Contoh: •
Semesta pembicaraan untuk variabel umur: [0, +∞ •
Semesta pembicaraan untuk variabel temperature : [0, 40] d.
Domain Domain himpunan fuzzy adalah keseluruhan nilai yang di ijinkan dalam
semesta pembicaraan dan boleh dioperasikan dalam suatu himpunan fuzzy. Seperti halnya semesta pembicaraan, domain merupakan himpunan bilangan
real yang senantiasa naik bertambah secara monoton dari kiri ke kanan. Nilai domain
dapat berupa
bilangan positif
maupun negatif.
Contoh domain himpunan fuzzy: •
MUDA = [0, 45] •
PAROBAYA = [35, 55] •
TUA = [45, +∞.
2.5 Fungsi Keanggotaan Membership Function.
Fungsi keanggotaan membership function adalah suatu kurva yang menunjukan pemetaan titik – titik input data kedalam nilai keanggotaannya sering juga disebut
dengan derajat keanggotaan yang memiliki interval antara 0 sampai 1. Salah satu cara yang dapat digunakan untuk mendapatkan nilai keanggotaan adalah dengan melalui
pendekatan fungsi. Ada beberapa fungsi yang bisa digunakan.
Representasi Linier
Pada representasi linier, pemetaan input ke derajat keanggotaannya digambarkan sebagai suatu garis lurus. Bentuk ini paling sederhana dan menjadi pilihan yang baik
untuk mendekati suatu konsep yang kurang jelas.
Universitas Sumatera Utara
Ada 2 keadaaan himpunan fuzzy yang linier. Pertama, kenaikan himpunan dimulai pada nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan nol [0] bergerak ke
kanan menuju ke nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih tinggi.
Representasi Linier Naik :
Fungsi keanggotaan :
[ ]
b x
b x
a a
x b
x a
x x
≥ ≤
≤ ≤
= −
− =
=
; ;
;
1
µ
Kedua, merupakan kebalikan yang pertama. Garis lurus dimulai dari nilai domain dengan derajat keanggotaan tertinggi pada sisi kiri, kemudian bergerak menurun ke
nilai domain yang memiliki derajat keanggotaan lebih rendah.
Universitas Sumatera Utara
Representasi linier Turun :
Fungsi keanggotaan :
[ ]
b x
b x
a a
b x
b x
≥ ≤
≤
= −
− =
; ;
µ
Representasi Kurva Segitiga
Kurva Segitiga pada dasarnya merupakan gabungan antara 2 garis linier seperti terlihat pada gambar.
Universitas Sumatera Utara
Fungsi keanggotaan :
[ ]
c x
atau c
x b
b x
a a
x b
c x
b a
b a
x x
≥
≤ ≤
≤ ≤
≤ −
− =
− −
= =
; ;
; µ
Representasi Kurva Trapesium
Kurva Trapesium pada dasarnya seperti bentuk segitiga, hanya saja ada beberapa titik yang memiliki nilai keanggotaan 1 Gambar .
Fungsi keanggotaan :
[ ]
d x
atau
d x
c x
b b
x a
a x
c d
x d
a b
a x
X ≥
≥ ≤
≤ ≤
≤ ≤
− −
= =
− −
= =
; ;
1 ;
; µ
Universitas Sumatera Utara
2.6 Program linier
Sebelum mengarah pada bagaimana fuzzy dibuat untuk kekurangan pada linier programming, sebaiknya terlebih dahulu mengetahui apa itu optimasi.
Optimasi.
Optimasi adalah sarana untuk mengekspresikan model matematika yang bertujuan memecahkan masalah dengan cara terbaik. Untuk tujuan bisnis, hal ini
berarti memaksimalkan keuntungan dan efisiensi serta meminimalkan kerugian, biaya atau resiko. Hal ini juga berarti merancang sesuatu untuk meminimalisasi bahan baku
atau memaksimalisasi keuntungan. Adapun keinginan untuk memecahkan masalah dengan model optimasi secara umum sudah digunakan pada banyak aplikasi.
Program Linier.
Program linier merupakan model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang terbatas secara optimal.
Masalah tersebut timbul apabila seseorang diharuskan untuk memilih atau menentukan tingkat setiap kegiatan yang akan dilakukannya, di mana masing-masing
kegiatan membutuhkan sumber yang sama sedangkan jumlahnya terbatas. Secara sederhana, dapat diambil contoh bagian produksi suatu perusahaan yang dihadapkan
pada masalah penentuan tingkat produksi masing-masing jenis produk dengan memperhatikan batasan faktor-faktor produksi: mesin, tenaga kerja, bahan mentah,
dan sebagainya untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang minimal.
