Penyelesaian open vehicle routing problem menggunakan metode heuristik

SISWANDI and FARIDA HANUM.

This research is study of literature from the journal entitled A Heuristic Method for The Open Vehicle Routing Problem prepared by D Sariklis and S Powell in 2000. The issue is about management of goods distribution with a vehicle route that starts from the depot and stopped at the end customer, the vehicle is not required to return to the depot and each customer is visited by exactly one vehicle and its demand is totally satisfied. The objective is to generate the set of route that minimize the total travelling cost.

This problem is an open problem to be solved using heuristic methods. The heuristic methods used in this study using Prim’s algorithm to find minimum spanning tree (MST) and the penalty method to modify the MST in order to form a chain. The heuristic methods are used to generate the set of routes that form a chain.

Heuristik. Dibimbing oleh SISWANDI dan FARIDA HANUM.

Penelitan ini adalah studi literatur dari jurnal yang berjudul A Heuristic Method for The Open Vehicle Routing Problem yang disusun oleh D Sariklis dan S Powell pada tahun 2000. Permasalahannya adalah tentang manajemen distribusi barang dengan rute kendaraan yang dimulai dari depot dan berhenti di konsumen akhir, kendaraan tidak diperlukan untuk kembali ke depot dan setiap konsumen hanya dikunjungi oleh tepat satu kendaraan dan permintaan terpenuhi. Penelitian ini bertujuan menentukan himpunan rute yang meminimumkan total biaya perjalanan.

Permasalahan ini merupakan masalah terbuka yang akan diselesaikan dengan menggunakan metode heuristik. Metode heuristik yang digunakan dalam penelitian ini menggunakan algoritme Prim untuk mencari minimum spanning tree (MST) dan metode penalti untuk memodifikasi MST agar terbentuk suatu rantai. Metode heuristik yang digunakan akan menghasilkan himpunan rute yang berupa rantai.

Masalah transportasi dan distribusi produk dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan sebagai vehicle routing problem (VRP). Model VRP akan menghasilkan sejumlah rute kendaraan untuk mengunjungi setiap konsumen. Pada umumnya, setiap rute berawal dan berakhir pada tempat yang sama, yaitu depot. Selain itu, model VRP juga memastikan agar total permintaan pada suatu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang beroperasi.

Permasalahan dapat terjadi ketika perusahaan tidak memiliki kendaraan atau banyaknya kendaraan tidak dapat memenuhi permintaan konsumen, sehingga perusahaan diharuskan menyewa kendaraan lain. Kendaraan sewa akan mengunjungi konsumen dan tidak kembali ke depot. Untuk memecahkan masalah tersebut digunakanlah open vehicle routing problem (OVRP) yaitu model VRP dengan rute yang terbuka.

Model OVRP berbeda dengan model VRP karena kendaraan tidak diharuskan untuk kembali ke depot, atau jika kendaraan diperbolehkan kembali ke depot maka kendaraan akan mengunjungi kembali konsumen yang telah dikunjungi sebelumnya secara terbalik. Oleh karena itu rute kendaraan tidak tertutup tetapi terbuka.

merupakan gabungan antara masalah kapasitas dan masalah penentuan rute. Salah satu cara untuk menyelesaikannya adalah dengan menggunakan metode heuristik.

Dalam karya ilmiah ini, metode heuristik akan digunakan untuk mencari solusi dari OVRP. Solusi tersebut dapat dicari dengan bantuan software MATLAB versi 6.5.180913a.

1.2 Tujuan

Karya ilmiah ini disusun dengan tujuan menentukan himpunan rute yang meminimumkan total biaya transportasi. 1.3 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penulisan karya ilmiah ini adalah studi literatur. Materi dari karya ilmiah ini diambil dari artikel yang berjudul A Heuristic Method for the Open Vehicle Routing Problem yang ditulis oleh D Sariklis dan S Powell pada tahun 2000. Di samping itu dalam pembuatan karya ilmiah ini, penulis menggunakan beberapa bahan penunjang dari buku dan situs internet yang terkait dengan topik karya ilmiah ini.

II LANDASAN TEORI

Dalam bab ini akan dibahas mengenai teori-teori yang berkaitan dengan pembahasan karya ilmiah ini.

2.1 Definisi Dasar Graf

Teori graf pertama kali dikenal sejak Euler (1736) meneliti tentang masalah jembatan Königsberg. Dua ratus tahun kemudian, pada tahun 1936, Dénes König telah menulis buku tentang teori graf yang pertama. Dalam periode yang relatif singkat, teori graf mengalami perkembangan yang sangat pesat. Definisi 1 (Graf)

Suatu graf G adalah pasangan terurut

dengan V adalah himpunan berhingga dan takkosong dari elemen graf yang disebut simpul (node) dan E adalah himpunan pasangan takterurut (mungkin saja himpunan kosong) dari simpul-simpul berbeda di V. Misalkan G graf maka { } (dengan

) disebut sisi (edge). Sisi { } dapat dituliskan { } dan boleh disingkat dengan uv atau vu.

(Chartrand & Oellermann 1993)

z

v

y x w

G

:

Gambar 1 Graf G=(V,E) Pada Gambar 1 diperlihatkan graf dengan

{ } dan

Masalah transportasi dan distribusi produk dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan sebagai vehicle routing problem (VRP). Model VRP akan menghasilkan sejumlah rute kendaraan untuk mengunjungi setiap konsumen. Pada umumnya, setiap rute berawal dan berakhir pada tempat yang sama, yaitu depot. Selain itu, model VRP juga memastikan agar total permintaan pada suatu rute tidak melebihi kapasitas kendaraan yang beroperasi.

Permasalahan dapat terjadi ketika perusahaan tidak memiliki kendaraan atau banyaknya kendaraan tidak dapat memenuhi permintaan konsumen, sehingga perusahaan diharuskan menyewa kendaraan lain. Kendaraan sewa akan mengunjungi konsumen dan tidak kembali ke depot. Untuk memecahkan masalah tersebut digunakanlah open vehicle routing problem (OVRP) yaitu model VRP dengan rute yang terbuka.

Model OVRP berbeda dengan model VRP karena kendaraan tidak diharuskan untuk kembali ke depot, atau jika kendaraan diperbolehkan kembali ke depot maka kendaraan akan mengunjungi kembali konsumen yang telah dikunjungi sebelumnya secara terbalik. Oleh karena itu rute kendaraan tidak tertutup tetapi terbuka.

merupakan gabungan antara masalah kapasitas dan masalah penentuan rute. Salah satu cara untuk menyelesaikannya adalah dengan menggunakan metode heuristik.

Dalam karya ilmiah ini, metode heuristik akan digunakan untuk mencari solusi dari OVRP. Solusi tersebut dapat dicari dengan bantuan software MATLAB versi 6.5.180913a.

1.2 Tujuan

Karya ilmiah ini disusun dengan tujuan menentukan himpunan rute yang meminimumkan total biaya transportasi. 1.3 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penulisan karya ilmiah ini adalah studi literatur. Materi dari karya ilmiah ini diambil dari artikel yang berjudul A Heuristic Method for the Open Vehicle Routing Problem yang ditulis oleh D Sariklis dan S Powell pada tahun 2000. Di samping itu dalam pembuatan karya ilmiah ini, penulis menggunakan beberapa bahan penunjang dari buku dan situs internet yang terkait dengan topik karya ilmiah ini.

II LANDASAN TEORI

Dalam bab ini akan dibahas mengenai teori-teori yang berkaitan dengan pembahasan karya ilmiah ini.

2.1 Definisi Dasar Graf

Teori graf pertama kali dikenal sejak Euler (1736) meneliti tentang masalah jembatan Königsberg. Dua ratus tahun kemudian, pada tahun 1936, Dénes König telah menulis buku tentang teori graf yang pertama. Dalam periode yang relatif singkat, teori graf mengalami perkembangan yang sangat pesat. Definisi 1 (Graf)

Suatu graf G adalah pasangan terurut

dengan V adalah himpunan berhingga dan takkosong dari elemen graf yang disebut simpul (node) dan E adalah himpunan pasangan takterurut (mungkin saja himpunan kosong) dari simpul-simpul berbeda di V. Misalkan G graf maka { } (dengan

) disebut sisi (edge). Sisi { } dapat dituliskan { } dan boleh disingkat dengan uv atau vu.

(Chartrand & Oellermann 1993)

z

v

y x w

G

:

Gambar 1 Graf G=(V,E) Pada Gambar 1 diperlihatkan graf dengan

{ } dan

Definisi 2 (Graf Trivial dan Taktrivial) Graf yang hanya memiliki sebuah simpul disebut graf trivial sedangkan yang lainnya adalah graf taktrivial.

(Chartrand & Oellermann 1993)

Gambar 2 Graf trivial.

Gambar 3 Graf taktrivial. Definisi 3 (Incident dan Adjacent)

Misalkan diberikan graf Jika { } dengan maka u dan v dikatakan adjacent di G dan e dikatakan incident dengan u dan v.

(Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi incident dan adjacent diperlihatkan dalam Gambar 4.

v u

w x

e1

e2 _e4

e3

D

:

Gambar 4 Graf D.

Pada gambar 4, u dan v, v dan w, u dan w, dan x dan w adjacent di graf D. Sisi e1 incident dengan u dan v, sisi e2 incident dengan u dan w, sisi e3 incident dengan x dan w, dan sisi e4 incident dengan v dan w. Definisi 4 (Subgraf)

Graf H adalah suatu subgraf dari graf G jika dan

(Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 5, graf H adalah subgraf dari graf G pada Gambar 1.

z

y x w

H

:

Gambar 5 Graf H. Definisi 5 (Order dan Size)

Banyaknya simpul dari suatu graf G disebut order dari G, dan banyaknya sisi dari G disebut size dari G. Jadi order dari G adalah

dan size dari G adalah Suatu graf dengan order p dan size q dituliskan sebagai graf

(Chartrand & Oellermann 1993) v u

w x

e1

e2

e3 e4

e5

D

:

Gambar 6 Graf D=(p,q) dengan order 4 dan size 5.

Definisi 6 (Derajat suatu Simpul)

Derajat (degree) dari simpul v, dinyatakan dengan adalah banyaknya sisi yang incident dengan v.

Untuk suatu simpul v di G didefinisikan neighborhood atau yaitu himpunan simpul yang adjacent dengan v, yaitu:

{ }

Jadi yaitu banyaknya simpul yang adjacent dengan v.

