RPP berkarakter

POLA BILANGAN BARISAN DAN DERET

Standar Kompetensi

Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah.

Kompetensi Dasar

Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmatika dan geometri.

Alokasi Waktu

2 jam mata pelajaran (1 x pertemuan)

Dilaksanakan

Pada pertemuan ke-1

Tujuan Pembelajaran

Setelah melaksanakan kegiatan pembelajaran ini, siswa dapat : a. Menentukan bentuk-bentuk pola bilangan

b. Menentukan suku ke-n pada barisan bilangan c. Menentukan jumlah suku ke-n

d. Menyusun deret bilangan

e. Menentukan rumus barisan aritmatika f. Menentukan rumus deret aritmatika

Materi Pembelajaran

A. Pola Bilangan

Pola bilangan sering kali dapat divisualisasikan dengan menggunakan kumpulan benda-benda diwakili dengan lambang noktah (●)sebagaimana dijelaskan dengan paparan berikut ini.

1) Pola Bilangan Asli

1 2 3 4

↓ ↓ ↓ ↓

● ●● ●●● ●●●●

2) Pola Bilangan Asli Genap

2 4 6 8

↓ ↓ ↓ ↓

●● ●● ●●● ●●●● ●● ●●● ●●●●

3) Pola Bilangan Asli Ganjil

1 3 5 7

↓ ↓ ↓ ↓

● ● ● ●

●● ● ●

●●● ● ●●●●

4) Pola Bilangan Segitiga

1 3 6 10

↓ ↓ ↓ ↓

● ● ● ●

●● ●● ●●

●●● ●●● ●●●●

5) Pola Bilangan Persegi

1 4 9 16

↓ ↓ ↓ ↓

● ●● ●●● ●●●● ●● ●●● ●●●● ●●● ●●●● ●●●●

Visualisasi susunan bilangan dalam bentuk gambar seperti di atas memperjelas adanya pola atau keteraturan pada masing-masing susunan bilangan tersebut.

B. Barisan Bilangan

Perhatikan susunan-susunan bilangan berikut:

a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... ; dinamakanbarisan bilangan asli

b) 2, 4, 6, 8, 10, ... ; dinamakanbarisan bilangan asli genap

c) 1, 3, 6, 10, 15, ... ; dinamakanbarisan bilangan segitiga

d) 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ; dinamakanbarisan bilangan Fibonacci

Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan disebut suku-suku barisan.Bilangan pertama atau suku pertama dilambangkan dengan u , suku kedua dengan u , suku ketiga dengan u , suku ke-kdengan u , ..., dengan demikian seharusnya sampai suku ke-ndengan u (nbilangan asli).

Indeks n menyatakan banyaknya suku dalam barisan itu. Untuk nilai n bilangan asli berhingga, barisan itu dinamakanbarisan berhingga. Suku ke-nyang dilambangkan dengan u disebut suku umum barisan. Pada umumnya, suku ke-n atau u merupakan fungsi dengan daerah asal (domain) bilangan aslin_.

Definisi : Barisan Bilangan

Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya.

Jika bilangan pertama u , bilangan keduau , bilangan ketigau , ..., dan bilangan ke-nadalahu , maka barisan bilangan itu dituliskan sebagai

u , u , u , , u , , u

CONTOH 1

Tentukan tiga suku pertama pada barisan berikut ini, jika suku ke-n dirumuskan sebagaiu = 3n + 1.

Penyelesaian :

Suku ke-n,u = 3n + 1

Untukn = 1, diperolehu = 3(1) + 1 = 4 n = 2, diperolehu = 3(2) + 1 = 7, dan n = 3, diperolehu = 3(3) + 1 = 10

Menetukan Jumlah Suku ke-n

Rumus umum suku ke-n atau u dapat ditentukan dengan cara mengamati pola atau aturan tertentu yang terdapat pada tiga atau empat suku pertama dari barisan tersebut.

CONTOH 2

Rumus umum suku ke-n dari suatu barisan ditentukan melalui hubungan u = an + bn. Suku ke-2 dan suku ke-7 dari barisan itu masing-masing sama dengan 8 dan 63.

a) Hitunglah nilai a dan nilai b. b) Tentukan suku ke-10

Penyelesaian :

a) Rumus umum suku ke-n :an + bn

[●] Suku ke-2 sama dengan 8, diperoleh hubungan : a(2) + b(2) = 8

4a + 2b = 8

2a + b = 4... (*) [●] Suku ke-7 sama dengan 63, diperoleh hubungan : a(7) + b(7) = 63

49a + 7b = 8

7a + b = 9... (**)

Persamaan (*) dan (**) membentuk sistem persamaan linear dua variabel (dengan variabel a dan b) sebagai berikut :

2a + b = 4 7a + b = 9

Solusi atau penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel di atas adalah a = 1danb = 2. Jadi nilaia = 1danb = 2.

b) Berdasarkan hasil perhitungan pada a) rumus umum suku ke-n dapat dinyatakan sebagaiu = n + 2n.