Pada masa modern sekarang, program linier masih menjadi pilihan dalam upaya untuk memperoleh tingkat keuntungan maksimal atau biaya yang minimal.
Dalam memecahkan masalah di atas, Program linier menggunakan model matematis. Sebutan “linier” berarti bahwa semua fungsi matematis yang disajikan dalam model
ini haruslah fungsi-fungsi linier. Dalam Program linier dikenal dua macam fungsi, yaitu fungsi tujuan objective function dan fungsi-fungsi batasan constraint
function. Fungsi tujuan adalah fungsi yang menggambarkan tujuansasaran di dalam permasalahan program linier yang berkaitan dengan pengaturan secara optimal
sumber daya-sumber daya, untuk memperoleh keuntungan maksimal atau biaya
Universitas Sumatera Utara
minimal. Pada umumnya nilai yang akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z. Fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis batasan-batasan kapasitas yang
tersedia yang akan dialokasikan secara optimal ke berbagai kegiatan. Agar dapat menyusun dan merumuskan suatu persoalan atau permasalahan
yang dihadapi ke dalam model program linier, maka ada lima syarat yang harus dipenuhi:
1. Tujuan
Apa yang menjadi tujuan permasalahan yang dihadapi yang ingin dipecahkan dan dicari jalan keluarnya. Tujuan ini harus jelas dan tegas yang disebut fungsi
tujuan. 2.
Alternatif perbandingan Harus ada sesuatu atau berbagai alternatif yang ingin diperbandingkan;
misalnya antara kombinasi waktu tercepat dan biaya tertinggi dengan waktu terlambat dan biaya terendah.
3. Sumber daya
Sumber daya yang dianalisis harus berada dalam keadaan yang terbatas 4.
Perumusan kuantitatif Fungsi tujuan dan kendala harus dapat dirumuskan secara kuantitatif dalam
apa yang disebut model matematika. 5.
Keterkaitan peubah Peubah-peubah yang membentuk fungsi tujuan dan kendala tersebut harus
memiliki hubungan fungsional atau hubungan keterkaitan.
Universitas Sumatera Utara
Model Dasar
Model dasar program linier dapat dirumuskan sebagai berikut: Carilah nilai-nilai
n
X X
X ,
, ,
2 1
… yang dapat menghasilkan berbagai
kombinasi optimum maksimum atau minimum dari:
.
2 2
1 1
tujuan fungsi
X C
X C
X C
Z
n n
+ +
+ =
… 2.1
Dengan syarat bahwa fungsi tujuan tersebut memenuhi kendala-kendala atau syarat-syarat ikatan sebagai berikut:
1 1
2 12
1 11
b atau
X a
X a
X a
n n
≥ ≤
+ +
+ …
2 2
2 22
1 21
b atau
X a
X a
X a
n n
≥ ≤
+ +
+ …
⋮ ⋮
⋮ ⋮ ⋮
m n
mn m
m
b atau
X a
X a
X a
≥ ≤
+ +
+ …
2 2
1 1
2.2 dan bahwa:
untuk X
j
, ≥
n j
, ,
2 ,
1 … =
2.3 Keterangan:
=
j
C Parameter yang dijadikan kriteria optimisasi, atau koefisien peubah
pengambilan keputusan dalam funsi tujuan. =
j
X Peubah pengambilan keputusan atau kegiatan yang ingin dicari; yang
tidak diketahui. =
ij
a Koefisien teknologi peubah pengambilan keputusan kegiatan yang
bersangkutan dalam kendala ke-i. =
i
b Sumber daya yang terbatas, yang membatasi kegiatan atau usaha yang
bersangkutan; disebut pula konstanta atau “nilai sebelah kanan” dari kendala ke-i.
= Z
Nilai skalar kriteria pengambilan keputusan; suatu fungsi tujuan.
Universitas Sumatera Utara
Asumsi – asumsi program linier
1. Linieritas
Asumsi ini menginginkan agar perbandingan antara input yang satu dengan input lainnya, atau untuk suatu input dengan output besarnya tetap dan terlepas
tidak tergantung pada tingkat produksi. 2.
