Analisis Ukuran Risiko Keuangan Menggunakan Teori Nilai Ekstrim : Studi Kasus Indeks Harga Saham Gabungan Periode 2001-2010

RINGKASAN
RISKA NURIDHA PUTRI. Analisis Ukuran Risiko Keuangan Menggunakan Teori Nilai Ekstrim :
Studi Kasus Indeks Harga Saham Gabungan Periode 2001-2010. Dibawah bimbingan Dr. Ir. Anik
Djuraidah, MS. dan La Ode Abdul Rahman, S.Si.,M.Si.
Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) merupakan salah satu ukuran paling luas mengenai kinerja pasar
modal di Indonesia. Kondisi makroekonomi, politik, dan stabilitas nasional menjadi faktor risiko yang
memberikan ketidakpastian imbal hasil indeks harga saham. Pada umumnya pemodelan imbal hasil
indeks harga saham menggunakan sebaran normal, namun pada kenyataannya data imbal hasil cenderung
memiliki banyak nilai ekstrim sehingga tidak sesuai apabila dimodelkan dengan sebaran normal.Teori
nilai ekstrim (Extreme Value Theory/EVT) adalah salah satu cara untuk mengatasi masalah yang
berkaitan dengan kejadian-kejadian ekstrim. Oleh karena itu, imbal hasil indeks harga saham didekati
dengan sebaran pareto terampat (GeneralizedPareto Distribution/GPD) yang merupakan salah satu
sebaran EVT. Plot Mean Excess Function (MEF) digunakan untuk menentukan nilai ambang, sehingga
data dapat disebut sebagai ekstrim. Berdasarkan plot MEF diperoleh nilai ambang pada kuantil 97.4%
sebesar -0.032. Metode penduga kemungkinan maksimum (Maximum Likelihood Estimation/MLE)
digunakan untuk menduga parameter GPD, dari hasil pendugaan diperoleh parameter bentuk (ξ) dan
parameter skala (β) adalah 0.013 dan 0.017. Ukuran risiko, Value at Risk (VaR) dan Expected Shortfall
(ES) dihitung menggunakan model GPD yang diperoleh. Nilai VaR dan ES pada kuantil 95% sebesar
0.021 dan 0.038, sedangkan untuk kuantil 99% nilai VaR dan ES sebesar 0.048 dan 0.065.
Kata kunci: teori nilai ekstrim, mean excess function, ukuran risiko

ANALISIS UKURAN RISIKO KEUANGAN MENGGUNAKAN
TEORI NILAI EKSTRIM
(Studi Kasus : Indeks Harga Saham Gabungan Periode 2001-2010)

RISKA NURIDHA PUTRI

Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika
Pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2011

Judul : Analisis Ukuran Risiko Keuangan Menggunakan Teori Nilai Ekstrim
Studi Kasus : Indeks Harga Saham Gabungan Periode 2001-2010
Nama : Riska Nuridha Putri
NRP : G14070022

Menyetujui :

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Dr. Ir. Anik Djuraidah, MS.
NIP : 196305151987032002

La Ode Abdul Rahman, S.Si, M.Si.

Mengetahui :
KetuaDepartemenStatistika

Dr. Ir. HariWijayanto, M.Si
NIP : 196504211990021001

TanggalLulus :

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di kota Karanganyar pada tanggal 13 Juli 1989 dari pasangan Marno Purwanto dan
Siti Anwariyah. Penulis merupakan anak pertama dari dua bersaudara.
Pada tahun 2007 penulis lulus dari SMAN 1 Karanganyar dan tahun yang sama penulis diterima di
Institut Pertanian Bogor melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) Departemen Statistika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam serta minor Matematika Keuangan dan Aktuaria.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif dalam kepengurusan Himpunan Keprofesian Gamma Sigma
Beta (GSB) periode 2010 sebagai bendahara umum. Selain itu, penulis pernah menjadi asisten praktikum
Metode Statistika, Perancangan Percobaan I, dan Analisis Deret Waktu.

KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala karunia, anugerah, rahmat, rizeki, dan
ilmu-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Shalawat serta salam senantiasa dilimpahkan
kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga, sahabat, serta pengikutnya yang senantiasa istiqomah
mengemban syariat Islam hingga akhir zaman.
Dalam proses pembuatan karya ilmiah ini penulis mendapatkan banyak ilmu, inspirasi, dan pelajaran
yang begitu berharga, sehingga penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:
1. Ibu Dr. Ir. Anik Djuraidah, MS. dan Bapak La Ode Abdul Rahman, S.Si.,M.Si. sebagai pembimbing I
dan pembimbing II yang telah memberikan waktu dan sarannya kepada penulis.
2. Prof. Aunuddin selaku penguji luar yang telah memberikan arahan dan saran kepada penulis.

3. Seluruh dosen Departemen Statistika IPB atas nasehat dan ilmu yang bermanfaat.
4. Almarhumah Ibu, Ayah dan adik, Taufiqurrahman Muhammad yang telah memberikankasih sayang
sepenuhnya, semangat, dan doa yang tulus.
5. Teman-teman Pondok Jaika, Triyastuti Prasetyoningrum, Andi Inggryd Cheryana, Mey Fitriyani,
Dian Mayasafira, Norma Arisanti Kinasih, Hermin Wahyuni, dan Ayuningtyas Widhiprastiwi.
6. Donny Arief Setiawan Sitepu, yang telah banyak membantu dan memberi dukungan kepada penulis.
7. Teman-teman seperjuangan STK 44 atas kebersamaannya selama ini.
8. Terima kasih khusus kepada Ibu Markonah, Bu Tri, Bu Aat, Mang Dur, Mang Herman, Mang Iqbal,
dan Pak Heri atas bantuannya selama ini.

Bogor, Juli 2011

Penulis

DAFTAR ISI

DAFTAR TABEL.................................................................................................................... vii
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................................... viii
DAFTAR LAMPIRAN............................................................................................................ ix
PENDAHULUAN

Latar Belakang.............................................................................................................. 1
Tujuan........................................................................................................................... 1
TINJAUAN PUSTAKA
Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG)....................................................................... 1
Imbal Hasil ................................................................................................................... 1
Teori Nilai Ekstrim (Extreme Value Theory/EVT) ....................................................... 2
Plot Mean Excess Function (MEF)............................................................................... 3
Ukuran Risiko............................................................................................................... 3
METODOLOGI
Data............................................................................................................................... 4
Metode.......................................................................................................................... 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data............................................................................................................. 5
Pendugaan Parameter GPD........................................................................................... 5
Ukuran Risiko............................................................................................................... 6
Validasi Data ................................................................................................................ 6
KESIMPULAN........................................................................................................................ 6
DAFTAR PUSTAKA .............................................................................................................. 7

DAFTAR TABEL

Halaman
1.
2.

Statistikadeskriptifimbalhasil IHSG .................................................................................
Nilaiukuranrisikountukkuantil 95% dan 99% ...................................................................

5
6

DAFTAR GAMBAR
1.
2.
3.
4.

Halaman
Histogram imbal hasil (negatif) IHSG ...............................................................................
5
Plot Mean Excess Function (MEF) ....................................................................................

6
Plot kuantil-kuantil GPD ....................................................................................................
6
Plot kepekatan peluang GPD..............................................................................................
6
DAFTAR LAMPIRAN

1.
2.
3.

