Formulasi Model Matematika PEMBAHASAN

36

BAB III PEMBAHASAN

A. Formulasi Model Matematika

Secara umum virus merupakan partikel yang tersusun atas elemen genetik genom yang mengandung salah satu asam nukleat yaitu asam deoksiribonukleat DNA atau asam ribonukleat RNA yang dapat berada dalam dua kondisi yang berbeda, yaitu secara intraseluler dalam tubuh inang dan ekstrseluler diluar tubuh inang. Virus dapat menyerang manusia, hewan maupun tanaman. Salah satu virus pada tanaman yaitu virus Tungro yang menjadi penyebab penyakit Tungro pada tanaman padi. Virus Tungro ditularkan oleh wereng hijau Nephotetix Vireschens secara bersamaan tanpa multiplikasi virus dalam tubuh vektornya Hibino, 1996. Masa terpanjang vektor mampu menularkan virus berkisar antara 5 −6 hari Wathanakul dan Weerapat, 1969 dalam Widiarta, 2005. Lama waktu yang dibutuhkan serangga untuk memperoleh virus berkisar 5−30 menit Rivera dan Ou ,1965; Singh 1969 dalam Widiarta, 2005, sedangkan waktu yang dibutuhkan untuk menularkan virus juga singkat, hanya 7−30 menit Ling, 1968; Lim, 1969 dalam Widiarta, 2005. Periode inkubasi virus dalam tanaman berkisar 6−15 hari Rivera dan Ou, 1965;Wathanakul dan Weerapat, 1969 dalam Widiarta, 2005. Model matematika pada penyebaran virus tungro ini, populasi tanaman pada waktu t terbagi dalam 3 populasi, yaitu susceptible rentan, infectious 37 terinfeksi dan virus. Populasi Susceptible yang disimbolkan dengan S, adalah populasi tanaman yang rentan terhadap virus. Populasi Infectious yang disimbolkan dengan I, adalah populasi tanaman yang telah terinfeksi virus dan dapat menularkan virusnya ke tanaman lain dengan bantuan vektor. Populasi Virus yang disimbolkan dengan V, adalah populasi virus yang menginfeksi tanaman. Untuk mempermudah proses memodelkan penyebaran virus Tungro, diperlukan asumsi-asumsi. Berikut asumsi-asumsi yang digunakan: 1. Hanya tanaman padi rentan yang menghasilkan 18 anakan padi selama masa tanam. 2. Anakan padi masuk ke dalam kelompok tanaman rentan. 3. Infeksi virus tungro terjadi secara internal pada tanaman padi. 4. Tidak ada mikroorganisme lain yang menyerang tanaman padi. 5. Tanaman padi terinfeksi virus tungro pada umur 3 mst 6. Pemberian pestisida dilakukan pada tanaman umur 3 mst 7. Kepadatan tanaman rentan bertambah dengan laju konstan sebesar α. 8. Suatu tanaman rentan S akan terinfeksi virus tungro yang melalui vektor dengan laju sebesar β, jika terjadi kontak dengan virus V. 9. Jika tanaman sudah terinfeksi, maka tanaman berada pada kelas I. 10. Virus bebas berkembang biak dari tanaman yang terinfeksi dengan laju sebesar μn. 11. Pestisida dapat menghambat penyebaran virus tungro oleh vektor wereng hijau. 38 Berikut ini didefinisikan variabel dan parameter yang digunakan dalam model penyebaran virus tungro pada tanaman padi. Tabel 3.1. Daftar Variabel Variabel Keterangan Sayarat Satuan St Banyaknya rumpun tanaman yang rentan pada waktu t St ≥ 0 ������ It Banyaknya rumpun tanaman yang terinfeksi virus pada waktu t It ≥ 0 ������ Vt Banyaknya virus tungro pada rumpun tanaman pada waktu t Vt ≥ 0 ����� Tabel 3.2. Daftar Parameter Parameter Keterangan Syarat Satuan α Laju kelahiran alami tanaman rentan per hari. α 0 ������ ℎ��� β Laju perpindahan satu virus tungro ke tanaman rentan yang melalui vektor per hari. β 0 ℎ��� −1 × ����� −1 δ Laju kematian alami tanaman rentan per hari. δ 0 ℎ��� −1 � Laju kematian tanaman terinfeksi per hari. � 0 ℎ��� −1 μ Peluang virus tungro pada tanaman terinfeksi terduplikasi per hari. 0 μ ≤ 1 ℎ��� −1 n Banyaknya duplikasi virus tungro. n ����� ������ � 1 Laju kematian alami virus tungro per hari. � 1 ℎ��� −1 � 2 Laju kematian virus tungro akibat pestisida per hari. � 2 ℎ��� −1 39 Berdasarkan karakteristik penyebaran virus dan masalah yang diasumsikan, dapat dibentuk model penyebaran virus tungro pada tanaman padi seperti berikut : Gambar 3.1. Diagram model penyebaran virus tungro pada tanaman padi Berdasarkan diagram model pada Gambar 3.1 dapat ditentukan hal-hal yang mempengaruhi proses penyebaran virus tungro. Selanjutnya akan dijelaskan proses pembentukan model penyebaran virus tungro pada tanaman padi untuk tiap-tiap kelas. 1. Perubahan banyaknya tanaman susceptible terhadap waktu t Pertambahan banyaknya tanaman kelas susceptible dipengaruhi oleh bertambahnya tanaman rentan sebesar �. Sementara itu, pengurangan banyaknya tanaman dipengaruhi oleh kematian alami dari tanaman susceptible per satuan waktu δS dan banyaknya tanaman susceptible α � I μnI μnI βSV βSV � 1 + � 2 V δS I V S μnI 40 yang terinfeksi virus tungro per satuan waktu βSV. Oleh karena itu diperoleh persamaan diferensial berikut �� � � = � − ��� − ��. 3.1 2. Perubahan banyaknya tanaman infectious terhadap waktu t Tanaman susceptible yang mulai terinfeksi virus tungro per satuan waktu βSV mempengaruhi pertambahan populasi infectious terinfeksi. Banyaknya tanaman terinfeksi yang mati per satuan waktu �I mempengaruhi pengurangan populasi infecious. Sehingga diperoleh persamaan diferensial berikut �� � � = ��� − ��. 3.2 3. Perubahan banyaknya partikel virus terhadap satuan waktu t Banyaknya virus tungro akan bertambah dari banyaknya tanaman yang terinfeksi, yang dinyatakan dengan � dikalikan dengan banyaknya duplikasi virus tungro baru per rumpun dalam t hari yang dinyatakan dengan �. Sementara itu, kematian alami virus yang dinyatakan dengan � 1 , kematian virus akibat pestisida yang dinyatakan dengan � 2 dan partikel virus yang menginfeksi tanaman rentan yang melalui vektor sebesar � akan mengurangi populasi virus pada tanaman terinfeksi. Sehingga diperoleh persamaan diferensial berikut �� � � = ��� − � 1 � − � 2 � − ���. 3.3 Berdasarkan deskripsi di atas dan dari Persamaan 3.1 – 3.3 maka 41 penyebaran virus tungro pada tanaman padi dapat dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan diferensial non linear orde satu seperti berikut: a. �� � � = � − ��� − �� b. �� � � = ��� − �� c. �� � � = ��� − � 1 � − � 2 � − ���. 3.4

B. Titik Ekuilibrium