Simpul yang berderajat 0 dinamakan simpul yang terisolasi, dan simpul berderajat 1 disebut simpul ujung (end vertex).

(Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 1, simpul v memiliki derajat satu sedangkan simpul x memiliki derajat tiga. Definisi 7 (Walk)

Walk W pada suatu graf G adalah barisan berhingga, atau

yang dimulai dari suatu verteks dan berakhir pada suatu verteks juga, sehingga setiap sisi di dalam barisan harus incident dengan verteks sebelum dan sesudahnya.

Ilustrasi walk pada suatu graf bisa dilihat pada Gambar 6. adalah walk. Definisi 8 (Path)

Path adalah walk dengan setiap simpul yang berbeda.

(Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi path bisa dilihat pada Gambar 6.

adalah path. Definisi 9 (Cycle)

Cycle adalah walk dengan

dan semua simpulnya berbeda.

(Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi cycle bisa dilihat pada Gambar 6.

adalah cycle. Definisi 10 (Digraf)

Graf berarah (digraf) adalah pasangan terurut dengan himpunan takkosong yang hingga, dan himpunan pasangan terurut yang menghubungkan elemen-elemen di . Elemen-elemen dari disebut sisi berarah (arc). Sisi berarah dinyatakan dengan garis berarah dari ke .

(Chartrand & Zhang 2009)

v

u

w x

e1 e2

e3 _e4

e5 Gambar 7 Digraf. Definisi 11 (Graf/digraf berbobot)

Suatu graf atau digraf

dikatakan berbobot jika terdapat sebuah fungsi atau (dengan adalah himpunan bilangan real) yang memberikan sebuah bilangan real pada setiap sisi di atau sisi berarah di , disebut bobot. Setiap bobot dengan atau dinotasikan dengan

(Foulds 1992) Definisi 12 (Adjacent ke dan Adjacent dari)

Jika adalah sebuah sisi berarah dalam graf D, maka u adjacent ke v, dan v adjacent dari u.

(Chartrand & Oellermann 1993)

Definisi 13 (Incident ke dan Incident dari) Jika adalah sebuah sisi berarah dalam graf D, maka sisi berarah incident dari v, dan incident ke v.

(Chartrand & Oellermann 1993) Definisi 14 (Derajat-masuk, derajat-keluar, dan derajat verteks dalam digraf)

Derajat-masuk id dari simpul v dalam digraf D adalah banyaknya simpul yang adjacent ke v. Derajat-keluar od dari simpul v dalam digraf D adalah banyaknya simpul yang adjacent dari v. Derajat dalam digraf D didefinisikan dengan

(Chartrand & Oellermann 1993) Pada Gambar 7 derajat masuk dari simpul u adalah 1 dan derajat keluar dari simpul u adalah 1.

Definisi 16 (Walk berarah)

Walk berarah pada suatu digraf D adalah walk yang sesuai dengan arah sisinya atau tidak berlawanan arah.

(Vasudev 2006) Ilustrasi walk berarah pada suatu digraf bisa dilihat pada Gambar 7. adalah walk berarah.

Definisi 17 (Path berarah)

Path berarah pada suatu digraf adalah walk berarah dengan semua verteks dalam barisannya tidak berulang.

(Vasudev 2006) Ilustrasi path bisa dilihat pada Gambar 7.

adalah path berarah. Definisi 18 (Cycle berarah)

Pada graf berarah, cycle adalah path berarah yang tertutup dan takkosong.

(Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi cycle berarah bisa dilihat pada Gambar 7. adalah cycle berarah.

Definisi 19 (Graf Terhubung dan takterhubung)

Misalkan u dan v adalah simpul dalam graf G. Simpul u terhubung ke v jika G mengandung sebuah path u-v. Graf G disebut graf terhubung jika u terhubung ke v untuk setiap pasangan u,v dari simpul-simpul di G.

Graf G dikatakan tak terhubung jika terdapat dua simpul u dan v yang tidak memiliki jalur u v

(Chartrand & Oellermann 1993)

(a) (b)

Gambar 8 Graf (a) terhubung dan (b) tak terhubung.

Definisi 20 (Tree)

Tree adalah suatu graf terhubung yang tidak mempunyai cycle.

(Foulds 1992) Ilustrasi tree dapat dilihat pada Gambar 9.

u

r

w t

v _s

x

y z

T

:

Gambar 9 Tree. Teorema 1

Suatu tree berorder p mempunyai size

(Chartrand & Oellermann 1993) Definisi 21 (Tree pada digraf)

Suatu digraf terhubung yang tidak memiliki cycle disebut tree pada digraf.

(Chartrand & Zhang 2009) Ilustrasi tree untuk digraf dapat dilihat pada Gambar 10.

u

r

w t

v _s

x

y z

G

:

Gambar 10 Tree pada digraf. Definisi 22 (Subtree)

Subtree adalah bagian dari tree yang jika dipisahkan dari tree tersebut, masih tetap tree.

(Chartrand & Oellermann 1993) Ilustrasi subtree dapat dilihat pada Gambar 11.

t

v _s

a

Gambar 11 Subtree dari graf T. Definisi 23 (Spanning Subgraph)

Sebuah subgraf H dari graf G adalah sebuah spanning subgraph dari G jika

(Chartrand & Oellermann 1993) Graf pada Gambar 8(b) merupakan spanning subgraph dari graf pada Gambar 8(a).

Definisi 24 (Spanning Tree)

Sebuah tree yang merupakan sebuah spanning subgraph dari graf terhubung G adalah sebuah spanning tree.

(Chartrand & Zhang 2009) Definisi 25 (Jarak dalam graf)

Dalam suatu graf taktrivial G dan untuk pasangan simpul di G, maka jarak antara simpul u dan v, ditulis atau adalah panjang dari path yang terpendek di G, jika path ini ada. Jika tidak, maka didefinisikan bahwa .

2.2 Algoritme Prim

Ada beberapa algoritme yang dapat digunakan untuk menentukan minimum spanning tree pada graf berbobot yang terhubung. Salah satu algoritme tersebut adalah algoritme Prim yang akan digunakan dalam karya ilmiah ini. Algoritme Prim digunakan pada graf berbobot yang taktrivial dengan p menyatakan order dari graf G dan q menyatakan size dari graf G.

Metode dari algoritme Prim adalah mengganti tree T dalam graf berbobot G yang terhubungkan dengan tree baru. Tree baru dibentuk dengan menambahkan sebuah sisi yang memiliki bobot minimum yang menghubungkan verteks dari T ke verteks yang tidak di T. Langkah-langkah algoritme Prim adalah sebagai berikut :

1. [Inisialisasi tree T]

Misalkan u sembarang simpul di G dan

.

2. [Update tree T]

Jika v adalah simpul dengan jarak minimum ke u, maka

3. [Memeriksa apakah sebuah minimum spanning tree sudah terbentuk]

Jika dengan p adalah size dari graf T, maka keluarannya adalah

Jika tidak, maka kembali ke Langkah 2.

(Chartrand & Oellermann 1993) Contoh pemakaian algoritme Prim

Diberikan G adalah graf berbobot seperti pada Gambar 12.

a b c d e f g 5 6 7 9 8 7 15 5 8 9 11

Gambar 12 Graf berbobot G.

Jika dipilih d sebagai simpul awal, maka dengan algoritme Prim didapat minimum spanning tree dengan proses sebagai berikut : 1. a adalah simpul yang terhubung ke d

dengan bobot terkecil sehingga dipilih sisi da (lihat Gambar 13).

a b c d e f g 5 6 7 9 8 7 15 5 8 9 11

Gambar 13 Sisi da hasil dari algoritme Prim tahap ke-1.

2. Simpul berikutnya yang dipilih adalah simpul dengan bobot terkecil terhadap d atau a. Sisi ab memiliki bobot 7, db berbobot 9, de berbobot 15, dan df berbobot 6, sehingga sisi df dipilih sebagai sisi yang memiliki bobot terkecil (lihat Gambar 14). a b c d e f g 5 6 7 9 8 7 15 5 8 9 11

Gambar 14 Sisi df hasil dari algoritme Prim tahap ke-2.

3. Algoritme dilanjutkan seperti tahap sebelumnya. Sisi ab dipilih sebagai sisi yang memiliki bobot terkecil terhadap sisi-sisi yang incident dengan simpul a dan d (lihat Gambar 15).

a b c d e f g 5 6 7 9 8 7 15 5 8 9 11

Gambar 15 Sisi ab hasil dari algoritme Prim tahap ke-3.

4. Sisi be dipilih sebagai sisi yang memiliki bobot terkecil (lihat Gambar 16).

a

b

c

d

e

f

g

5

6

7 9

8 7

15

5

8 9

11

Gambar 16 Sisi be hasil dari algoritme Prim tahap ke-4.

5. Sisi ec dipilih sebagai sisi yang memiliki bobot terkecil (lihat Gambar 17).

a

b

c

d

e

f

g

5

6

7 9

8 7

15

5

8 9

11

Gambar 17 Sisi ec hasil dari algoritme Prim tahap ke-5.

6. Sisi eg dipilih sebagai sisi yang memiliki bobot terkecil (lihat Gambar 18).

Jadi, dihasilkan suatu minimum spanning tree dari graf G seperti pada Gambar 18.

a

b

c

d

e

f

g

5

6

7 7

5

9

Gambar 18 Solusi minimum spanning tree dengan bobot 39.

III PEMBAHASAN

Di dalam karya ilmiah ini akan diperkenalkan sebuah masalah manajemen distribusi, yang disebut open vehicle routing problem (OVRP). Masalah manajemen distribusi OVRP berbeda dengan vehicle routing problem (VRP). Ciri utama permasalahan yang membedakan OVRP dengan VRP adalah kendaraan tidak diharuskan kembali ke depot, namun jika kendaraan diperbolehkan kembali ke depot maka kendaraan akan mengunjungi kembali konsumen melalui rute sebelumnya secara terbalik.

OVRP bisa dijelaskan sebagai berikut. Misalkan terdapat sebuah depot dan himpunan konsumen yang memiliki permintaan terhadap barang. Pada depot terdapat sejumlah kendaraan transportasi. Setiap kendaraan memiliki kapasitas maksimum barang yang bisa dibawa dan tiap kendaraan juga memiliki biaya operasional. Biaya perjalanan antara depot dan semua konsumen, seperti juga dari konsumen ke konsumen, diketahui.

