Cuplikan Soal dan Pembahasan UN Matemati
CUPLIKAN
KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN
UJIAN NASIONAL MATEMATIKA SMA PROGRAM IPA
Diijinkan memperbanyak untuk kepentingan pendidikan, asal tetap menyertakan alamat situsnya
COPYRIGHT © www.soalmatematik.com 2009
1. PANGKAT RASIONAL, BENTUK AKAR DAN LOGARITMA
1. Nilai dari
27 3 3 1 27 3 1 ( 3 ) 3 1 − () 2 () ()
2 − 2 adalah …
……………………………(e)
e. 6 5
2. Diketahui a = 9; b = 16; dan c = 36. Nilai dari
1 3 3
3 − 1 2
1 1
3 − 2
⋅ − a b c = 9 16 ⋅ 36
()() ⋅
2 ⋅ 2 =3 = 9 …………………..(c)
3 25 16 27 3 27 ( 5 ) 2 ( 2 ) 4 ( 3 ) 3. 3 Nilai dari 3
× 81 625 × 81 4 ( 4 5 ) × ( 3 )
() 2 = = 2 ………….(a)
e. 1 36
4. Bentuk sederhana dari
3 2 − 4 3 )( 2 + 3 ) =…
( 3 2 − 4 3 )( 2 + 3 )
a. –6– 6 ⇔ 3 2 ( 2 + 3 ) − 4 3 ( 2 + 3 )
b. 6– 6 ⇔ 3 ( 2 ) + 3 6 4 6 − 4 ( 3 )
c. –6+ 6 ⇔ 6 − 12 + ( 3 − 4 ) 6 =–6–
6 …. (a)
d. 24 – 6
e. 18 + 6
27 45 27 45 9 ⋅ 3 − 9 ⋅ 5
5. Bentuk sederhana
adalah …
d. 14 =
= 3 …………... (c)
64 log 6 3 + 2 log 6. 2 Nilai dari
c. − 10 3 2 +
3 = 10 − − 2 3 ……….. (c)
7. Diketahui log 2 = a dan log 3 = b, maka nilai
log 3 2 15 sama dengan …
= 3 (log 5 + log 3 )
3 (log 2 + log 3 )
= 3 (log 10 − log 2 + log 3 )
2 8. 3 Diketahui log 5 = p dan log 2 = q. Nilai
3 3 2 p + = 3 ⋅ log 5 + log 3
a.
q
3 2 1 = 3 log 2 ⋅ log 5 +
p
log 2
…………….(c)
p + 3
q
d.
q
3 2 p
e. +
q
7 2 9. 6 Jika log 2 = a dan log3 = b, maka log 14 = …
6 log 14 log 2 log 7
log 14 =
=
log 6 log 2 + log 3
1 + b
……………..(c)
2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
SOAL
PENYELESAIAN
1. 2 Akar-akar persamaan kuadrat x + (a – 1)x + α=2 β
c
2 = 0 adalah α dan β . Jika α = 2 β dan a > 0
(i) α ⋅ β =
maka nilai a = …
β 2 =1 3 β =1–a β = ± 1 3(–1) = 1 – a
β = 1 atau β = –1
a =1+3 = 4 ……...(c)
2. 2 Persamaan kuadrat 2x + 3x – 5 = 0,
mempunyai akar-akar x 1 dan x 2. Persamaan Pers kuadrat lama :
kuadrat baru yang akar-akarnya (2x 2
1 – 3) dan 2x + 3x – 5 = 0, a = 2, b= 3, c = – 5
(2x 2 – 3) adalah …
2 Akar-akar persamaan kuadrat baru
=2 ( − b –6=2 ( − a 3 ) 2 ) –6=–3–6=–9 (ii) α · β = (2x 1 – 3) (2x 2 – 3)
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah
x 2 –( α + β )x + ( α · β )=0 ⇔ 2 x – (– 9)x + 8 = 0 ⇔ 2 x + 9x + 8 = 0 …………………………(b)
3. 2 Diketahui akar-akar persamaan kuadrat 2x – 4x + 1 = 0 adalah α dan β . Persamaan kuadrat
Pers kuadrat lama :
baru yang akar-akarnya α dan
β 2 2x – 4x + 1 = 0, a = 2, b = – 4, c = 1
β adalah … α
a. 2 x – 6x + 1 = 0
Akar-akar persamaan kuadrat baru
b. 2 x + 6x + 1 = 0
α
β
β
α
d. x + 6x – 1 = 0
α β
e. 2 x – 8x – 1 = 0
(i) x 1 +x 2 =
β α α 2 + β
αβ
( 2 α + β ) − 2 ( α ⋅ β )
αβ
α β
(ii) x 1 · x 2 =
β =1 α
·
Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah
1 +x 2 )x + (x 1 ·x 2 )=0 ⇔ 2 x – 6x + 1 = 0 ………………………..(a)
x 2 – (x
4. 2 Persamaan kuadrat (k + 2)x – (2k – 1)x + k – Akar-akarnya nyata dan sama, maka
1 = 0 mempunyai akar-akar nyata dan sama. x 1 = x 2 dan D = 0
Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah… 2 (i) D = b – 4ac
d. − b 2 − 1 2 () −
(ii) x 1 +x 2 =
= 10 8 × 2 25 = 5 ….(d)
5. Agar persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat memiliki dua akar nyata
x 2 + (a – 1)x – a + 4 = 0 mempunyai dua akar berbeda, maka D > 0 nyata berbeda, maka nilai a yang memenuhi D>0
adalah … 2 b – 4ac > 0
a. a < –5 atau a > 3 2 ⇔ (a – 1) – 4 (1)( – a + 4) > 0
b. a < –3 atau a > 5
⇔ 2 a – 2a + 1 + 4a – 16 > 0
c. a < 3 atau a > 5
⇔ 2 a + 2a – 15 > 0
d. –5 < a < 3
⇔ (a + 5)(a – 3) = 0
e. –3 < a < 5
a = { –5, 3}
karena tanda pertidaksamaannya > , maka HP menggunakan tanda hubunga atau ..………….(a)
6. Himpunan penyelesaian dari x(2x + 5) < 12 Pertidaksamaan : x(2x + 5) < 12 adalah … 2 ⇔ 2x + 5x – 12 < 0
a. {x | x < –4 atau x > 3 2 ,x ∈ R}
Pembentuk nol : 2x 2 + 5x – 12 = 0
b. {x | x < 3 2 atau x > 4, x ∈ R}
⇔ ( x + 4)(2x – 3)= 0
x = {–4, c. 3 {x | –4 < x < –
2 ,x ∈ R}
d. Karena tanda pertidaksamaannya <, maka HP ada {x | – 3 2 < x < 4, x ∈ R}
di tengah ………..…………………………..(e)
e. {x | –4 < x < 3 2 ,x ∈ R}
7. Ordinat titik balik maksimum grafik fungsi
2 (i) Ordinat titik balik maksimum : y e = D − 4 a
y = –x – (p – 2)x + (p – 4) adalah 6. Absis titik balik maksimum adalah …
(p – 2) – 4(–1)(p – 4) = 6 (– 4)( –1)
(ii) Absis titik balik maksimum : x e = b
= – 2 ……….(b)
8. Persamaan grafik fungsi kuadrat dari grafik di Karena grafik memotong sumbu X di (–1, 0), dan bawah ini adalah …
(5, 0), serta memotong sumbu Y di (0, 3), maka
a. y= 1 − 2 ( + 1 )( x − 5 ) gunakan rumus: y = a(x – x 1 )(x – x 2 )
b. y= 2 − 5 ( + 1 )( x − 5 ) (i) tentukan nilai a
c. y= 3 − 5 ( + 1 )( x − 5 ) y = a(x – x 1 )(x – x 2 )
− 3 = a(0 + 1)(0 – 5)
Dengan melihat nilai a, sudah dapat diketahui jika jawaban yang benar adalah ……………….. (c)
9. Grafik fungsi kuadrat dengan titik balik (–1, 4) Karena grafik memiliki titik ekstrim (–1, 4) dan dan melalui titik (–2, 3), memotong sumbu Y melalui itik (–2, 3), maka gunakan rumus:
di titik … 2 y = a(x – x
e ) +y e
a. (0, 3)
(i) tentukan nilai a
3–4=a
e. (0, 1)
a = –1 (ii) substitusikan nilai a ke rumus
(iii) grafik memotong sumbu Y, maka x = 0
y = –x 2 – 2x + 3 y=0 2 – 2(0) + 3 = 3
Jadi, grafik memotong sumbu Y di titik (0, 3) …………………………….(a)
3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR
3 x 7 y + 2 z = 8 Untuk soal model seperti ini (ditanyakan nilai x,
4 x + 2 y − 5 z = 19 adalah …
y, dan z) cukup lakukan cek point saja terhadap
jawaban yang di sediakan.