Halaman
Nilai ambang pada beberapa persentil ..............................................................................
9
Plot Kuantil Empirik dan Plot Kuantil Teoritik ................................................................
10
Sintaks R...........................................................................................................................
10

PENDAHULUAN

Latar Belakang
Pasar modal memiliki peranan penting dalam
perekonomian suatu negara. Perkembangan pasar
modal akan menunjang kegiatan peningkatan
produk domestik bruto. Dengan kata lain,
berkembangnya pasar modal akan mendorong
kemajuan ekonomi suatu negara. Beberapa tahun
terakhir, investasi pada pasar modal Indonesia
mengalami peningkatan yang sangat pesat. Hal
ini ditunjukkan dengan adanya tren positif Indeks
Harga Saham Gabungan (IHSG) yang merupakan
salah satu ukuran terluas kinerja pasar modal di
Indonesia. Investasi pada pasar modal menjadi
pilihan tepat bagi para investor yang
menginginkan keuntungan dalam waktu singkat.
Dalam
berinvestasi,
para
investor
mempertimbangkan dua faktor penting, yaitu

keuntungan dan kerugian. Investor penghindar
risiko akan memilih investasi bebas risiko atau
yang memiliki prospek risiko nol (Bodie et al.
2006).
Investasi di pasar modal sangat terkait dengan
adanya
kejadian-kejadian
ekstrim
yang
mempengaruhi kestabilan nasional. Kondisi
makroekonomi, politik, stabilitas nasional
menjadi salah satu faktor risiko yang memberikan
pengaruh secara dinamis terhadap kinerja pasar
modal. Dampak yang muncul dari kejadiankejadian ekstrim menimbulkan ketidakpastian
terkait pergerakan indeks harga saham (Bilada
2010). Ketidakpastian imbal hasil yang tinggi
dalam dinamika pasar modal merupakan hal yang
menarik untuk diteliti. Pada umumnya,
pemodelan imbal hasil menggunakan sebaran
normal. Namun, pada kenyataannya sebaran

imbal hasil menyimpang dari kenormalan, ekor
sebaran yang lebih panjang dan puncak yang
lebih tinggi. Penyimpangan yang terjadi
dimungkinkan akibat dari kejadian-kejadian
ekstrim (Gilli dan Kёllezi 2000).
Model sebaran yang dapat menggambarkan
pola sebaran kejadian-kejadian ekstrim membantu
dalam menganalisis ukuran risiko. Teori Nilai
Ekstrim (Exteme Value Theory/EVT) merupakan
salah satu cara mengatasi masalah yang
disebabkan oleh kejadian-kejadian ekstrim.EVT
memiliki dua sebaran yaitu sebaran nilai ekstrim
terampat
(Generalized
Extreme
Value
Distribution/GEVD) dan sebaran pareto terampat
(Generalized
Pareto
Distribution/GPD).

Penelitian ini menggunakan GPD yang
diturunkan dari konsep pengambilan data di atas
nilai ambang. GPD merupakan metode yang
bermanfaat untuk penerapan praktis karena lebih
efisien untuk data ekstrim.

Dinamika pergerakan IHSG mengakibatkan
para investor waspada terhadap kemungkinan
risiko yang akan terjadi. Oleh sebab itu,
pengukuran risiko juga merupakan hal penting
dalam berinvestasi. Ukuran risiko yang biasa
digunakan adalah Value at Risk (VaR)dan
Expected Shortfall (ES). Oleh karena itu, dalam
penelitian ini menggunakan pendekatan EVTGPD untuk menganalisis ukuran risiko.
Tujuan
Penelitian ini bertujuan untuk memodelkan
imbal hasil saham menggunakan EVT-GPD dan
menerapkan model yang diperoleh untuk
pengukuran risiko.

TINJAUAN PUSTAKA
Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG)
IHSG dalam bahasa inggris disebut juga
Jakarta Composite Index, JCI, atau JSX
Composite merupakan salah satu indeks pasar
saham yang digunakan oleh Bursa Efek Indonesia
(BEI). IHSG diperkenalkan pertama kali pada
tanggal 1 April 1983 sebagai indikator pergerakan
harga saham di Bursa Efek Jakarta, indeks ini
mencakup pergerakan seluruh saham biasa dan
saham preferen yang tercatat di BEI. Hari dasar
untuk perhitungan IHSG adalah tanggal 10
Agustus 1982. Pada tanggal tersebut, indeks
ditetapkan dengan nilai dasar 100. Dasar
perhitungan IHSG adalah jumlah nilai pasar dari
total saham yang tercatat pada tanggal 10 Agustus
1982. Jumlah nilai pasar adalah total perkalian
setiap saham tercatat (kecuali untuk perusahaan
yang berada dalam program restrukturisasi)
dengan harga di BEJ pada hari tersebut. Formula
perhitungannya adalah sebagai berikut (Bagus
2009):
IHSG =

Σp
d

x 100

denganp adalah harga penutupan di pasar
reguler,x adalah jumlah saham, dan d adalah nilai
dasar. Perhitungan indeks merepresentasikan
pergerakan harga saham di pasar/bursa yang
terjadi melalui sistem perdagangan lelang.
Perhitungan IHSG dilakukan setiap hari, yaitu
setelah penutupan perdagangan setiap harinya.
Imbal Hasil
Imbal hasil merupakan ukuran keuntungan
atau kerugian harian harga saham. Imbal hasil
suatu saham adalah hasil yang diperoleh dari
investasi dengan cara menghitung selisih harga

1

saham periode berjalan dengan
sebelumnya, maka dapat ditulis rumus:
R =

periode
III: G( x) =

exp − −

P− P
P

dengan Rp adalah imbal hasil saham, Pt adalah
harga saham periode berjalan, dan Pt-1 adalah
harga saham periode sebelumnya (Bodie et al.
2006).
Teori Nilai Ekstrim
(Extreme Value Theory/EVT)
EVT diperkenalkan oleh Fisher, Tippet, dan
Gnedenko (1920-1940) dan Gumbel (1920). EVT
adalah salah satu teori yang membahas kejadiankejadian ekstrim. EVT memberi perhatian pada
informasi kejadian-kejadian ekstrim yang
diperoleh untuk membentuk fungsi sebaran dari
nilai-nilai tersebut. Model EVT didasarkan pada
karakteristik Mn:

x− b

,x <

a
1, x ≥ b

dengan a > 0, b, dan α > 0, dengan a, b, dan α
berturut-turut adalah parameter skala, lokasi, dan
bentuk. Tipe I,II, dan III dikenal dengan sebaran
Gumbel, Frechet, dan Weibull. Namun terdapat
permasalahan penting, yaitu penentuan model
yang tepat. Permasalahan ini dapat dipecahkan
dengan menggabungkan ketiga tipe sebaran
kedalam sebaran nilai ekstrim terampat
(Generalized
Extreme
Value
Distribution/GEVD):
H( x) = exp − 1 + ξ

x− µ
σ

ξ > 0,
→
→
ξ = ξ < 0,
ξ → 0, GEVD → Weibull

M = maks{X , …, X }

dengan Xi peubah acak yang bebas stokastik
identik (bsi). Sebaran Mn pada teori dapat
diturunkan dengan mudah jika sebaran Xi
diketahui. Misalkan F(x) adalah sebaran Xi,
maka:
F

( x) = P( Mn ≤ x) = P( X , …, X )
= P( X ≤ x) …P( X ≤ x)
= [F( x) ]

Pada umumnya sebaran Xi tidak diketahui.
Oleh karena itu, salah satu pemecahannya adalah
menduga F(x) yang didasarkan pada nilai-nilai
amatan dan kemudian menurunkan FMn(x).
Pemecahan lain adalah mencari sebaran yang
dapat memodelkan FMn berdasarkan data ekstrim.
Hal ini dapat dianalogikan dengan dalil limit
pusat:

