31
Penyelesaian:
=
Karena matriks A
t
mempunyai 2 baris tak nol maka ruang baris A berdimensi 2 jadi Rang A=2.
2.8
Ruang Hasil Kali Dalam
Ruang hasil kali dalam merupakan ruang vektor yang dilengkapi dengan operasi hasil kali dalam.
2.8.1 Hasil Kali Dalam
Definisi.30 Misalkan V adalah suatu ruang vektor, dan
⎯u, ⎯v, ⎯w ∈ V,
notasi , dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai
berikut: 1
⎯u ,⎯v = ⎯u ,⎯v Simetris
2 ⎯u +⎯w,⎯v = ⎯u ,⎯w + ⎯u ,⎯v
Aditivitas. 3
Untuk setiap k ∈ R, berlaku k
⎯u ,⎯v = ⎯u , k⎯v = k ⎯u ,⎯v Homogenitas
4 ⎯u ,⎯u ≥ 0, dan ⎯u ,⎯u = 0 Ù ⎯u =⎯0 .
Positivitas.
32
Definisi.31
Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam
dinamakan ruang hasilkali dalam RHD. Jika V merupakan suatu ruang hasil
kali dalam, maka norm panjang sebuah vektor u dinyatakan oleh yang
didefinisikan oleh : .
Anton, 1992,
175.
Contoh
Misalnya W ⊆ R
3
yang dilengkapi dengan operasi hasil kali berbentuk : ⎯u , ⎯v = 2u
1
v
1
+ u
2
v
2
+ 3u
3
v
3
, ∀
⎯u , ⎯v ∈ W Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam RHD.
Bukti :
Misalnya ⎯ u, ⎯ v ,⎯ w ∈ W
i ⎯u ,⎯v = 2u
1
v
1
+ u
2
v
2
+ 3u
3
v
3
= 2 v
1
u
1
+ v
2
u
2
+ 3 v
3
u
3
= v , u terbukti
simetris ii
⎯u +⎯v,⎯w = u
1
+v
1
, u
2
+v
2
, u
3
+v
3
, w
1
, w
2
, w
3
= 2u
1
+ v
1
w
1
+ u
2
+v
2
w
2
+ 3u
3
+v
3
w
3
= 2u
1
w
1
+ 2v
1
w
1
+ u
2
w
2
+ v
2
w
2
+ 3u
3
w
3
+ 3v
3
w
3
= 2u
1
w
1
+u
2
w
2
+ 3u
3
w
3
+ 2v
1
w
1
+ v
2
w
2
+ 3v
3
w
3
= u,w + v,w terbukti
aditivitas iii
Untuk setiap k ∈ R, k ⎯u ,⎯v = ku
1
, ku
2
, ku
3
, v
1
, v
2
, v
3
33
= 2ku
1
v
1
+ ku
2
v
2
+ 3ku
3
v
3
= k.2u
1
v
1
+ ku
2
v
2
+ k.3u
3
v
3
= k ⎯u ,⎯v
=k 2u
1
v
1
+ u
2
v
2
+ 3u
3
v
3
= 2ku
1
v
1
+ ku
2
v
2
+ 3ku
3
v
3
= 2u
1
kv
1
+ u
2
kv
2
+ 3u
3
kv
3
= ⎯u ,k⎯v
terbukti homogenitas.
iv ⎯u ,⎯u = 2u
1 2
+ u
2 2
+ 3u
3.
Jelas bahwa u, u ≥ 0, untuk setiap u, dan
u, u = ⎯0 ⇔ u = ⎯0 terbukti memenuhi sifat positifitas. Jadi W adalah ruang
hasilkali dalam RHD.
2.9
Basis Ortonormal Dan Proses Gramm-Schmidt
Definisi.32 Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam
dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal saling tegak lurus. Sebuah himpunan
ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 dinamakan ortonormal anton, 1992: 192. Secara matematis misalkan T = {
⎯c
1
, ⎯c
2
, …., ⎯c
n
} pada suatu RHD, T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika Setiap vektor didalam T
berlaku ⎯c
i
, ⎯c
j
= 0, ∀ i ≠ j, I, j = 1, 2, 3, …., n. T dikatakan himpunan
34
ortonormal jika T merupakan himpunan ortogonal dan untuk setiap vektor c
i
∈ T, maka
.