6 y − 4 z = 14
a. x = 5, y = 3, dan z = 1
(i) Lihat dulu jawaban yang sudah pasti
b. kebenarannya, x = 4, y = –5, dan z = 1
c. x = –3, y = 4, dan z = 1
Gunakan pers. 3, karena bentuknya yang
d. x = –5, y = 3, dan z = 2
paling sederhana
7 = 7 …..(OK) Nilai y dan z pada jawaban a dan e sama,
maka kemungkinan jawaban yang benar ada di a atau e
(ii) gunakan pers. 1 untuk memeriksa
kebenaran jawaban a
a. x = 5, y = 3 dan z = 1 3x + 7y + 2z = 8 3(5) + …+ … ≠ 8 ………. Salah
karena ruas kiri ≠ ruas kanan maka dapat diketahui jika jawaban a adalah salah
yang benar adalah ……………………….(e)
linear Gunakan permisalan
Misal = a , = b , = c maka persamaan
− = 3 . Nilai x + y + z = …
awal menjadi:
y z
1 a + = 2 .......... ...( 1 ) − = 2
2 b − c = 3 .......... .( 2 )
x z
a. 3 a − c = 2 .......... .....( 3 )
b. 2
c. 1 gunakan metode eliminasi
d. 1 2 (i) eliminasi (hilangkan) a
b = – c ……………………..(4)
(ii) substitusi (4) ke (2) 2b – c = – 3
(iii) substitusi c = 1 ke (4)
⇒y=–1 y
(iv) substitusi b = – 1 ke (1)
a+b=2 a–1=2
∴ Nilai x + y + z = 1 –1+1= 3 1 3 ………(e)
3. Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke Masalah tersebut jika disajikan dalam tabel adalah: toko koperasi membeli buku tulis,
Buku (x) Pena (y) Pensil (z) Bayar
pena, dan pensil dengan merk yang sama. Ali membeli 3 buku tulis, 1
Ali
pena, dan 2 pensil dengan harga Rp
Budi
11.000,00. Budi membeli 2 buku tulis, 3 pena, dan 1 pensil dengan
Cici
harga Rp 14.000,00. Cici membeli 1
Dedi
buku tulis, 2 pena, dan 3 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Dedi membeli 2 buku tulis, 1 pena, dan 1 Sistem persamaannya adalah:
pensil. Berapa rupiah Dedi harus 3 x y + 2 z = 11 . 000
a. Rp 6.000,00
x 2 y + 3 z = 11 . 000
b. Rp 7.000,00
c. Rp 8.000,00
d. Rp 9.000,00
e. Rp 10.000,00
Untuk menyelesaikan permasalah di atas gunakan metode eliminasi berantai (i) (2) dan (3)
2 x 3 y + z = 14 . 000
………….(2)
− ………….(3) x ……….…(4) + y − 2 z = 3 . 000
………….(5)
(ii) (1) dan (2)
3 x y + 2 z = 11 . 000
………….(1)
2 x 3 y + z = 14 . 000
− ………….(2)
x − 2 y + z = 3 . 000
(v) substitusi z = 1.000 ke pers (5)
……….…(6)
y + 5z = 8.000
(iii) (4) dan (6)
y + 5(1.000) = 8.000
x + y − 2 z = 3 . 000
………….(4)
y = 3.000
x − 2 y + z = 3 . 000
………….(6)
(vi) substitusi y = 3.000 dan
−
y − 3 z = 6 . 000
z = 1.000 ke pers. (2)
2x + 3y + z = 14.000
y − z = 2 . 000
…………(7)
2x + 3(3.000) + 1.000 = 14.000 2x = 14.000 – 10.000 = 4.000
(iv) (5) dan (7)
y + 5 z = 8 . 000
………….(5)
∴ 2x + y + z = 4.000 + 3.000 + 1.000
y −
= 8.000 …………..(c)
− ………….(7)
6 . 000 z = 1 . 000
4. TRIGONOMETRI I
SOAL
PENYELESAIAN
1. Nilai cos ∠ BAD pada gambar adalah …
Gunakan bantuan tali busur BD
a. 17
33 o Jumlah dua sudut yang berhadapan dalam
b. 17 28 segi-4 adalah 180 ° , sehingga:
d. 30 34 o Panjang BD dapat dicari dengan menggunakan BCD dan BAD
2 2 BD 2 =3 +3 –2 ⋅ 3 ⋅ 3 cos C = 9 + 9 – 18 cos (180 ° – A)
= 18 – 18 (–cos A) = 18 + 18 cos A …………………(1)
(ii) ∆ BAD
2 2 BD 2 =4 +6 –2 ⋅ 4 ⋅ 6 cos A = 16 + 36 – 48 cos A
= 52 – 48 cos A ………………..(2)
Dari pers. (1) dan pers. (2) diperoleh
66 cos A = 34 cos A = 34 66 17 = 33 …………(a)
2. Seorang siswa SMA ingin menaksir tinggi Menentukan panjang P’Q gedung PQ yang tegak lurus permukaan tanah (i) ∆ A’B’Q
horizontal AP. Di A ia melihat puncak
P Q
gedung Q dengan sudut 30º dan di B dengan
tan 30º =
A B '
sudut 60º. Jika AB = 10 meter dan tinggi mata siswa tersebut 1½ meter dari permukaan
1 P ' 3 Q =
tanah, maka PQ terletak di antara ….. m
P’Q = 1 3 (10 + B’P’) ……………(1)
(ii) ∆ B’P’Q P Q
3 B’P’ …………………….(2)
a. 8½ – 9
Dari pers. (1) dan pers. (2) diperoleh:
{ 1 3 (10 + B’P’) =
3 B’P’}×
e. 10½ – 11
10 + B’P’ = 3 B’P’ 3B’P’ – B’P’ = 10 2B’P’ = 10
B’P’ = 10 2 =5
Maka P’Q =
3 B’P’ = 5 3
Dengan demikian: PQ = P’Q + PP’ = 5
3 + 1,5 = 8,5 lebih + 1,5
= 10 lebih ……………..(d)
3. Pada segitiga lancip ABC diketahui panjang sisi
x cos B = 4 = , maka
AC = 4cm, AB = 5 cm, dan cos B = 4 ,
r
maka cos C = …
jadi: sin B =
d. 1 3 7 Gunakan aturan sinus
sin C 3 5 4sin C = 3
3 y
sin C = 2 = , maka x = 4 − 3 = 7
4 r
jadi: cos C =
………………….(b)
4. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 60 mil dengan arah 40 °
dari A, kemudian berputar haluan dilanjutkan ke pelabuhan C sejauh 90 mil, dengan arah 160 ° dari B. Jarak terdekat dari pelabuhan A ke C adalah … mil
berdasarkan gambar di atas panjang AC dapat dicari dengan menggunakan aturan kosinus.
2 2 AC 2 = 60 + 90 –2 ⋅ 60 ⋅ 90 cos 60 = 3.600 + 8.100 – 2 ⋅ 5400 ⋅ 1 2
= 11.700 – 5.400 = 6.300 = 7 ⋅ 9 ⋅ 100 BC = 9 100 ⋅ 7 = 30 7 ……………..(c)
SOAL
PENYELESAIAN
5. Diketahui segiempat PQRS dengan PS = 5 cm, PQ = 12 cm, QR = 8cm, besar sudut
SPQ = 90 ° , dan besar sudut SQR = 150 ° . Luas PQRS adalah …
(i) tentukan panjang sisi QS
QS = 2 5 + 12 = 25 + 144 = 169 = 13
a. 2 46 cm
2 (ii) tentukan luas ∆ PQS dan ∆ QRS
b. 56 cm
2 • luas ∆ PQS = L 1
luas ∆ QRS = L 2 L 2 = 1 2 ⋅ QS ⋅ QR sin 150 °
= 1 2 ⋅ 13 ⋅ 8 sin (180 – 30) = 13 ⋅ 4 ⋅ sin 30 = 13 ⋅ 4 ⋅ 1 2 = 26
Jadi: Luas PQRS = L 1 +L 2 = 30 + 26 = 56 ……………(b)
6. Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF
dengan panjang rusuk AB = 6 cm, BC = 3 7 ,
dan AC = 3 cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah …
(i) Tentukan luas alas ABC
• menentukan besar sudut A
a. 55 2 36 cos A = 45 – 63 = – 18
b. 60 2
− x
cos A = 18 1
=– 2 = , diperoleh
y= 2 2 ( − 1 ) = 3
e. 120 3
sehingga sin A =
luas ABC adalah:
L= 1 AB 2 1 AC ⋅ ⋅ sin A = 2 ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ 1 2 3 = 9 2 3
(ii) Volume Prisma
V = luas alas × tinggi
= 9 2 3 × 20 = 90
3 ………………(d)
5. TRIGONOMETRI II
1. Nilai dari
adalah …
cos 10
c. 1 ⇔ 1 o
d. 1 2 {cos( 40 50 ) + cos( 50 − 40 2 )}
e. 1 2 cos 10 4 o ⇔ cos 90 + cos 10
2 cos 10 o
⇔ = 2 ……………………………..(b)
0 + cos 10 75 sin 15
2. Nilai dari
2 sin 1 ( 90 ) cos b. 1 – 2 2 2 ( 60 )
1 ⇔
2 ⋅
c. 3 2 cos 1 ( 120 ) cos 1 ( 90 o
3. 3 Diketahui sin A = 12 , cos B = ; A dan B
sudut lancip. Nilai tan (A + B) = …
Gunakan rumus A.3)
A + tan B
tan(A + B) =
1 − 16 16 12 11
= 56 33 ………………(a)
4. 2 Ditentukan sin A= 3 . Untuk π
nilai tan 2A = …
a. 2 6
⇒x= ()() 5 − 3
c. 5 − 3 5 = 6 2 −
maka tan 2A =
= –2 6 …………..….(e)
5. 8 1 Diketahui sin 1 α · cos α = . Dimislkan = N, maka
cos α
sin ⋅ cos α
a.
25 2 (cos − sin )
9 N =
(sin ⋅ cos α )
b. 2
c. 5 cos + sin − 2 sin cos
(sin ⋅ cos α )
d.
