Model Dual Dari Primal

2. Model Dual Dari Primal

• Setiap model programa linier mempunyai dua bentuk: Primal dan Dual. • Bentuk asli dari progama linier disebut

• Contoh model pada bab bab sebelumnya adalah model model primal. • Dual adalah bentuk alternatif model yang dikembangkan sepenuhnya dari bentuk

primal.

2.1 Model Dual Maksimasi

4 ' Model Dual Model Primal Maksimasi Toko Mebel ‘Gaya’ memproduksi meja dan kursi yang dihitung atas dasar harian. Tiap

meja yang diproduksi menghasilkan keuntungan Rp 160, sedangkan tiap kursi menghasilkan keuntungan Rp 200. Produksi meja dan kursi ini bergantung pada tersedianya sumber sumber yang terbatas (tenaga kerja, kayu, dan gudang tempat penyimpanan). Kebutuhan sumber sumber untuk memproduksi meja dan kursi serta jumlah total sumber yang tersedia adalah sebagai berikut

Kebutuhan sumber

Jumlah yang tersedia

Tenaga Kerja

40 jam Kayu

2 2 Gudang penyimpanan 2 24 m 12 m 240 m

Perusahaan ingin mengetahui berapa banyak meja dan kursi yang harus diproduksi untu memaksimumkan keuntungan. Model tersebut diformulasikan sebagai berikut:

Memaksimumkan Z = 160 x 1 + 200 x 2

Terbatas pada:

2x 1 + 4x 2 ≤ 40 jam tenaga kerja

18 x 1 + 18 x 2 ≤ 216 kubik kayu

2 24 x

1 + 12 x 2 ≤ 240 m tempat penyimpanan

1 , x 2 ≥0 x

dimana x 1 = jumlah meja yang diproduksi x 2 = jumlah kursi yang diproduksi

Dalam model tersebut merupakan model maksimasi untuk mendapatkan nilai laba sebanyak banyaknya.

• Model di atas mewakili

• Untuk Suatu Model Maksimasi Primal, bentuk dualnya merupakan

• Bentuk dual untuk contoh model ini adalah:

Meminimumkan Z d = 40 y 1 + 216 y 2 + 240 y 3

Terbatas pada

2y 1 + 18 y 2 + 24 y 3 ≥ 160 4y 1 + 18 y 2 + 12 y 3 ≥ 200

1 y ,y 2 ,y 3 ≥0

Dalam model dual ini yang analisis ditinjau dengan meminimumkan biaya sekecil kecilnya.

• Hubungan khusus antara primal dan dual yang diperlihatkan pada contoh di sini adalah sebagai berikut.

1) . ' 0 # 0 $ berhubungan dengan batasan model primal. Untuk setiap batasan dalam primal terdapat satu variable dual. Sebagai contoh, dalam kasus ini primal mempunyai tiga batasan, karena itu dual memiliki tiga variabel keputusan.

2) Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan batasan primal merupakan koefisien fungsi tujuan dual. Nilai nilai batasan primal, yaitu 40, 216, dan 240 membentuk fungsi tujuan dual:

Z = 40 y 1 + 216 y 2 + 240 y 3

3) Koefisien batasan model primal merupakan koefisien variable keputusan dual. Contoh batasan tenaga kerja dalam primal mempunyai koefisien 2 dan 4. Nilai nilai ini merupakan koefisien variable y 1 dalam batasan model dual: 2 y 1 dan 4y 1

4) Koefisien fungsi tujuan primal, yaitu 160 dan 200 mewakili kebutuhan batasan model (nilai kualitas pada sisi kanan batasan) dual.

• Hubungan antara primal dual dapat diamati dengan cara membandingkan

bentuk kedua model tersebut seperti ditunjukkan pada gambar berikut.

Terbatas pada:

Terbatas pada

Masalah Primal (atau Dual) Masalah Dual (atau Primal)

Koefisien fungsi tujuan ……………… Nilai kanan fungsi batasan Maksimumkan Z (atau Y) …………... Minimumkan Y (atau Z) Batasan i ……………………………… Variabel yi (atau xi) Bentuk ≤ ………………………………. y i ≥ 0 Bentuk = ………………………………. y i ≥ dihilangkan Variabel xj ……………………………. Batasan j xj ≥ 0 ………………………………...... Bentuk ≥ xj ≥ 0 dihilangkan ………………….... Bentuk =

2.2 Model Dual Minimasi

• Bentuk primal standar untuk permasalahan minimasi, semua batasan mempunyai tanda pertidaksamaan ≥ .

4 # Model Dual Model Primal Minimasi Formulasi Model Primal Minimasi

Meminimumkan Z = 6x 1 + 3x 2

Terbatas pada

1 + 4x 2x 2 ≥ 16 4x 1 + 3x 2 ≥ 24

1 , x 2 ≥0 x

• Dual dari model ini diformulasikan sebagai berikut:

Memaksimumkan Z d = 16 y 1 + 24 y 2

Terbatas pada

2y 1 +4y 2 ≤6 4y 1 + 3y 2 ≤3

1 y ,y 2 ≥0

2.2 Suatu Masalah Batasan Campuran

• Model Dual dari Primal Campuran dapat dilihat sebagai berikut. "

4 $ Model Dual Model Primal Campuran Formulasi Model Primal Campuran

Memaksimumkan Z = 10x 1 + 6x 2

Terbatas pada

• Satu kondisi yang diperlukan untuk mentransformasikan masalah primal ke dalam bentuk dual adalah bahwa

• Untuk suatu maksimasi primal, semua batasan model harus ≤; dan untuk suatu minimasi primal, semua batasan harus ≥. • Jadi saat model maksimasi mencakup batasan campuran, langkah pertama adalah mengubah semua batasan model ke dalam bentuk ≤.

x 1 + 4x 2 ≤ 40

telah dalam bentuk tepat.

3x 1 + 2x 2 = 60

harus diubah ke dalam bentuk ≤ (kasus maksimasi).

Persamaan ini ekuivalen dengan dua batasan berikut:

b.1 3x 1 + 2x 2 ≥ 60

b.2 3x 1 + 2x 2 ≤ 60

Batasan b.1 belum memenuhi syarat, dan batasannya harus diubah ke dalam bentuk ≤. Untuk itu batasan b.1 dikalikan dengan bilangan ( 1), sehingga batasan sekarang menjadi:

Sama halnya dengan batasan b.1, batasan terakhir (c) ini harus diubah ke dalam bentuk batasan primal standar (kasus maksimasi batasan primal standar harus ≤ 0). Untuk itu batasan terakhir harus dikalikan dengan bilangan ( 1), sehingga diperoleh batasan primal standarnya adalah

2x 1 2 x ≤ 25

• Dengan demikian, maka model primal bentuk standar dapat disimpulkan sebagai berikut:

Memaksimumkan Zp = 10x 1 + 6x 2

Terbatas pada

• Bentuk dual dari model ini diformulasikan sebagai:

Meminimumkan Zd = 40 y 1 + 60 y 2 60 y 3 25 y 4

Terbatas pada