> 0, -∞ < µ < ∞, σ > 0
dengan x ∶ 1 + ξ
dan -∞ < ξ < ∞, dalam model ini ξ, σ, dan µ
berturut-turut adalah parameter bentuk, skala, dan
lokasi. Metode penerapkan GEVD mengharuskan
membagi data kedalam ukuran blok yang sama.
Pemilihan
ukuran blok
selalu
menjadi
permasalahan antara bias dan ragam, namun data
deret waktu biasanya memilih ukuran blok satu
tahunan.
Kejadian-kejadian ekstrim dapat didefinisikan
sebagai Xi yang melebihi nilai ambang u dengan
peluang bersyarat X – u dan X > u. Pickands
(1975), Balkema dan de Haan (1974) menyatakan
bahwa sebaran F(x) dengan fungsi sebaran ekses
bersyarat Fu(y), maka dapat didekati dengan
sebaran pareto terampat (Generalized Pareto
Distribution/GPD):
F ( y) = P( X − u|X >

M

∗

=

) =

F( u + y) − F( u)
1 − F( u)

(M − b )
a

F ( y) ≈ G , ( y) , ketika u → ∞

andan bn adalah konstanta denganan>0. Parameter
Mn* akan stabil ketika n→∞. Semua sebaran
yang mungkin untuk Mn* diberikan oleh EVT:
I: G( x) = exp − exp

II: G( x) =

x− b
a

0, x ≤ b
x− b
exp −
a

,− ∞ <

,x >

1− 1+
G , ( y) =
1 − exp

< ∞

D(

, )

=

ξy
β
−y
β

,ξ ≠ 0
,ξ = 0

[0, ∞ ) , ξ > 0
−β
,ξ < 0
0,
ξ

2

Parameter GPD secara unik ditentukan oleh
parameter GEVD tanpa memperhatikan ukuran
blok. Hal ini dikarenakan parameter bentuk
merupakan ukuran blok yang bebas. Demikian
juga β = σ + ξ( u − µ) dimana σ dan µ berasal
dari GEVD (Embrechts et al. 1997). Parameter
merupakan penciri dari suatu sebaran. Perubahan
pada parameter lokasi hanya akan menggeser titik
pusat sebaran pada sumbu-x. Pengaruh dari
perubahan parameter skala akan terlihat dari
semakin menyempit atau melebarnya pola
sebaran. (Aunuddin 1989). Parameter bentuk
menunjukkan bentuk ekor sebaran, ξ < 0
menunjukkan ekor sebaran yang terbatas,
sedangkan ξ > 0 menunjukkan ekor sebaran yang
tak terbatas.
Plot Mean Excess Function (MEF)
Langkah awal dalam memodelkan data
ekstrim menggunakan GPD adalah pemilihan
nilai ambang. Pemilihan nilai ambang yang tepat
dapat dianalogikan dengan masalah penentuan
ukuran blok. Apabila nilai ambang terpilih terlalu
rendah, maka data yang melampaui nilai ambang
akan menyimpang secara signifikan dari GPD.
Disisi lain apabila nilai ambang terpilih terlalu
tinggi, maka tidak akan cukup data untuk
menduga model sehingga menghasilkan ragam
yang besar. Salah satu metode untuk menentukan
nilai ambang adalah dengan menggunakan plot
MEF. Teori menyebutkan bahwa jika Y
menyebar GPD, maka E( Y) =
sehingga
sebaran ekses yang berada di atas nilai ambang u
dituliskan sebagai berikut:
E( X − u |X > u ) =

β( u )
1− ξ

dengan β(u0) adalah nilai β pada ambang u0.
Ekses yang melebihi u0 dapat dimodelkan dengan
GPD, sehingga u > u0:
E( X − u|X >

) =

β( u ) + ξu
1− ξ

Setelah nilai ambang yang tepat terpilih,
selanjutnya adalah pendugaan parameter GPD.
Metode penduga kemungkinan maksimum
merupakan salah satu metode pendugaan
parameter GPD. Berikut adalah fungsi kepekatan
peluang GPD (Embrechts et al 1997):

dengan memaksimumkan log-kemungkinannya
diperoleh:
L( ξ, β|y)
− nln( β) −

1
ξ

+ 1

ln 1 +

ξ
β

y

,ξ ≠ 0

=
− nlnβ −

y ,ξ = 0

Ukuran Risiko
Risiko dalam hal ini merupakan kerugian
yang dialami investor pada satu hari perdagangan.
Dua macam ukuran risiko yaitu Value at
Risk(VaR) dan Expected Shortfall (ES). VaR
didefinisikan sebagai kecukupan modal risiko
untuk menangani kerugian dari suatu portofolio.
Misalkan sebuah pubah acak X dengan fungsi
sebaran F, memodelkan positif dan negatif imbal
hasil suatu periode tertentu, maka VaRp adalah
fungsi kuantil ke-p suatu sebaran F atau dapat
ditulis:
VaR = F

( 1 − p)

dengan F-1disebut sebagai fungsi kuantil ke-p.
Sebagian besar perusahaan keuangan menghitung
VaR95% untuk tujuan kontrol risiko internal satu
hari kedepan. Sedangkan, Basle mengusulkan
VaR99% untuk peramalan sepuluh hari kedepan
(Gilli dan Kёllezi 2000).
Misalkan F(x) adalah sebaran imbal hasil
yang tidak diketahui dari suatu peubah acak X, u
adalah nilai ambang, maka x-u adalah ekses yang
melebihi ambang dengan syarat x > u. Fu(y)
merupakan fungsi sebaran ekses bersyarat yang
dituliskan sebagai berikut:
F ( y) = P( X − u ≤ y|X >

),0 ≤ y ≤ x − u

sehingga Fu(y) dapatdituliskan:
F ( y) = P( x − u ≤ y|x >
F ( y) =

F ( y) =

P( x − u ≤ y ∩ x >
P( x >

)
)

)

F( x) − F( u)
1 − F( u)

F( x) = F ( y) ( 1 − F( u) + F( u)
1
g( y) =

β
1
β

1+

ξy

,ξ ≠ 0

β

− exp −

y
β

F ( y) ≈ G , ( y) , u → ∞

,ξ = 0

3

GPD

,

1− 1+

( y) =

ξ
β

y

,ξ ≠ 0

1 − e ,ξ = 0
(

)

F(u) diduga dengan
, n adalah jumlah
amatan dan Nu adalah jumlah amatan yang berada
di atas nilai ambang. Sehingga dapat dituliskan:

F( x) = 1 − 1 +

F( x) = 1 −

F

N
n

ξ
β

y

1+

1−
ξ
β

( x) = VaR = u +

(n − N
n

+

n− N
n

( x − u)

β

n

ξ

N

p

− 1

Metode
Tahapan analisis data yang dilakukan dalam
penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Menghitung imbal hasil harian IHSG.
2. Melakukan eksplorasi data menggunakan
histogram.
3. Membagi data ke dalam dua bagian. Data
imbal hasil tahun 2001-2008 untuk membuat
model. Sedangkan data tahun 2009-2010
untukvalidasi.
4. Penentuan nilai ambang menggunakan plot
Mean Excess Function (MEF). Adapun
langkah-langkah pembentukan plot MEF
adalah sebagai berikut(Embrechts et al. 1997):
1. Urutkan data imbal hasil saham (x) dari
yang terkecil hingga yang terbesar.
2. Untuk setiap nilai ambang (u) hitung
rata-rata contoh untuk seluruh x > u:
u,

Ukuran risiko lainnya adalah Expected
Shortfall (ES) atau ekor harapan bersyarat yang
menduga potensi kerugian yang melebihi VaR.
]

ES = E[X|X >

ES = VaR + E X − VaR |X > VaR

dengan persamaan kedua yang berada di kanan
merupakan rata-rata sebaran ekses F
( y) yang
melebihi ambang VaRp.
) =

e( u) = E( X − u|X >

β + ξu
1− ξ

5.
, β + ξu > 0

sehingga diperoleh:
ES = VaR +

ES =

VaR
1− ξ

+

β + ξ( VaR − u)
1− ξ
β − ξu
1− ξ

METODOLOGI
Data
Data yang digunakan adalah data sekunder
Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG). Data
diperoleh dari http://www.finance.yahoo.com
berupa data harian dari bulan Januari 2001 hingga
Desember 2010. Software yang digunakan adalah
R versi 2.12.1 paket EVIR.