1 − 2 × 25 25 ()
………………………..(e)
SOAL
2
6. Pada segitiga ABC lancip, diketahui
= ,⇒y= 5 4
dan sin B =
cos A = 5 13 , maka sin C = …
5 r
a. 20 65 maka sin A = 3
maka cos B =
e. 65 13
Jumlah sudut suatu segitiga adalah 180 ° , maka
• A + B + C = 180 °
C = 180 ° – (A + B) sehingga sin C = sin {180 ° – (A + B)}
…………..(e)
65 65
6. TRIGONOMETRI III
SOAL
PENYELESAIAN
1. Hasil penjumlahan dari semua anggota
3tan x + cot x – 2 3 =0
himpunan penyelesaian persamaan
3tan x + cot x – 2 3 =0
⇔ 1
{3tan x +
– 2 3 = 0}× tan x
dengan 0 ≤ x ≤ 2 π adalah …
tan x
2
a. 5 π ⇔ 3tan x+1– 2 3 tan x = 0
3
⇔ 2 3tan x– 2 3 tan x + 1 = 0
3 tan x –1=0
Lihat rumus A.3) (i) x = 30º + k ⋅ 180º
untuk k = 0 ⇒ xº = 30º + (0 ⋅ 180º) = 30º untuk k = 1 ⇒ xº = 30º + (1 ⋅ 180º) = 210º
(ii) x = (180º + 30º) + k ⋅ 180º
= 210º + k ⋅ 180º untuk k = 0⇒ xº = 210º + (0 ⋅ 180º)= 210º
Jadi, jumlah HP adalah :
30º + 210º = 240º = 240 o π = 4 π ……………(b)
3
180
2. Diketahui persamaan
Gunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut
2 2cos 2 x + 3 sin 2x = 1 + 3 , untuk x + 3 sin 2x = 1 + 2cos 3
0 . Nilai x yang memenuhi adalah … ⇔ 2{ (1 + cos 2x)} + 3 sin 2x = 1 + 3 {cos 2x + 3 sin 2x = (i) 2xº + 30º = 60 ° + k · 360 ° (kwadran I) 2xº = 30 ° + k · 360 ° ° = 15 x ° + k · 180 ° untuk k = 0 ⇒ xº = 15 ° + (0 · 180 ° ) ° 15 = o π = π 12 180 = 15 (ii) 2x ° + 30 ° = 180 ° – 60 ° + k · 360 ° (kw II) ° 2x = 90 ° + k · 360 ° ° = 45 x ° + k · 180 ° untuk k = 0 ⇒ xº = 45 ° + (0 · 180 ° ) π = 4 Jadi, HP = { π 12 , π 4 } ………….…………(d) = 45 ° = 45 π 180 o 3. Himpunan penyelesaian persamaan Gunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut 2 3 cos 2x – 4 sin x·cos x = 2 2 3 cos 2x – 4 sin x·cos x = 2 a. 3 , 13 { π } dengan 0 ≤ x ≤ 2 π adalah … ⇔ 2 3 cos 2x – 2(2sin x·cos x) = 2 12 4 12 ⇔ {2 3 cos 2x – 2· sin 2x = 2} × 1 4 b. 3 5 { 13 , π ⇔ 1 3 cos 2x – 1 sin 2x = 1 ⇔ cos 2x · 2 3 – sin 2x · 2 = { 1 1 c. 1 13 5 , π 2 ⇔ cos 2x · cos 30 ° – sin 2x · sin30 ° = cos 60 ° d. 3 3 { π , e. 3 5 { 13 , π } 2 ⇔ cos (2x +30) ° = cos 60 ° (i) 2x ° +30 ° = 60 ° + k · 360 ° (kwadran I) ° 2x = 60 ° – 30 ° + k · 360 ° ° = 30 x ° – 15 ° + k · 180 ° ° = 15 x ° + k · 180 ° untuk k = 0 ⇒ xº = 15 ° + (0 · 180 ° ) = 15º = 15 π π = 12 180 o untuk k = 1 ⇒ xº = 15 ° + (1 · 180 ° ) = 195º = 195 = 13 180 π o π 12 (ii) 2x ° +30 ° = –60 ° + k · 360 ° (kwadran IV) ° 2x = –60 ° – 30 ° + k · 360 ° ° = –30 x ° – 15 ° + k · 180 ° ° = –45 x ° + k · 180 ° untuk k = 1 ⇒ xº = –45 ° + (1 · 180 ° ) = 135º = 135 = 3 π 180 o π 4 untuk k = 2 ⇒ xº = –45 ° + (2 · 180 ° ) = 315º = 315 o π = 4 180 7 π Jadi, HP = { π , 3 π , 7 12 π 4 , 13 12 π 4 } ……………(a) catatan: Jika Anda jeli, sebenarnya jawaban sudah nampak pada saat diperoleh nilai x = π 12 , yang hanya dimiliki oleh poin (a) sehingga perhitungan selanjutnya tidak perlu dilakukan supaya lebih menghemat waktu. 4. Himpunan penyelesaian persamaan sin 4x – cos 2x = 0 sin 4x – cos 2x = 0 untuk ⇔ sin 2(2x) – cos 2x = 0 0 ° ≤ x ≤ 360 ° adalah … ⇔ 2sin 2x · cos 2x – cos 2x = 0 a. {15 ° , 45 ° , 75 ° , 135 ° } ⇔ cos 2x (2sin 2x – 1) = 0 b. {135 ° , 195 ° , 225 ° , 255 ° } e. {15 ° ,45 ° ,75 ° ,135 ° ,195 ° ,225 ° ,255 ° , 315 ° } (i) 2x ° = 90 ° + k · 360 ° (kwadran I) x ° = 45 ° + k · 180 ° untuk k = 0 ⇒ xº = 45 ° + (0 · 180 ° ) = 45º untuk k = 1 ⇒ xº = 45 ° + (1 · 180 ° ) = 225º (ii) 2x ° = –90 ° + k · 360 ° (kwadran IV) x ° = –45 ° + k · 180 ° untuk k = 1 ⇒ xº = –45 ° + (1 · 180 ° ) = 135º untuk k = 2 ⇒ xº = –45 ° + (2 · 180 ° ) = 315º (b) 2sin 2x – 1 = 0 sin 2x = 1 2 sin 2x = sin 30º (i) 2xº = 30 ° + k · 360 ° (kwadran I) x ° = 15 ° + k · 180 ° untuk k = 0 ⇒ xº = 15 ° + (0 · 180 ° ) = 15 ° untuk k = 1 ⇒ xº = 15 ° + (1 · 180 ° ) =195 ° (ii) 2x ° = 180 ° – 30 ° + k · 360 ° (kw II) ° x = 90 ° – 15 ° + k · 180 ° ° x = 75 ° + k · 180 ° untuk k = 0 ⇒ xº = 75 ° + (0 · 180 ° ) = 75 ° untuk k = 1 ⇒ xº = 75 ° + (1 · 180 ° ) =225 ° Dari langkah (a) dan (b) diperoleh: HP = {15 ° ,45 ° ,75 ° ,135 ° ,195 ° ,225 ° ,255 ° , 315 ° } …………………………………………….(e) 5. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan cos 2xº > ½, untuk 0 ≤ x < 180 cos 2xº > ½, untuk 0 ≤ x < 180 adalah … untuk menyelesaikannya kedua ruas rubah a. {x | 30 < x < 150} menjadi fungsi kosinus. b. {x | 0 ≤ x < 60} cos 2xº > 1 2 c. {x | 150 < x < 180} ⇔ cos 2xº > cos 60º d. {x | 0 ≤ x < 15 atau 165 < x ≤ 180} ⇔ cos 2xº – cos 60º > 0 e. {x | 0 ≤ x < 30 atau 150 < x < 180} • cari nilai x pembentuk nol persamaan cos 2xº = cos 60º (i) 2xº = 60º + k ⋅ 360º (kwadran I) xº = 30º + k ⋅ 180º untuk k = 0 ⇒ xº = 30º + (0 ⋅ 180º) = 30º (ii) 2xº = –60º + k ⋅ 360º (kwadran IV) xº = –30º + k ⋅ 180º untuk k = 1 ⇒ xº = –30º + (1 ⋅ 180º) = 150º Jadi, pembentuk nolnya xº = {30º, 150º} • Buat grafik himpunan penyelesaiannya Berdasarkan grafik di atas maka: HP = {x | 0 ≤ x < 30 atau 150 < x < 180} ……(e) 6. Himpunan penyelesaian dari sin (3x + 75)º < 1 3 untuk 0 ≤ x ≤ 180º sin (3x + 75)º < 1 3 2 untuk 0 ≤ x ≤ 180º 2 untuk menyelesaikannya kedua ruas rubah adalah … menjadi fungsi sinus. a. {x | 15 < x < 115, 135 < x ≤ 180} sin (3x + 75)º < 1 3 b. {x | 0 ≤ x < 15, 115 < x < 135} c. {x | 0 ≤ x < 115, 135 < x ≤ 180} ⇔ sin (3x + 75)º < sin 60º d. {x | 0 ≤ x < 15, 135 < x ≤ 180} ⇔ sin (3x + 75)º – sin 60º < 0 e. {x | 25 < x < 105, 145 < x ≤ 180} • cari nilai x pembentuk nol persamaan sin (3x + 75)º = sin 60º (i) 3xº + 75º = 60º + k ⋅ 360º (kwadran I) 3xº = 60º – 75º + k ⋅ 360º xº = 20º – 25º + k ⋅ 120º xº = – 5º + k ⋅ 120º untuk k = 1 ⇒ xº = – 5º + (1 ⋅ 120º) = 115º (ii) 3xº + 75º = (180º – 60º) + k ⋅ 360º (kw II) 3xº = 120º – 75º + k ⋅ 360º xº = 40º – 25º + k ⋅ 120º xº = 15º + k ⋅ 120º untuk k = 0 ⇒ xº = 15º + (0 ⋅ 120º) = 15º untuk k = 1 ⇒ xº = 15º + (1 ⋅ 120º) = 135º jadi, pembentuk nolnya xº = {15º, 115º, 135º} • Buat grafik himpunan penyelesaiannya Berdasarkan grafik di atas maka: HP = {x | 15 < x < 115, 135 < x ≤ 180} …..…(a) SOAL PENYELESAIAN 1. Diketahui tiga premis sebagai berikut P 1 : p ⇒ q ………………….(1) P 2 : ~r ⇒ q ………………….(2) P 3 : ~ r___ …………………..(3) ∴ ………. Kesimpulan berikut yang tidak sah adalah..... Uraian di samping jika diringkas adalah sbb: P 1 : ( p ⇒ q ) = B ……………(iii) BS ⇒ B = B P 2 : ( ~r ⇒ q ) = B …………….