4 3 perumusan sebuah model matematis untuk problem tersebut,
4 pengujian model, 5 pemilihan alternatif yang sesuai,
6 penyajian hasil dan kesimpulan studi kepada organisasi, 7 penerapan dan pengevaluasian rekomendasi.
Winston, 1995 Williams 1991 mengemukakan bahwa tujuan pengoptimalan suatu
organisasi bisa berupa pemaksimalan keuntungan, peminimalan biaya, pemaksimalan kegunaan, ... , dan pemaksimalan kekuatan rencana operasi.
Sebuah model pengoptimalan disebut linear programming LP jika memiliki sebuah fungsi tujuan, semua fungsi kendalanya linear, dan variabel keputusannya
bernilai tidak negatif. Beberapa tipe kendala yang paling umum muncul dalam model LP diklasifikasikan sebagai berikut
Kendala kapasitas produksi Ketersediaan bahan baku
Permintaan pasar dan pembatasnya Kendala keseimbangan kesinambungan bahan.
2.3 Integer Programming
Sebuah model pengoptimalan disebut integer programming IP jika variabel keputusan berupa bilangan bulat. Jika semua variabel adalah bilangan
bulat, maka model itu disebut pure integer program, tapi jika tidak demikian maka disebut mixed-integer program.
Rardin 1998 Penyelesaian masalah IP berkaitan dengan LP-relaksasi. LP-relaksasi dari suatu IP
merupakan LP yang diperoleh dari IP tersebut dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 0-1 pada setiap variabelnya.
Winston, 1995 Untuk masalah pemaksimalan, nilai fungsi objektif yang optimal di
LP-relaksasi lebih besar atau sama dengan nilai objektif optimal di IP, sedangkan untuk masalah peminimuman nilai fungsi objektif yang optimal di LP-relaksasi
lebih kecil atau sama dengan nilai fungsi objektif yang optimal di IP.
5 Salah satu metode pemecahan masalah IP adalah metode Branch and
Bound, dimana langkah awalnya dimulai dengan menyelesaikan LP-relaksasi pada IP. Prinsip dasar metode Branch and Bound adalah membagi daerah fisibel dari
masalah LP-relaksasi dengan cara membuat subproblem-subproblem baru sehingga masalah IP terpecahkan. Daerah fisibel suatu LP adalah daerah yang
memuat titik-titik yang dapat memenuhi kendala linear masalah LP. Menurut Taha 2003, berikut ini adalah langkah-langkah dalam metode
Branch and Bound untuk masalah pemaksimalan. Ditetapkan batas bawah awal z =
untuk nilai optimal dari fungsi objektif IP dan i = 0.
Langkah 1 pem-fathom-an dan pembatasan. Memilih LP
i
sebagai subproblem untuk diteliti. LP
i
diselesaikan dan LP
i
di- fathom-kan dengan salah satu dari ketiga kondisi berikut:
a Nilai optimal z dari LP
i
tidak lebih baik daripada batas bawah sekarang. b LP
i
menghasilkan solusi integer fisibel yang lebih baik daripada batas bawah sekarang.
c LP
i
tidak memiliki solusi yang fisibel. Dua kasus akan muncul.
a Jika LP
i
di-fathom-kan dan sebuah solusi yang lebih baik ditemui, batas bawah diperbarui. Jika semua subproblem sudah di-fathom-kan,
berhenti, optimal dari IP dihubungkan dengan batas bawah sekarang, bila ada. Jika sebaliknya, ditentukan i = i + 1, dan langkah 1 diulangi.
b Jika LP
i
tidak di-fathom-kan, dilanjutkan ke langkah 2 untuk melakukan pencabangan LP
i
. Langkah 2 pencabangan.
Memilih salah satu variabel x
j
yang nilai optimalnya adalah x
j
tidak memenuhi batasan integer dalam solusi LP
i
. Memisahkan bidang [x
j
] x
j
[x
j
] + 1 dengan [v] sebagai integer terbesar yang
v dengan membuat dua subproblem LP yang sesuai dengan
x
j
[x
j
] dan x
j
[x
j
] + 1 Menentukan i = i + 1, dan kembali ke langkah 1.
6 Contoh:
Misalkan diberikan masalah IP sebagai berikut: Maksimalkan z = 8x
1
+ 5x
2
terhadap x
1
+ x
2
6 9x
1
+ 5x
2
45 x
1
, x
2
0, x
1
, x
2
integer. 1
Solusi optimal dari LP-relaksasi contoh tersebut LP adalah z = 41,25, x
1
= 3,75, dan x
2
= 2,25. Daerah fisibel LP-relaksasi dari masalah di atas dapat dilihat pada Gambar 1. Menurut metode Branch and Bound, karena solusi optimal LP-
relaksasi tersebut tidak memenuhi syarat integer, maka harus dibuat subproblem baru. Dipilih sembarang variabel x
i
optimal yang tidak memenuhi syarat integer, misalnya x
1
= 3,75, sehingga bidang 3 x
1
4 bukan daerah fisibel bagi masalah IP dan harus dipisahkan. Ruang LP
semula diganti dengan dua ruang LP yakni LP
1
dan LP
2
yang didefinisikan sebagai berikut: Ruang LP
1
= ruang LP + kendala x
1
4. Ruang LP
2
= ruang LP + kendala x
1
3. Ruang LP
1
dan LP
2
dapat dilihat pada Gambar 2.
