Diferensial V ektor

2. Diferensial V ektor

Jika saya mempunyai suatu fungsi f(x)=x 2 +2x maka turunan f terhadap x dinyatakan oleh df/ dx=2x+2, hal ini semua orang telah tahu. Sekarang jika saya mempunyai fungsi dua variable katakanlah f(x,y)=x 2 y 3 +3x 2 y maka pertanyaannya berapakan turunan f terhadap x? Untuk satu dimensi maka df/ dx menyatakan kemiringan (slope) suatau fungsi f(x) di setiap titik. Dalam fungsi dua variabel maka yang ada adalah suatu turunan berarah yang dinyatakan oleh diferensial total sebagai berikut:

A.6

df ( x , y )  dx  dy

 f/  x adalah turunan parsial f(x,y) terhadap x dihitung dengan mengambil y konstan dan  f/  y adalah turunan parsial f(x,y) terhadap y dihitung dengan mengambil x konstan, maka diferensial total dari fungsi dua variabel diatas adalah:

 2 xy  6 xy

df ( x , y )   2 xy  6 xy  dx  3 x y  3 x  dy

Jika A adalah vektor dan x adalah skalar maka turunan parsial vektor A terhadap x dinyatakan oleh:

A.7

Jika f(x,y,z) adalah fungsi tiga variabel maka turunan total dari fungsi diatas dinyatakan oleh:

df ( x , y , z )  dx  dy  dz A.8

Turunan total ini dapat kita nyatakan dalam notasi vektor (yaitu dengan operasi dot) sebagai berikut:

df ( x , y , z )   e ˆ x  e ˆ y  e ˆ z   dx e ˆ x  dy e ˆ y  dz e ˆ z 

 e ˆ x  e ˆ y  e  ˆ z  f ( x , y , z )   dx e  ˆ x

 dy e ˆ y  dz e ˆ z  A.9

Dimana:

  e ˆ x  e ˆ y  e ˆ z disebut operator del  x

d r  df ( x , y , z )  dx e ˆ x  dy e ˆ y  dz e ˆ z

inkremen jarak (displacement)

disebut

 sebenarnya bukanlah vektor riel, tetapi dia adalah operator vektor jadi dia harus bekerja pada suatu fungsi skalar atau vektor. Operator del ini mempunyai tiga macam jenis operasi yaitu gradien, divergensi dan curl.

 Gradien.

Jika  adalah fungsi skalar maka gradien dari fungsi tersebut akan dinyatakan oleh:

 A.10  e

Jika A adalah vektor maka gradien A akan dinyatakan oleh:

 A   e ˆ x  e ˆ y  e ˆ z   A x e ˆ x  A y e ˆ y  A z e ˆ z 

   x  x  x A.11 

Hasil dari operasi gradien suatu vektor adalah matrik 3x3 atau tensor rank-2.

 Divergensi

Jika A adalah vektor maka operasi divergensi akan dinyatakan oleh  .A yang mengukur seberapa banyak vektor A menyebar. Operasi ini dinyatakan oleh:

ˆ y  e  ˆ e e z    A x e ˆ x  A y e ˆ y  A z e ˆ z 

A.12

Hasil operasi divergensi suatu vektor adalah skalar, dan kita dapat langsung mengetahui bahwa hasil divergensi skalar adalah nol dan divergensi tensor rank-2 adalah vektor.

 Curl Jika A adalah vektor maka operasi curl (rotasi) ahan dinyatakan oleh:

A.13  x  y  z    y

 z 

Hasil operasi curl dari suatu vektor adalah vektor dengan arah vektor adalah rotasi vektor A searah putaran sekrup, sehingga operasi curl Hasil operasi curl dari suatu vektor adalah vektor dengan arah vektor adalah rotasi vektor A searah putaran sekrup, sehingga operasi curl

Berikut ini beberapa rumus yang sering dipakai (jika f,g skalar dan A,B vektor):

  fg  f  g  g  f

     A  0

   A  B  B    A  A    B

   A  B  B   A  A   B  A   B  B   A

Contoh: Dalam dinamika fluida, suatu kecepatan fluida akan dinyatakan dalam fungsi vektor v(x,y,z,t) maka percepatan dari fluida akan dinyatakan oleh dv/ dt. Dengan teknik yang telah dikembangkan terdahulu maka kita dapat menghitung percepatan sebagai berikut: Diferensial total dari v(x,y,z,t) adalah:  

dt 

dx 

dy 

dz

Maka percepatan akan dinyatakan oleh (dalam notasi vektor): 

d V  V  V dx  V dy  V  dz    dt

 t  x dt  y dt

 z dt

   V  dx

dz    V  V  V  

dy

e ˆ z  t  dt

 y  z   

e  ˆ x 

dt

dt    x

Jika kita menuliskan dalam komponennya sebagai berikut:

dt dt

dt

dt

 z  

 z  

Operasikan dot product menjadi:

V   V   V x  V y

z    x  y  z  Maka dalam komponennya percepatan fluida menjadi:

 z    x

dV x  V x

  V x  V y  V z Komponen dalam sumbu x dt

dV y  V y

  V x  V y  V z Komponen dalam sumbu y dt

dV

  V x  V y  V z Komponen dalam sumbu z dt