6.

1
n

x( ) − u ; u < x

dengan nu adalah banyaknya amatan
yang melampaui ambang u.Dalam
keuangan, batas atas kerugian tidak
dapat ditentukan dengan tepat. Oleh
karena itu, GPD dengan ξ > 0 sesuai
untuk
memodelkan
imbal
hasil
IHSG.Pemilihan
nilai
ambangyang
menghasilkan ξ > 0 terkecil, jika ξ > 0
tidak diperoleh maka dipilih ξ terbesar
(Koemadji 2004).
Pendugaan parameter GPD menggunakan
penduga kemungkinan maksimum.
Pemeriksaan kesesuaian model menggunakan
plot kuantil-kuantil. Plot kuantil-kuantil
berfungsi memeriksa kesesuaian data yang
bertujuan untuk menyesuaikan statistik tataan
(x(1),x(2),...,x(n)) dengan kuantil dari sebaran
teoritis. Prosedur pemeriksaan sebaran data
menggunakan plot kuantil-kuantil adalah
sebagai berikut (Gilli dan Kёllezi 2000):
1. Urutkan data yang berada di atas nilai
ambang (x) dari yang terkecil hingga
terbesar
,
2. Untuk setiap xi hitung nilai p =
plot antaran xi dengan pi adalah plot
kuantil. Tentukan nilai F-1(pi)= Q(pi)
untuk setiap pi. Plot antara pi dan Q(pi)
merupakan
plot
kuantil
teoritik.
Misalkan G(pi) merupakan fungsi
sebaran GPD, sehingga akan diperoleh
Q(pi):
G( p ) = 1 − 1 +

ξ
β

x

misalkan G( p ) = t , maka:

4

350
300

Frekuensi

250
200
150
100
50
0
-0,100

-0,075

-0,050

-0,025
0,000
Imbal Hasil

Statistik
Jumlah Data
Rata-Rata
Simpangan Baku
Kemenjuluran (skewness)
Kurtosis
Maksimum
Minimun

0,025

0,050

2399
0.001
0.015
-0.429
5.536
0.079
-0.104

0,075

60
30
0

f (x )
g(y)

menyatakan data sebagai ekstrim. pemilihan nilai
ambang menggunakan plot MEF adalah dengan
mengambil nilai-nilai ambang yang sudah tidak
membentuk pola linear (Gambar 2), dari beberapa
nilai ambang yang dicobakan (Lampiran 1), maka
diperoleh nilai ambang yang tepat pada persentil
97.4yaitu sebesar -0.032, dengan menggunakan
penduga kemungkinan maksimum diperoleh
parameter bentuk (ξ) dan parameter skala(β)
adalah 0.013 dan 0.017.

0.04

0.08

0.05
0.03

-0.05

0.00

0.05

Nilai
Ambang
Threshold
Gambar 2. Plot MEF.
Gambar 3 merupakan gambar plot kuantilkuantil, dapat dilihat bahwa data cenderung
mengikuti garis lurus, sehingga imbal hasil IHSG
dapat didekati dengan GPD. Gambar 4 fungsi
kepekatan peluang imbal hasil IHSG yang sesuai
dengan bentuk fungsi sebaran dan fungsi peluang
GPD.
0,11

Ukuran Risiko
Setelah model diperoleh, maka tahap
selanjutnya adalah menghitung VaR dan ES.
Dalam bidang keuangan, kuantil 95% dan 99%
masing-masing menunjukkan ramalan satu hari
dan sepuluh hari kedepan (Gilli dan Këllezi
2000). Pada Tabel 2 dapat dilihat hasil
pengukuran VaR dan ES dengan GPD. Misalkan
investasi sebesar x rupiah, maka nilai
VaRGPD(95%)= 0.021 artinya sebesar Rp 0.021x
maksimum kerugian yang akan diderita oleh
investor satu hari kedepan. VaRGPD(99%) = 0.048
artinya sebesar Rp 0.048x maksimum kerugian
yang akan diderita investor sepuluh hari kedepan.
Nilai ES sebesar 0.038 dan 0.065 memiliki
makna, potensi kerugian yang melebihi VaR
sebesar Rp. 0.038x dan Rp. 0.065x pada kuantil
95% dan 99%.
Tabel 2. Nilai ukuran risiko untuk kuantil 95%
dan 99%
p
VaR
ES
95%
0.021
0.038
99%
0.048
0.065

0,10
0,09
0,08
data

x

Gambar 4. Fungsi kepekatan peluang GPD.

0.01

Mean Excess

Rata-rata Ekses

0.07

y

0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,00

0,01

0,02

0,03
0,04
Kuantil GPD

0,05

0,06

0,07

Gambar 3. Plot Kuantil-Kuantil.
Sehingga, model akhir yang diperoleh adalah
fungsi sebaran GPD sebagai berikut:

Validasi Model
Data tahun 2009 dan 2010 digunakan untuk
validasi model. MAD merupakan salah satu
ukuran kebaikan model yang mengukur nilai
mutlak penyimpangan nilai aktual dengan nilai
ramalannya. Berdasarkan perhitungan nilai MAD
GPD sebesar 1.15, penyimpangan ini cukup besar
untuk imbal hasil IHSG.

KESIMPULAN
dengan fungsi kepekatan peluang GPD yaitu:

EVT-GPD
dapat
digunakan
dalam
memodelkan imbal hasil IHSG. Penentuan nilai
ambang diperlukan untuk menyatakan suatu nilai
sebagai ekstrim. Berdasarkan plot Mean Excess

Function (MEF)diperoleh nilai ambang pada
kuantil ke-97.4 dan selanjutnya parameter GPD
diduga menggunakan penduga kemungkinan
maksimum. Model GPD yang diperoleh
diterapkan untuk menganalisis Value at Risk dan
Expected Shortfall. Dari hasil perhitungan dengan
model GPD yang diperoleh, kenaikan dari kuantil
95% ke 99% mengakibatkan kenaikan VaR dan
ES sebesar dua kali lipat.

DAFTAR PUSTAKA
Aunuddin. 1989. Analisis Data. Bogor: IPB.
Bagus I. 2009. Mengenal Seluk Beluk IHSG.
http://www.finance.detik.com[17 Juli 2011].
Bilada A. 2010. Dampak Extreme Events
Terhadap Indeks Harga Saham Gabungan dan
Indeks Sektoral [tesis]. Bogor:Program
Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor.
Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2006. Investment
6th Edition. Penerjemah: Dalimunthe Zuliani
dan Wibowo Budi. Jakarta : Salemba Empat.
Nilai AmnaNilai Ambang
Embrechts P, Kluppelberg C, Mikosch T. 1997.
Modelling Extremal Events for Insurance and
Finance. New York : Springer.
Gilli M, Këllezi E. 2000. Extreme Value Theory
for Tail-Related Risk Measures. [jurnal online].http://www.springerlink.com/index/f445
0v1786h8h2u6.pdf [15 Jan 2011].
Koemadji AZ. 2004. Pendekatan Teori Nilai
Ekstrim (Extreme Value Theory) Untuk
Menentukan Ukuran Risiko (Nilai VaR)
[tesis]. Bogor : Program Pascasarjana, Institut
Pertanian Bogor.

