I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan cabang ilmu dalam bidang
matematika yang
mempelajari himpunan simpul vertexyang dihubungkan
dengan himpunan sisi edge. Teori ini pertama kali diperkenalkan pada tahun 1736
oleh seorang matematikawan Swiss bernama Leonhard Euler. Ia menggunakan teori graf
untuk
menyelesaikan masalah
jembatan Königsberg.
Teori graf terus berkembang hingga saat ini,pengaplikasiannya dapat dikaitkan dengan
berbagai bidang dalam kehidupan sehari-hari seperti masalah penjadwalan, transportasi,
ilmu komputer, riset operasi, dan lain sebagainya.
Salah satu
yang menjadi
permasalahan dalam
teori graf
ialah bagaimana menandai suatu simpul dan sisi,
sedemikian sehingga setiap simpuldan sisi memiliki tanda yang berbeda. Ada beberapa
metode yang dapat digunakan, salah satunya adalah metode pelabelan.
Pelabelan pada suatu graf merupakan pemetaan injektif yang memetakan unsur
himpunan simpul vertexdan unsur himpunan sisi edgeke bilangan asli yang disebut label
Gallian 2009. Terdapat beberapa jenis pelabelan graf yang dikenal hingga saat ini,
antara lain pelabelan graceful, pelabelan harmoni,
pelabelan total
tak beraturan irregular total, pelabelan ajaib
magic, danpelabelan antiajaib antimagic. Dari bentukpelabelan ajaib magic, ada yang
disebut pelabelan vertex magic, pelabelan super vertex magic, pelabelan total edge
magic ataupun pelabelan super edge magic.
Pada karya ilmiah sebelumnya, Sari 2012 telah membahas tentang pelabelansuper edge
magic pada graf cycle dan graf wheel. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk melengkapi
kajian mengenai pelabelan ajaib magic, dengan pembahasan mengenai pelabelan
super vertex magic. Dalam karya ilmiah ini akan
dibuktikan bahwa
beberapa graf
sederhana yaitu graf path, graf cycle, dan disjoint union darigraf cycle memiliki
pelabelan yang super vertex magic. Sumber utama karya ilmiah ini ialah artikel yang
ditulis Swaminathan Jeyanthi pada tahun 2003.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini ialah: 1.
membuktikan bahwa graf path, grafcycle, dan disjoint union dari graf cycle
memiliki pelabelan super vertex magic. 2.
membuktikan bahwa fungsi bijektif dari himpunan sisike
pada suatu graf dapat diperluas menjadi pelabelan
super vertex magic.
II LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi dalam teori graf dan pelabelan graf
yang akan digunakan dalam pembahasan pada bab-bab selanjutnya.
2.1 Teori Graf
Definisi 1 Graf
Suatu graf adalah pasangan terurut
dengan adalah himpunan takkosong dan berhingga dan
adalah himpunan pasangan tak terurut yang menghubungkan
elemen-elemen Graf dinotasikan
Elemen disebut simpul vertex, node sedangkan elemen
disebut sisi edge. Himpunan dari simpul-simpul pada graf
dinotasikan dengan
sedangkan himpunan
dari sisi-sisi
pada graf
dinotasikan dengan .
Foulds 1992 Misalkan
dan merupakan simpul-simpul suatu graf maka sisi edge dari graf tersebut
ialah . Sebagai contoh, graf pada
Gambar 1 mempunyai }
:
Gambar 1 Graf .
Definisi 2 Graf Taktrivial
Suatu graf disebut graf taktrivialjika
suatu graf memiliki simpulpaling sedikit
dua. Chartrand Oellermann 1993
Berikut ini contoh graf taktrivialdengan 5 simpul.
Gambar 2 Graf taktrivial dengan 5 simpul.
Definisi 3
Order dan Size
Misalkan diberikan graf Banyaknya
simpul vertex pada graf disebut order dan
banyaknya sisi edgedisebut size.Order pada graf
dinotasikan dengan | | dan size pada graf
dinotasikan dengan | |. Chartrand Oellermann 1993
Graf pada Gambar 1 memiliki order | |
dan size| | . Definisi 4
Incident dan Adjacent
Misalkan diberikan graf . Jika
dengan maka dan dikatakan adjacent di dan
dikatakan incident dengan dan . Chartrand Oellermann 1993
Pada Gambar 1, sisi maka
dan dikatakan adjacent di dan
dikatakan incident dengan dan .
Definisi 5 Walk
Suatu walk pada graf adalah
suatu barisan simpul dan sisi dari graf dengan bentuk: {
} dan dapat dituliskan sebagai {
atau . Suatu walk
yang menghubungkan dengan
dikatakan tertutup closed walk jika
. Jika maka walk tersebut dikatakan
terbuka. Foulds 1992
Berdasarkan Gambar 1, terdapat walk terbuka yaitu walk
. Definisi 6
Path
Path pada suatu graf adalah walk
dengan setiap simpulnya berbeda. Graf ber- order
yang berbentuk path disebut graf path ber-order
, dituliskan sebagai .
Chartrand Oellermann 1993 Pada
Gambar 1,
merupakan salah satu contoh path. Definisi 7
Cycle
Cycle pada suatu graf adalah walk
tertutup yang mengandung setidaknya tiga simpul dan semua simpulnya berbeda.
Foulds 1992 Graf ber-order
yang berbentuk disebut
, dan dituliskan sebagai .
Chartrand Oellermann 1993 Contoh graf cycle dengan 5 simpul diberikan
pada Gambar 3.
Gambar 3 Graf cycle dengan 5 simpul. Definisi 8 Graf Terhubungkan
Misalkan dan merupakan simpul
padagraf . Simpul dikatakan dihubungkan
dengan jika mempunyai path .Suatu
graf dikatakan terhubungkanconnected
jika untuk setiap pasangan simpul u dan vdi , maka
dihubungkan dengan dan dikatakan tak terhubungkan disconnected jika terdapat
pasangan simpul dan di , sehingga tidak
ada path .
Chartrand Oellermann 1993 Berikut ini diberikan contoh graf tak
terhubungdisconnected.
Gambar 4 Graf tak terhubung
disconnected.
Definisi 9 Union dari Dua Graf
Misalkan dan
adalah graf dengan himpunan simpul yang disjoint, maka union
dari dan
dituliskan , adalah graf
yang memiliki dan
. Chartrand Oellermann 1993
Definisi 10 Disjoint Uniondari Graf Cycle
Disjoint uniondari
graf cycleadalah
gabungan tak terhubung graf cycle sebanyak m dengan setiap graf memiliki n simpul,
dituliskan Graf
memiliki himpunan simpul
dan himpunan sisi
dengan himpunan simpul setiap graf dapat dituliskan
dengan merupakan
simpul ke-j pada graf cycleke-i dan himpunan sisi setiap graf dapat dituliskan
dengan merupakan sisi
ke-j pada graf cycle ke-i dan untuk
. Swaminathan Jeyanthi 2003
Berikut ini diberikan contoh disjoint uniondari graf cycle. Diberikan 3 graf cycle tak
terhubung dengan setiap graf memiliki 3 simpul, dituliskan
maka dan
dengan himpunan setiap simpul dan sisi pada graf cycle ke-i
dapat ditulis } dan
} dengan seperti pada
Gambar 5.
Gambar 5 Graf .
2.2 Pelabelan Graf
Kategori