(ii) B⇒B =B (1) Bentuk penarikan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan metode penarikan P 3 : ( ~ r )___ = B …………….(i) kesimpulan yang ada, baik dengan MP, MT, ataupun silogisme. Maka diproleh data ~r = B, q = B, dan p = BS (2) Untuk menyelesaikannya gunakan prinsip utama penarikan kesimpulan, yaitu “kesimpulan suatu dari data yang telah diperoleh kemudian pernyataan akan bernilai benar jika semua dicek jawabannya satu persatu premisnya adalah benar” a) q ∨ r sehingga P 1 ,P 2 , dan P 3 harus benar B ∨ S = B ………….rumus C.2) (i) Pertama-tama pilih bentuk yang paling b) q = B sederhana yaitu P 3 c) p ∧ ~q P 3 : ~r = B BS ∧ S = S ………… rumus C.1) (ii) pilih premis yang memuat ~r , yaitu P 2 , P 2 juga harus benar. Dari langkah (i) Jadi, jawaban yang salah adalah ……..(c) diperoleh hasil ~r = B P 2 : (~r ⇒ q) = B B⇒…=B supaya P 2 benar, maka q = B (iii) terakhir ke P 1 ,P 1 juga harus benar dari langkah (ii) diperoleh hasil q = B P 3 : (p ⇒ q) = B …⇒B =B supaya p 3 benar, maka P = B atau S 2. Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Anik lulus ujian, maka ia Pernyataan-pernyataan tersebut jika ditulis dalam kuliah di perguruan tinggi negeri. kalimat matematika adalah: Premis 2 : Jika Anik kuliah di perguruan tinggi negeri, maka Anik jadi Premis 1 : p ⇒ q sarjana. Premis 2 : q ⇒ r Premis 3 : Anik bukan sarjana Premis 3 : ~r_____ Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di atas adalah … Kesimpulanany adalah a. Anik lulus ujian Premis 1 : p ⇒ q b. Anik kuliah di perguruan tinggi negeri Premis 2 : q ⇒ r c. Anik tidak lulus ujian Premis 4 p ⇒ r ………… (1) dan (2) silogisme d. Anik lulus ujian dan kuliah di Premis 3 : ~r___ perguruan tinggi negeri ~p ………….…(4) dan (3) MT e. Anik lulus ujian dan tidak kuliah ~p Jika diuraikan adalah ………………..….(c) 3. Diberikan premis-premis sebagai berikut: Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka Pernyataan-pernyataan tersebut jika ditulis dalam semua bahan pokok naik kalimat matematika adalah: Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik, maka semua orang tidak Premis 1 : p ⇒ q senang Premis 2 : q ⇒ ∀ (~r) ………….silogisme Kesimpulan : p ⇒ ∀ (~r) Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah … a. Harga BBM tidak naik Negasi dari p ⇒ ∀ (~r) adalah: b. Jika harga bahan pokok naik, maka ada ~( p ⇒ ∀ (~r)) ≡ p ∧ ~( ∀ (~r)) orang orang tidak senang ≡ p ∧ ∃ r c. Harga bahan pokok naik atau ada orang tidak senang p ∧ ∃ r Jika diuraikan adalah ………………….(e) d. Jika semua orang tidak senang, maka harga BBM naik e. Harga BBM naik dan ada orang yang senang SOAL PENYELESAIAN 1. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk a cm. Titik K pada perpanjangan DA sehingga KA = 1 3 KD. Jarak titik K ke bidang BDHF adalah … cm Jika KA = 1 KD, maka AD = 3 2 3 KD { KD = a } × 2 2 3 KD = 3 2 a KL = KD 2 = 3 a 2 Berdasarkan gambar , Jarak titik K ke bidang BDHF adalah ruas garis KP, panjangnya adalah KP = 1 2 3 KL = 1 2 ⋅ a 2 = 3 4 a 3 ……………………(d) 2. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD dengan AB = 6 2 cm dan AT = 10 cm. Apabila P titik tengah CT, maka jarak titik P ke diagonal sisi BD adalah … cm d. 3 2 Berdasarkan gambar, jarak titik P ke diagonal sisi BD adalah ruas OP yang panjangnya dapat dicari dengan menggunakan aturan kosinus sbb: OP = 5 ………………………………………(a) 3. Diketahui limas beraturan T.ABCD rusuk TA = 4 2 dan AB = 4. Jarak A ke TC adalah … AC = 4 2 OT = AT − AO = ()() 4 − ⋅ − ⋅ 2 = 2 ( 8 − 2 ) d. 36 Berdasarkan gambar , Jarak titik A ke TC adalah ruas garis AP, panjangnya dapat dicari dengan bantuan luasan segitiga sbb: 4 2 ⋅ AP = 4 2 ⋅ 26 AP = 2 6 …………………………(c) 4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6cm, titik P terletak pada perpanjangan CG sehingga CP = 2CG. Panjang proyeksi CP pada bidang BDP adalah … cm a. 14 b. 9 2 c. 8 2 d. 7 2 PR = 12 + () 3 = 3 ( 4 2 + 2 ) = 3 4 2 + 2 = 3 18 = 9 2 Posisi benda dengan bayangannnya adalah selalu tegak lurus, maka proyeksi CP terhadap bidang BDP adalah PQ. Panjang ruas garis PQ dapat dicari dengan menggunakan bantuan kosinus sudut α ∆ PQR dan ∆ PCR sbb: 2 PQ =4×4 PQ = = =8 2 ……(c) SOAL PENYELESAIAN 1. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan rusuk AB = 10cm, BC = 5cm dan CG = 10cm. Jika titik P pada pertengahan AB dan titik Q pada pertengahan CG, maka kosinus sudut yang dibentuk oleh PQ dengan alas adalah … e. CQ = 5 2 3 2 2 PQ = 2 CQ + CP = = 2 5 ⋅ 2 + 5 = 2 5 ( 2 + 1 ) = 5 3 Berdasarkan gambar di atas sudut yang dibentuk garis PQ dan bidang alas adalah α . Sehingga: = 1 3 6 …………………………(c) 2. Limas segitiga T.ABC pada gambar, dengan alas segitiga sama sisi. TA tegak lurus bidang alas. Sudut antara bidang TBC dan ABC adalah α , maka sin α adalah … Berdasarkan gambar di atas, sinus sudut antara bidang TBC dan ABC adalah : ………………(d) TD 2 10 10 3. Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas 6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm. Nilai sinus antara bidang TAB dan bidang ABC adalah … 2 PT = 2 BT − PB = 9 − 3 = 2 ⋅ − 3 = 2 3 ( 9 − 1 ) 3 2 ⋅ 2 = 6 2 Berdasarkan gambar di atas, misal sudut antara bidang TAB dan bidang ABC adalah α , maka: …………(d) 4. Perhatikan gambar limas beraturan T.ABCD. P, Q, R, dan S berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB, AD, BC, dan CD. Nilai sinus sudut antara bidang TPQ dengan bidang TRS adalah … AC = 12 2 1 AK = KL = LM = MC = 12 4 AC = = 12 − () 6 2 b. 2 3 TL = AT AL − = 6 ( 4 − 2 ) d. 5 e. 5 2 KT = 2 TL + KL = = 2 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 = 2 3 ( 8 + 2 ) = 3 10 Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh: 2 2 KM 2 = KT + MT –2 ⋅ KT ⋅ MT cos α () 6 = () 3 10 + () 3 10 – 2 ⋅ 3 10 ⋅ 3 10 cos α cos α = = , maka jadi: sin α = = ………………………..(c) r 5 SOAL PENYELESAIAN Soal ini meminta pengerjaan nilai rataan hitung 1. Berat (kg) Titik tengah f i u i f i ·u i menggunakan cara sandi. Titik-titiknya tidak perlu di isi semua, isi saja yang dibutuhkan. Berat (kg) Titik tengah f i u i f i ·u i Berat badan dari 40 siswa dalam kg tercatat pada tabel di samping. Rataan berat badan tersebut adalah … Dari tabel di atas dapat diperoleh data sbb: a. 65 b. 65,25 X s ∑ f i = 40 d. 66,5 e. 67 ∑ f ⋅ u i =3 ∑ f i 3 = 64,5 + 10 40 = 64,5 + 0,75 = 65,25 ………..