Permasalahannya adalah menentukan total biaya perjalanan yang minimum dan memenuhi tiga kriteria berikut:

i. setiap rute berawal dari depot dan berakhir pada konsumen,

ii. setiap konsumen hanya dikunjungi oleh tepat satu kendaraan dan permintaannya terpenuhi,

iii. total permintaan konsumen yang dikunjungi di setiap rute kurang dari atau sama dengan kapasitas kendaraan yang bertugas di rute tersebut.

Tujuannya adalah menentukan rute perjalanan yang meminimumkan total biaya perjalanan dan biaya pemakaian kendaraan.

Di dalam OVRP terdapat beberapa kondisi yang mungkin muncul ketika kendaraan melakukan pendistribusian barang dari depot ke konsumen, di antaranya:

i. kendaraan berangkat dari depot dan berhenti di konsumen akhir,

ii. kendaraan berangkat dari depot dan berhenti di konsumen akhir, lalu kembali lagi ke depot dengan melalui rute yang telah dilewati sebelumnya secara terbalik.

a

b

c

d

e

f

g

5

6

7 9

8 7

15

5

8 9

11

Gambar 16 Sisi be hasil dari algoritme Prim tahap ke-4.

5. Sisi ec dipilih sebagai sisi yang memiliki bobot terkecil (lihat Gambar 17).

a

b

c

d

e

f

g

5

6

7 9

8 7

15

5

8 9

11

Gambar 17 Sisi ec hasil dari algoritme Prim tahap ke-5.

6. Sisi eg dipilih sebagai sisi yang memiliki bobot terkecil (lihat Gambar 18).

Jadi, dihasilkan suatu minimum spanning tree dari graf G seperti pada Gambar 18.

a

b

c

d

e

f

g

5

6

7 7

5

9

Gambar 18 Solusi minimum spanning tree dengan bobot 39.

III PEMBAHASAN

Di dalam karya ilmiah ini akan diperkenalkan sebuah masalah manajemen distribusi, yang disebut open vehicle routing problem (OVRP). Masalah manajemen distribusi OVRP berbeda dengan vehicle routing problem (VRP). Ciri utama permasalahan yang membedakan OVRP dengan VRP adalah kendaraan tidak diharuskan kembali ke depot, namun jika kendaraan diperbolehkan kembali ke depot maka kendaraan akan mengunjungi kembali konsumen melalui rute sebelumnya secara terbalik.

OVRP bisa dijelaskan sebagai berikut. Misalkan terdapat sebuah depot dan himpunan konsumen yang memiliki permintaan terhadap barang. Pada depot terdapat sejumlah kendaraan transportasi. Setiap kendaraan memiliki kapasitas maksimum barang yang bisa dibawa dan tiap kendaraan juga memiliki biaya operasional. Biaya perjalanan antara depot dan semua konsumen, seperti juga dari konsumen ke konsumen, diketahui.

Permasalahannya adalah menentukan total biaya perjalanan yang minimum dan memenuhi tiga kriteria berikut:

i. setiap rute berawal dari depot dan berakhir pada konsumen,

ii. setiap konsumen hanya dikunjungi oleh tepat satu kendaraan dan permintaannya terpenuhi,

iii. total permintaan konsumen yang dikunjungi di setiap rute kurang dari atau sama dengan kapasitas kendaraan yang bertugas di rute tersebut.

Tujuannya adalah menentukan rute perjalanan yang meminimumkan total biaya perjalanan dan biaya pemakaian kendaraan.

Di dalam OVRP terdapat beberapa kondisi yang mungkin muncul ketika kendaraan melakukan pendistribusian barang dari depot ke konsumen, di antaranya:

i. kendaraan berangkat dari depot dan berhenti di konsumen akhir,

ii. kendaraan berangkat dari depot dan berhenti di konsumen akhir, lalu kembali lagi ke depot dengan melalui rute yang telah dilewati sebelumnya secara terbalik.

Permasalahan pada kendaraan yang berhenti di konsumen akhir namun tidak kembali ke depot dapat terjadi pada perusahaan yang tidak memiliki kendaraan sendiri, atau kendaraan yang dimiliki tidak mencukupi untuk mendistribusikan barang ke konsumen, sehingga perusahaan diharuskan menyewa kendaraan lain. Kendaraan sewa akan mengunjungi konsumen dan tidak kembali lagi ke depot.

Permasalahan pada kendaraan yang kembali ke depot dengan rute terbalik dapat ditemui dalam proses pengiriman dan pengumpulan tabung gas elpiji. Kendaraan mengunjungi setiap konsumen dan mengirimkan tabung gas elpiji yang telah dipesan. Ketika kendaraan mencapai konsumen akhir dan barang pesanan yang ada di dalam kendaraan telah kosong, maka kendaraan kembali ke depot sambil mengumpulkan tabung gas elpiji yang kosong dari konsumen dengan melalui rute yang sama namun dengan rute terbalik secara berurutan.

Misalkan terdapat dua konsumen, dan diasumsikan bahwa jarak dari konsumen pertama ke konsumen kedua sama dengan jarak dari konsumen kedua ke konsumen pertama. Rute pengumpulan barang akan melalui rute yang sama dengan rute pengiriman, namun konsumen akhir pada rute pengiriman dikunjungi terlebih dahulu dan kendaraan berakhir di depot. Untuk selanjutnya hanya kondisi (ii) yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini.

Untuk menentukan rute kendaraan yang meminimumkan total biaya perjalanan dan meminimumkan biaya pemakaian kendaraan, akan digunakan suatu metode heuristik. 3.1 Metode Heuristik

Metode heuristik yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini merupakan metode yang terdiri atas dua fase berurutan yaitu fase pembentukan cluster lalu diikuti dengan fase penentuan rute (lihat Gambar 19).

Gambar 19 Metode heuristik untuk OVRP.

OVRP Pembentukan cluster

yang seimbang Penentuan rute

Pembentukan cluster

Pembentukan cluster

Pembentukan minimum spanning tree

Pemodifikasian minimum spanning tree

Pengubahan solusi taklayak ke solusi layak

Penghapusan sisi

Pelabelan simpul

Pembentukan solusi layak

3.1.1 Fase I: Pembentukan cluster yang seimbang

Fase pertama dari metode heuristik adalah fase pembentukan cluster yaitu himpunan yang berisi konsumen. Setiap konsumen dalam cluster memiliki permintaan barang. Cluster memiliki kapasitas berupa total semua permintaan barang yang selanjutnya disebut sebagai kapasitas cluster. Setiap konsumen yang ada di dalam cluster hanya dikunjungi oleh satu kendaraan pengantar barang.

Generalised customer adalah himpunan terurut yang anggotanya terdiri atas konsumen dan depot dengan depot sebagai anggota pertama. Setiap konsumen dalam generalised customer memiliki permintaan barang terhadap depot dan memiliki biaya perjalanan ke konsumen yang lainnya.

Fase pembentukan cluster memiliki dua tahap. Tahap pertama adalah membentuk cluster berdasarkan permintaan barang dari konsumen. Tahap kedua adalah mengubah komposisi permintaan barang konsumen di dalam cluster dengan tujuan meminimumkan total biaya perjalanan dari tiap cluster. Tahap 1: Pembentukan cluster

Tahap awal dari fase pertama adalah tahap pembentukan cluster. Prosedur pembentukan cluster adalah sebagai berikut:

1 Semua konsumen dalam generalised customer diberi nama berupa angka yang dimulai dari 2 sedangkan depot adalah 1. 2 Dipilih satu konsumen yang memiliki

permintaan tidak melebihi sisa kapasitas cluster dan memiliki biaya perjalanan yang minimum dari konsumen tersebut ke konsumen lainnya dalam generalised customer.

3 Pada tahap awal, kapasitas cluster adalah jumlah maksimum barang yang bisa dibawa oleh kendaraan. Jika dalam pemilihan konsumen terdapat beberapa konsumen yang memiliki biaya sama, maka konsumen dengan permintaan maksimum yang dipilih.

4 Jika terdapat beberapa konsumen dengan permintaan maksimum sama, maka konsumen dipilih berdasarkan urutan angka.

5 Konsumen yang telah dipilih dimasukkan ke dalam cluster.

6 Prosedur ini diulang hingga semua konsumen dalam generalised customer berhasil ditempatkan ke dalam cluster.

Tahap 2: Penyeimbangan cluster

Pada tahap ini akan dilakukan penyeimbangan cluster. Tujuan dari tahap ini adalah meminimumkan total biaya perjalanan tiap cluster. Prosedur penyeimbangan cluster adalah sebagai berikut:

1 Dipilih cluster yang memiliki total permintaan barang yang maksimum. 2 Jika dalam pemilihan cluster terdapat

beberapa cluster yang memiliki total permintaan yang sama, maka dipilih cluster yang pertama kali terbentuk. 3 Konsumen akhir dari cluster tersebut akan

dipilih kembali jika terdapat cluster lain yang memiliki sisa kapasitas lebih besar atau sama dengan permintaan konsumen yang dipilih.

4 Jika terdapat dua atau lebih cluster yang memiliki sisa kapasitas untuk konsumen tersebut, maka konsumen ditempatkan ke cluster yang memiliki sisa kapasitas terbesar.

Prosedur ini diulang sampai konsumen akhir dari semua cluster tidak dapat ditempatkan ke dalam cluster lainnya. Jika konsumen akhir dari tiap-tiap cluster tidak bisa ditempatkan ke cluster lain, maka cluster-cluster ini disebut cluster yang seimbang.

3.1.2 Fase II: Penentuan rute

Fase kedua dari metode heuristik adalah fase penentuan rute. Rute adalah urutan pemesanan barang oleh konsumen yang dimulai dari depot. Konsumen yang memiliki biaya perjalanan minimum ke depot akan dikunjungi terlebih dahulu. Kunjungan terhadap setiap konsumen dalam suatu rute hanya sekali dan berhenti pada konsumen akhir. Biaya suatu rute adalah total biaya perjalanan kendaraan ke setiap konsumen pada rute tersebut.

Rute kendaraan dapat dinyatakan dalam bentuk graf berarah dengan setiap konsumen dan depot dinyatakan dengan simpul dan sisi berarahnya sebagai biaya perjalanan antara depot ke konsumen atau biaya perjalanan antara konsumen ke konsumen. Rute yang diinginkan berupa rantai yaitu suatu walk dengan syarat derajat masuk simpul depot adalah 0, derajat keluar simpul depot adalah 1, dan derajat masuk dan derajat keluar semua simpul konsumen adalah 1 kecuali konsumen akhir yang memiliki derajat masuk 1 dan derajat keluarnya 0. Contoh rantai dengan depot simpul 1 dan konsumen akhir simpul 6 diperlihatkan pada Gambar 20.