Untukn = 10, diperolehu = (10) + 2(10) = 120. Jadi, suku ke-10 dari barisan itu adalahu = 120.

C. Barisan Aritmetika

Untuk mengenali ciri-ciri yang ada pada suatu barisan aritmetika, simaklah barisan-barisan bilangan berikut ini.

a) 1, 6, 11, 16, ... b) 6, 4, 2, 0, ...

Perhatikan bahwa pada masig-masing barisan bilangan di atas mempunyai ciri-ciri tertentu, yaitu selisih dua suku yang berurutan selalu mempunyai nilai yang tetap (konstan). Barisan bilangan yang mempunyai ciri semacam itu dinamakan barisan aritmetikadan selisih dua suku yang berurutan disebutbedadari barisan aritmetika tersebut, yang dilambangkan dengan hurufb. Sebagai contoh :

a) Untuk barisan 1, 6, 11, 16, ... ; beda = 16 11 = 11 6 = 6 1 = 5 b) Untuk barisan 6, 4, 2, 0, ... ; beda = 0 2 = 2 4 = 4 6 = 2 Dengan demikian, barisan aritmetika dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi : Barisan Aritmetika

Suatu barisanu , u , u , u disebut barisan aritmetika jika untuk sebarang nilai

nberlaku hubungan :

=

dengan b adalah suatu tetapan (konstanta) yang tidak tergantung padan.

Rumus umum suku ke-n_{pada barisan aritmetika}

Misalkan suatu barisan aritmetika dengan suku pertamaadan bedab. Rumus umum suku ke-ndari barisan aritmetika itu ditentukan oleh:

u = a + (n 1)b

CONTOH 3

Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-6 dari barisan aritmetika 4,1,-2,-5,... Penyelesaian :

Barisan 4,1,-2,-5,...

Suku pertama u = a = 4,bedab = 1 4 = 3 Suku ke-6 u = a + 5b = 4 + 5( 3) = 11

D. Deret Aritmetika

Jumlah beruntun suku-suku suatu barisan aritmetika disebut sebagai deret aritmetika.

Sebagai contoh :

[●] dari barisan aritmetika 1, 3, 5, 7, ..., 99 dapat dibentuk deret aritmetika 1 + 3 + 5 + 7 + + 99.

[●] dari barisan aritmetika 2, 4, 6, 8, 10, ..., 2n dapat dibentuk deret aritmetika 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + + 2 .

Definisi : Deret Aritmetika

Jikau , u , u , u , merupakan suku-suku barisan aritmetika, maka u + u + u + +u dinamakan sebagai deret aritmetika

Jumlah n suku pertama deret aritmetika dilambangkan dengan S , dan S ditentukan oleh:

= + + + +

Rumus jumlahn_{suku pertama deret aritmetika}

Jumlahnsuku pertama suatu deret aritmetikau + u + u + +u +u ditentukan dengan menggunakan hubungan:

= ( + )

dengan =banyak suku, =suku pertama, dan =suku ke-n

Sifat-sifat pada deret aritmetika

1. S = (a + u ) merupakan fungsi kuadrat dari n (n bilangan asli) yang tidak memiliki suku tetapan.

CONTOH 4

Hitunglah jumlah deret aritmetika2 + 4 + 6 + + 60. Penyelesaian :

Untuk menghitung jumlah deret pada soal di atas, perlu ditentukan terlebih dahulu banyak suku atau n melalui hubunganu = a + (n 1)b

2 + 4 + 6 + + 60, a = 2, b = 2, danu = 60

60 = 2 + (n 1)2 60 = 2n n = 30 = 30

2 ( + ) = 15(2 + 60) = 930 Jadi, jumlah deret aritmetika2 + 4 + 6 + + 60adalah = 930.

Kegiatan Kompetensi Siswa

A. Isian Singkat

1. 1, 8, 27, 64, 125, ... 2. 3, 3, 6, 18, 90, 630, ... 3. 2, 4, 8, 16, 32, ..., ... 4. 3, 18, 108, ..., ...

5. 1, 3, 3, 4, 7, 6, 9, 7, 13, 9, 15, ..., ...