(b) Amati histogram dengan seksama: 2. kelas modus ada di kelas ke-3 karena memiliki frekuensi tertinggi yaitu 14 (ii) dari kelas ke-3 diperoleh data Lmo = 10,5 c = 15,5 – 10,5 = 5 d 1 = 14 – 8 = 6 Modus dari data pada gambar adalah b. 13,50 mo 1 d 2 4 = 10,5 + 3,75 = 14,25 ……………………..(e) 3. Perhatikan tabel berikut! Untuk mencari nilai median atau kuartil ke-2 (Q 2 ) Median dari data yang disajikan berikut dibuat tabel frekuensi kumulatif (f k ) adalah … Nilai Frekuensi (i) menentukan letak kuartil Median Data ke-30 terletak di kelas ke-4, karena kelas ke- 4 memuat data ke-21 s.d data ke-36 Dari kelas ke-4 diperoleh data sbb: L Q2 = 35 – 0,5 = 34,5 ∑ f k = 20 Jadi: i 4 N − ∑ k Q 2 = 34,5 + = 37,625 ………………(b) (jangan repot-repot menghitung nilai 1 8 berapa, cukup menghitung nilai pendekatannya saja, yaitu 34,5 + 3,… = 37,5 lebih……………………………………..(b) 4. Cara penyelesaiannya sama seperti no. 10 f i f k (i) menentukan letak kuartil bawah 9 27 Data ke-10 terletak di kelas ke- 8 35 3, karena kelas ke- 3 memuat 5 40 data ke-9 s.d data ke-18 Nilai ulangan harian dari suatu kelas disajikan dengan histogram seperti Dari kelas ke-3 (lihat diagram) diperoleh data pada gambar. Kuartil bawah data sbb: tersebut adalah… a. 76 L Q1 = 1 2 ( 75 + 70 ) = 72,5 ∑ f k = 8 ………………..lihat tabel di atas Jadi: i 4 N − ∑ k Q 1 = 72,5 + = 72,5 + 1 = 73,5……………(c) 3,4,4,4,5,5,5,7,8 adalah … c. 2 3 5 • Tentukan nilai variannya d. 2 1 3 6 2 ∑ ( − x S ) = i 2 n • Nilai simpangan baku = 2 3 5 ………………(d) 3 SOAL PENYELESAIAN 1. Dari angka-angka : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan Angka yang disediakan yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak ada angka yang Masalah ini diselesaikan dengan aturan perkalian berulang. Banyak bilangan yang dapat Bilangan yang lebih besar dari 320 kemungkinannya disusun lebih dari 320 adalah … adalah: a. 60 (i) ratusan : 3…………………………ada 1 pilihan b. 80 puluhan : 2 ………………….……..ada 1 pilihan c. 96 satuan : x > 0, x ≠ {3, 2}..……….ada 4 pilihan d. 109 1 1 4 :1×1×4=4 e. 120 (ii) ratusan : 3………………………...ada 1 pilihan puluhan : x 1 > 2, x 1 ≠ 3……….……ada 3 pilihan satuan : x 2 ≠ {3, x 1 }, …………….ada 5 pilihan 1 3 5 : 1 × 3 × 5 = 15 (iii) ratusan : x 1 > 3………………….ada 3 pilihan puluhan : x 2 ≠x 1 ……….………...ada 6 pilihan satuan : x 3 ≠{x 1 ,x 2 }, ………….ada 5 pilihan 3 6 5 : 3 × 6 × 5 = 90 Jadi, jumlah seluruh bilangan yang mungkin adalah: 2. Dua buah dadu dilempar undi satu kali. • S = 2 dadu, dadu memiliki 6 buah sisi (1,2,3,4,5,6) Peluang munculnya mata dadu jumlah 5 2 n(S) = 6 = 36 atau 9 adalah … • A = muncul mata dadu berjumlah 5 a. 1 = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} n(A) = 4 b. 5 36 • B = muncul mata dadu berjumlah 9 c. 2 = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} n(B) = 4 d. 1 4 pada soal, peluangnya menggunakan kata atau e. 1 3 sehingga peluangnya adalah P(A ∪ B) • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = + = ………..(c) 3. Tiga buah mata uang logam dilepar undi • S = 3 uang logam, uang memiliki 2 buah sisi bersama-sama sebanyak 40 kali. Frekuensi (angka A, dan gambar G) harapan munculnya dua angka dan satu 3 n(S) = 2 =8 gambar adalah … a. 12 • A = muncul 2 angka 1 gambar b. 13 = {AAG, AGA, GAA} c. 15 n(A) = 3 d. 37 e. 38 • P(A) = n ( A ) 3 = n ( S ) 8 • Fh(A) = P(A) × n × 40 = 3 × 5 = 15 ………………..(c) 4. Dalam sebuah kotak terdapat 10 bola S = 10 (4 rusak + 6 hidup) lampu yang 4 diantaranya rusak. Jika A = 3 hidup dipilih 3 bola lampu, maka peluang terpilih lampu yang tidak rusak adalah … (i) n(S) = mengambil 3 dari 10 = C 3 (ii) n(A) = mengambil 3 dari 6 = 6 C (iii) P(A) = …………………(a) n ( S ) 120 6 5. Dalam sebuah kotak berisi 7 kelereng S = 12 (7m + 5p) merah dan 5 kelereng putih. Dari kotak itu A = 3 (sekurang-kurangnya 1p) diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil sekurang-kurangnya 1 3 kelereng putih adalah … (i) n(S) = memilih 3 dari 12 = 12 C 44 (ii) n(A) = mengambil 3, minimal 1 putih, c. 34 44 kemungkinannya yaitu d. • 1p dan 2m = 1 × C 2 = 5 × 2p dan 1m = 2 × C 1 = × 7 jadi, n(A) = 105 + 70 + 10 = 185 (iii) P(A) = …………(e) 6. Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola • S I = 5 (3m + 2p) putih. Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5 bola biru. Dari masing-masing kotak n(S I ) = ambil 2 dari 5 = C 2 = = 10 ⋅ 3 ! diambil 2 bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2 bola merah dari • n(S II ) = 8 (3h + 5b) kotak I dan 2 bola biru dari kotak II adalah 8 8 7 6 ! n(S I ) = ambil 2 dari 8 = C 2 = 10 • A = ambil 2 bola merah dari kotak I b. 3 3 28 n(A) = C 2 =3 c. 4 15 • B = ambil 2 bola biru dari kotak II d. 3 5 5 ! 8 n(B) = C 2 = pada soal, peluangnya menggunakan kata dan sehingga peluangnya adalah P(A ∩ B) • P(A ∩ B) = P(A) × P(B) n ( S I ) n ( S II ) = 3 10 × 3 = ……………….(b) SOAL PENYELESAIAN 1. Persamaan garis singgung lingkaran 2 2 • Menentukan titik singgung lingkaran x +y – 4x + 4y + 6 = 0 di titik yang Absis = x = 3, untuk mendapatkan nilai y absisnya 3 adalah … a. maka substitusikan nilai x = 3 ke persamaan x+y+2=0 2 2 b. x–y–2=0 lingkaran l : x +y – 4x + 4y + 6 = 0 2 3 2 +y – 4(3) + 4y + 6 = 0 c. x+y–2=0 d. x–y+2=0 y 2 + 4y + 3 = 0 (y + 1)(y + 3) = 0 e. –x + y + 2 = 0 y = {– 1, –3} jadi, titik singgungnya adalah di (3, –1) dan (3, –3) • Menentukan persamaan garis singgung 2 Pada lingkaran l: x 2 +y – 4x + 4y + 6 = 0 (i) di titik (3, –1) xx 1 + yy 1 + ½A(x + x 1 ) + ½B(y + y 1 )+C=0 3x – y + ½(–4)(x + 3) + ½(4)(y – 1) + 6 = 0 3x – y – 2x – 6 + 2y – 2 + 6 = 0 x + y – 2 = 0 …………………………..(c) 2. Persamaan garis singgung melalui titik (9,0) 2 2 • periksa posisi titik (9, 0) terhadap lingkaran pada lingkaran x +y = 36 adalah … 2 l:x 2 +y = 36 5 = 18 dan 2x – y 5 = 18 x +y =9 +0 = 81 > 36, maka titik ada di luar lingkaran, sehingga langkah penyelesaiannya menggunakan c. 2x +y 5 = –18 dan –2x – y 5 = –18 rumus B.2) d. x 5 + 2y = 18 dan x 5 – 2y = 18 • Menentukan persamaan garis kutub e. x 5 + 2y = –18 dan x 5 – 2y = –18 Pada titik (9, 0) xx 2 1 + yy 1 =r x(9) + y(0) = 36 x =4 • Menentukan titik singgung Substitusikan nilai x = 4 ke lingkaran l : y = ± 2 5 , Jadi titik singgungnya (4, 2 5 ) atau (4, − 2 5 ) • Menentukan persamaan garis singgung 2 Pada lingkaran l: x 2 +y =4 di titik (4, ± 2 5 ) xx 2 1 + yy 1 =r 4x ± 2 5 y = 36 2x ± 5 y = 18……….