1 2

3

4

5 6

Gambar 20 Rantai.

Fase penentuan rute memiliki tiga tahap, yaitu:

i. tahap pembentukan minimum spanning tree (MST),

ii. tahap pemodifikasian MST, dan

iii. tahap pengubahan solusi taklayak menjadi layak.

Jika hasil yang diperoleh dari tahap pertama berupa rantai, maka fase penentuan rute selesai; jika tidak, maka dua tahap selanjutnya dari fase ini harus dilakukan. Berikut ini adalah penjelasan dari setiap tahap. Tahap 1: Pembentukan MST

Pada tahap ini, akan dibentuk MST dari setiap cluster dengan menggunakan algoritme Prim. Algoritme ini digunakan sebagai tahap awal menyelesaikan masalah optimasi. Solusi optimum global yang didapatkan belum tentu solusi optimum (terbaik) karena tidak beroperasi secara menyeluruh terhadap semua alternatif solusi yang ada. Namun begitu algoritme ini tetap merupakan pilihan utama untuk memecahkan permasalahan sederhana karena metode ini merupakan salah satu yang paling cepat. Metode ini juga dapat memberikan solusi hampiran atau aproksimasi terhadap nilai optimum yang diinginkan dan hasil yang diberikan masih merupakan solusi yang layak.

Tahap 2: Pemodifikasian MST

Pada tahap kedua akan digunakan prosedur penalti simpul untuk memodifikasi solusi minimum spanning tree. Misalkan Nc

adalah banyaknya konsumen pada cluster c. Misalkan simpul i adalah simpul konsumen dalam suatu cluster sehingga sedangkan simpul 1 adalah simpul depot. Misalkan adalah derajat dari simpul i,

dengan adalah derajat simpul

depot. Jika suatu simpul memiliki derajat yang tidak sama dengan syarat suatu rantai, maka simpul tersebut adalah simpul taklayak.

1 2

3

6

7 8

5 4

Gambar 21 Rantai bersimpul taklayak. Pada Gambar 21, simpul 3 adalah simpul taklayak karena memiliki derajat-masuk 1 dan memiliki derajat-keluar 3. Ketaklayakan suatu simpul adalah selisih derajat simpul graf G dengan simpul-simpul pada suatu graf berbentuk rantai.

Ketaklayakan dari simpul depot didefinisikan sebagai berikut:

dan ketaklayakan dari simpul konsumen adalah:

{

untuk . Total ketaklayakan untuk simpul konsumen dengan adalah:

∑

Total ketaklayakan untuk simpul konsumen dengan adalah:

∑

Total ketaklayakan dari suatu cluster adalah:

Ketaklayakan simpul akan dihilangkan dengan menggunakan prosedur penalti untuk setiap simpul. Jika simpul tersebut adalah depot, maka penalti didefinisikan sebagai berikut:

dengan Tidak ada aturan khusus dalam menentukan nilai p.

Pada tahap ini akan digunakan dua prosedur penalti yang berbeda terhadap simpul konsumen. Kedua prosedur penalti tersebut adalah:

{

dengan adalah derajat simpul sebelum simpul i.

Prosedur penalti kedua berbeda dengan prosedur penalti yang pertama. Pada prosedur penalti kedua, nilai penalti dari simpul i juga dipengaruhi oleh nilai dari derajat simpul sebelum simpul i yaitu Tujuan dari penggunaan dua prosedur penalti yang berbeda adalah untuk membandingkan hasil yang diperoleh dari keduanya.

Langkah-langkah pemakaian metode penalti pertama:

1. Tentukan nilai awal dan nilai maksimum penalti p.

2. Tentukan kenaikan nilai p dan maksimum jumlah iterasinya.

3. Gunakan prosedur penalti pertama. 4. Nilai ̅ diperbarui dengan

menggunakan:

̅ Jika ̅ maka sisi dihapus. 5. Prosedur akan berhenti ketika diperoleh

suatu rantai atau maksimum iterasi dicapai. Jika rantai belum diperoleh atau maksimum iterasi belum dicapai, maka ulangi langkah 4.

Langkah-langkah pemakaian metode penalti kedua:

1. Tentukan nilai awal dan nilai maksimum penalti p.

2. Tentukan kenaikan nilai p dan maksimum jumlah iterasinya.

3. Gunakan prosedur penalti kedua.

4. Nilai ̅ diperbarui dengan menggunakan:

̅ Jika ̅ maka sisi dihapus. 5. Prosedur akan berhenti ketika diperoleh

suatu rantai atau maksimum iterasi dicapai. Jika rantai belum diperoleh atau maksimum iterasi belum dicapai, maka ulangi langkah 4.

Prosedur penalti diulangi untuk nilai p yang berbeda sesuai dengan kenaikan nilai p yang telah ditentukan hingga mencapai nilai maksimum p.

Tahap 3: Pengubahan solusi taklayak menjadi layak

Tahap ketiga dari fase ini adalah mengubah solusi taklayak menjadi layak. Ada tiga langkah dalam tahap ini, yaitu:

i penghapusan sisi berarah, ii pelabelan simpul,

iii pembentukan solusi layak.

Berikut ini diberikan penjelasan dari tiap-tiap langkah.

i Langkah penghapusan sisi berarah

Ada dua metode penghapusan sisi berarah yang akan digunakan, yaitu:

(i) menghapus sisi berarah yang memiliki biaya maksimum,

(ii) menghapus sisi berarah yang akan menghasilkan solusi dengan biaya maksimum.

Pada metode penghapusan yang kedua awalnya diperiksa sisi-sisi yang incident dari dan ke simpul depot atau konsumen yang tidak memenuhi syarat sebagai rantai. Lalu, misalkan sisi-sisi yang incident tersebut dihapus maka simpul-simpul yang bisa dihubungkan antar rantai parsial juga diperiksa.

Sedangkan untuk metode penghapusan yang pertama hanya diperiksa sisi-sisi yang incident dari dan ke simpul depot atau konsumen yang tidak memenuhi syarat sebagai rantai. Tujuan dari penggunaan dua metode penghapusan yang berbeda untuk membandingkan hasil dari kedua metode penghapusan.

Akan diperoleh 4 hasil setelah dilakukan prosedur penalti dan penghapusan yang ditunjukkan dalam Gambar 22.

Gambar 22 Prosedur penalti dan penghapusan. Metode pertama penghapusan sisi berarah:

1. Periksa/hitung derajat keluar simpul depot. 2. Jika derajat keluar simpul depot lebih dari satu, maka sisi berarah dengan biaya minimum dipertahankan dan lainnya dihapus.

3. Simpul konsumen yang memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar maksimum dipilih.

4. Jika simpul konsumen memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar sama dengan satu, maka prosedur penghapusan berhenti. 5. Jika tidak, maka dua sisi berarah yang memiliki biaya minimum dipertahankan dan sisanya dihapus.

6. Arah dari sisi berarah yang dipertahankan disesuaikan dengan arah sisi berarah dari masing-masing subtree.

7. Prosedur penghapusan akan berhenti sampai derajat-keluar maksimum dan derajat-masuk maksimum simpul konsumen sama dengan 1.

Metode kedua penghapusan sisi berarah: 1. Periksa/hitung derajat-keluar simpul depot. 2. Jika derajat-keluar simpul depot lebih dari satu, maka sisi berarah dengan biaya minimum dipertahankan dan lainnya dihapus.

3. Simpul konsumen yang memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar maksimum dipilih, misalkan simpul i.

4. Semua sisi berarah yang terhubung ke konsumen tersebut dihapus, kecuali jika

ada sisi berarah yang menghubungkan simpul berderajat maksimum dengan simpul depot maka sisi ini tidak dihapus sampai akhir prosedur. Simpul yang adjacent-ke dan adjacent-dari simpul i yaitu simpul berderajat maksimum, diberi penamaan baru yaitu dengan

. Sisi berarah atau dengan

adalah sisi berarah yang incident-ke atau incident-dari simpul i. Simpul yang adjacent-ke atau adjacent-dari simpul i disebut simpul basis yang disimbolkan sebagai

5. Hasil dari penghapusan sisi berarah adalah subtree. Jika dilakukan penelusuran rute dari simpul basis pada tiap-tiap subtree, maka akan berhenti pada simpul akhir yang untuk selanjutnya disebut simpul terminal yang disimbolkan sebagai . Jika subtree hanya memiliki simpul tunggal, maka simpul basis sama dengan simpul terminal. Jika terdapat dua simpul akhir dalam satu subtree, maka dipilih simpul akhir yang memiliki biaya perjalanan minimum ke simpul sebelumnya.

6. Periksa lalu pilih sisi berarah dengan biaya minimum antar-subtree, yaitu dengan menggunakan:

{ } adalah himpunan dari simpul-simpul basis dan adalah himpunan dari simpul-simpul terminal, sedangkan adalah himpunan sisi berarah Penalti 1

Penghapusan 1

Penghapusan 2

Penalti 2

Penghapusan 1

Sisi berarah yang dipertahankan hanyalah sisi dan

7. Sisi berarah yang memiliki biaya perjalanan minimum dikembalikan seperti semula dan arah dari sisi berarah yang dipertahankan disamakan dengan arah sisi berarah lainnya dari masing-masing subtree.

8. Prosedur penghapusan akan berhenti sampai derajat-keluar maksimum dan derajat-masuk maksimum simpul konsumen sama dengan 1.

9. Ulangi langkah 3 sampai langkah 6. Contoh penggunaan metode pertama penghapusan sisi berarah

Misalkan terdapat sebuah depot d dan 10 konsumen { } dengan permintaan terhadap barang yang bervariasi (lihat Lampiran 1). MST diperoleh dengan menggunakan algoritme Prim’s. (lihat Gambar 23) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 10 1 2 1 4 2 4 3 3 3 2

Gambar 23 MST.

Langkah-langkah penyelesaian menggunakan metode pertama penghapusan sisi berarah: 1 Derajat keluar simpul depot adalah 1,

sehingga tidak dilakukan penghapusan sisi berarah.