7

Lampiran 1. Nilai ambang pada berbagai persentil
Nilai
Jumlah data di atas nilai
ξ
ambang
ambang
0.010
325
0.141

β
0.010

0.011

292

0.128

0.011

0.012

273

0.156

0.010

0.013

250

0.166

0.010

0.014

229

0.175

0.010

0.015

209

0.183

0.010

0.016

189

0.175

0.010

0.017

174

0.191

0.011

0.018

162

0.228

0.010

0.019

143

0.185

0.010

0.020

128

0.153

0.012

0.021

121

0.193

0.011

0.022

110

0.181

0.012

0.023

99

0.148

0.013

0.024

91

0.368

0.013

0.025

84

0.130

0.013

0.026

78

0.129

0.013

0.027

70

0.077

0.015

0.028

67

0.110

0.014

0.029

60

0.052

0.016

0.030

54

-0.004

0.018

0.031

49

-0.048

0.019

0.032

49

0.013

0.017

0.033

48

0.063

0.016

0.034

47

0.125

0.014

0.035

46

0.215

0.012

0.036

39

0.067

0.016

0.037

39

0.176

0.013

0.038

36

0.167

0.014

0.039

32

0.078

0.016

0.040

30

0.075

0.016

0.041

29

0.135

0.015

0.042

27

0.138

0.015

0.043

25

0.115

0.015

0.044

22

-0.036

0.019

0.045

21

-0.025

0.019

0.046

20

-0.018

0.019

0.047

20

0.131

0.015

0.048

17

-0.160

0.023

0.049

15

-0.428

0.031

0.050

15

-0.428

0.031

9

0,11

0,07

0,10

0,06

0,09
0,05
0,04
Q( pi)

Data

0,08
0,07

0,03

0,06
0,02

0,05
0,01

0,04

0,00

0,03
0,0

0,2

0,4

0,6

pi






















0,8

1,0

0,0

0,2

0,4

0,6

pi

0,8

1,0

ANALISIS UKURAN RISIKO KEUANGAN MENGGUNAKAN
TEORI NILAI EKSTRIM
(Studi Kasus : Indeks Harga Saham Gabungan Periode 2001-2010)

RISKA NURIDHA PUTRI

Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Statistika
Pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Pertanian Bogor

DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2011

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pasar modal memiliki peranan penting dalam
perekonomian suatu negara. Perkembangan pasar
modal akan menunjang kegiatan peningkatan
produk domestik bruto. Dengan kata lain,
berkembangnya pasar modal akan mendorong
kemajuan ekonomi suatu negara. Beberapa tahun
terakhir, investasi pada pasar modal Indonesia
mengalami peningkatan yang sangat pesat. Hal
ini ditunjukkan dengan adanya tren positif Indeks
Harga Saham Gabungan (IHSG) yang merupakan
salah satu ukuran terluas kinerja pasar modal di
Indonesia. Investasi pada pasar modal menjadi
pilihan tepat bagi para investor yang
menginginkan keuntungan dalam waktu singkat.
Dalam
berinvestasi,
para
investor
mempertimbangkan dua faktor penting, yaitu
keuntungan dan kerugian. Investor penghindar
risiko akan memilih investasi bebas risiko atau
yang memiliki prospek risiko nol (Bodie et al.
2006).
Investasi di pasar modal sangat terkait dengan
adanya
kejadian-kejadian
ekstrim
yang
mempengaruhi kestabilan nasional. Kondisi
makroekonomi, politik, stabilitas nasional
menjadi salah satu faktor risiko yang memberikan
pengaruh secara dinamis terhadap kinerja pasar
modal. Dampak yang muncul dari kejadiankejadian ekstrim menimbulkan ketidakpastian
terkait pergerakan indeks harga saham (Bilada
2010). Ketidakpastian imbal hasil yang tinggi
dalam dinamika pasar modal merupakan hal yang
menarik untuk diteliti. Pada umumnya,
pemodelan imbal hasil menggunakan sebaran
normal. Namun, pada kenyataannya sebaran
imbal hasil menyimpang dari kenormalan, ekor
sebaran yang lebih panjang dan puncak yang
lebih tinggi. Penyimpangan yang terjadi
dimungkinkan akibat dari kejadian-kejadian
ekstrim (Gilli dan Kёllezi 2000).
Model sebaran yang dapat menggambarkan
pola sebaran kejadian-kejadian ekstrim membantu
dalam menganalisis ukuran risiko. Teori Nilai
Ekstrim (Exteme Value Theory/EVT) merupakan
salah satu cara mengatasi masalah yang
disebabkan oleh kejadian-kejadian ekstrim.EVT
memiliki dua sebaran yaitu sebaran nilai ekstrim
terampat
(Generalized
Extreme
Value
Distribution/GEVD) dan sebaran pareto terampat
(Generalized
Pareto
Distribution/GPD).
Penelitian ini menggunakan GPD yang
diturunkan dari konsep pengambilan data di atas
nilai ambang. GPD merupakan metode yang
bermanfaat untuk penerapan praktis karena lebih
efisien untuk data ekstrim.

Dinamika pergerakan IHSG mengakibatkan
para investor waspada terhadap kemungkinan
risiko yang akan terjadi. Oleh sebab itu,
pengukuran risiko juga merupakan hal penting
dalam berinvestasi. Ukuran risiko yang biasa
digunakan adalah Value at Risk (VaR)dan
Expected Shortfall (ES). Oleh karena itu, dalam
penelitian ini menggunakan pendekatan EVTGPD untuk menganalisis ukuran risiko.
Tujuan
Penelitian ini bertujuan untuk memodelkan
imbal hasil saham menggunakan EVT-GPD dan
menerapkan model yang diperoleh untuk
pengukuran risiko.

TINJAUAN PUSTAKA
Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG)
IHSG dalam bahasa inggris disebut juga
Jakarta Composite Index, JCI, atau JSX
Composite merupakan salah satu indeks pasar
saham yang digunakan oleh Bursa Efek Indonesia
(BEI). IHSG diperkenalkan pertama kali pada
tanggal 1 April 1983 sebagai indikator pergerakan
harga saham di Bursa Efek Jakarta, indeks ini
mencakup pergerakan seluruh saham biasa dan
saham preferen yang tercatat di BEI. Hari dasar
untuk perhitungan IHSG adalah tanggal 10
Agustus 1982. Pada tanggal tersebut, indeks
ditetapkan dengan nilai dasar 100. Dasar
perhitungan IHSG adalah jumlah nilai pasar dari
total saham yang tercatat pada tanggal 10 Agustus
1982. Jumlah nilai pasar adalah total perkalian
setiap saham tercatat (kecuali untuk perusahaan
yang berada dalam program restrukturisasi)
dengan harga di BEJ pada hari tersebut. Formula
perhitungannya adalah sebagai berikut (Bagus
2009):
IHSG =

Σp
d

x 100

denganp adalah harga penutupan di pasar
reguler,x adalah jumlah saham, dan d adalah nilai
dasar. Perhitungan indeks merepresentasikan
pergerakan harga saham di pasar/bursa yang
terjadi melalui sistem perdagangan lelang.
Perhitungan IHSG dilakukan setiap hari, yaitu
setelah penutupan perdagangan setiap harinya.
Imbal Hasil
Imbal hasil merupakan ukuran keuntungan
atau kerugian harian harga saham. Imbal hasil
suatu saham adalah hasil yang diperoleh dari
investasi dengan cara menghitung selisih harga