…………………. (a) 3. Salah satu garis singgung yang bersudut 120º • Gradien garis singgung m terhadap sumbu X positif pada lingkaran m = tan 120º = tan (180 – 60) º dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, –2) adalah … = tan (–60)º = − 3 a. y=– x 3 + 4 3 +12 • Ujung diameter titik (7, 6) dan (1, –2), maka b. y=– x 3 – 4 3 +8 (i) Diameter lingkaran D c. y=– x 3 + 4 3 –4 D= 2 ( 7 − 1 ) + ( 6 ( − 2 )) d. y=– x 3 – 4 3 –8 = 100 = 10 e. y=– x 3 + 4 3 + 22 jari-jari r = ½D = ½(10) = 5 (ii) Pusat lingkaran P(a, b) Pusat = 1 2 (7 + 1, 6 + (–2)) = 1 2 (8, 4) = (4, 2) • Persamaan garis singgung lingkaran Dari perhitungan di atas diperoleh: Pusat P(4, 2) , gradien m = − 3 dan jari-jari r = 5, maka persamaan garis singgungnya adalah: lihat rumus B.3) y – b = m(x – a) ± r m 2 + 1 y–2= 2 − 3 (x – 4) ± 5 ( 3 ) + 1 y–2= − x 3 + 4 3 ± 5 ⋅ 2 y= − x 3 + 4 3 +2 ± 10, jadi: (i) y = − x 3 + 4 3 – 8 atau (ii) y = − x 3 + 4 3 + 12 …………….(a) 4. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran 2 2 • Gradien m x +y – 4x – 8y + 15 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 6 adalah … Garis h : x + 2y = 6 ⇔ y = – ½x + 3, a. 2x – y + 3 = 0 maka m h =–½ b. 2x – y + 5 = 0 garis singgung g ⊥ h, maka {m g ⋅ (– ½) = – 1}× (–2) m g =2 • pusat P = (– ½A, – ½B) = (– ½(–4), – ½(–8)) = (2, 4) • 2 jari-jari r = a + b − C = 2 + 4 − 15 = 5 maka persamaan garis singgungnya adalah: lihat rumus B.3) y – b = m(x – a) r ± 2 m + 1 y – 4 = 2(x – 2) ± 5 ⋅ 2 + 1 y – 4 = 2x – 4 ± 5 2x – y ± 5 = 0 ……………………….(b) SOAL PENYELESAIAN 3 1. 2 Suku banyak f(x) = 4x – 4x + 10x – 3 dibagi Gunakan metode bagan 2x – x + 1, maka hasil bagi dan sisnya Pembagi : 2x –x+1= 1 2 (2x –x + 1) berturut-turut adalah … berdasarkan bagan di atas diperoleh : hasil bagi H(x) = 1 2 (4x – 2) = 2x – 1 Sisa = 7x – 2 Sehingga jawaban yang benar adalah ………(a) 2. Suatu suku banyak F(x) dibagi (x – 2) sisanya Gunakan teorema sisa 5 dan (x + 2) adalah faktor dari F(x). Jika 2 Faktorkan dari: F(x) dibagi x – 4, sisanya adalah … x 2 – 4 = (x – 2)(x + 2) a. 5x – 10 b. 5 x 5 P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa 4 + 2 f(x) = (x – 2) ⋅ H(x) + 5………………………(1) c. 5x + 10 f(x) = (x + 2) ⋅ H(x) + 0……………………...(2) d. –5x + 30 (x + 2) merupakan faktor dari f(x) sehingga e. − 5 x 7 + sisa = 0 f(x) = (x – 2)(x + 2) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh: f(2) = 5 = 2a + b f(–2) = 0 = –2a + b_ – 5 = 4a a= 5 4 substitusi a = 5 4 ke f(–2) 0 = – 2a + b 0 = –2( 5 4 )+b b= 5 2 Jadi, sisa = 5 x+ 4 5 2 …………………….(a) 3. Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x + 2) Gunakan teorema sisa adalah 4, jika suku banyak tersebut dibagi Faktorkan dari: (2x – 1) sisanya 6. Sisa pembagian suku 2 2x + 3x – 2 = (x + 2)(2x – 1) banyak tersebut oleh 2x + 3x – 2 adalah … a. 4 x + 3 5 P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa 5 5 f(x) = (x + 2) ⋅ H(x) + 4.....……………………(1) b. 4 x 2 + 2 f(x) = (2x – 1) ⋅ H(x) + 6……………………...(2) 5 5 f(x) = (x + 2)(2x – 1) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3) c. 4x + 12 d. 4x + 4 dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh: e. 4x – 4 f ( − 2 ) 4 = − 2 a + b f ( 1 ) 6 2 1 = 2 a + b − − = − a } × 5 a= 4 5 substitusi a = 4 5 ke f(–2) 4 = –2a + b 4 = –2( 4 5 )+b 4 =– 8 5 +b b=4+ 3 5 1 = 5 3 5 Jadi, sisa = 4 5 x+ 3 5 5 …………………….(a) 4. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi (x + 1) Gunakan teorema sisa bersisa 8 dan dibagi (x – 3) bersisa 4. Suku Faktorkan dari: banyak q(x) jika dibagi (x + 1) bersisa –9 dan (x 2 – 2x – 3) = (x – 3)(x + 1) jika dibagi (x – 3) bersisa 15. Jika h(x) = f(x)·g(x), maka sisa pembagian h(x) P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa oleh (x 2 – 2x – 3) adalah … f(x) = (x + 1) ⋅ H(x) + 8………………………(1) a. –x + 7 f(x) = (x – 3) ⋅ H(x) + 4………………………(2) b. 6x – 3 q(x) = (x + 1) ⋅ H(x) – 9………………………(3) c. x–4 q(x) = (x – 3) ⋅ H(x) + 15…………………….(4) d. 11x – 13 f(x)·g(x) = (x – 3)(x + 1) ⋅ H(x) + (ax + b) …..(5) e. 33x – 39 dari (1), (3), dan (5) serta (2), (4), dan (5) diperoleh: f(–1)·g(–1) = 8 (–9) = – a + b f(3)·g(3) = 4 (15) = 3a + b_ – – 132 = – 4a a = 33 substitusi a = 3 ke f(–1)·g(–1) – 72 = – a + b – 72 = – 33 + b b = –39 Jadi, sisa = 33x – 39 ………………………….(e) 5. Suku banyak f(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 4 Gunakan teorema sisa dan bila dibagi (x + 3) bersisa – 5. Suku Faktorkan dari: banyak g(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 2 dan (x 2 + 2x – 3) = (x + 3)(x – 1) bila dibagi (x + 3) bersisa 4. Jika h(x) = f(x) ⋅ g(x), maka sisa pembagian P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa h(x) oleh (x 2 + 2x – 3) adalah … f(x) = (x – 1) ⋅ H(x) + 4………………….……(1) a. 6x + 2 f(x) = (x + 3) ⋅ H(x) – 5………………….……(2) b. x+7 q(x) = (x – 1) ⋅ H(x) + 2………………………(3) c. 7x + 1 q(x) = (x + 3) ⋅ H(x) + 4………………….…...(4) d. –7x + 15 f(x)·g(x) = (x + 3)(x – 1) ⋅ H(x) + (ax + b) …...(5) e. 15x – 7 dari (1), (3), dan (5) serta (2), (4), dan (5) diperoleh: f(1)·g(1) = 4(2) = a + b f(–3)·g(–3) = –5(4) = –3a + b_ – 28 = 4a a=7 substitusi a = 7 ke f(1)·g(1) 8=a+b 8=7+b b=1 Jadi, sisa = 7x + 1 ………………………….(c) 6. Diketahui x 1 ,x 2 , dan x 3 adalah akar-akar 3 persamaan 2x 2 – bx – 18x + 36 = 0. Jika x 1 • Persamaan 2x – bx – 18x + 36 = 0 memiliki dan x 2 berlawanan, nilai b adalah … Nilai a = 2, b = – b, c = – 18 dan d = 36 a. 36 b. 18 • x 1 dan x 2 berlawanan, maka 1 +x 2 +x 3 = − ……………….rumus C.1) 2 ·x 3 = ….….rumus C.4 • x 1 ·x 2 ·x 3 = d − a ….………….rumus C.3 –9 · b = − 2 36 2 b= 36 9 = 4 ………………………..(d) SOAL PENYELESAIAN 1. 