I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Masalah transportasi dan distribusi produk dalam
kehidupan sehari-hari
dapat dimodelkan sebagai vehicle routing problem
VRP. Model VRP akan menghasilkan sejumlah rute kendaraan untuk mengunjungi
setiap konsumen. Pada umumnya, setiap rute berawal dan berakhir pada tempat yang sama,
yaitu depot. Selain itu, model VRP juga memastikan agar total permintaan pada suatu
rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang beroperasi.
Permasalahan dapat
terjadi ketika
perusahaan tidak memiliki kendaraan atau banyaknya kendaraan tidak dapat memenuhi
permintaan konsumen, sehingga perusahaan diharuskan
menyewa kendaraan
lain. Kendaraan sewa akan mengunjungi konsumen
dan tidak
kembali ke
depot. Untuk
memecahkan masalah tersebut digunakanlah open vehicle routing problem OVRP yaitu
model VRP dengan rute yang terbuka. Model OVRP berbeda dengan model VRP
karena kendaraan tidak diharuskan untuk kembali ke depot, atau jika kendaraan
diperbolehkan kembali ke depot maka kendaraan
akan mengunjungi
kembali konsumen yang telah dikunjungi sebelumnya
secara terbalik. Oleh karena itu rute kendaraan tidak tertutup tetapi terbuka.
VRP sulit untuk dipecahkan karena merupakan
gabungan antara
masalah kapasitas dan masalah penentuan rute. Salah
satu cara untuk menyelesaikannya adalah dengan menggunakan metode heuristik.
Dalam karya ilmiah ini, metode heuristik akan digunakan untuk mencari solusi dari
OVRP. Solusi tersebut dapat dicari dengan bantuan
software MATLAB
versi 6.5.180913a.
1.2 Tujuan
Karya ilmiah ini disusun dengan tujuan menentukan
himpunan rute
yang meminimumkan total biaya transportasi.
1.3 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penulisan karya ilmiah ini adalah studi literatur. Materi
dari karya ilmiah ini diambil dari artikel yang berjudul A Heuristic Method for the Open
Vehicle Routing Problem yang ditulis oleh D Sariklis dan S Powell pada tahun 2000. Di
samping itu dalam pembuatan karya ilmiah ini, penulis menggunakan beberapa bahan
penunjang dari buku dan situs internet yang terkait dengan topik karya ilmiah ini.
II LANDASAN TEORI
Dalam bab ini akan dibahas mengenai teori-teori yang berkaitan dengan pembahasan
karya ilmiah ini.
2.1 Definisi Dasar Graf
Teori graf pertama kali dikenal sejak Euler 1736 meneliti tentang masalah jembatan
Königsberg. Dua ratus tahun kemudian, pada tahun 1936, Dénes König telah menulis buku
tentang teori graf yang pertama. Dalam periode yang relatif singkat, teori graf
mengalami perkembangan yang sangat pesat.
Definisi 1 Graf
Suatu graf G adalah pasangan terurut dengan V adalah himpunan berhingga
dan takkosong dari elemen graf yang disebut simpul node dan E adalah himpunan
pasangan takterurut mungkin saja himpunan kosong dari simpul-simpul berbeda di V.
Misalkan G graf maka
{ } dengan disebut sisi edge. Sisi { }
dapat dituliskan { } dan boleh disingkat
dengan uv atau vu. Chartrand Oellermann 1993
z v
y x
w
G:
Gambar 1 Graf G=V,E Pada Gambar 1 diperlihatkan graf dengan
{ } dan
{{ } { } { } { }}.
Definisi 2 Graf Trivial dan Taktrivial
Graf yang hanya memiliki sebuah simpul disebut graf trivial sedangkan yang lainnya
adalah graf taktrivial. Chartrand Oellermann 1993
Gambar 2 Graf trivial.
Gambar 3 Graf taktrivial.