Definisi.33 Misal S = {
⎯d
1
, ⎯d
2
, …, ⎯d
n
} merupakan basis bagi suatu RHD V dan S merupakan himpunan ortonormal, maka S dinamakan Basis
Ortonormal.
Definisi.34
. Proses Gramm Schmidt adalah proses untuk mentransformasi basis S = {
⎯c
1
, ⎯c
2
, …, ⎯c
n
} pada suatu RHD V menjadi basis ortonormal B = {
⎯w
1
, ⎯w
2
, …, ⎯w
n
} dimana
Misalkan V adalah sebarang ruang hasil kali dalam berdimensi n, dan misalkan S = {u
1
, u
2
, …, u
n
}. Langkah – langkah melakukan proses Gramm-Schmidt untuk mendapatkan basis ortonormal {v
1
, v
2
, …, v
n
} untuk V adalah sebagai berikut. Langkah 1. Misalkan
. Jadi vektor v
1
mempunyai norma 1. Langkah 2. Untuk membangun vektor u
2
yang normanya 1 yang orthogonal dengan v
1
, kita hitung komponen u
2
yang orthogonal terhadap ruang W
1
yang direntang oleh v
1
dan kemudian normalisasikan komponen u
2
tersebut, diperoleh .
Jadi vektor mempunyai norma 1.
Langkah 3. Untuk membangunb vektor v
3
dari norma 1 yang orthogonal baik terhadap v
1
maupun v
2
, kita perlu menghitung komponen u
3
yang orthogonal
35
terhadap ruang W
2
yang direntang oleh v
1
dan v
2
dan menormalisasikannya sebagai berikut.
Jadi vektor mempunyai norma 1.
Langkah 4. Untuk menentukan vektor v
4
dari norma 1 yang orthogonal terhadap v
1
, v
2
, v
3
, kita hitung komponen u
4
yang orthogonal terhadap ruang W
3
yang direntang oleh v
1,
v
2
,v
3
dan menormalisasikannya. Jadi
Dengan meneruskannya dalam cara ini, kita akan mendapatkan himpunan ortonormal dari vektor – vektor {v
1
, v
2
, …, v
n
}merupakan basis ortonormal untuk V.
2.10
Matriks kompleks.
Definisi.35 Matriks kompleks adalah matriks yang entri-entri nya berisi
bilangan kompleks. Misalkan M=m
ij
adalah suatu matriks mxn Dengan m
ij
= a
ij
+ib
ij
untuk setiap i dan j. Kita dapat menuliskan M dalam bentuk M=A+iB Dimana A=a
ij
dan B=b
ij
mempunyai entri bilangan real. secara
umum . Kita
mendefinisikan matriks sekawan M dengan M = A - iB.
36
Secara umum ⎯M =
Jadi M = adalah matriks yang terbentuk dengan mengambil kompleks sekawan dari setiap entri M. Konjugat dari A ditulis
⎯A merupakan matriks yang diperoleh dengan menegasikan bagian imajiner dari A. Transpos konjugat dari A
dilambangkan dengan A
H
= ⎯A
t
. Ruang vektor dari semua matriks mxn dengan entri kompleks dilambangkan sebagai C
mxn
. Diberikan 2 matriks A =[a
ij
], B=[b
ij
] dan skalaar
α, ß maka berlaku : 1.
A
H H
= A 2.
αA+ßB
H
= αA
H
+ ß B
H
3. AB
H
= B
H
A
H
. Bukti
1. A
H H
= ⎯a
ji H
= ⎯a
ij
= a
ij
= A. 2.
αA+ßB
H
= α a
ij
+ ß b
ij H
= α a
ij
+ ß b
ij H
= α a
ij
+ ß b
ij t
= α a
ji
+ ß b
ji
= = α a
ji
+ ß b
ji
= α
⎯a
ji
+ ß ⎯b
ji
= αA
H
+ßB
H
. 3.
AB
ij H
=
37
2.10.1 Matriks uniter
