2.5.3 Fungsi Rekursif HMM
Ada tiga fungsi rekursif HMM, yaitu: 1.
Algoritma Forward Variabel algoritma forward :
| ,
,..., ,
2 1
λ α
i T
T i
S q
O O
O P
= =
. Berikut ini langkah-langkah dalam algoritma Forward:
Inisialisasi
,
1 1
O b
i a
i i
π =
N i
≤ ≤
1
2.27
Induksi
,
1 1
1 +
= +
=
∑
t j
N i
ij t
t
O b
i j
α α
α 2.28
dengan
1 1
− ≤
≤ T
t
dan N
j ≤
≤ 1
Terminasi
∑
=
=
N i
T
i O
P
1
, |
α λ
N i
≤ ≤
1
2.29
Ilustrasi algoritma forward dapat dilihat pada gambar berikut:
. .
.
Gambar 2.14. Ilustrasi Alur Algoritma Forward Sumber: Rabiner, 1989
j
S
1
S
2
S
j
a
1
j
a
2
Nj
a
i
t
α
t
1
j
t +
α
N
S
1 +
t
2. Algoritma Backward
Variabel algoritma Backward: .
| ,
,..., ,
2 1
λ β
i T
T t
S q
O O
O P
= =
Berikut ini langkah-langkah dalam algoritma Backward:
Inisialisasi ,
1 =
i
T
β
N i
≤ ≤
1
2.30
Induksi ,
1 1
1 ,
⋅ ⋅
=
∑
= +
+ N
i t
t j
j i
t
j O
b β
α β
2.31 dengan
1 ,...,
2 ,
1 −
− =
T T
t dan
N j
i ≤
≤ , 1
.
Ilustrasi untuk algoritma backward dapat dilihat pada gambar berikut:
. .
.
Gambar 2.15. Ilustrasi Alur Algoritma Backward Sumber: Rabiner, 1989
3. Algoritma Baum Welch
Algoritms Baum Welch melibatkan algoritma forward dan algoritma backward.
i
t
β
t
1
j
t +
β
1 +
t
1 i
a
2 i
a
iN
a
1
S
2
S
N
S
i
S
Untuk menggambarkan prosedur update parameter HMM, diperlukan variabel
, j
i
t
ξ yang merupakan peluang
gabungan state
i
dan state j terhadap peluang pengamatan pada model yang diberikan, dan
i
t
γ state pada waktu dan
merepresentasikan peluang berada di state
i
pada waktu t .
Secara matematis nilai ,
j i
t
ξ dan
i
t
γ dapat
diformulasikan dengan persamaan berikut: ,
| ,
,
1
λ ξ
O S
q S
q P
j i
j t
i t
t
= =
=
+
2.32
Variabel state: ,
| λ
γ O
S q
P i
i t
t
= =
2.33
Dengan menggunakan persamaan 2.32 dan 2.33, maka persamaan untuk mengupdate parameter-parameter
, ,
π
B A
pada HMM dapat dirumuskan sebagai berikut:
Probabilitas state transisi:
, ,
1 1
1 1
∑ ∑
− =
− =
=
T t
t T
t t
ij
i j
i a
γ ξ
, 1
N i
≤ ≤
M j
≤ ≤
1 2.34
Simbol probabilitas emisi
,
1 ,
1
∑ ∑
= =
=
=
T t
t T
V O
t j
j j
k b
k T
γ γ
, 1
N i
≤ ≤
M j
≤ ≤
1 2.35
|
1 1
,
λ β
α α
O P
j O
b i
t t
j j
i t
+ +
=
∑
=
=
N j
j i
1
, ξ
Probabilitas state awal
, 1
t i
γ π
=
N i
≤ ≤
1
2.36
Ilustrasi mengenai algoritma Baum-Welch dapat dilihat sebagai berikut:
. .
. .
. .
Gambar 2.16. Ilustrasi Perhitungan pada Algoritma Baum-Welch Sumber: Rabiner, 1989
2.6. Contoh Penyelesaian Rantai Markov pada Kasus Cuaca