1

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pasar modal memiliki peranan penting dalam
perekonomian suatu negara. Perkembangan pasar
modal akan menunjang kegiatan peningkatan
produk domestik bruto. Dengan kata lain,
berkembangnya pasar modal akan mendorong
kemajuan ekonomi suatu negara. Beberapa tahun
terakhir, investasi pada pasar modal Indonesia
mengalami peningkatan yang sangat pesat. Hal
ini ditunjukkan dengan adanya tren positif Indeks
Harga Saham Gabungan (IHSG) yang merupakan
salah satu ukuran terluas kinerja pasar modal di
Indonesia. Investasi pada pasar modal menjadi
pilihan tepat bagi para investor yang
menginginkan keuntungan dalam waktu singkat.
Dalam
berinvestasi,
para
investor
mempertimbangkan dua faktor penting, yaitu
keuntungan dan kerugian. Investor penghindar
risiko akan memilih investasi bebas risiko atau
yang memiliki prospek risiko nol (Bodie et al.
2006).
Investasi di pasar modal sangat terkait dengan
adanya
kejadian-kejadian
ekstrim
yang
mempengaruhi kestabilan nasional. Kondisi
makroekonomi, politik, stabilitas nasional
menjadi salah satu faktor risiko yang memberikan
pengaruh secara dinamis terhadap kinerja pasar
modal. Dampak yang muncul dari kejadiankejadian ekstrim menimbulkan ketidakpastian
terkait pergerakan indeks harga saham (Bilada
2010). Ketidakpastian imbal hasil yang tinggi
dalam dinamika pasar modal merupakan hal yang
menarik untuk diteliti. Pada umumnya,
pemodelan imbal hasil menggunakan sebaran
normal. Namun, pada kenyataannya sebaran
imbal hasil menyimpang dari kenormalan, ekor
sebaran yang lebih panjang dan puncak yang
lebih tinggi. Penyimpangan yang terjadi
dimungkinkan akibat dari kejadian-kejadian
ekstrim (Gilli dan Kёllezi 2000).
Model sebaran yang dapat menggambarkan
pola sebaran kejadian-kejadian ekstrim membantu
dalam menganalisis ukuran risiko. Teori Nilai
Ekstrim (Exteme Value Theory/EVT) merupakan
salah satu cara mengatasi masalah yang
disebabkan oleh kejadian-kejadian ekstrim.EVT
memiliki dua sebaran yaitu sebaran nilai ekstrim
terampat
(Generalized
Extreme
Value
Distribution/GEVD) dan sebaran pareto terampat
(Generalized
Pareto
Distribution/GPD).
Penelitian ini menggunakan GPD yang
diturunkan dari konsep pengambilan data di atas
nilai ambang. GPD merupakan metode yang
bermanfaat untuk penerapan praktis karena lebih
efisien untuk data ekstrim.

Dinamika pergerakan IHSG mengakibatkan
para investor waspada terhadap kemungkinan
risiko yang akan terjadi. Oleh sebab itu,
pengukuran risiko juga merupakan hal penting
dalam berinvestasi. Ukuran risiko yang biasa
digunakan adalah Value at Risk (VaR)dan
Expected Shortfall (ES). Oleh karena itu, dalam
penelitian ini menggunakan pendekatan EVTGPD untuk menganalisis ukuran risiko.
Tujuan
Penelitian ini bertujuan untuk memodelkan
imbal hasil saham menggunakan EVT-GPD dan
menerapkan model yang diperoleh untuk
pengukuran risiko.

TINJAUAN PUSTAKA
Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG)
IHSG dalam bahasa inggris disebut juga
Jakarta Composite Index, JCI, atau JSX
Composite merupakan salah satu indeks pasar
saham yang digunakan oleh Bursa Efek Indonesia
(BEI). IHSG diperkenalkan pertama kali pada
tanggal 1 April 1983 sebagai indikator pergerakan
harga saham di Bursa Efek Jakarta, indeks ini
mencakup pergerakan seluruh saham biasa dan
saham preferen yang tercatat di BEI. Hari dasar
untuk perhitungan IHSG adalah tanggal 10
Agustus 1982. Pada tanggal tersebut, indeks
ditetapkan dengan nilai dasar 100. Dasar
perhitungan IHSG adalah jumlah nilai pasar dari
total saham yang tercatat pada tanggal 10 Agustus
1982. Jumlah nilai pasar adalah total perkalian
setiap saham tercatat (kecuali untuk perusahaan
yang berada dalam program restrukturisasi)
dengan harga di BEJ pada hari tersebut. Formula
perhitungannya adalah sebagai berikut (Bagus
2009):
IHSG =

Σp
d

x 100

denganp adalah harga penutupan di pasar
reguler,x adalah jumlah saham, dan d adalah nilai
dasar. Perhitungan indeks merepresentasikan
pergerakan harga saham di pasar/bursa yang
terjadi melalui sistem perdagangan lelang.
Perhitungan IHSG dilakukan setiap hari, yaitu
setelah penutupan perdagangan setiap harinya.
Imbal Hasil
Imbal hasil merupakan ukuran keuntungan
atau kerugian harian harga saham. Imbal hasil
suatu saham adalah hasil yang diperoleh dari
investasi dengan cara menghitung selisih harga

1

saham periode berjalan dengan
sebelumnya, maka dapat ditulis rumus:
R =

periode
III: G( x) =

exp − −

P− P
P

dengan Rp adalah imbal hasil saham, Pt adalah
harga saham periode berjalan, dan Pt-1 adalah
harga saham periode sebelumnya (Bodie et al.
2006).
Teori Nilai Ekstrim
(Extreme Value Theory/EVT)
EVT diperkenalkan oleh Fisher, Tippet, dan
Gnedenko (1920-1940) dan Gumbel (1920). EVT
adalah salah satu teori yang membahas kejadiankejadian ekstrim. EVT memberi perhatian pada
informasi kejadian-kejadian ekstrim yang
diperoleh untuk membentuk fungsi sebaran dari
nilai-nilai tersebut. Model EVT didasarkan pada
karakteristik Mn:

x− b

,x <

a
1, x ≥ b

dengan a > 0, b, dan α > 0, dengan a, b, dan α
berturut-turut adalah parameter skala, lokasi, dan
bentuk. Tipe I,II, dan III dikenal dengan sebaran
Gumbel, Frechet, dan Weibull. Namun terdapat
permasalahan penting, yaitu penentuan model
yang tepat. Permasalahan ini dapat dipecahkan
dengan menggabungkan ketiga tipe sebaran
kedalam sebaran nilai ekstrim terampat
(Generalized
Extreme
Value
Distribution/GEVD):
H( x) = exp − 1 + ξ

x− µ
σ

ξ > 0,
→
→
ξ = ξ < 0,
ξ → 0, GEVD → Weibull

M = maks{X , …, X }

dengan Xi peubah acak yang bebas stokastik
identik (bsi). Sebaran Mn pada teori dapat
diturunkan dengan mudah jika sebaran Xi
diketahui. Misalkan F(x) adalah sebaran Xi,
maka:
F

( x) = P( Mn ≤ x) = P( X , …, X )
= P( X ≤ x) …P( X ≤ x)
= [F( x) ]

Pada umumnya sebaran Xi tidak diketahui.
Oleh karena itu, salah satu pemecahannya adalah
menduga F(x) yang didasarkan pada nilai-nilai
amatan dan kemudian menurunkan FMn(x).
Pemecahan lain adalah mencari sebaran yang
dapat memodelkan FMn berdasarkan data ekstrim.
Hal ini dapat dianalogikan dengan dalil limit
pusat:

> 0, -∞ < µ < ∞, σ > 0
dengan x ∶ 1 + ξ
dan -∞ < ξ < ∞, dalam model ini ξ, σ, dan µ
berturut-turut adalah parameter bentuk, skala, dan
lokasi. Metode penerapkan GEVD mengharuskan
membagi data kedalam ukuran blok yang sama.
Pemilihan
ukuran blok
selalu
menjadi
permasalahan antara bias dan ragam, namun data
deret waktu biasanya memilih ukuran blok satu
tahunan.
Kejadian-kejadian ekstrim dapat didefinisikan
sebagai Xi yang melebihi nilai ambang u dengan
peluang bersyarat X – u dan X > u. Pickands
(1975), Balkema dan de Haan (1974) menyatakan
bahwa sebaran F(x) dengan fungsi sebaran ekses
bersyarat Fu(y), maka dapat didekati dengan
sebaran pareto terampat (Generalized Pareto
Distribution/GPD):
F ( y) = P( X − u|X >