Proposionalitas Asumsi ini menyatakan bahwa jika peubah pengambilan keputusan,
j
X berubah maka dampak perubahannya akan menyebar dalm proposi yang sama
terhadap fungsi tujuan,
j j
X C
, dan juga pada kendalanya,
j ij
X a
. 3.
Aditivitas Asumsi ini menyatakan bahwa nilai parameter suatu kriteria optimisasi
koefisien peubah pengambilan keputusan dalam fungsi tujuan merupakan jumlah dari nilai individu-individu
j
C dalam model PL tersebut. 4.
Divisibilitas Asumsi ini menyatakan bahwa peubah-peubah pengambilan keputusan
j
X , jika diperlukan dapat dibagi ke dalam pecahan-pecahan.
5. Deterministik
Asumsi ini menghendaki agar semua parameter dalam PL yaitu nilai – nilai
j
C ,
ij
a , dan
i
b tetap dan dikehendaki atau ditentukan secara pasti.
Metode Simpleks
Apabila suatu masalah Linier Programming hanya mengandung dua kegiatan variabel-variabel keputusan saja, maka dapat diselesaikan dengan metode grafik.
Bila terdapat lebih dari dua variabel maka metode grafik tidak dapat digunakan lagi,
Universitas Sumatera Utara
sehingga diperlukan metode simpleks. Metode ini lazim dipakai untuk menentukan kombinasi dari tiga variabel atau lebih.
Masalah Program linier yang melibatkan banyak variabel keputusan dapat dengan cepat dipecahkan dengan bantuan komputer. Bila variabel keputusan yang
dikandung tidak terlalu banyak, masalah tersebut dapat diselesaikan dengan suatu algoritma yang biasanya sering disebut metode tabel simpleks. Disebut demikian
karena kombinasi variabel keputusan yang optimal dicari dengan menggunakan tabel- tabel.
Tabel 2.1 Bentuk tabel simpleks
j
C
1
C …
k
C …
n
C
Variabel Basis
Harga Basis
1 B
X …
n
X …
n
X
Jawab Basis
1 B
X
1 B
C
11
a …
k
a
1
…
n
a
1 1
b ⋮
⋮ ⋮
⋮ ⋮
⋮
Br
X
Br
C
1 r
a …
rk
a
…
rn
a
r
b ⋮
⋮ ⋮
⋮ ⋮
⋮
Bm
X
Bm
C
1 m
a
…
mk
a
…
mn
a
m
b
= −
j j
C Z
imbalan
j j
C Z
− …
k k
C Z
− …
n n
C Z
− b
c
B
Sebelum menyelesaikan suatu tabel simpleks terlebih dahulu menginisialisasikan dan merumuskan suatu persoalan keputusan kedalam model matematik persamaan linier,
caranya sebagai berikut: 1. Konversikan semua ketidaksamaan menjadi persamaan.
Agar persamaan garis batasan memenuhi persyaratan penyelesaian pada daerah kelayakan
feasible maka model program linier diubah menjadi suatu model yang sama dengan menambahkan variabel slack, surplus dan variabel buatan
artificial
Universitas Sumatera Utara
variabel pada tiap batasan constraint serta memberi harga nol kepada setiap koefisien C nya. Batasan dapat di modifikasi sebagai berikut:
a. Untuk batasan bernotasi ≤
dapat dimodifikasikan kepada bentuk persamaan dengan menambahkan variabel slack ke dalam nya.
b. Untuk batasan bernotasi ≥
atau =
diselesaikan dengan menambahkan variabel surplus dan variabel buatan. Dengan penambahan variabel buatan
ini akan merusak sistem batasan, hal ini dapat diatasi dengan membuat suatu bilangan besar M sebagai harga dari variabel buatan tersebut dalam fungsi
tujuan. Jika persoalan maksimal maka dibuat –M sebagai harga, dan jika persoalan minimal dibuat +M sebagai harga dari variabel buatan. Cara
pendekatan ini dikenal dengan metode M besar Big M method.