2 Diketahui fungsi kuadrat f(x) = –2x + 8x – 6 Untuk menyelesaikannya harus dicari nilai f(x) dengan daerah asal {x| –2 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}. optimum dan nilai f(x) di ujung-ujung interval Daerah hasil fungsi f adalah … (i) nilai optimum, f(x) optimum saat f’(x) = 0 a. 2 {y| –30 ≤ y ≤ 2, y ∈ R} f(x) = –2x + 8x – 6 b. {y| –30 ≤ y ≤ –14, y ∈ R} f’(x) = –4x + 8 maka: f(2) = –2(2) 2 + 8(2) – 6 = –8 + 16 – 6 = 2 (ii) nilai f(x) di ujung interval –2 ≤ x ≤ 3 f(–2) = –2(–2) 2 + 8(–2) – 6 = –8 – 16 – 6 = –30 f(3) = –2(3) 2 + 8(3) – 6 = –18 + 24 – 6 = 0 Dari perhitungan diperoleh nilai min = f(–2) = –30 maks = f(2) = 2 jadi daerah hasilnya adalah ………..……..(a) 2. Diketahui fungsi-fungsi f : R → R didefinisikan dengan f(x) = 3x – 5, g : R → R (f ο g)(x) = f(g(x)) () 2 − x , x ≠ 2 . 1 = f 1 didefinisikan dengan g(x) = 2 − () 2 x − 5 Hasil dari fungsi (f o g)(x) adalah … a. , x ≠ − 8 = 2 2 − x 3 − 10 + 5 b. , x ≠ − 2 = 2 − x c. , x ≠ 2 = , x ≠ 2 − + 2 − + 2 d. , x ≠ 2 − + 2 e. , x ≠ 2 − + 2 3. 2x+1 Diketahui (f o g)(x) = 4 . Jika g(x) = 2x – 1, (f ο g)(x) = f(g(x)) maka f(x) = … 2x+1 4 = f(2x – 1)………misal 2x – 1 = y x+2 a. 4 1 x= 2 ( y + 1 ) 2x+3 b. 4 c. 4x+1 4 + 1 2 × 1 ( y 1 ) + 1 2 4 = f(2· 1 2 ( y + 1 ) – 1) d. 2x+1 4 + 1 (y + 2) 2 4 = f(y) 4 = f(x) …………………………..(a) 4. Fungsi f ditentukan oleh f(x) = 4 x 3 ,x ≠ – ½. 2 x + 1 f(x) = 4 x 3 , maka Jika f invers dari f, maka f (x + 1) = … , x ≠ 1 …………………..(b) − 2 SOAL PENYELESAIAN x + 1 Kalikan dengan sekawan penyebut 1. Nilai lim c. 0 ( 1 )( 2 4 + ) ⇔ lim d. –1 − → − 1 4 2 ( 4 x ) e. –2 ⇔ lim → − 1 − 2 ( + x ) ⇔ = 4 ……………………………..(a) 4 + 2 x 4 − 2 Kalikan dengan sekawan pembilang 2. Nilai lim =… lim + − × 4 2 4 2 ( 4 2 + 4 − 2 ) x → 0 x → 0 ( 4 2 + 4 − 2 x a. ) 4 4 + 2 ( 4 − 2 ) b. 2 ⇔ lim c. 1 → 0 ( 4 2 + 4 − 2 x ) d. 0 4 e. –1 ⇔ lim → 0 ( 4 2 + 4 − 2 x ) = 1 …………………..(c) 1 1 Gunakan dalil l’Hospital 1 3. 1 sin x cos lim x =… x → 4 π − 4 π 1 1 sin cos lim 1 1 → x 4 − 4 π a. –2 2 b. – 2 ⇔ lim c. 0 → 4 − 4 π ……………… turunkan d. 2 − csc ⋅ cot − sec ⋅ tan x ⇔ e. 2 lim ⇔ csc 1 1 1 − 1 4 ⋅ cot 4 − sec 4 ⋅ tan 4 π ⇔ − 2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 = –2 2 ………………(a) cos x − cos 5 cos x − cos 5 4. Nilai dari lim ⇔ lim 2 sin 3 ⋅ sin 2 e. 8 ⇔ lim → 0 tan 2 x 2 sin 3 sin ⇔ 2 lim × → 0 tan 2 x sin ⇔ 3 lim 2 × 1 =2 ⋅ 3 = 6 .................(d) → 0 x sin 12 x sin 12 x 5. Nilai lim ⇔ lim 2 × 1 sin 12 b. –3 → 0 + 2 − 3 2 x c. –2 d. 2 lim 2 × e. 6 1 ⇔ 12 → 0 + 2 x − 3 2 ⇔ 1 6 = × 1 − 3 × 6 = – 2 …………….(c) + 0 − 3 cos Gunakan dalil l’Hospital x sin 6. Nilai lim lim π 0 1 = lim 2 sin x 3 …………(c) e. –3 3 SOAL PENYELESAIAN x 2 6 • + Ubah f(x) menjadi bentuk pangkat 1. Diketahui fungsi f(x) = f(x) = pertama fungsi f(x) adalah f’(x) = … b. x − 2 x • Turunkan f(x) + − 1 f(x) = 2 f’(x) = 3 2 2 x = 3 − 2 …….(e) x 2. Turunan pertama fungsi y = ……………..: v adalah y’ = … a. ( 1 − x ) y 1 − + x × ( 1 − x ) ( 1 − ) x b. 2 2 y × y ( 1 − ) x 2 d. – x = × − x y = …………… (c) 2 3. 4 Diketahui f(x) = (1 + sin x) (1 + cos x) dan Sin f’(x) adalah turunan pertama f(x). π 2 = 1 dan Cos π 2 =0 nilai f’( π )=… 2 2 4 f(x) = (1 + sin x) (1 + cos x) ..………….: u ⋅ v a. –20 f’(x) = v ⋅ u’ + u ⋅ v’ =0+4 ⋅ 4 ⋅ (–1) = –16 ……………….(b) 4. Garis l menyinggung kurva y = 3 x di titik • Menentukan titik singgung pada kurva (a, b) yang berabsis 4. titik potong garis l dengan Absis x = 4, maka y = f(x) sumbu X adalah … y = f(x) = 3 x a. (– 12, 0) b. (– 4, 0) y = f(4) = 3 4 =3 ⋅ 2=6 c. (4, 0) jadi, titik singgungnya di (4,6) d. (6, 0) • Menentukan gradien garis singgung m e. (12, 0) f(x) = 3 x 1 =3 n x ……………………..: u 2 f’(x) = 3 2 2 3 x = m = f’(4) = • Menentukan persamaan garis singgung 3 Dengan titik singgung (4, 6) dan m = • Menentukan titik potong garis l dengan sb X Garis akan memtong sumbu X jika y = 0, maka: (x – 2)}× 4 4 – 24 = 3x – 6 3x = –18 x = –6 Jadi, titik potongnya di (–6, 0)……………(d) 3 5. 2 Fungsi y = 4x – 6x + 2 naik pada interval … • f(x) naik pada saat f’(x) > 0 3 a. 2 x < 0 atau x > 1 f(x) = 4x – 6x b. x>1 f’(x) = 12x 2 – 12x c. x<1 • d. 2 x<0 12x – 12x > 0 e. 0 12x(x – 1) > 0 pembentuk nol x = {0, 1} tanda pertidaksamaan >, maka jawabannya menggunakan kata atau dengan batas {0, 1} ………………………………………………..(a) 6. Koordinat titik balik maksimum grafik fungsi • nilai stasioner pada saat f’(x) = 0 y=x 3 – 3x + 4 berturut-turut adalah … f(x) = x 3 – 3x + 4 a. 2 (–1,6) f’(x) = 3x –3 b. (1,2) 0 = 3x 2 –3 c. (1,0) 2 0=x –1 d. (–1,0) 0 = (x + 1)(x – 1) e. (2,6) x = {– 1, 1} • Nilai fungsi pada saat stasioner x = {– 1, 1} f(x) = x 3 – 3x + 4 f(–1) = (–1) 3 – 3(–1) + 4 = –1 + 3 + 4 = 6 ………maksimum …………...titik (–1,6) ……………….(a) f(1) = (1) 3 – 3(1) + 4 = 1 – 3 + 4 = 2 ………minimum …………...titik (1,2) 7. 3 Ditentukan fungsi f(x) = x 2 – 3x + 5. Dalam • nilai stasioner pada saat f’(x) = 0 3 interval –1 2 ≤ x ≤ 1, nilai minimum fungsi itu f(x) = x – 3x +5 adalah … 2 f’(x) = 3x – 3x a. 2 0 0 = 3x – 3x b. 1 0 = 3x(x – 1) e. 5 • Nilai fungsi pada saat stasioner x ={0, 1}dan di ujung interval x = {–1, 1} 3 f(x) = f(x) = x 2 – 3x +5 3 (i) f(– 1) = (– 1) 2 – 3(– 1) +5 = –1 + 3 + 5 = 7 ……………………..maksimum 3 (ii) f(0) = 0 2 – 3(0) +5 =0–0+5 =5 3 (iii) f(1) = 1 2 – 3(1) +5 =1–3+5 = 3 ……………………….minimum Jadi, nilai minimumnya = 3 ………………..(d) 8. Santo ingin membuat sebuah tabung tertutup • Volume tabung V dari selembar karton dengan volum 16 dm 3 . V = luas alas × tinggi Agar luas permukaan tabung minimal, maka 16 = 2 π r ⋅ t jari-jari lingkaran alasnya adalah … π r 2 • Luas permukaan tabung S π S = 2 luas alas + luas keliling c. 2 3 16 dm =2 π r π r ⋅ π π r luas permukaan tabung akan minimum jika S’ = 0, maka: π r= 3 = 3 π ………………………..(b) π SOAL PENYELESAIAN 1. 2 Jika grafik y = f(x) melalui titik (1, 2) dan 2 • f’(x) = x +1 turunannya f’(x) = x + 1, maka grafiknya f(x) = ∫ (x 2 + 1)dx y = f(x) memotong sumbu Y di titik … = 1 3 x c a. (0, 0) b. 1 (0, ) 3 • Menentuan nilai c c. 2 (0, ) karena kurva melalui titik (1, 2), maka f(1) = 2 f(x) = x + c e. (0, 2) f(1) = 3 1 ( 1 ) ( 1 ) + c Jadi, y = f(x) = 3 1 x 2 + • Titik potong kurva dengan sumbu Y Kurva akan memotong sumbu Y jika x = 0 1 y= 3 x 2 + 1 y= 3 ( 0 ) ( 0 ) 2 = + 2 3 3 jadi, titik potongnya di (0, 2 3 )…………….