Definisi 3 Incident dan Adjacent
Misalkan diberikan
graf Jika
{ } dengan maka u dan v dikatakan adjacent di G dan e
dikatakan incident dengan u dan v. Chartrand Oellermann 1993
Ilustrasi incident dan adjacent diperlihatkan dalam Gambar 4.
v u
w x
e
1
e
2
e
4
e
3
D:
Gambar 4 Graf D. Pada gambar 4, u dan v, v dan w, u dan w,
dan x dan w adjacent di graf D. Sisi e
1
incident dengan u dan v, sisi e
2
incident dengan u dan w, sisi e
3
incident dengan x dan w, dan sisi e
4
incident dengan v dan w.
Definisi 4 Subgraf
Graf H adalah suatu subgraf dari graf G jika
dan Chartrand Oellermann 1993
Pada Gambar 5, graf H adalah subgraf dari graf G pada Gambar 1.
z
y x
w
H:
Gambar 5 Graf H.
Definisi 5 Order dan Size
Banyaknya simpul dari suatu graf G disebut order dari G, dan banyaknya sisi dari
G disebut size dari G. Jadi order dari G adalah dan size dari G adalah Suatu
graf dengan order p dan size q dituliskan sebagai graf
Chartrand Oellermann 1993 v
u
w x
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
D:
Gambar 6 Graf D=p,q dengan order 4 dan size 5.
Definisi 6 Derajat suatu Simpul
Derajat degree dari simpul v, dinyatakan dengan
adalah banyaknya sisi yang
incident dengan v.
Untuk suatu simpul v di G didefinisikan neighborhood
atau yaitu
himpunan simpul yang adjacent dengan v, yaitu:
{ } Jadi
yaitu banyaknya simpul yang adjacent dengan v.
Simpul yang berderajat 0 dinamakan simpul yang terisolasi, dan simpul berderajat 1
disebut simpul ujung end vertex. Chartrand Oellermann 1993
Pada Gambar 1, simpul v memiliki derajat satu sedangkan simpul x memiliki derajat tiga.
Definisi 7 Walk
Walk W pada suatu graf G adalah barisan berhingga,
atau yang dimulai dari suatu
verteks dan berakhir pada suatu verteks juga, sehingga setiap sisi di dalam barisan harus
incident dengan
verteks sebelum
dan sesudahnya.
Chartrand Zhang 2009
Ilustrasi walk pada suatu graf bisa dilihat pada Gambar 6.
adalah walk.
Definisi 8 Path
Path adalah walk dengan setiap simpul yang berbeda.
Chartrand Oellermann 1993 Ilustrasi path bisa dilihat pada Gambar 6.
adalah path.
Definisi 9 Cycle
Cycle adalah walk dengan
dan semua simpulnya berbeda.
Chartrand Oellermann 1993 Ilustrasi cycle bisa dilihat pada Gambar 6.
adalah cycle. Definisi 10 Digraf
Graf berarah digraf adalah pasangan
terurut dengan himpunan takkosong
yang hingga, dan himpunan pasangan
terurut yang menghubungkan elemen-elemen di
. Elemen-elemen dari disebut sisi berarah arc. Sisi berarah
dinyatakan dengan garis berarah dari
ke . Chartrand Zhang 2009
v u
w x
e
1
e
2
e
3
e
4
e
5
Gambar 7 Digraf.
Definisi 11 Grafdigraf berbobot
Suatu graf atau digraf
dikatakan berbobot jika terdapat sebuah fungsi
atau dengan adalah
himpunan bilangan
real yang
memberikan sebuah bilangan real pada setiap sisi di
atau sisi berarah di , disebut bobot. Setiap bobot
dengan atau dinotasikan dengan
Foulds 1992
Definisi 12 Adjacent ke dan Adjacent dari
Jika adalah sebuah sisi berarah
dalam graf D, maka u adjacent ke v, dan v adjacent dari u.