2 Dipilih simpul berderajat maksimum, yaitu simpul 5, dengan derajat-masuk 1 dan derajat-keluar 3

3 Dipilih dua dari sisi berarah

yang memiliki biaya minimum. Sisi berarah dan

memiliki biaya minimum, maka sisi berarah dan dihapus (lihat Gambar 24). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 10 1 2 1 4 2 4 3

Gambar 24 Penghapusan sisi berarah

dan

4 Arah dari sisi berarah dibalik (lihat Gambar 25) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 10 1 2 1 4 2 4 3

Gambar 25 Hasil dari pembalikan sisi berarah (5,9).

5 Prosedur penghapusan berhenti karena keluar maksimum dan derajat-masuk maksimum simpul konsumen sama dengan 1.

Contoh penggunaan metode kedua penghapusan sisi berarah

Misalkan G adalah suatu MST seperti dalam Gambar 23. Langkah-langkah penyelesaian menggunakan metode kedua penghapusan sisi berarah:

1 Derajat keluar simpul depot adalah 1, sehingga tidak dilakukan penghapusan sisi berarah.

Dari Gambar 23 diperoleh:

 Simpul 5 memiliki derajat-masuk 1 dan derajat-keluar 3, sehingga simpul 5 berderajat 4. Simpul ini adalah simpul dengan derajat maksimum.

2 Dipilih simpul berderajat maksimum, yaitu simpul 5

3 Semua sisi berarah yang terhubung ke simpul 5 dihapus, sehingga diperoleh simpul basis dan simpul terminal (lihat Gambar 26).

1

2 3

4

5

6

7 8

9

11 10

1 4

2

4

3

2

Gambar 26 Subtree hasil dari penghapusan sisi.

Dari Gambar 26 diperoleh:

 Simpul basis dan

 Sisi berarah atau adalah

{ }

 Himpunan dari simpul basis disimbolkan dengan { }  Simpul akhir adalah { }  Simpul terminal

dan

 Himpunan dari simpul terminal disimbolkan dengan { }  _{

}

 _{

}

 _{

}

4 Pada langkah terakhir diperiksa biaya perjalanan minimum antar-subtree untuk menentukan sisi berarah yang akan dihapus. Diketahui bahwa:

 _{{ }}  _{{ }}  {

}

{ }

5 Sisi berarah dihapus dan dipilih dua sisi berarah dari dan yang memiliki biaya perjalanan minimum,

sehingga diperoleh sisi berarah dan

Sisi berarah dan dikembalikan seperti semula (lihat Gambar 27).

1

2 3

4

5

6

7 8

9

11 10

1 2

1 4

2

4

3

Gambar 27 Penghapusan sisi berarah (3,5)dan (5,10).

6 Arah dari sisi berarah dibalik (lihat Gambar 28).

1

2 3

4

5

6

7 8

9

11 10

1 2

1 4

2

4

3

Gambar 28 Hasil dari pembalikan sisi berarah (5,9).

7 Prosedur penghapusan akan berhenti sampai derajat-keluar maksimum dan derajat-masuk maksimum simpul konsumen sama dengan 1.

Pada langkah penghapusan akan dihasilkan subtree dan simpul i memiliki derajat-masuk dan derajat-keluar yang sama dengan satu. Jika simpul i terhubung ke simpul depot, maka sisi berarah antara simpul i dengan simpul depot dipertahankan dan simpul depot tidak akan menjadi anggota himpunan B.

Penggunaan salah satu metode penghapusan sisi berarah akan menguraikan MST taklayak menjadi simpul-simpul tunggal

dan rantai-rantai parsial. Rantai parsial memiliki beberapa bagian yaitu:

(i) simpul depot, hanya terhubung ke satu simpul konsumen,

(ii) simpul tengah, memiliki derajat masuk dan derajat keluar sama dengan 1, (iii) simpul akhir/terminal, memiliki derajat

masuk 1 dan derajat keluar 0.

Simpul pertama dalam rute suatu rantai disebut akar rantai (simpul akar). Ketakefisienan dari simpul konsumen didefinisikan sebagai berikut:

Oleh karena itu, ketakefisienan dari simpul tunggal adalah 2, simpul tengah dari rantai parsial adalah 0, dan ketakefisienan simpul depot dari rantai parsial adalah 1. Dalam solusi yang layak hanya simpul akhir dari rantai yang mempunyai ketakefisienan 1. ii Langkah pelabelan simpul

Langkah kedua adalah pelabelan simpul. Simpul yang tidak terhubung ke simpul lainnya disebut simpul tunggal, sehingga memiliki derajat 0. Setiap simpul akan diberi tiga label. Aturan pelabelan simpul adalah sebagai berikut:

{ {

{

Label_1 menunjukkan simpul akar suatu rantai, label_2 menunjukkan simpul sebelumnya, dan label_3 menunjukkan bisa tidaknya simpul tersebut dihubungkan ke simpul tunggal atau rantai parsial lainnya. Simpul depot akan memiliki label (1 0 0). iii Langkah pembentukan solusi layak

Pada bagian ini ketakefisienan dari solusi akan dikurangi. Prosedurnya adalah:

1. memasangkan semua simpul tunggal ke rantai parsial,

2. rantai-rantai parsial dihubungkan satu sama lain.

Setiap kali simpul tunggal terhubungkan ke rantai parsial atau dua rantai parsial terhubungkan, ketakefisienan dikurangi 2. Oleh karena itu prosedur ini berhenti pada:

∑

pengulangan dan menjamin solusi yang layak diperoleh. Berikut ini adalah penjelasan mengenai prosedur pembentukan solusi layak. Pembentukan solusi layak

Terdapat dua langkah dalam pembentukan solusi yang layak, yaitu pemasangan simpul tunggal ke rantai parsial dan pemasangan rantai-rantai parsial.

Pemasangan simpul tunggal ke rantai parsial

Sebuah simpul tunggal bisa dihubungkan ke salah satu dari: (a) simpul terminal yaitu simpul terakhir dalam suatu rantai, atau (b) simpul akar yaitu simpul pertama dalam suatu rantai, jika keduanya bukan simpul depot dari rantai parsial. Dalam memasangkan simpul tunggal ke rantai parsial akan dipilih simpul yang memiliki jarak minimum. Prosedur pemasangan simpul pada kasus (a) adalah: 1. Periksa jarak antara simpul tunggal dengan

simpul akar atau simpul terminal pada rantai parsial.

2. Jika jarak terdekatnya adalah ke simpul terminal, maka simpul tunggal tersebut dihubungkan.

3. Label diperbarui yaitu: label_1 dari simpul tunggal diubah menjadi simpul akar dari rantai parsial, label_2 dari simpul tunggal diubah menjadi simpul terminal dari rantai parsial sebelumnya, dan label_3 dari simpul terminal rantai parsial diubah menjadi 0.

Setelah dipasangkan, simpul tunggal menjadi simpul terminal dari rantai parsial yang dihasilkan, sementara simpul akar tetap sama. Sebagai contoh, misalkan diberikan suatu rantai parsial dan simpul tunggal berikut. Berikut hasil pemasangan simpul tunggal ke rantai parsial.

1

2 3

4

Gambar 29 Rantai parsial dan simpul tunggal.

1

2 3

4

Gambar 30 Pemasangan simpul tunggal ke rantai parsial.

Perubahan labelnya adalah:

Label_1 simpul 4 berubah menjadi 1. Label_2 simpul 4 berubah menjadi 3. Label_3 simpul 3 berubah menjadi 0.

Pada kasus (b) setelah dipasangkan, simpul tunggal menjadi simpul akar dari rantai parsial yang dihasilkan. Label diperbarui secara bersesuaian. Proses diulangi sampai semua simpul tunggal dipasangkan ke rantai parsial dan tidak ada simpul tunggal yang tersisa.

Pemasangan rantai-rantai parsial

Rantai-rantai parsial yang dihasilkan dari proses sebelumnya akan dipasangkan satu dengan yang lainnya. Ketika menghubungkan dua rantai parsial, akan dibedakan tiga kasus untuk calon simpul yang akan dipasangkan, yaitu:

a. simpul akar dan terminal, b. keduanya simpul akar, c. keduanya simpul terminal.

Rantai parsial yang memuat depot hanya bisa dihubungkan dengan simpul terminalnya. Prosedur pemasangan simpul pada kasus (a) adalah:

1. Periksa semua jarak simpul akar/terminal antara rantai-rantai parsial.

2. Misalkan simpul terminal dari rantai parsial pertama memiliki jarak minimum dengan simpul akar dari rantai parsial kedua dan simpul akar rantai parsial kedua bukan depot.

3. Kedua simpul dihubungkan.

4. Label diperbarui yaitu: label_1 untuk setiap simpul pada rantai parsial yang kedua diubah menjadi simpul akar dari rantai parsial yang pertama, label_2 dari

simpul akar dari rantai parsial yang kedua diubah menjadi simpul akhir dari rantai parsial yang pertama, dan label_3 simpul akar dari rantai parsial yang kedua dan simpul terminal dari rantai parsial yang pertama diubah menjadi 0.

Untuk kasus di saat simpul terminal milik rantai parsial kedua memiliki jarak minimum dengan simpul akar milik rantai parsial pertama dan simpul akar rantai parsial pertama bukan depot, maka diperlakukan prosedur yang sama. Rantai parsial yang dihasilkan memiliki arah kebalikan.

Prosedur pemasangan simpul pada kasus (b) adalah:

1. Periksa semua jarak simpul akar/terminal antar rantai parsial.

2. Misalkan simpul akar dari rantai parsial pertama memiliki jarak minimum dengan simpul akar dari rantai parsial kedua dan keduanya bukan simpul depot.

3. Kedua simpul dihubungkan.

4. Arah dari rantai parsial yang pertama atau kedua dibalik.

5. Label diperbarui yaitu:

 Jika rantai parsial pertama dibalik: label_1 untuk setiap simpul diubah menjadi nomor simpul terminal dari rantai parsial pertama. Label_2 dari simpul terminal rantai parsial pertama diubah menjadi 0. Label_2 dari semua simpul kecuali simpul terminal rantai parsial pertama diubah menjadi nomor simpul sebelumnya. Label_3 dari semua simpul kecuali simpul terminal rantai parsial kedua diubah menjadi 0, sedangkan label_3 untuk simpul terminal dari rantai parsial kedua diubah menjadi 1.

 Jika rantai parsial kedua dibalik: label_1 untuk setiap simpul diubah menjadi nomor simpul terminal dari rantai parsial kedua. Label_2 dari simpul terminal rantai parsial kedua diubah menjadi 0. Label_2 dari semua simpul kecuali simpul terminal rantai parsial kedua diubah menjadi nomor simpul sebelumnya. Label_3 dari semua simpul kecuali simpul terminal rantai parsial pertama diubah menjadi 0, sedangkan label_3 untuk simpul terminal dari rantai parsial pertama diubah menjadi 1.