M

∗

=

) =

F( u + y) − F( u)
1 − F( u)

(M − b )
a

F ( y) ≈ G , ( y) , ketika u → ∞

andan bn adalah konstanta denganan>0. Parameter
Mn* akan stabil ketika n→∞. Semua sebaran
yang mungkin untuk Mn* diberikan oleh EVT:
I: G( x) = exp − exp

II: G( x) =

x− b
a

0, x ≤ b
x− b
exp −
a

,− ∞ <

,x >

1− 1+
G , ( y) =
1 − exp

< ∞

D(

, )

=

ξy
β
−y
β

,ξ ≠ 0
,ξ = 0

[0, ∞ ) , ξ > 0
−β
,ξ < 0
0,
ξ

2

Parameter GPD secara unik ditentukan oleh
parameter GEVD tanpa memperhatikan ukuran
blok. Hal ini dikarenakan parameter bentuk
merupakan ukuran blok yang bebas. Demikian
juga β = σ + ξ( u − µ) dimana σ dan µ berasal
dari GEVD (Embrechts et al. 1997). Parameter
merupakan penciri dari suatu sebaran. Perubahan
pada parameter lokasi hanya akan menggeser titik
pusat sebaran pada sumbu-x. Pengaruh dari
perubahan parameter skala akan terlihat dari
semakin menyempit atau melebarnya pola
sebaran. (Aunuddin 1989). Parameter bentuk
menunjukkan bentuk ekor sebaran, ξ < 0
menunjukkan ekor sebaran yang terbatas,
sedangkan ξ > 0 menunjukkan ekor sebaran yang
tak terbatas.
Plot Mean Excess Function (MEF)
Langkah awal dalam memodelkan data
ekstrim menggunakan GPD adalah pemilihan
nilai ambang. Pemilihan nilai ambang yang tepat
dapat dianalogikan dengan masalah penentuan
ukuran blok. Apabila nilai ambang terpilih terlalu
rendah, maka data yang melampaui nilai ambang
akan menyimpang secara signifikan dari GPD.
Disisi lain apabila nilai ambang terpilih terlalu
tinggi, maka tidak akan cukup data untuk
menduga model sehingga menghasilkan ragam
yang besar. Salah satu metode untuk menentukan
nilai ambang adalah dengan menggunakan plot
MEF. Teori menyebutkan bahwa jika Y
menyebar GPD, maka E( Y) =
sehingga
sebaran ekses yang berada di atas nilai ambang u
dituliskan sebagai berikut:
E( X − u |X > u ) =

β( u )
1− ξ

dengan β(u0) adalah nilai β pada ambang u0.
Ekses yang melebihi u0 dapat dimodelkan dengan
GPD, sehingga u > u0:
E( X − u|X >

) =

β( u ) + ξu
1− ξ

Setelah nilai ambang yang tepat terpilih,
selanjutnya adalah pendugaan parameter GPD.
Metode penduga kemungkinan maksimum
merupakan salah satu metode pendugaan
parameter GPD. Berikut adalah fungsi kepekatan
peluang GPD (Embrechts et al 1997):

dengan memaksimumkan log-kemungkinannya
diperoleh:
L( ξ, β|y)
− nln( β) −

1
ξ

+ 1

ln 1 +

ξ
β

y

,ξ ≠ 0

=
− nlnβ −

y ,ξ = 0

Ukuran Risiko
Risiko dalam hal ini merupakan kerugian
yang dialami investor pada satu hari perdagangan.
Dua macam ukuran risiko yaitu Value at
Risk(VaR) dan Expected Shortfall (ES). VaR
didefinisikan sebagai kecukupan modal risiko
untuk menangani kerugian dari suatu portofolio.
Misalkan sebuah pubah acak X dengan fungsi
sebaran F, memodelkan positif dan negatif imbal
hasil suatu periode tertentu, maka VaRp adalah
fungsi kuantil ke-p suatu sebaran F atau dapat
ditulis:
VaR = F

( 1 − p)

dengan F-1disebut sebagai fungsi kuantil ke-p.
Sebagian besar perusahaan keuangan menghitung
VaR95% untuk tujuan kontrol risiko internal satu
hari kedepan. Sedangkan, Basle mengusulkan
VaR99% untuk peramalan sepuluh hari kedepan
(Gilli dan Kёllezi 2000).
Misalkan F(x) adalah sebaran imbal hasil
yang tidak diketahui dari suatu peubah acak X, u
adalah nilai ambang, maka x-u adalah ekses yang
melebihi ambang dengan syarat x > u. Fu(y)
merupakan fungsi sebaran ekses bersyarat yang
dituliskan sebagai berikut:
F ( y) = P( X − u ≤ y|X >

),0 ≤ y ≤ x − u

sehingga Fu(y) dapatdituliskan:
F ( y) = P( x − u ≤ y|x >
F ( y) =

F ( y) =

P( x − u ≤ y ∩ x >
P( x >

)
)

)

F( x) − F( u)
1 − F( u)

F( x) = F ( y) ( 1 − F( u) + F( u)
1
g( y) =

β
1
β

1+

ξy

,ξ ≠ 0

β

− exp −

y
β

F ( y) ≈ G , ( y) , u → ∞

,ξ = 0

3

GPD

,

1− 1+

( y) =

ξ
β

y

,ξ ≠ 0

1 − e ,ξ = 0
(

)

F(u) diduga dengan
, n adalah jumlah
amatan dan Nu adalah jumlah amatan yang berada
di atas nilai ambang. Sehingga dapat dituliskan:

F( x) = 1 − 1 +

F( x) = 1 −

F

N
n

ξ
β

y

1+

1−
ξ
β

( x) = VaR = u +

(n − N
n

+

n− N
n

( x − u)

β

n

ξ

N

p

− 1

Metode
Tahapan analisis data yang dilakukan dalam
penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Menghitung imbal hasil harian IHSG.
2. Melakukan eksplorasi data menggunakan
histogram.
3. Membagi data ke dalam dua bagian. Data
imbal hasil tahun 2001-2008 untuk membuat
model. Sedangkan data tahun 2009-2010
untukvalidasi.
4. Penentuan nilai ambang menggunakan plot
Mean Excess Function (MEF). Adapun
langkah-langkah pembentukan plot MEF
adalah sebagai berikut(Embrechts et al. 1997):
1. Urutkan data imbal hasil saham (x) dari
yang terkecil hingga yang terbesar.
2. Untuk setiap nilai ambang (u) hitung
rata-rata contoh untuk seluruh x > u:
u,

Ukuran risiko lainnya adalah Expected
Shortfall (ES) atau ekor harapan bersyarat yang
menduga potensi kerugian yang melebihi VaR.
]

ES = E[X|X >

ES = VaR + E X − VaR |X > VaR

dengan persamaan kedua yang berada di kanan
merupakan rata-rata sebaran ekses F
( y) yang
melebihi ambang VaRp.
) =

e( u) = E( X − u|X >

β + ξu
1− ξ

5.
, β + ξu > 0

sehingga diperoleh:
ES = VaR +

ES =

VaR
1− ξ

+

β + ξ( VaR − u)
1− ξ
β − ξu
1− ξ

METODOLOGI
Data
Data yang digunakan adalah data sekunder
Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG). Data
diperoleh dari http://www.finance.yahoo.com
berupa data harian dari bulan Januari 2001 hingga
Desember 2010. Software yang digunakan adalah
R versi 2.12.1 paket EVIR.

6.