(c) 2 Selesaikan dengan metode substitusi karena 2. Hasil ∫ x 9 − x dx =… selisih pangkat antara f(x) dan g(x) satu ∫ x 9 − x dx ∫ b. 2 2 2 ( 2 9 x ) 9 x c ⇔ ( 9 − x ) dx c. 2 ( 2 9 x ) 9 − x + c ⇔ 1 ( 2 9 ) ∫ 2 ( − 2 x ⋅ dx ) 3 9 ( 9 x ) 9 − x + c ⇔ 1 − 2 2 ∫ U du ⇔ 1 − 2 3 × ( 9 ) 9 − x + c …………….(a) 3. Hasil dari ∫ ( x + 1 ) cos x dx =… 2 Selesaikan dengan metode parsial karena pangkat 2 f(x) lebih tinggi dari g(x) e. 2x sin x – (x – 1)cos x + c Jadi: 2 ∫ ( x + 1 ) cos x dx ⇔ 2 (x + 1) sin x + 2x cos x – 2sin x + c ⇔ 2 (x + 1) sin x – 2sin x + 2x cos x + c ⇔ 2 (x + 1 – 2) sin x + 2x cos x + c ⇔ 2 (x – 1) sin x + 2x cos x + c ………….(b) 4. Nilai a yang memenuhi persamaan Selesaikan dengan metode substitusi karena selisih pangkat antara f(x) dan g(x) satu ∫ 2 12 ( x + 1 ) dx = 14 adalah … ∫ 12 ( x + 1 ) dx = 14 c. 0 ⇔ 2 6 ∫ ( x + 1 ) ⋅ xdx = 14 ⇔ 2 3 ∫ U du =7 2 3 2 ⇔ 3 ( + 1 ) − ( a + 1 ) =7 2 ⇔ 3 8 − ( a + 1 ) =7 2 ⇔ 3 ( a + 1 ) =1 ⇔ 2 +1 =1 a ⇔ a = 0 ……………………(c) 5. ∫ sin( x ) cos( x + ) dx =… ∫ sin( x ) cos( x ) dx + 3 1 2 ∫ 2 sin( ) cos( x + 3 ) dx 2 ∫ sin 2 ( x + 3 ) dx 8 ⇔ 1 ∫ 2 sin( 2 x + 2 ⋅ ∫ sin( 2 x + 3 ) ⋅ 2 dx π 4 cos( x + 3 ) 0 ⇔ 2 − 1 2 6 4 { cos( 6 + 3 ) − cos( 2 ⋅ 0 + 3 ) } 2 2 ⇔ 2 1 − π 4 { cos cos( 3 ) } 1 ⇔ 2 − π ⇔ 1 4 1 { 1 ( − 2 ) } 1 3 ⇔ 3 − 4 × ( − 2 ) = …………………………..(e) 8 ∫ 2 ( 3 t + 6 t − 2 ) dt ∫ ( 3 t + 6 t − 2 ) dt = 14 Nilai (–4p) = … ⇔ + 3 2 p − { 1 + 3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 } = 14 c. –16 d. –24 3 ⇔ 2 + 3 p − 2 = 14 e. –32 3 ⇔ 2 + 3 2 p − 16 =0 3 f(x) = 2 + 3 2 p − 16 untuk selanjutnya gunakan cek poin nilai-nilai p yang dihasilkan kemudian substitusikan ke f(x), jika f(p) = 0, maka p merupakan penyelesaian dari f(x). 3 3 a. 2 f( + 3 2 p − 16 ≠ 0 3 b. 2 f(2) = + 3 2 p − 16 = 8 + 12 – 4–16 = 0 3 c. 2 f(4) = + 3 2 p − 16 ≠ 0 3 d. 2 f(6) = + 3 2 p − 16 ≠ 0 3 e. 2 f(8) = + 3 2 p − 16 ≠ 0 dengan demikian jawaban yang benar adalah …….(b) 7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva Batas Integral y=–x 2 + 2x dan sumbu X pada 0 ≤ x ≤ 3 • Titik potong kurva dengan sumbu X adalah … satuan luas Kurva akan memotong sumbu X jika y = 0 2 a. 1 y=–x + 2x b. 4 0 = x(–x + 2) ⇒ x = 0 atau x = 2 8 • Karena luas derah yang ditanyakan adalah Maka batas daerah integralnya ada dua yaitu e. 4 0 ≤ x ≤ 2 dan 2 ≤ x ≤ 3 (ii) luas daerah karena ada dua batas integral, maka ada dua luasan yang harus dicari, sehingga L=L 1 +L 2 L 1 = ∫ ( − + 2 x ) dx = − + x 3 = 2 1 − ( 2 ) + 2 ) − 0 = 8 4 = − 4 3 + 3 L 2 = ∫ ( − + 2 x ) dx 1 3 2 3 = 2 − ( 3 ) 1 + 3 − ( 2 ) + 2 ) 8 8 4 − 4 = 9 + 3 − 4 = 3 − 4 = − 3 = 3 Jadi, L = 4 + 4 3 8 3 = 3 ……………………….(c) 8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva (i) Batas Integral 2 y=x 2 – 9x + 15 dan y = –x + 7x – 15 • Titik potong dua kurva adalah … satuan luas Pada saat kedua kurva berpotongan maka 3 2(x – 3)(x – 5) = 0 ⇒ x = {3 , 5} d. 3 2 Jadi, batas integralnya x = {3 , 5} e. 4 1 3 (ii) luas daerah 5 L = 2 ∫ ( 2 − 16 x + 30 ) dx 2 3 ( 2 3 ) − 8 ( 3 ) + 30 ( 3 )) = 250 3 − 200 + 150 ( 18 − 72 + 90 ) 3 =2 ………………….………(a) 3 9. Gambar berikut merupakan kurva dengan persamaan y = x 2 − 30 x . Jika daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X, maka volum benda putar yang terjadi sama dengan … satuan volum Kurva diputar mengelilingi sumbu X, maka: (i) Batas Integral Titik potong kurva dengan sumbu X diperoleh jika y = 0 0 = 30x 2 (1 + x)(1 – x) ⇒ x = { – 1, 0, 1} maka batas integralnya yaitu –1 ≤ x ≤ 0 dan 0 ≤ x ≤ 1 (ii) Volume benda putar Perhatikan gambar! karena V 1 =V 2 , maka V = 2V 1 b π 2 ∫ V = y dx a { 30 x } dx = 2 π ∫ − 1 = 2 2 π ∫ { ( 30 x )} dx − 1 2 = 4 2 π ∫ ( 30 x ) dx − 1 = 2 π 10 6 x 3 { 5 0 ( 10 ( 1 ) 6 ( − 1 ) } 2 π = ( − 10 + 6 ) 2 π =8 π ……………...(c) 10. Volum benda putar yang terjadi karena Kurva diputar mengelilingi sumbu Y, maka: daerah yang dibatasi oleh parabola y = x 2 2 (i) Batas Integral dan y = 8x diputar 360º mengelilingi • Titik potong dua kurva sumbu Y adalah … satuan volum. Pada saat kedua kurva berpotongan maka x(x 3 – 8) = 0 ⇒ x = {0 , 2} karena d. 5 4 π 2 y=x , maka y = {0, 4} e. 9 4 π 5 Jadi, batas integralnya y = {0 , 4} (ii) volume benda putar Kurva diputar mengelilingi sumbu Y, maka Volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva tersebut adalah: = 4 π ∫ { − 1 2 1 = 5 { ( 4 ) − 3 ( 4 ) − ( 0 )} π 4 ⋅ 5 = { 8 − 16 5 } π = { 8 − 1 3 5 } π =4 4 π ………………..…..(c) Pada gambar di atas, yang merupakan • Persamaan linear himpunan penyelesaian sistem g 1 : y = 0 ………………………………m = 0 pertidaksamaan . g 2 : x = 0……………………………….m = 0 x + 2y ≥ 6, 4x + 5y ≤ 20, 2x + y ≥ 6, adalah g 3 : 6x + 3y = 18 ⇔ 2x + y = 6 ……….m < 0 daerah … g 4 : 4x + 5y = 20 ………………………m < 0 a. I g 5 : 3x + 6y = 18 ⇔ x + 2y = 6 ……….m < 0 b. II c. III • Pertidaksamaan linear d. IV x + 2y ≥ 6 : …………….…..HP di atas g 5 e. V 4x + 5y ≤ 20 : ……………...HP di bawah g 4 2x + y ≥ 6 : ………………...HP di atas g 3 daerah HP yang sesuai dengan kriteria di atas adalah daerah II ………………………..(b) 2. Diketahui sistem pertidaksamaan x ≥ 0, y ≥ 0, Daerah himpunan penyelesaiannya adalah sbb: x+y ≤ 12, dan x + 2y ≤ 16. Nilai maksimum dari (2x + 5y) adalah … Koordinat titik-titik pojok (i) titik A …………………………………(0, 8) (ii) titik C …………………………………(12, 0) Nilai obyektif 2x + 5y pada titik-titik pojok (iii) titik B, perpotongan g 1 dan g 2 Titik f(x,y) = 2x + 5y ket g 2 : x + 2y = 16 A(0,8) f(0,8) = 0 + 40 = 40 g 1 : x + y = 12_ _ C(12,0) f(12,0) = 24 + 0 = 24 y=4 B(8,4) f(8,4) = 16 + 20 = 36 maks substitusikan nilai y = 4 ke pers. g 1 x + y = 12 ⇔ x + 4 = 12 Berdasarkan perhitungan di atas, maka nilai x = 12 – 4 = 8 maksimumnya adalah 36 …………………(d) Jadi, titik B …………………………….(8, 4) 3. Nilai maksimum f(x,y) = x – 2y + 4 pada gambar di atas adalah … g 1 : 2x – 2y = 2· (–2) ⇔ x – y = –2 a. 16 g 2 : …………………………x = 3 ⇔ x+y=4 d. 5 e. 2 Koordinat titik-titik pojok (i) titik A …………………………………(–2, 0) (ii) titik B, perpotongan g 2 dan g 3 g 3 : x + 2y = –2 g 2 :x =3 _ 2y = –57. LOGIKA MATEMATIKA
8. DIMENSI TIGA (JARAK)
9. DIMENSI TIGA (SUDUT)
10. STATISTIKA
11. PELUANG
12. LINGKARAN
13. SUKU BANYAK
14. FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
15. LIMIT FUNGSI
16. TURUNAN (DERIVATIF)
17. INTEGRAL
18. PROGRAM LINEAR