Prosedur pemasangan simpul pada kasus (c) adalah:

1. Periksa semua jarak simpul akar/terminal antara rantai-rantai parsial.

2. Misalkan simpul terminal rantai parsial pertama memiliki jarak minimum dengan simpul terminal rantai parsial kedua. 3. Periksa simpul akar dari kedua rantai

parsial tersebut. Jika salah satunya adalah simpul depot, maka simpul akar dari rantai parsial lainnya menjadi simpul terminal dari rantai parsial yang dihasilkan.

4. Jika dari simpul-simpul akar tidak ada yang merupakan simpul depot, maka simpul akar dipilih secara acak.

5. Kedua simpul dihubungkan.

6. Arah dari rantai parsial yang pertama atau kedua dibalik.

7. Label-label diperbarui yaitu:

 Jika rantai parsial pertama dibalik: label_1 untuk setiap simpul diubah menjadi nomor simpul akar dari rantai parsial kedua. Label_2 dari simpul akar rantai parsial kedua diubah menjadi 0. Label_2 dari semua simpul kecuali

simpul akar rantai parsial kedua diubah menjadi nomor simpul sebelumnya. Label_3 dari semua simpul kecuali simpul akar rantai parsial pertama diubah menjadi 0, sedangkan label_3 untuk simpul akar dari rantai parsial pertama diubah menjadi 1.

 Jika rantai parsial kedua dibalik: label_1 untuk setiap simpul diubah menjadi nomor simpul akar dari rantai parsial pertama. Label_2 dari simpul akar rantai parsial pertama diubah menjadi 0. Label_2 dari semua simpul kecuali simpul akar rantai parsial pertama diubah menjadi nomor simpul sebelumnya. Label_3 dari semua simpul kecuali simpul akar rantai parsial kedua diubah menjadi 0, sedangkan label_3 untuk simpul akar dari rantai parsial kedua diubah menjadi 1.

IV CONTOH KASUS DAN PENYELESAIANNYA

Misalkan terdapat perusahaan pengiriman barang yang memiliki sebuah depot dan dua kendaraan yang akan digunakan untuk mengirimkan barang. Misalkan terdapat 15 konsumen { } dengan permintaan terhadap barang yang bervariasi (lihat Lampiran 2).

Diberikan biaya perjalanan antara depot-konsumen dan depot-konsumen-depot-konsumen seperti dalam Lampiran 3. Data permintaan konsumen dan biaya perjalanan diperoleh melalui data acak menggunakan software Matlab. Diasumsikan bahwa biaya perjalanan dari depot ke konsumen sama dengan biaya perjalanan dari konsumen ke depot. Asumsi ini juga berlaku untuk biaya perjalanan dari konsumen ke konsumen.

Pada tahap awal akan dibentuk cluster berdasarkan kapasitas kendaraan. Misalkan akan dibentuk beberapa cluster dengan kapasitas 150 unit barang tiap cluster. 4.1 Tahap pembentukan cluster yang

seimbang

Tahap pembentukan cluster 1

Dipilih konsumen yang memiliki permintaan tidak melebihi sisa kapasitas cluster 1 yaitu 150, sehingga diperoleh konsumen sampai . Lalu dari konsumen-konsumen tersebut dipilih yang memiliki biaya perjalanan minimum ke konsumen lainnya. Diperoleh konsumen yang memiliki biaya perjalanan 1. Lalu dipilih

konsumen yang memiliki permintaan maksimum, sehingga diperoleh konsumen yang memiliki permintaan 27. Dengan cara yang sama maka akan diperoleh secara berurutan yaitu Jadi cluster 1 berupa rangkap-9 (9-tuple)

dengan total permintaan adalah 144 dan sisa kapasitas cluster 1 adalah 6.

Tahap pembentukan cluster 2

Sekarang tersisa konsumen Kemudian dipilih konsumen yang memiliki permintaan tidak melebihi sisa kapasitas cluster 2 yaitu 150. Lalu dari konsumen-konsumen tersebut dipilih yang memiliki biaya perjalanan minimum ke konsumen lainnya. Diperoleh konsumen

yang memiliki biaya perjalanan 2. Lalu dipilih konsumen yang memiliki permintaan maksimum, sehingga diperoleh konsumen yang memiliki permintaan 29. Dengan cara yang sama maka akan diperoleh secara berurutan yaitu Jadi cluster 2 berupa rangkap-6 (6-tuple)

dengan total permintaan adalah 144 dan sisa kapasitas cluster adalah 6. Tahap penyeimbangan cluster

Setelah diperoleh dua buah cluster, setiap cluster tersebut akan diseimbangkan. Pada tahap penyeimbangan cluster dipilih cluster yang memiliki total permintaan maksimum.

2. Misalkan simpul terminal rantai parsial pertama memiliki jarak minimum dengan simpul terminal rantai parsial kedua. 3. Periksa simpul akar dari kedua rantai

parsial tersebut. Jika salah satunya adalah simpul depot, maka simpul akar dari rantai parsial lainnya menjadi simpul terminal dari rantai parsial yang dihasilkan.

4. Jika dari simpul-simpul akar tidak ada yang merupakan simpul depot, maka simpul akar dipilih secara acak.

5. Kedua simpul dihubungkan.

6. Arah dari rantai parsial yang pertama atau kedua dibalik.

7. Label-label diperbarui yaitu:

 Jika rantai parsial pertama dibalik: label_1 untuk setiap simpul diubah menjadi nomor simpul akar dari rantai parsial kedua. Label_2 dari simpul akar rantai parsial kedua diubah menjadi 0. Label_2 dari semua simpul kecuali

simpul akar rantai parsial kedua diubah menjadi nomor simpul sebelumnya. Label_3 dari semua simpul kecuali simpul akar rantai parsial pertama diubah menjadi 0, sedangkan label_3 untuk simpul akar dari rantai parsial pertama diubah menjadi 1.

 Jika rantai parsial kedua dibalik: label_1 untuk setiap simpul diubah menjadi nomor simpul akar dari rantai parsial pertama. Label_2 dari simpul akar rantai parsial pertama diubah menjadi 0. Label_2 dari semua simpul kecuali simpul akar rantai parsial pertama diubah menjadi nomor simpul sebelumnya. Label_3 dari semua simpul kecuali simpul akar rantai parsial kedua diubah menjadi 0, sedangkan label_3 untuk simpul akar dari rantai parsial kedua diubah menjadi 1.

IV CONTOH KASUS DAN PENYELESAIANNYA

Misalkan terdapat perusahaan pengiriman barang yang memiliki sebuah depot dan dua kendaraan yang akan digunakan untuk mengirimkan barang. Misalkan terdapat 15 konsumen { } dengan permintaan terhadap barang yang bervariasi (lihat Lampiran 2).

Diberikan biaya perjalanan antara depot-konsumen dan depot-konsumen-depot-konsumen seperti dalam Lampiran 3. Data permintaan konsumen dan biaya perjalanan diperoleh melalui data acak menggunakan software Matlab. Diasumsikan bahwa biaya perjalanan dari depot ke konsumen sama dengan biaya perjalanan dari konsumen ke depot. Asumsi ini juga berlaku untuk biaya perjalanan dari konsumen ke konsumen.

Pada tahap awal akan dibentuk cluster berdasarkan kapasitas kendaraan. Misalkan akan dibentuk beberapa cluster dengan kapasitas 150 unit barang tiap cluster. 4.1 Tahap pembentukan cluster yang

seimbang

Tahap pembentukan cluster 1

Dipilih konsumen yang memiliki permintaan tidak melebihi sisa kapasitas cluster 1 yaitu 150, sehingga diperoleh konsumen sampai . Lalu dari konsumen-konsumen tersebut dipilih yang memiliki biaya perjalanan minimum ke konsumen lainnya. Diperoleh konsumen yang memiliki biaya perjalanan 1. Lalu dipilih

konsumen yang memiliki permintaan maksimum, sehingga diperoleh konsumen yang memiliki permintaan 27. Dengan cara yang sama maka akan diperoleh secara berurutan yaitu Jadi cluster 1 berupa rangkap-9 (9-tuple)

dengan total permintaan adalah 144 dan sisa kapasitas cluster 1 adalah 6.

Tahap pembentukan cluster 2

Sekarang tersisa konsumen Kemudian dipilih konsumen yang memiliki permintaan tidak melebihi sisa kapasitas cluster 2 yaitu 150. Lalu dari konsumen-konsumen tersebut dipilih yang memiliki biaya perjalanan minimum ke konsumen lainnya. Diperoleh konsumen

yang memiliki biaya perjalanan 2. Lalu dipilih konsumen yang memiliki permintaan maksimum, sehingga diperoleh konsumen yang memiliki permintaan 29. Dengan cara yang sama maka akan diperoleh secara berurutan yaitu Jadi cluster 2 berupa rangkap-6 (6-tuple)

dengan total permintaan adalah 144 dan sisa kapasitas cluster adalah 6. Tahap penyeimbangan cluster

Setelah diperoleh dua buah cluster, setiap cluster tersebut akan diseimbangkan. Pada tahap penyeimbangan cluster dipilih cluster yang memiliki total permintaan maksimum.

Karena terdapat 2 cluster yang memiliki total permintaan yang sama, maka dipilih cluster yang pertama kali terbentuk yaitu cluster 1 dengan total permintaan 144. Lalu dipilih konsumen dengan urutan terakhir pada cluster 1 yaitu konsumen yang memiliki permintaan 10. Konsumen akan ditempatkan ke cluster lain yang memiliki sisa kapasitas lebih besar atau sama dengan 10. Namun tidak ada cluster lain yang mampu menampung konsumen

Kemudian dipilih cluster 2 yang memiliki total permintaan 144. Lalu dipilih konsumen dengan urutan terakhir pada cluster 2 yaitu konsumen yang memiliki permintaan 18. Konsumen akan ditempatkan ke cluster lain yang memiliki sisa kapasitas lebih besar atau sama dengan 18. Namun tidak ada cluster lain yang mampu menampung konsumen

Karena konsumen dengan urutan terakhir dari tiap cluster tidak dapat ditempatkan ke cluster lain, maka tahap penyeimbangan cluster selesai.