Penambahan variabel slack dan variabel buatan artificial variabel pada tiap batasan
constrain untuk persoalan maksimal dapat dirumuskan sebagai berikut: Maksimalkan:
∑ ∑
+ =
=
− =
m m
i i
j n
j j
B M
x c
Z
1 1
1
2.4
Dengan batasan :
1 1
, ,
2 ,
1 ,
m i
b x
x a
i i
j n
j ij
… =
= +
∑
=
untuk batasan bernotasi ≤
2.5
2 1
1 1
, ,
1 ,
m m
m i
b B
x a
i i
j n
j ij
+ +
= =
+
∑
=
… untuk batasan bernotasi =
2.6
m m
m i
b B
x x
a
i i
i j
n j
ij
, 1
,
2 1
1
… +
+ =
= +
−
∑
=
untuk batasan bernotasi ≥
2.7
≥
j
x ,
≥
i
x ,
≥
i
B ,
≥
i
b untuk semua harga
i dan j n
j x
j
, ,
1 ,
… =
= ;
m i
b x
i i
, ,
1 ,
… =
= ;
m m
i b
B
i i
, ,
1 ,
1
… +
= =
Universitas Sumatera Utara
2. Menyusun persamaan – persamaan di dalam tabel awal simpleks.
Tabel 2.2 Bentuk tabel awal simpleks sebelum pivoting
j
c
1
c
r
c
m
c
j
c
k
c Variabel
Basis Harga
Basis
1 B
x …
Br
x …
Bm
x …
j
x …
k
x Jawab
Basis
1 B
x
1 B
c 1
… …
…
j
a
1
…
k
a
1 1
b ⋮
⋮ ⋮
⋮ ⋮
⋮ ⋮
⋮
Br
x
Br
c …
1 …
…
rj
a …
rk
a
r
b ⋮
⋮ ⋮
⋮ ⋮
⋮ ⋮
⋮
Bm
x
Bm
c …
… 1
…
mj
a …
mk
a
m
b imbalan
c z
j j
= −
j j
c z
−
k k
c z
− b
c
B
Langkah – langkah yang digunakan untuk menyelesaikan suatu tabel simpleks adalah sebagai berikut:
Langkah 1 : Mengecek nilai optimal imbalan.
Untuk persoalan maksimal :
k k
c z
− = minimal
} :
{ R
j c
z
j j
∈ −
. Jika
k k
c z
− ≥
maka selesai, berarti jawab atau solusi sudah optimal. Untuk persoalan minimal :
k k
c z
− = maksimal
} :
{ R
j c
z
j j
∈ −
. Jika
k k
c z
− ≤
maka selesai, berarti jawab atau solusi sudah optimal. Harga – harga imbalan
j j
c z
− dapat diperoleh dengan rumus :
j ij
m j
Bi j
j
c a
c c
z −
= −
∑
= 1
2.8
Universitas Sumatera Utara
Untuk : =
j
c Harga dari semua variabel dalam
z . =
ij
a Koefisien dari semua variabel dalam sistem batasan.
=
Bi
c Harga dari variabel.
Langkah 2 : Menentukan variabel yang akan masuk dalam basis.
Untuk persoalan maksimal jika terdapat beberapa ≤
−
j j
c z
maka kolom yang menjadi kolom pivot adalah kolom dengan
j j
c z
− terkecil, dan variabel
yang sehubungan dengan kolom pivot adalah variabel yang masuk kedalam basis. Untuk persoalan minimal jika terdapat beberapa
≥ −
j j
c z
maka kolom yang menjadi kolom pivot adalah kolom dengan
j j
c z
− terbesar, dan variabel yang
sehubungan dengan kolom pivot adalah variabel yang masuk ke dalam basis.
Langkah 3 : Menentukan variabel yang akan keluar dari basis.
Menetapkan variabel
yang keluar
dari basis
yaitu :
imum
m i
rk r
a b
min
1 ≤
≤
=
:
ik ik
a a
b Variabel yang sehubungan dengan baris pivot
yang demikian adalah variabel yang keluar dari basis.
Langkah 4 : Menyusun tabel simpleks baru.
Untuk menyusun tabel simpleks yang baru, maka harus mencari koefisien elemen pivot dari tabel simpleks sebelumnya. Koefisien elemen pivot dapat
dicari dengan menghubungkan kolom pivot dengan baris pivot sedemikian rupa sehingga titik potong kedua pivot ini menunjukkan koefisien, yang disebut elemen
pivot, Koefisien – koefisien baris pivot baru dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut :
rk rj
a a
2.9
Universitas Sumatera Utara
Untuk menghitung nilai baris baru lainnya dilakukan dengan menggunakan rumus sebagai berikut :
ik rk
rj ij
a a
a a
− −
2.10
Langkah 5 : Mengecek nilai optimal imbalan dari tabel simpleks yang baru.
Jika imbalan sudah optimal maka tafsirkan hasil penyelesaian, jika belum optimal maka kembali kepada langkah 2.