B. Berilah tanda silang (X) pada huruf

a

_,

b

_,

c

_,

d

_{, atau}

e

_{yang kamu anggap}

benar.

1. Suku ketiga dan keenam dari barisan aritmetika masing-masing 38 dan 56. Maka suku ke-nadalah...

A. Un = 6n+ 20 B. Un = 6n+ 15 C. Un = 5n+ 20 D. Un = 5n+ 15

2. Berapakah suku ke-100 dari barisan 7, 9, 11, 13,.... A. 200

B. 205 C. 210

3. Suku ke-5 barisan barisan aritmetika adalah 10, sedangkan jumlah suku ke-11 dan suku ke-27 sama dengan 48, suku ke-18 barisan aritmetika itu adalah...

A. 22 B. 23 C. 24 D. 25

4. Suku ketiga suatu barisan aritmetika sama dengan 11, sedangkan suku kesepuluh sama dengan 39. Maka suku pertama dan beda barisan tersebut adalah...

A. 2 dan 3 B. 3 dan 4 C. 4 dan 5 D. 5 dan 6

5. Di bawah ini yang merupakan deret aritmetika adalah... (1) + + 1 + + +

(2) 3 1 5 9 13 17 (3) + 1 + + + + (4) 2 + 4 + 6 + 12 + 14 A. 1 dan 2

B. 2 dan 4 C. 1, 2, dan 3 D. 1, 2, 3, dan 4

6. Tentukanlah jumlah 20 suku yang pertama dari deret 4 + 7 + 10 + 13 + . . . A. 600

B. 620 C. 625 D. 650

7. Dari sebuah barisan aritmetika diketahui suku ketiga sama dengan 9 sedangkan jumlah suku kelima dan ketujuh sama dengan 36. Maka jumlah sepuluh suku yang pertama adalah. . . .

8. Suku ke-10 dari barisan : 3, 5, 7, 9, ..., adalah . . . . A. 11

B. 21 C. 15 D. 27

9. log + log + log( ) + log( ) + adalah deret aritmetika. Maka jumlah 6 suku pertamanya adalah...

A. 6 log + 15 log B. 6 log + 12 log C. 6 log + 18 log D. 7 log + 15 log

10. Jumlah n suku pertama deret aritmetika dinyatakan dengan = (3 17). Rumus suku ke-nderet ini adalah...

A. 3 7 B. 3 10 C. 3 12 D. 3 15

C. Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar.

11. Tentukan rumus umum suku ke-n untuk barisan berikut ini, jika empat buah suku pertama diketahui sebagai berikut.

a) 4, 6, 8, 10,... b) 1, 9, 25, 49, ...

12. Dari suatu deret aritmetika diketahui = 13 dan = 29. Jumlah 25 suku pertama deret tersebut adalah...

13. Tentukan jumlah semua bilangan asli antara 1 dan 200 yang habis dibagi 4. 14. Jumlah bilangan ganjil.3 + 5 + 7 + + = 440, maka nilaikadalah...

15. Jika jumlah n suku pertama deret dinyatakan dengan = 12 , maka suku kelimanya adalah...

Kunci Jawaban dan Pembahasan

A. Isian Singkat

1. Pola :1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 = 216

2. Pola : dikalikan dengan bilangan prima 3(1), 3(2), 6(3), 18(5), 90(7), maka 630(11)= 6930

3. Pola : dikali dengan 2 ; 2(2), 4(2), 8(2), 16(2), 32(2) maka hasilnya adalah 64 dan 128 4. Pola : dikali denga 6 ; 3(6), 18(6), 108(6) maka hasilnya adalah 648 dan 3888

5. Pola I : 1 3 7 9 13 15 19

+2 +4 +2 +4 +2 +4

Pola II : 3 4 6 7 9 10

+1 +2 +1 +2 +1

Maka hasilnya adalah 10 dan 19

B. Pilihan Ganda

1. Jawaban A Penyelesaian:

=a+ (n–1)b

=a+ 3b= 38 =a+ 6b= 56

–––––––––––––––– –

3 = 18

b= 6

b= 6 disubstitusikan ke persamaana+ 2b= 38, diperoleh:

a+ 2(6) = 38 a= 26.