4.2 Fase penentuan rute Cluster 1

Algoritme Prim

Pada tahap ini akan digunakan algoritme Prim untuk mencari solusi minimum spanning tree. MST dari cluster 1 ditunjukkan pada Gambar 31 (detail langkah penentuan MST diberikan di Lampiran 4).

d

c

5

c

13

c

9

c

12

c

14

c

15

c

2

c

10

c

3

2 1

2

1

2 1

1 2

1

Gambar 31 Hasil algoritme Prim cluster 1. Misalkan adalah banyaknya konsumen dalam cluster 1 dan adalah derajat simpul i,

sedangkan simpul 1 adalah simpul depot dan adalah derajat simpul depot. Selanjutnya dilakukan penamaan baru untuk simpul depot dan setiap konsumen dalam cluster 1. Simpul depot diubah menjadi 1, simpul konsumen diubah menjadi 2 hingga . Diperoleh hingga

Hasil penamaan baru untuk cluster 1 ditunjukkan dalam Gambar 32.

1 2 3

4

5

6

7 10

8 9

2 1

2

1

2 1

1 2

1

Gambar 32 Cluster 1.

Karena MST yang dihasilkan dari algoritme Prim bukan suatu rantai, maka MST memiliki simpul taklayak. Nilai ketaklayakan untuk simpul depot adalah:

sedangkan nilai ketaklayakan untuk simpul konsumen adalah :

sehingga

∑

∑

Total nilai ketaklayakan dari cluster 1 adalah:

Prosedur penalti

Misalkan nilai awal penalti kenaikan nilai penalti nilai maksimum penalti 1, dan maksimum iterasinya adalah 10, maka dengan menggunakan prosedur penalti 1 (lihat Lampiran 6) akan dihasilkan:

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

1 2 3

4

5

6

7 10

8 9

12 1

12

1

2 11

1 12

Gambar 33 Hasil prosedur penalti 1 untuk cluster 1.

sedangkan dengan menggunakan prosedur penalti 2 akan dihasilkan:

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

1 2 3

4

5

6

7 10

8 9

12 1

7

1

2 11

6 12

Gambar 34 Hasil prosedur penalti 2 untuk cluster 1.

Mengubah solusi taklayak menjadi layak Langkah awal dalam mengubah solusi taklayak menjadi layak adalah menghapus sisi. Pada Gambar 33 diketahui dan

adalah derajat maksimum. Pada simpul 2, simpul depot terhubung ke simpul 2 sehingga sisi berarah dipertahankan. Sisi berarah dihapus karena memiliki biaya maksimum. Pada simpul 7 sisi berarah dihapus karena memiliki biaya maksimum. Gambar 35 dan 36 menunjukkan hasil proses penghapusan pada MST hasil dari prosedur penalti 1.

1 2 3

4

5

6

7 10

8 9

12 1

12

1

2 11

1 12

Gambar 35 Tahap 1 metode penghapusan 1 pada cluster 1 hasil prosedur penalti 1.

1 2 3

4

5

6

7 10

8 9

12 1

1

2 11

1

Gambar 36 Tahap 2 metode penghapusan 1 pada cluster 1 hasil prosedur penalti 1.

Ketakefisienan dari solusi ini adalah :

dengan total ketakefisienannya adalah :

( ∑

Sedangkan untuk proses penghapusan sisi berarah pada MST hasil dari prosedur penalti 1 dengan menggunakan metode penghapusan 2 ditunjukkan oleh Gambar 37 dan 38. Diketahui dan adalah derajat maksimum. Sisi berarah yang incident ke dan incident dari simpul 2 dihapus. Pada simpul 2 sisi berarah menghubungkan depot dengan simpul 2 sehingga sisi tidak dihapus.

1 2 3

4

5

6

7 10

8 9

12

1

2 11

1 12

Gambar 37 Tahap 1 metode penghapusan 2 pada cluster 1 hasil prosedur penalti 1.

{ } { }

{ } { }

{ }

1 2 3

4

5

6

7 10

8 9

12

1

2 11

1 12 1

Gambar 38 Tahap 2 metode penghapusan 2 pada cluster 1 hasil prosedur penalti 1.

Pada simpul 7, sisi berarah yang incident ke dan incident dari simpul 7 dihapus. Penghapusan untuk sisi-sisi berarah yang incident ke dan incident dari simpul 7 diperlihatkan seperti pada Gambar 39 dan 40.

1 2 3

4

5

6

7 10

8 9

12

1 2 1

Gambar 39 Tahap 3 metode penghapusan 2 pada cluster 1 hasil prosedur penalti 1.

{ } { }

{ } { }

{ }

1 2 3

4

5

6

7 10

8 9

12

1 2

1 12 1

Gambar 40 Tahap 4 metode penghapusan 2 pada cluster 1 hasil prosedur penalti 1.

Ketakefisienan dari solusi ini adalah :

dengan total ketakefisienannya adalah :

( ∑

)

Pada Gambar 34 diketahui dan

adalah derajat maksimum. Pada simpul 2 simpul depot terhubung ke simpul 2 sehingga sisi berarah dipertahankan. Sisi berarah dihapus karena memiliki biaya

perjalanan maksimum. Pada simpul 7 sisi berarah dihapus karena memiliki biaya perjalanan maksimum. Gambar 41 dan 42 menunjukkan proses penghapusan pada MST hasil dari prosedur penalti 2.

1 2 3

4 5 6 7 10 8 9 12 1 7 1 2 11 6 12

Gambar 41 Tahap 1 metode penghapusan 1 pada cluster 1 hasil prosedur penalti 2.

1 2 3

4 5 6 7 10 8 9 12 1 1 2 11 6

Gambar 42 Tahap 2 metode penghapusan 1 pada cluster 1 hasil prosedur penalti 2.

Ketakefisienan dari solusi ini adalah :

dengan total ketakefisienannya adalah :

( ∑

)

Sedangkan untuk proses penghapusan sisi berarah pada MST hasil dari prosedur penalti 2 dengan menggunakan metode penghapusan 2 ditunjukkan oleh Gambar 43 dan 44. Diketahui dan adalah derajat maksimum. Sisi berarah yang incident ke dan incident dari simpul 2 dihapus. Pada simpul 2 sisi berarah menghubungkan depot

dengan simpul 2 sehingga sisi tidak dihapus.

1 2 3

4 5 6 7 10 8 9 12 1 2 11 6 12

Gambar 43 Tahap 1 metode penghapusan 2 pada cluster 1 hasil prosedur penalti 1. { } { } { } { } { }

1 2 3

4 5 6 7 10 8 9 12 1 1 2 11 6 12

Gambar 44 Tahap 2 metode penghapusan 2 pada cluster 1 hasil prosedur penalti 1.

Pada simpul 7, sisi berarah yang incident ke dan incident dari simpul 7 dihapus. Penghapusan untuk sisi-sisi berarah yang incident ke dan incident dari simpul 7 diperlihatkan seperti pada Gambar 45 dan 46.

1 2 3

4 5 6 7 10 8 9 12 1 2 1

Gambar 45 Tahap 3 metode penghapusan 2 pada cluster 1 hasil prosedur penalti 1.

{ } { }

{ } { }

{ }

1 2 3

4

5

6

7 10

8 9

12

1 2

6 12 1

Gambar 46 Tahap 4 metode penghapusan 2 pada cluster 1 hasil prosedur penalti 1.

Ketakefisienan dari solusi ini adalah :

dengan total ketakefisienannya adalah :

( ∑

)

Setelah penghapusan sisi, akan dilakukan pelabelan terhadap simpul-simpul yang ada. Pelabelan simpul untuk cluster 1 ditunjukkan dalam Tabel 1 dan 2.

Tabel 1 Pelabelan cluster 1 untuk hasil prosedur penalti 1

Simpul Prosedur penalti 1 Penghapusan 1 Penghapusan 2 1 label (1 0 0) label (1 0 0) 2 label (1 1 0) label (1 1 0) 3 label (1 2 1) label (1 2 1) 4 label (4 0 0) label (4 0 0) 5 label (4 4 0) label (4 4 0) 6 label (4 5 0) label (4 5 1) 7 label (4 6 0) label (8 8 0) 8 label (8 -1 1) label (8 0 0) 9 label (9 -1 1) label (9 -1 0) 10 label (4 7 1) label (8 9 1) Tabel 2 Pelabelan cluster 1 untuk hasil

prosedur penalti 2 Simpul Prosedur penalti 1

Penghapusan 1 Penghapusan 2 1 label (1 0 0) label (1 0 0) 2 label (1 1 0) label (1 1 0) 3 label (1 2 1) label (1 2 1) 4 label (4 0 0) label (4 0 0) 5 label (4 4 0) label (4 4 0) 6 label (4 5 0) label (4 5 1) 7 label (4 6 0) label (8 8 0) 8 label (8 -1 1) label (8 0 0) 9 label (9 -1 1) label (9 -1 1) 10 label (4 7 1) label (8 9 1)

Setelah memasuki tahap penghapusan dan pelabelan, maka dari tiap cluster akan diperoleh beberapa rantai parsial dan simpul-simpul tunggal seperti dalam Gambar 36, 40, 42, dan 46.

Tahap selanjutnya adalah membentuk solusi yang layak. Banyaknya langkah yang diperlukan untuk membentuk solusi yang layak dengan memasangkan simpul-simpul tunggal ke rantai parsial dan memasangkan rantai parsial ke rantai parsial lainnya sehingga terbentuk sebuah rantai dari cluster 1 adalah 3 (detail langkah pemasangan simpul diberikan di Lampiran 7). Solusi akhir berupa rantai diperlihatkan dalam Gambar 47,48,49, dan 50.

1

2

1 3 10 7 6 5 4 8

2 1 9 1 2 1 4 1 9

Gambar 47 Solusi layak cluster 1 hasil dari prosedur penalti 1 dengan metode penghapusan 1.

1

2

1 3 9 8 7 10 6 5

2 1 12 2 1 2 2 1 4

1

2

1 3 10 7 6 5 4 8

2 1 9 1 2 1 4 1 9

Gambar 49 Solusi layak cluster 1 hasil dari prosedur penalti 2 dengan metode penghapusan 1.