Chartrand Oellermann 1993
Definisi 13 Incident ke dan Incident dari
Jika adalah sebuah sisi berarah
dalam graf D, maka sisi berarah incident dari v, dan incident ke v.
Chartrand Oellermann 1993
Definisi 14 Derajat-masuk, derajat-keluar, dan derajat verteks dalam digraf
Derajat-masuk id dari simpul v dalam
digraf D adalah banyaknya simpul yang adjacent ke v. Derajat-keluar od
dari simpul v dalam digraf D adalah banyaknya
simpul yang adjacent dari v. Derajat dalam digraf D didefinisikan dengan
Chartrand Oellermann 1993 Pada Gambar 7 derajat masuk dari simpul u
adalah 1 dan derajat keluar dari simpul u adalah 1.
Definisi 16
Walk berarah
Walk berarah pada suatu digraf D adalah walk yang sesuai dengan arah sisinya atau
tidak berlawanan arah. Vasudev 2006
Ilustrasi walk berarah pada suatu digraf bisa dilihat pada Gambar 7.
adalah walk berarah. Definisi 17
Path berarah
Path berarah pada suatu digraf adalah walk berarah
dengan semua
verteks dalam
barisannya tidak berulang. Vasudev 2006
Ilustrasi path bisa dilihat pada Gambar 7. adalah path berarah.
Definisi 18 Cycle berarah
Pada graf berarah, cycle adalah path berarah yang tertutup dan takkosong.
Chartrand Oellermann 1993 Ilustrasi cycle berarah bisa dilihat pada
Gambar 7. adalah cycle
berarah.
Definisi 19
Graf Terhubung
dan takterhubung
Misalkan u dan v adalah simpul dalam graf G. Simpul u terhubung ke v jika G
mengandung sebuah path u-v. Graf G disebut graf terhubung jika u terhubung ke v untuk
setiap pasangan u,v dari simpul-simpul di G.
Graf G dikatakan tak terhubung jika terdapat dua simpul u dan v yang tidak memiliki jalur
u v
Chartrand Oellermann 1993
a b
Gambar 8 Graf a terhubung dan b tak terhubung.
Definisi 20 Tree
Tree adalah suatu graf terhubung yang tidak mempunyai cycle.
Foulds 1992 Ilustrasi tree dapat dilihat pada Gambar 9.
u r
w t
v s
x
y z
T:
Gambar 9 Tree.
Teorema 1
Suatu tree berorder p mempunyai size Chartrand Oellermann 1993
Definisi 21 Tree pada digraf
Suatu digraf
terhubung yang
tidak memiliki cycle disebut tree pada digraf.
Chartrand Zhang 2009 Ilustrasi tree untuk digraf dapat dilihat pada
Gambar 10. u
r
w t
v s
x
y z
G:
Gambar 10 Tree pada digraf.
Definisi 22 Subtree
Subtree adalah bagian dari tree yang jika dipisahkan dari tree tersebut, masih tetap tree.
Chartrand Oellermann 1993 Ilustrasi subtree dapat dilihat pada Gambar
11. t
v s
a Gambar 11 Subtree dari graf T.
Definisi 23
Spanning Subgraph
Sebuah subgraf H dari graf G adalah sebuah spanning subgraph dari G jika
Chartrand Oellermann 1993 Graf pada Gambar 8b merupakan spanning
subgraph dari graf pada Gambar 8a. Definisi 24
Spanning Tree
Sebuah tree yang merupakan sebuah spanning subgraph dari graf terhubung G
adalah sebuah spanning tree. Chartrand Zhang 2009
Definisi 25 Jarak dalam graf
Dalam suatu graf taktrivial G dan untuk pasangan simpul
di G, maka jarak antara simpul u dan v, ditulis
atau adalah panjang dari path
yang terpendek di G, jika path ini ada. Jika tidak, maka
didefinisikan bahwa .
Chartrand Oellermann 1993
2.2 Algoritme Prim
Kategori