A ljabar V ektor

1. A ljabar V ektor

Disebuah kampung yang bernama kampung Asem, tinggalah seorang ibu dengan seorang anaknya semata wayang yang mulai menginjak dewasa. Anaknya bernama Joko Bodho, dia dinamakan demikian karena memang bodoh. Suatu hari ibunya menyuruh Joko Bodho untuk mengantarkan kue ke rumah kakeknya yang berada di kampung Cabe. Diantara kampung cabe dan kampung Asem terdapat sebuah kampung yang bernama kampung

B ambu. Kampung Bambu terletak tepat lurus disebelah timur kampung Asem dengan jarak 4 km. Sedangkan kampung Cabe terletak tepat lurus disebelah utara kampung Bambu dengan jarak 3 km. Karena Joko Bodho memang bodoh maka dia berjalan dari kampung Asem ke kampung Bambu baru kemudian ke kampung Cabe, total jendral dia menempung perjalanan sejauh 7 km. Padahal ada banyak cara menuju ke kampung Cabe. Karena lama tidak pulang maka ibunya yang sudah kebingungan menyuruh anda untuk menyusul si Joko Bodho. Berhubung anda orang cerdas dan nggak mau rugi maka anda akan mencari jalan yang terpendek untuk sampai ke kampung Cabe. Tentu saja jarak yang terpendek adalah garis lurus (dalam geometri secara umum jarak terpendek belum tentu garis lurus!!). Berapa jarak yang harus anda tempuh? Bagi orang yang ber IQ rata-rata saja, jawaban itu mudah sekali yaitu 5 km. Bagaimana kita menghitungnya? Gampang..kita gambarkan saja lokasi ketiga kampung itu sebagai berikut:

C Jarak AB = 4 km dan jarak BC 3 km maka dengan Teorema Pytagoras didapat:

AC 2 = AB 2 + BC 2 AC 2 =4 2 +3 2 = 25

A B AC = 5 km

Sekarang, biarkanlah anda menjadi orang iseng, yaitu kita bikin kotak-kotak bujur sangkar dengan sisinya 1 km untuk memenuhi gambar diatas. Kampung Asem kita anggap pusatnya, dalam arah timur-barat kita sebut sumbu x (dengan timur positif) dan arah utara-selatan sebagai sumbu y (dengan arah utara positif) sebagai berikut:

Jika tiap kotak dalam sumbu x kita beri simbol ê x maka AB = 4 ê x dan jika tiap kotak dalam sumbu y kita beri simbol ê y maka BC = 3 ê y . Karena AC = AB + BC maka AC = 4 ê x + 3 ê y . Kita dapat mengatakan bahwa AC mempunyai besar 5 dan arahnya ketimur 4 stuan dan ke utara 3 satuan, jadi AC suatu kuantitas yang mempunyai besar dan arah yang lazimnya disebut vektor. Suatu vektor biasanya kita beri simbol dengan huruf cetak tebal atau tanda panah diatasnya. Vektor ê x dan ê y yang mempunyai besar 1 disebut vektor satuan. Kedua vektor tersebut selalu memenuhi persamaan sebagai berikut:

 ê x +  ê y =0   =  = 0 dimana  ,  skalar.

Karena persamaan tersebut selalu dipenuhi untuk semua skalar maka dikatakan bahwa ê x dan ê y membangun sebuah ruang vektor, maka elemen dari ruang vektor yaitu ê x dan ê y dinamakan vektor. Karena kedua vektor tersebut tegak lurus maka dikatakan kita mempunyai suatu ruang vektor ortogonal, sehingga mereka dapat kita gunakan sebagai basis representasi atau sistem koordinat. Hal ini dapat kita perluas sampai dimensi 3 yaitu dengan menambah sumbu z. Operasi aljabar seperti penjumlahan dan pengurangan mempunyai aturan yang sama seperti halnya pada skalar. Sedangkan operasi perkalian mempunyai dua jenis yaitu operasi dot yang menghasilkan skalar dan operasi cros (rot/ curl) yang menghasilkan vektor.  Jika A dan B suatu vektor maka operasi dot akan dinyatakan sebagai

berikut:

A  B  A B cos 

A.1

Dimana  adalah sudut terpendek antara vektor A dan vektor B sedangkan tanda kurung lurus menyatakan besarnya vektor. Jika kita nyatakan kedua vektor tersebut dalam komponen basisnya untuk 3D (xyz) maka operasi dot dinyatakan oleh:

A  B   A x e ˆ x  A y e ˆ y  A z e ˆ z   B x e ˆ x  B y e ˆ y  B z e ˆ z  A.2

Kita telah mengunakan definisi A.1 yaitu:

e ˆ x  e ˆ x  e ˆ x e ˆ x cos   1 . 1 . cos 0  1

e o ˆ x  e ˆ y  e ˆ x e ˆ y cos   1 . 1 . cos 90  0 dsb

Hasil dari opreasi ini berupa skalar, dan operasi dot adalah komutatif (AB = BA).

 Jika A dan B suatu vektor maka operasi cross akan dinyatakan sebagai berikut:

A  B  A B sin  n ˆ

A.3

Dimana ñ adalah arah yang didapat dengan memutas vektor A ke vektor B searah putaran sekrup. Karena operasi cross bergantung dari arah putaran maka operasi cross tidak komutatif. Dalam komponennya operasi ini dinyatakan sebagai berikut:

 A x e ˆ x  A y e ˆ y  A z e ˆ z   B x e ˆ x  B y e ˆ y  B z e ˆ z 

Dengan aturan A.3 kita dapatkan:

e ˆ x  e ˆ x  e ˆ x e ˆ x sin  n ˆ  1 . 1 . sin 0  0

e 0 ˆ x  e ˆ y  e ˆ x e ˆ y sin  n ˆ  1 . 1 . sin 90 e ˆ z  e ˆ z

Dengan cara yang sama kita dapatkan:

Sehingga operasi cross menjadi:

A  B   A y B z  A z B y  e ˆ x   A z B x  A x B z  e ˆ y   A x B y  A y B x  e ˆ z A.4

Hal ini mudah dilakukan kalau kita mengunakan aturan determinan suatu matriks sebagai berikut:

B x B y B z A.5

Berikut ini adalah beberapa rumus operasi aljabar vektor yang sering dipakai:

A   B  C  A  C B  A  B C