1

2

1 3 9 8 7 10 6 5

2 1 12 2 1 2 2 1 4

Gambar 50 Solusi layak cluster 1 hasil dari prosedur penalti 2 dengan metode penghapusan 2. Cluster 2

Algoritme Prim

Pada tahap ini akan digunakan algoritme Prim untuk mencari solusi minimum spanning tree. MST dari cluster 2 ditunjukkan pada Gambar 51 (detail langkah penentuan MST diberikan di Lampiran 4).

d

c

4

3 3

4

2

3 7

c

1

c

6

c

8

c

7

c

11

Gambar 51 Hasil algoritme Prim cluster 2. Misalkan adalah banyaknya konsumen dalam sebuah cluster dan adalah derajat simpul i, sedangkan simpul 1 adalah simpul depot dan adalah derajat simpul depot. Selanjutnya dilakukan penamaan baru untuk setiap simpul depot dan konsumen dalam cluster 1. Simpul depot diubah menjadi 1, simpul konsumen diubah menjadi 2 hingga . Diperoleh

hingga Hasil penamaan baru untuk cluster 1 ditunjukkan dalam Gambar 52.

1 2 3

4

5

7

6

3 3

4

2

3 7

Gambar 52 Cluster 2.

Karena MST yang dihasilkan dari algoritme Prim bukan suatu rantai, maka MST

memiliki simpul taklayak. Nilai ketaklayakan untuk simpul depot adalah:

sedangkan nilai ketaklayakan untuk simpul konsumen adalah:

sehingga

∑

∑

Total nilai ketaklayakan dari cluster ini adalah:

Prosedur penalti

Misalkan nilai awal penalti kenaikan nilai penalti nilai maksimum penalti 1, dan maksimum iterasinya adalah 10, maka dengan menggunakan prosedur penalti 1 (lihat Lampiran 6) akan dihasilkan:

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

1 2 3

4

5

7

6

3 3

4

12

3 7

Gambar 53 Hasil prosedur penalti 1 untuk cluster 2.

sedangkan dengan menggunakan prosedur penalti 2 akan dihasilkan :

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ̅

1 2 3

4

5

7

6

3 3

4

12

8 12

Gambar 54 Hasil prosedur penalti 2 untuk cluster 2.

Mengubah solusi taklayak menjadi layak Langkah awal dalam mengubah solusi taklayak menjadi layak adalah menghapus sisi. Pada Gambar 53 diketahui adalah derajat maksimum. Sisi berarah dihapus karena memiliki biaya maksimum. Gambar 55 dan 56 menunjukkan proses penghapusan pada MST hasil dari prosedur penalti 1.

1 2 3

4

5

7

6

3 3

4

12

3 7

Gambar 55 Tahap 1 metode penghapusan 1 pada cluster 2 hasil prosedur penalti 1.

1 2 3

4

5

7

6

3 3

4

3 7

Gambar 56 Tahap 2 metode penghapusan 1 pada cluster 2 hasil prosedur penalti 1.

Ketakefisienan dari solusi ini adalah :

dengan total ketakefisienannya adalah :

( ∑

)

Sedangkan untuk proses penghapusan sisi berarah pada MST hasil dari prosedur penalti 1 dengan menggunakan metode penghapusan 2 ditunjukkan oleh Gambar 57 dan 58. Diketahui adalah derajat maksimum. Sisi berarah yang incident ke dan incident dari simpul 5 dihapus.

Tabel 25 Nilai ̅ dengan prosedur pen1

p Iterasi ke-i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.7 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.8 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Tabel 26 Nilai ̅ dengan prosedur pen2

p Iterasi ke-i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.7 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.8 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Tabel 27 Nilai ̅ dengan prosedur pen1

p Iterasi ke-i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.7 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.8 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.9 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

Tabel 28 Nilai ̅ dengan prosedur pen2

p Iterasi ke-i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.6 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.7 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.8 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

0.9 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

1 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4

Tabel 29 Nilai ̅ dengan prosedur pen1

p Iterasi ke-i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

0.2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4

0.3 2.3 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1 4.4 4.7 5

0.4 2.4 2.8 3.2 3.6 4 4.4 4.8 5.2 5.6 6

0.5 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

0.6 2.6 3.2 3.8 4.4 5 5.6 6.2 6.8 7.4 8

0.7 2.7 3.4 4.1 4.8 5.5 6.2 6.9 7.6 8.3 9

0.8 2.8 3.6 4.4 5.2 6 6.8 7.6 8.4 9.2 10

0.9 2.9 3.8 4.7 5.6 6.5 7.4 8.3 9.2 10.1 11

1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Tabel 30 Nilai ̅ dengan prosedur pen2

p Iterasi ke-i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

0.2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4

0.3 2.3 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1 4.4 4.7 5

0.4 2.4 2.8 3.2 3.6 4 4.4 4.8 5.2 5.6 6

0.5 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

0.6 2.6 3.2 3.8 4.4 5 5.6 6.2 6.8 7.4 8

0.7 2.7 3.4 4.1 4.8 5.5 6.2 6.9 7.6 8.3 9

0.8 2.8 3.6 4.4 5.2 6 6.8 7.6 8.4 9.2 10

0.9 2.9 3.8 4.7 5.6 6.5 7.4 8.3 9.2 10.1 11

Tabel 31 Nilai ̅ dengan prosedur pen1

p Iterasi ke-i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

0.2 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

0.3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

0.4 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

0.5 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

0.6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

0.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

0.8 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

0.9 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

1 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

Tabel 32 Nilai ̅ dengan prosedur pen2

p Iterasi ke-i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1 7.05 7.1 7.15 7.2 7.25 7.3 7.35 7.4 7.45 7.5

0.2 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 8

0.3 7.15 7.3 7.45 7.6 7.75 7.9 8.05 8.2 8.35 8.5

0.4 7.2 7.4 7.6 7.8 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9

0.5 7.25 7.5 7.75 8 8.25 8.5 8.75 9 9.25 9.5

0.6 7.3 7.6 7.9 8.2 8.5 8.8 9.1 9.4 9.7 10

0.7 7.35 7.7 8.05 8.4 8.75 9.1 9.45 9.8 10.15 10.5

0.8 7.4 7.8 8.2 8.6 9 9.4 9.8 10.2 10.6 11

0.9 7.45 7.9 8.35 8.8 9.25 9.7 10.15 10.6 11.05 11.5

1 7.5 8 8.5 9 9.5 10 10.5 11 11.5 12

Tabel 33 Nilai ̅ dengan prosedur pen1

p Iterasi ke-i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.7 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.8 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

0.9 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Tabel 34 Nilai ̅ dengan prosedur pen2

p Iterasi ke-i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.1 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4 3.45 3.5

0.2 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4

0.3 3.15 3.3 3.45 3.6 3.75 3.9 4.05 4.2 4.35 4.5

0.5 3.25 3.5 3.75 4 4.25 4.5 4.75 5 5.25 5.5

0.6 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 4.8 5.1 5.4 5.7 6

0.7 3.35 3.7 4.05 4.4 4.75 5.1 5.45 5.8 6.15 6.5

0.8 3.4 3.8 4.2 4.6 5 5.4 5.8 6.2 6.6 7

0.9 3.45 3.9 4.35 4.8 5.25 5.7 6.15 6.6 7.05 7.5

1 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8

Lampiran 7

Langkah-langkah mengubah solusi taklayak menjadi solusi layak

Cluster 1 dengan metode penghapusan 1 Berikut ini adalah simpul-simpul tunggal dan rantai-rantai parsial hasil dari metode penalti dengan metode penghapusan 1.

1 2 3

4

5

6

7 10

8 9

12 1

1

2 11

Langkah 1

Simpul 8 memiliki biaya perjalanan minimum ke simpul 4. Simpul 8 dihubungkan ke simpul 4.

1 2 3

4

5

6

7 10

8 9

12 1

1

2 11

1 4

Langkah 2

Simpul 9 memiliki biaya perjalanan minimum ke simpul 8. Simpul 9 dihubungkan ke simpul 8.

1 2 3

4

5

6

7 10

8 9

12 1

1

2 11

1

4 1

Langkah 3

Simpul 3 memiliki biaya perjalanan minimum ke simpul 10. Simpul 3 dihubungkan ke simpul 10.

1

2

3 4

5

6

7 10

8 9

12

1 1

2 11

1

4 1

9

Jadi, rantai yang diperoleh adalah 1

2

3 4

5

6

7 10

8 9

2

1 1

2 1

1

4 1

9

Cluster 1 dengan metode penghapusan 2 Berikut ini adalah simpul-simpul tunggal dan rantai-rantai parsial hasil dari metode penalti dengan metode penghapusan 2.

1 2 3

4 5 6 7 10 8 9 12 1 2 1 12 1 Langkah 1

Simpul 9 memiliki biaya perjalanan minimum ke simpul 8. Simpul 9 dihubungkan ke simpul 8.

1 2 3

4 5 6 7 10 8 9 12 1 2 1 12 1 1 Langkah 2

Simpul 6 memiliki biaya perjalanan minimum ke simpul 10. Simpul 6 dihubungkan ke simpul 10.

1 2 3

4 5 6 7 10 8 9 12 1 2 1 12 1 1 2 Langkah 3

Simpul 3 memiliki biaya perjalanan minimum ke simpul 9. Simpul 3 dihubungkan ke simpul 9.

1 2 3

4 5 6 7 10 8 9 12 1 2 1 12 1 1 2 12

Jadi, rantai yang diperoleh adalah

1 2 3

4 5 6 7 10 8 9 2 1 2 1 2 1 1 2 12

dengan total biaya perjalanannya adalah 24. Cluster 2 dengan metode penghapusan 1 dari penalti 1

Berikut ini adalah simpul-simpul tunggal dan rantai-rantai parsial hasil dari metode penalti dengan metode penghapusan.

1 2 3

4 5 7 6 3 3 4 3 7 Langkah 1

Simpul 6 memiliki biaya perjalanan minimum ke simpul 4. Simpul 6 dihubungkan ke simpul 4.

1 2 3

4

5

7

6

3 3

4

3 7

13

Jadi, rantai yang diperoleh adalah

1 2 3

4

5

7

6

3 3

4

3 7

13

dengan total biaya perjalanannya adalah 33. Cluster 2 dengan metode penghapusan 2 dari penalti 1

Berikut ini adalah simpul-simpul tunggal dan rantai-rantai parsial hasil dari metode penalti dengan metode penghapusan.

1 2 3

4

5

7

6

3 3

4

2

3

Langkah 1

Simpul 6 memiliki jarak minimum ke simpul 7. Simpul 6 dihubungkan ke simpul 7.

1 2 3

4

5

7

6

3 3

4

2

3

9

Jadi, rantai yang diperoleh adalah

1 2 3

4

5

7

6

3 3

4

2

3

9