PERSAMAANPERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
25. PERSAMAANPERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
SOAL
PENYELESAIAN
1. Penyelesaian persamaan
2 2 2 log(3x + 5x + 6) – log(3x + 1) = 2 log(3x + 5x + 6) – log(3x + 1) = 2 adalah α 2 2 2 2 2 ⇔ log(3x + 5x + 6) – log(3x + 1) = log2
dan β . Untuk α > β , nilai α – β =…
⇔ 2 + 5x + 6 = 4(3x + 1) 3x
(3x – 1)(x – 2) = 0
(i) 3x – 1= 0
(ii) x – 2 = 0 x= 1 = β x=2= α 3
Jadi: α – β =2– 1 =1 3 2 3 ……………………(c)
4 2. 2 Akar-akar persamaan log(2x – 3x + 7) = 2
4 log(2x 2 – 3x + 7) = 2 adalah x 1 dan x 2 . Nilai 4x 1 ·x 2 =…
a. –6
2 2 ⇔ 2 log( 2 − 3 x + 7 ) = log 2
b. –18
2 ⇔ 2 1
2 log( 2 − 3 x + 7 ) = log 4
c. 10
2 2 ⇔ 2 log( 2 − 3 x + 7 ) = log 4
Bentuk akhir di atas adalah persamaan kuadrat, sehingga nilai 4x 1 ·x 2 dapat diketahui tanpa harus menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu.
2 = 2(– 9) = –18 ………………(b)
3. Batas-batas nilai x yang memenuhi
log(x – 2x + 1) ≤ 2
log(x – 2x + 1) ≤ 2 adalah …
3 2 3 ⇔ 2 log(x – 2x + 1) ≤ log 3
a. –2 ≤ x ≤ 4, x ≠ 1 3 2 3
⇔ log(x – 2x + 1) ≤ log 9
b. 1 ≤ x ≤ 4
(i) pertidaksamaan
c. 2 1
d. –4 ≤ x ≤ 1 (x + 2)(x – 4) ≤ 0
e. –4 < x < 4, x ≠ 1 pembentuk nol
•
x+2=0
• x–4=0
x = –2
x=4
x = {– 2, 4} (ii) numerus
x 2 – 2x + 1 > 0 ⇔ 2 (x – 1) >0
pembentuk nol x = {1}
grafik himpunan penyelesaian
berdasarkan bagan di atas, maka: HP = {–2 ≤ x ≤ 4, x ≠ 1} …………………..(a)
4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
log(x + 2x) < ½ adalah …
log(x + 2x) < 2
log( + 2 x ) <
⇔ 2 log( + 2 x ) <
d. –3 ≤ x ≤ 1 atau 0 < x < 2 ⇔ log( + 2 x ) <1
⇔ log( + 2 x ) < log 3
e. –3 < x < –2 atau 0 < x <1
i) pertidaksamaan x 2 + 2x < 3
x 2 + 2x – 3 < 0 (x + 3)(x – 1) < 0 pembentuk nol
• x+3=0
• x–1=0
x = –3
x=1
x = {– 3, 1} (ii) numerus
x 2 + 2x > 0 ⇔ x(x + 2) > 0
pembentuk nol x = {0, – 2}
Grafik himpunan penyelesaian
berdasarkan bagan di atas, maka: HP = {–3 < x < –2 atau 0 < x <1} …………..(e)
5. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
log( x
− 8 ) > 0
log( x
− >
8 ) 0 adalah …
a. {x | –3 < x < 3
⇔ 2 2 log( x − 8 ) 2 > log 1
b. {x | – 2
(i) pertidaksamaan
c. {x | x < –3 atau x < 3
Karena bilangan pokok 1 < 1, maka tanda
d. {x | x < – 2 atau x <
e. {x | –3 < x < – 2 atau
2 pertidaksamaan berubah < x < 3}
x 2 –8<1 ⇔ 2 x –9<0 ⇔ (x + 3)(x – 3) < 0
pembentuk nol x = {– 3, 3}
(ii) numerus x 2 –8>0
pembentuk nol x 2 =8
x= ± 8 x= ± 2
berdasarkan bagan di atas, maka:
2 < x < 3} ………………………………………..…..(e)
HP = {x | –3 < x < – 2 atau
6. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan
2
2 − x ) ≥ log( x + 3 ) log(
1 1
− x ) ≥ log( x + 3 ) adalah …
(i) pertidaksamaan
Karena bilangan pokok 1 2 < 1, maka tanda
b. {x | –1 ≤ x < 0 atau 1< x ≤ 3, x ∈ R
pertidaksamaan berubah
c. 2 {x | x < 0 atau x > 1, x ∈ R –x x ≤ x+3
⇔ 2 x –x–x–3 ≤ 0
d. {x | –1 ≤ x < 0 atau x ≥ 3, x ∈ R 2
⇔
x – 2x – 3 ≤ 0
e. {x | x ≥ 0 atau –1 ≤ x ≤ 3, x ∈ R
⇔ (x + 1)(x – 3) ≤ 0
pembentuk nol x = {– 1, 3}
(ii) numerus
a) x 2 –x>0
pembentuk nol x = {0, 1}
berdasarkan bagan di atas, maka: HP = {x | –1 ≤ x < 0 atau 1< x ≤ 3, x ∈ R}
……………………………………………..(b)