7 Gambar 1 Daerah Fisibel LP.
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
1 2
3 4
5 6
7
Gambar 2 Grafik ruang LP
1
dan LP
2
. Dari gambar di atas terlihat batasan baru LP
1
dan LP
2
tidak dapat dipenuhi secara bersamaan, sehingga LP
1
dan LP
2
harus ditangani sebagai 2 LP yang
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
1 2
3 4
5 6
7
x
1
x
2
LP
1
LP
2
9 8
7 6
5 4
3 2
1 0 1 2 3 4 5 6 7
x
1
x
2
0 1 2 3 4 5 6 7 9
8 7
6 5
4 3
2 1
Solusi optimal LP x
1
=3,75 x
2
=2,25
8 berbeda. Masalah LP
1
dan LP
2
diselesaikan satu per satu. Misalkan LP
1
dipilih pertama kali untuk diselesaikan, sehingga permasalahan menjadi
Maksimalkan z = 8x
1
+ 5x
2
terhadap x
1
+ x
2
6 9x
1
+ 5x
2
45 x
1
4 x
1
, x
2
0. 2
Diperoleh solusi optimal untuk masalah LP di atas, yaitu z = 41, x
1
= 4 dan x
2
= 1,8. Karena solusi optimal LP
1
bukan solusi integer, berarti LP
1
tidak di- fathom-kan, maka dilakukan pencabangan di LP
1
menjadi 2 subproblem, yakni LP
3
dan LP
4
. Ruang LP
3
dan LP
4
didefinisikan sebagai berikut: Ruang LP
3
= ruang LP + kendala x
1
4 + kendala x
2
2 = ruang LP
1
+ kendala x
2
2. Ruang LP
4
= ruang LP + kendala x
1
4 + kendala x
2
1 = ruang LP
1
+ kendala x
2
1. Berikutnya akan dipecahkan LP
3
. Ternyata tidak ada solusi fisibel untuk LP
3
, berarti LP
3
di-fathom-kan. Dilanjutkan dengan menyelesaikan LP
4
. Diperoleh solusi optimal z = 40,56, x
1
= 4,44, dan x
2
= 1. LP
4
tidak di-fathom-kan, sehingga dibuat pencabangan di LP
4
, menjadi LP
5
dan LP
6
, dengan Ruang LP
5
= ruang LP
4
+ kendala x
1
5. Ruang LP
6
= ruang LP
4
+ kendala x
1
4. Solusi optimal dari LP
6
adalah x
1
= 4 dan x
2
= 1, dengan z = 37. Karena solusi LP
6
integer, maka LP
6
di-fathom-kan. Nilai z = 37 sebagai batas bawah calon solusi optimal IP. Solusi optimal dari LP
5
adalah x
1
= 5 dan x
2
= 0, dengan z = 40. Karena solusi LP
5
juga integer, maka LP
5
di-fathom-kan. Nilai z = 40 melebihi batas bawah sebelumnya z = 37, sehingga solusi LP
6
bukan solusi optimal IP. Calon batas bawah untuk solusi optimal IP adalah z = 40.
Tinggal LP
2
yang belum terselesaikan. Dari penghitungan diperoleh solusi optimal LP
2
z = 39, x
1
= 3, dan x
2
= 3, yang berupa solusi integer, sehingga LP
2
di-fathom-kan. Nilai z = 39 tidak melebihi batas bawah terakhir z = 40, sehingga solusi LP
2
bukan solusi optimal IP.
9 Karena semua subproblem sudah di-fathom-kan, maka pencabangan
berhenti. Diperoleh solusi optimal z = 40 dari penyelesaian LP
5
dengan x
1
= 5, dan x
2
= 0. Penggunaan metode Branch and Bound untuk menyelesaikan masalah IP pada contoh di atas dapat dilihat pada Gambar 3. Penghitungan nilai-nilai variabel
dilakukan dengan bantuan software Lingo 10 dapat dilihat pada Lampiran 1.
Gambar 3 Pencabangan dengan metode Branch and Bound untuk menemukan solusi IP.
z = 41,25, x
1
= 3,75, dan x
2
= 2,25
z = 41, x
1
= 4, dan x
2
= 1,8 z = 39, x
1
= 3, dan x
2
= 3
Tanpa solusi z = 40,56, x
1
= 4,44, dan x
2
= 1
z = 40, x
1
= 5, dan x
2
= 0 batas bawah optimal
z = 37, x
1
= 4, dan x
2
= 1 x
1
4 x
1
3
x
2
2 x
2
1
x
1
4 x
1
5 LP
1
LP
2
LP
3
LP
4
LP
5
LP
6
LP
BAB III DESKRIPSI DAN PEMODELAN MASALAH
PEMAKSIMALAN KEUNTUNGAN DI PT MCD
3.1 Sumber dan Waktu Pengambilan Data
