+1 − v̄ n )+
1
1
+ (pn+1 − pn , p∗ − pn+1 ) + ( )(p̄n − pn , pn+1 − p̄n )+
2
2
2
n
n
T
n n
+αn (|F (v̄ ) − F (v ) + (∇w g(v̄ , v̄ ) − ∇Tw g(v n , v n ))p̄n |2+
1
1
+ |g(v̄ n, v̄ n ) − g(v n , v n )|2) ≤ |v n − v ∗|2 + |pn − p∗ |2 .
2
2
Berdasarkan formula (4.32), maka pertidaksamaan terakhir dapat direpresentasikan sebagai berikut:
1
1
|v n+1 − v ∗|2 + |pn+1 − p∗ |2 + |pn+1 − pn |2 + |v n+1 − v̄ n|2 +
2
4
n
n 2
2
n
n
+|v̄ − v | − αn (|F (v̄ ) − F (v ) + (∇Tw g(v̄ n , v̄ n) − ∇Tw g(v n , v n ))p̄n |2+
1
1
+ |g(v̄ n , v̄ n) − g(v n , v n )|2 ≤ |v n − v ∗|2 + |pn − p∗ |2 .
2
2
(4.45)
Kemudian, menetapkan jumlah dari pertidaksamaan itu sehingga diperoleh
1
1
|v n+1 − v ∗|2 + |pn+1 − p∗ |2 + |pn+1 − pn |2 + |v n+1 − v̄ n |2 + ǫ|v̄ n − v n |2 ≤
2
4
1
≤ |v n − v ∗|2 + |pn − p∗ |2.
2
(4.46)
Jika panjang langkah αn di (4.31) ditentukan oleh (4.32), dan penggabungan
dengan (x, y) ≤ |