Tabel 2.3 Bentuk tabel simpleks sesudah pivoting
j
c
1
c
r
c
m
c
j
c
k
c Variabel
Basis Harga
Basis
1 B
x …
Br
x …
Bm
x …
j
x …
k
x Jawab Basis
1 B
x
1 B
c 1
…
rk rj
a a
− …
…
k rk
rj j
a a
a a
1 1
− …
r rk
k
b a
a b
1 1
− ⋮
⋮ ⋮
⋮ ⋮
⋮ ⋮
⋮
Br
x
Br
c …
rk
a 1
… …
rk rj
a a
… 1
rk r
a b
⋮ ⋮
⋮ ⋮
⋮ ⋮
⋮ ⋮
Bm
x
Bm
c …
rk mk
a a
− …
1 …
mk rk
rj mj
a a
a a
− …
r k
mk m
b a
a b
1
− imbalan
c z
j j
= −
rk k
k
a z
c −
k k
rk rj
j j
c z
y y
c z
− −
−
rk r
k k
B
a b
c z
b c
− −
Universitas Sumatera Utara
Contoh 2.1
Maksimumkan :
2 1
4 3
x x
z +
= Kendala
6 2
2 1
≤ +
x x
9 3
2
2 1
≤ +
x x
1
x ,
2
x ≥
Solusi : Maksimumkan
4 3
2 1
4 3
x x
x x
z +
+ +
= Kendala
6 2
4 3
2 1
= +
+ +
x x
x x
9 3
2
4 3
2 1
= +
+ +
x x
x x
, ,
,
4 3
2 1
≥ x
x x
x Model diatas dapat dibawa ke bentuk tabel simpleks sebagai berikut :
Tabel 2.4 Tabel simpleks untuk iterasi 1 Basis
C 3
4 B
1
x
2
x
3
x
4
x
3
x 2
1 1
6
4
x 2
3 1
9
j j
c z
− -3
-4 Dari tabel 2.4 diatas, tampak bahwa penyelesaian optimal belum dicapai, karena nilai
j j
c z
− masih bernilai 0 masih mengandung harga negatif. Harga
j j
c z
− terkecil
dari tabel diatas adalah -4, sehingga variabel yang masuk dalam basis adalah variabel
2
x , kolom variabel
2
x menjadi kolom pivot, harga
2
x maksimal yang diperkenankan
adalah :
Universitas Sumatera Utara
= =
= 3
3 9
; 6
1 6
2
Min x
Harga 3
2
= x
adalah nilai terkecil positif sehubungan dengan variabel
4
x , sehingga variabel yang meninggalkan basis ialah
4
x , kemudian digantikan dengan variabel
2
x , maka tabel simpleks yang baru adalah :
Tabel 2.5 Tabel simpleks untuk iterasi 2 Basis
C 3
4 B
1
x
2
x
3
x
4
x
3
x 1,3333
1 -0,3333
3
2
x 4
0,6667 1
0,3333 3
j j
c z
− -0,3333
1,3333 12
Dari tabel 2.5 diatas, maka tampak bahwa penyelesaian optimal belum dicapai, karena nilai
j j
c z
− masih bernilai 0 masih mengandung harga negatif. Harga
j j
c z
− terkecil dari tabel diatas adalah -0,3333, sehingga variabel yang masuk dalam basis
adalah variabel
1
x , kolom variabel
1
x menjadi kolom pivot, harga
1
x maksimal yang diperkenankan adalah :
= =
= 5
, 4
6667 ,
3 ;
25 ,
2 333
, 1
3
1
Min x
Harga 25
, 2
1
= x
adalah nilai terkecil positif sehubungan dengan variabel
3
x , sehingga variabel yang meninggalkan basis ialah
3
x , kemudian digantikan dengan variabel
1
x , maka tabel simpleks yang baru adalah :
Tabel 2.6 Tabel simpleks untuk iterasi 3 Basis
C 3
4 B
1
x
2
x
3
x
4
x
Universitas Sumatera Utara
1
x 3
1 0,75
-0,25 2,25
2
x 4
1 -0,5
0,5 1,5
j j
c z
− 0,25
1,25 12,75
Dari tabel 2.6 tidak ada lagi −
j j
c z
, dengan demikian telah dicapai penyelesaian optimal:
25 ,
2
1
= x
; 5
, 1
2
= x
; 75
, 12
= z
2.7 Fuzzy Linier Programming.