1
n

x( ) − u ; u < x

dengan nu adalah banyaknya amatan
yang melampaui ambang u.Dalam
keuangan, batas atas kerugian tidak
dapat ditentukan dengan tepat. Oleh
karena itu, GPD dengan ξ > 0 sesuai
untuk
memodelkan
imbal
hasil
IHSG.Pemilihan
nilai
ambangyang
menghasilkan ξ > 0 terkecil, jika ξ > 0
tidak diperoleh maka dipilih ξ terbesar
(Koemadji 2004).
Pendugaan parameter GPD menggunakan
penduga kemungkinan maksimum.
Pemeriksaan kesesuaian model menggunakan
plot kuantil-kuantil. Plot kuantil-kuantil
berfungsi memeriksa kesesuaian data yang
bertujuan untuk menyesuaikan statistik tataan
(x(1),x(2),...,x(n)) dengan kuantil dari sebaran
teoritis. Prosedur pemeriksaan sebaran data
menggunakan plot kuantil-kuantil adalah
sebagai berikut (Gilli dan Kёllezi 2000):
1. Urutkan data yang berada di atas nilai
ambang (x) dari yang terkecil hingga
terbesar
,
2. Untuk setiap xi hitung nilai p =
plot antaran xi dengan pi adalah plot
kuantil. Tentukan nilai F-1(pi)= Q(pi)
untuk setiap pi. Plot antara pi dan Q(pi)
merupakan
plot
kuantil
teoritik.
Misalkan G(pi) merupakan fungsi
sebaran GPD, sehingga akan diperoleh
Q(pi):
G( p ) = 1 − 1 +

ξ
β

x

misalkan G( p ) = t , maka:

4

350
300

Frekuensi

250
200
150
100
50
0
-0,100

-0,075

-0,050

-0,025
0,000
Imbal Hasil

Statistik
Jumlah Data
Rata-Rata
Simpangan Baku
Kemenjuluran (skewness)
Kurtosis
Maksimum
Minimun

0,025

0,050

2399
0.001
0.015
-0.429
5.536
0.079
-0.104

0,075

60
30
0

f (x )
g(y)

menyatakan data sebagai ekstrim. pemilihan nilai
ambang menggunakan plot MEF adalah dengan
mengambil nilai-nilai ambang yang sudah tidak
membentuk pola linear (Gambar 2), dari beberapa
nilai ambang yang dicobakan (Lampiran 1), maka
diperoleh nilai ambang yang tepat pada persentil
97.4yaitu sebesar -0.032, dengan menggunakan
penduga kemungkinan maksimum diperoleh
parameter bentuk (ξ) dan parameter skala(β)
adalah 0.013 dan 0.017.

0.04

0.08

0.05
0.03

-0.05

0.00

0.05

Nilai
Ambang
Threshold
Gambar 2. Plot MEF.
Gambar 3 merupakan gambar plot kuantilkuantil, dapat dilihat bahwa data cenderung
mengikuti garis lurus, sehingga imbal hasil IHSG
dapat didekati dengan GPD. Gambar 4 fungsi
kepekatan peluang imbal hasil IHSG yang sesuai
dengan bentuk fungsi sebaran dan fungsi peluang
GPD.
0,11

Ukuran Risiko
Setelah model diperoleh, maka tahap
selanjutnya adalah menghitung VaR dan ES.
Dalam bidang keuangan, kuantil 95% dan 99%
masing-masing menunjukkan ramalan satu hari
dan sepuluh hari kedepan (Gilli dan Këllezi
2000). Pada Tabel 2 dapat dilihat hasil
pengukuran VaR dan ES dengan GPD. Misalkan
investasi sebesar x rupiah, maka nilai
VaRGPD(95%)= 0.021 artinya sebesar Rp 0.021x
maksimum kerugian yang akan diderita oleh
investor satu hari kedepan. VaRGPD(99%) = 0.048
artinya sebesar Rp 0.048x maksimum kerugian
yang akan diderita investor sepuluh hari kedepan.
Nilai ES sebesar 0.038 dan 0.065 memiliki
makna, potensi kerugian yang melebihi VaR
sebesar Rp. 0.038x dan Rp. 0.065x pada kuantil
95% dan 99%.
Tabel 2. Nilai ukuran risiko untuk kuantil 95%
dan 99%
p
VaR
ES
95%
0.021
0.038
99%
0.048
0.065

0,10
0,09
0,08
data

x

Gambar 4. Fungsi kepekatan peluang GPD.

0.01

Mean Excess

Rata-rata Ekses

0.07

y

0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,00

0,01

0,02

0,03
0,04
Kuantil GPD

0,05

0,06

0,07

Gambar 3. Plot Kuantil-Kuantil.
Sehingga, model akhir yang diperoleh adalah
fungsi sebaran GPD sebagai berikut:

Validasi Model
Data tahun 2009 dan 2010 digunakan untuk
validasi model. MAD merupakan salah satu
ukuran kebaikan model yang mengukur nilai
mutlak penyimpangan nilai aktual dengan nilai
ramalannya. Berdasarkan perhitungan nilai MAD
GPD sebesar 1.15, penyimpangan ini cukup besar
untuk imbal hasil IHSG.

KESIMPULAN
dengan fungsi kepekatan peluang GPD yaitu:

EVT-GPD
dapat
digunakan
dalam
memodelkan imbal hasil IHSG. Penentuan nilai
ambang diperlukan untuk menyatakan suatu nilai
sebagai ekstrim. Berdasarkan plot Mean Excess

60
30
0

f (x )
g(y)

menyatakan data sebagai ekstrim. pemilihan nilai
ambang menggunakan plot MEF adalah dengan
mengambil nilai-nilai ambang yang sudah tidak
membentuk pola linear (Gambar 2), dari beberapa
nilai ambang yang dicobakan (Lampiran 1), maka
diperoleh nilai ambang yang tepat pada persentil
97.4yaitu sebesar -0.032, dengan menggunakan
penduga kemungkinan maksimum diperoleh
parameter bentuk (ξ) dan parameter skala(β)
adalah 0.013 dan 0.017.

0.04

0.08

0.05
0.03

-0.05

0.00

0.05

Nilai
Ambang
Threshold
Gambar 2. Plot MEF.
Gambar 3 merupakan gambar plot kuantilkuantil, dapat dilihat bahwa data cenderung
mengikuti garis lurus, sehingga imbal hasil IHSG
dapat didekati dengan GPD. Gambar 4 fungsi
kepekatan peluang imbal hasil IHSG yang sesuai
dengan bentuk fungsi sebaran dan fungsi peluang
GPD.
0,11

Ukuran Risiko
Setelah model diperoleh, maka tahap
selanjutnya adalah menghitung VaR dan ES.
Dalam bidang keuangan, kuantil 95% dan 99%
masing-masing menunjukkan ramalan satu hari
dan sepuluh hari kedepan (Gilli dan Këllezi
2000). Pada Tabel 2 dapat dilihat hasil
pengukuran VaR dan ES dengan GPD. Misalkan
investasi sebesar x rupiah, maka nilai
VaRGPD(95%)= 0.021 artinya sebesar Rp 0.021x
maksimum kerugian yang akan diderita oleh
investor satu hari kedepan. VaRGPD(99%) = 0.048
artinya sebesar Rp 0.048x maksimum kerugian
yang akan diderita investor sepuluh hari kedepan.
Nilai ES sebesar 0.038 dan 0.065 memiliki
makna, potensi kerugian yang melebihi VaR
sebesar Rp. 0.038x dan Rp. 0.065x pada kuantil
95% dan 99%.
Tabel 2. Nilai ukuran risiko untuk kuantil 95%
dan 99%
p
VaR
ES
95%
0.021
0.038
99%
0.048
0.065

0,10
0,09
0,08
data

x

Gambar 4. Fungsi kepekatan peluang GPD.

0.01

Mean Excess

Rata-rata Ekses

0.07

y

0,07
0,06
0,