8
Definisi.3
Sistem bilangan kompleks adalah himpunan bilangan kompleks yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian. Sistem
bilangan kompleks ditulis dengan C,+.. supriyono, 1992:1 .
2.1.2 Bilangan kompleks sekawan
Definisi.4 jika z = x + iy
∈ C maka ⎯z= x – iy ∈ C disebut bilangan kompleks sekawan.
Sifat-sifat bilangan sekawan. 1.
⎯z = z. Bukti.
Misal z = x + iy. Jelas
⎯z = x – iy = x – -iy = x + iy = z. 2.
z
1
+z
2
= ⎯z
1
+ ⎯z
2
. Bukti.
Misal z
k
= x
k
+ iy
k
, k = 1, 2. Jelas z
1
= x
1
+ iy
1
dan z
2
=x
2
+ iy
2
Jelas z
1
+ z
2
= x
1
+ iy
1
+ x
2
+ iy
2
= x
1
+ x
2
+ i y
1
+ y
2
= x
1
+ x
2
- i y
1
+ y
2
= x
1
+ x
2
- iy
1
- iy
2
= x
1
–iy
1
+ x
2
– iy
2
= ⎯z
1
+ ⎯z
2
. 3.
z
1
-z
2
= ⎯z
1
- ⎯z
2
Misal z
k
= x
k
+ iy
k
, k = 1, 2.
9
Jelas z
1
= x
1
+ iy
1
dan z
2
=x
2
+ iy
2
Jelas z
1
- z
2
= x
1
+ iy
1
– x
2
+ iy
2
= x
1
- x
2
+ i y
1
- y
2
= x
1
- x
2
- i y
1
- y
2
= x
1
- x
2
- iy
1
+ iy
2
=x
1
- iy
1
– x
2
– iy
2
= ⎯z
1
- ⎯z
2
. 4.
z
1
.z
2
= ⎯z
1
. ⎯z
2
. Bukti.
Misal z
k
= x
k
+ iy
k
, k = 1, 2. Jelas z
1
= x
1
+ iy
1
dan z
2
=x
2
+ iy
2
Jelas z
1
. z
2
= x
1
+ iy
1
x
2
+ iy
2
= x
1
x
2
+ ix
1
y
2
+ ix
2
y
1
– y
1
y
2
= x
1
x
2
-y
1
y
2
+ i x
1
y
2
+ x2y
1
= x
1
x
2
-y
1
y
2
– ix
1
y
2
+ x
2
y
1
=x
1
x
2
-ix
1
y
2
- ix
2
y
1
– y
1
y
2
=x
1
– iy
1
x
2
– iy
2
= ⎯z
1
. ⎯z
2
. 5.
= .
Bukti. Misal z
k
= x
k
+ iy
k
, k = 1, 2. Jelas z
1
= x
1
+ iy
1
dan z
2
=x
2
+ iy
2
Misal = z
10
Jadi z
1
= z . z
2
Ù ⎯z
1
= z. z
2
= ⎯z . ⎯z
2
Ù ⎯z = Ù = .
6. z.z=x
2
+y
2
. Bukti.
Misal z = x + iy Jelas
⎯z =x – iy. Jedi z .
⎯⎯z = x + iy x – iy = x
2
– ixy + ixy + y
2
= x
2
+ y
2
. 7.
z + ⎯z=2Rez.
Bukti. Misal z = x + iy
Jelas ⎯z =x – iy.
Jadi z + ⎯z = x + iy + x – iy
= 2x = 2Rez.
8. z -
⎯z=2i Imz.
11
Bukti. Misal z = x + iy
Jelas ⎯z =x – iy.
Jadi z - ⎯z = x + iy - x + iy
= 2y = 2 Imz.
2.1.3 Nilai mutlak bilangan kompleks.
Definisi.5
Jika z = x + iy, maka modulus z adalah panjang dari vektor Z ditulis |z|, dimana |z| =
. Contoh 1.
Tentukan modulus dari z jika z = 7 - 4i. Penyelesaian:
|z| = =
= .
2.2
Matriks dan operasi pada matriks..
2.2.1. Matriks Real
Tujuan dari bagian ini untuk mengetahui pengertian matriks, jenis-jenis matriks dan sifat sifat matriks.
Definisi.6
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan- bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut entri dalam matriks.
Howard anton, 1992:22 Contoh2. susunan matriks:
12
1. 2.
Seperti yang ditunjukan oleh contoh di atas, maka ukuran matriks-matriks bermacam besarnya. Ukuran matriks dijelaskan dengan banyaknya baris garis
horisontal dan banyaknya kolom garis vertikal yang terdapat dalam matriks tersebut. Matriks pertama dalam contoh mempunyai 2 baris dan 2 kolom sehingga
ukurannya adalah 2 kali 2 yang dituliskan 2 X 2. Angka pertama selalu menunjukan banyaknya baris dan angka kedua menunjukan banyaknya kolom.
2.2.2. Matriks kuadrat.