Un =a+ (n–1)b Un = 26 + (n–1)6

Un = 26 + 6n–6

= + 99 = 7 + 2 × 99 = 205

3. Jawaban B Penyelesaian:

= 10 + 4 = 10 (1) + = 48 2 + 36 = 48

+ 18 = 24 (2)

Dari persaamaan (1) dan (2) didapatkan bahwa = 6dan = 1 Sehingga untuk = + 17

= 6 + 7 × 1 = 23

4. Jawaban B Penyelesaian:

= 11 + 2 = 11 (1) = 39 + 9 = 39 (2)

Dari persamaan (1) dan (2) didapat = 3dan = 4 Jadi, suku pertama = 3dan beda = 4

5. Jawaban C Penyelesaian:

Dikatakan suatu deret apabila = = = = =tetap

yang disebut dengan “beda” dilambangkan denganb

(1) = (2) = 4 (3) =

(4) Bukan deret karena bedanya tidak konstan

Jadi dari pilihan yang tersedia yang merupakan deret adalah no 1, 2, dan 3

6. Jawaban D Penyelesaian:

a= 4,b= 7–4 = 3 dann= 20 =1

= 1

2× 20(2 × 4 + (20 1)3) = 10(8 + 19 × 3)

= 10(8 + 57) = 10 × 65 = 650

Jadi, jumlah 20 suku yang pertama adalah 650.

7. Jawaban C Penyelesaian:

= 9 + 2 = 9 (1) + = 36 2 + 10 = 36

+ 5 = 18 (2)

Dari persaamaan (1) dan (2) didapatkan bahwa = 3dan = 3 Sehingga untuk = + 9

= 3 + (9 × 3) = 30

8. Jawaban B Penyelesaian:

= 3

= 5 3 = 2 = + ( 1) = 3 + (10 1)2 = 3 + (9)2 = 3 + 18 = 21

9. Jawaban A Penyelesaian:

log =

= log log = log = log = 6

2(2 log + (5) log ) = 6 log + 15 log

= 3 2

17 2 = 3 17 2

3 2 = 3 10

C. Essay

11. Penyelesaian:

a) 4, 6, 8, 10, ... ; barisan dengan suku pertama = 4 dan selisih dua suku yang berurutan bernilai konstan sama dengan 2.

Jadi = 2 + 2

b) 1, 9, 25, 49, ...; dapat ditulis sebagai (1) , (3) , (5) , (7) , ;barisan dengan suku-sukunya merupakan kuadrat dari bilangan asli ganjil.

Jadi = (2 1)

12. Penyelesaian:

= 13, = 29 =29 13

7 3 = 4 + 2 = 13 + 2 × 4 = 13

= 5 = 2

5(2 × 5 + 24 × 2 4) = 25 × 53

= 1325

13. Penyelesaian:

Bilangan asli antara 1 dan 200 yang habis dibagi 4 dapat dinyatakan ke dalam deret aritmetika berikut.

4 + 8 + 12 + 16 + . . . + 196

Sehingga diperoleha= 4,b= 8–4 = 4, dan = 196 = + ( 1)

196 = 4n n= 49

=1

2 ( + ) =1

249(4 + 196) =1

2× 49 × 200 = 4.900

Jadi, jumlah yang ditanyakan adalah 4.900.

14. Penyelesaian:

3 + 5 + 7 + + = 440, = 440 =

2(2 × 3 + ( 1) × 2) 440 = ( + 2)

+ 2 440 = 0 ( + 22)( 20) = 0

= 22 = 20

yang diambil merupakan nilai positif, maka = + 19

= 3 + 19 × 2 = 41

15. Penyelesaian:

= +

=

= 2 +

= 12 2 ( 1) = 13 2

Daftar pustaka

Yuliatmoko, Pangarso dan Dewi Retno Sari. 2008.Matematika Kelas XII(bse).Jakarta:Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.

Wirodiromo, Sartono. 2007.Matematika Kelas XII.Jakarta: Erlangga.

Tim Penyusun Ganesha Operation. 2009. Konsep Dasar dan The King. Bandung: Ganesha Operation

Tim Penyusun STAN Kemuning. 2012. Modul Komprehensif TPA. Jakarta: STAN Kemuning.

A. Isian Singkat

1. Pola :1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 = 216

2. Pola : dikalikan dengan bilangan prima 3(1), 3(2), 6(3), 18(5), 90(7), maka 630(11)= 6930

3. Pola : dikali dengan 2 ; 2(2), 4(2), 8(2), 16(2), 32(2) maka hasilnya adalah 64 dan 128 4. Pola : dikali denga 6 ; 3(6), 18(6), 108(6) maka hasilnya adalah 648 dan 3888

5. Pola I : 1 3 7 9 13 15 19

+2 +4 +2 +4 +2 +4

Pola II : 3 4 6 7 9 10

+1 +2 +1 +2 +1

Maka hasilnya adalah 10 dan 19

B. Pilihan Ganda

1. Jawaban A Penyelesaian:

=a+ (n–1)b =a+ 3b= 38

=a+ 6b= 56

–––––––––––––––– –

3 = 18 b= 6

b= 6 disubstitusikan ke persamaana+ 2b= 38, diperoleh: a+ 2(6) = 38 a= 26.

Un =a+ (n–1)b Un = 26 + (n–1)6 Un = 26 + 6n–6 Un = 6n+ 20

2. Jawaban B Penyelesaian:

= 7, = 2

= + 99 = 7 + 2 × 99 = 205

3. Jawaban B Penyelesaian:

= 10 + 4 = 10 (1)

+ = 48 2 + 36 = 48

+ 18 = 24 (2)

Dari persaamaan (1) dan (2) didapatkan bahwa = 6dan = 1 Sehingga untuk = + 17

= 6 + 7 × 1 = 23

4. Jawaban B Penyelesaian:

= 11 + 2 = 11 (1)

= 39 + 9 = 39 (2)

Dari persamaan (1) dan (2) didapat = 3dan = 4 Jadi, suku pertama = 3dan beda = 4

5. Jawaban C Penyelesaian:

Dikatakan suatu deret apabila = = = = =tetap

yang disebut dengan “beda” dilambangkan denganb (1) =

(2) = 4

(3) =

(4) Bukan deret karena bedanya tidak konstan

Jadi dari pilihan yang tersedia yang merupakan deret adalah no 1, 2, dan 3 6. Jawaban D

Penyelesaian:

a= 4,b= 7–4 = 3 dann= 20 =1

2

= 10(8 + 19 × 3) = 10(8 + 57) = 10 × 65 = 650

Jadi, jumlah 20 suku yang pertama adalah 650. 7. Jawaban C

Penyelesaian:

= 9 + 2 = 9 (1)

+ = 36 2 + 10 = 36

+ 5 = 18 (2)

Dari persaamaan (1) dan (2) didapatkan bahwa = 3dan = 3 Sehingga untuk = + 9

= 3 + (9 × 3) = 30 8. Jawaban B

Penyelesaian: = 3

= 5 3 = 2

= + ( 1)

= 3 + (10 1)2 = 3 + (9)2 = 3 + 18 = 21 9. Jawaban A Penyelesaian: log =

= log log = log = log

= 6

2(2 log + (5) log ) = 6 log + 15 log

10. Jawaban B Penyelesaian:

=

= 3 2

17 2

= 3 17

2 3 2

= 3 10

C. Essay

11. Penyelesaian:

a) 4, 6, 8, 10, ... ; barisan dengan suku pertama = 4 dan selisih dua suku yang berurutan bernilai konstan sama dengan 2.

Jadi = 2 + 2

b) 1, 9, 25, 49, ...; dapat ditulis sebagai (1) , (3) , (5) , (7) , ;barisan dengan suku-sukunya merupakan kuadrat dari bilangan asli ganjil.

Jadi = (2 1)

12. Penyelesaian: = 13, = 29

=29 13 7 3 = 4

+ 2 = 13 + 2 × 4 = 13

= 5

= 2

5(2 × 5 + 24 × 2 4) = 25 × 53

= 1325

13. Penyelesaian:

Bilangan asli antara 1 dan 200 yang habis dibagi 4 dapat dinyatakan ke dalam deret aritmetika berikut.

4 + 8 + 12 + 16 + . . . + 196

Sehingga diperoleha= 4,b= 8–4 = 4, dan = 196

= + ( 1)

n= 49 =1

2 ( + )

=1

249(4 + 196)

=1

2× 49 × 200 = 4.900

Jadi, jumlah yang ditanyakan adalah 4.900.

14. Penyelesaian:

3 + 5 + 7 + + = 440, =

440 =

2(2 × 3 + ( 1) × 2) 440 = ( + 2)

+ 2 440 = 0 ( + 22)( 20) = 0

= 22 = 20

yang diambil merupakan nilai positif, maka = + 19

= 3 + 19 × 2 = 41

15. Penyelesaian:

= +

=

= 2 +

= 12 2 ( 1)

= 13 2 = 13 2 × 5 = 3

Daftar pustaka

Yuliatmoko, Pangarso dan Dewi Retno Sari. 2008.Matematika Kelas XII(bse).Jakarta:Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional.

Wirodiromo, Sartono. 2007.Matematika Kelas XII.Jakarta: Erlangga.

Tim Penyusun Ganesha Operation. 2009. Konsep Dasar dan The King. Bandung: Ganesha Operation

Tim Penyusun STAN Kemuning. 2012. Modul Komprehensif TPA. Jakarta: STAN Kemuning.