Cuplikan Soal dan Pembahasan UN Matemati

CUPLIKAN

  KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN

UJIAN NASIONAL MATEMATIKA SMA PROGRAM IPA

Diijinkan memperbanyak untuk kepentingan pendidikan, asal tetap menyertakan alamat situsnya

COPYRIGHT © www.soalmatematik.com 2009

1. PANGKAT RASIONAL, BENTUK AKAR DAN LOGARITMA

  1. Nilai dari

  27 3 3 1 27 3 1 ( 3 ) 3 1 − () 2 () ()

  2 − 2 adalah …

  ……………………………(e)

  e. 6 5

  2. Diketahui a = 9; b = 16; dan c = 36. Nilai dari

  1 3  3

  3 − 1 2 

   1 1

  3 − 2 

  ⋅ −  a b c =  9 16 ⋅ 36 

  

  

   ()() ⋅  

  2 ⋅ 2 =3 = 9 …………………..(c)

  3 25 16 27 3 27 ( 5 ) 2 ( 2 ) 4 ( 3 ) 3. 3 Nilai dari 3

  × 81 625 × 81 4 ( 4 5 ) × ( 3 )

  () 2 = = 2 ………….(a)

  e. 1 36

  4. Bentuk sederhana dari

  3 2 − 4 3 )( 2 + 3 ) =…

  ( 3 2 − 4 3 )( 2 + 3 )

  a. –6– 6 ⇔ 3 2 ( 2 + 3 ) − 4 3 ( 2 + 3 )

  b. 6– 6 ⇔ 3 ( 2 ) + 3 6 4 6 − 4 ( 3 )

  c. –6+ 6 ⇔ 6 − 12 + ( 3 − 4 ) 6 =–6–

  6 …. (a)

  d. 24 – 6

  e. 18 + 6

  27 45 27 45 9 ⋅ 3 − 9 ⋅ 5

  5. Bentuk sederhana

  adalah …

  d. 14 =

  = 3 …………... (c)

  64 log 6 3 + 2 log 6. 2 Nilai dari

  c. − 10 3 2 +

  3 = 10 − − 2 3 ……….. (c)

  7. Diketahui log 2 = a dan log 3 = b, maka nilai

  log 3 2 15 sama dengan …

  = 3 (log 5 + log 3 )

  3 (log 2 + log 3 )

  = 3 (log 10 − log 2 + log 3 )

  2 8. 3 Diketahui log 5 = p dan log 2 = q. Nilai

  3 3 2 p + = 3 ⋅ log 5 + log 3

  a.

  q

  3 2 1 = 3 log 2 ⋅ log 5 +

  p

  log 2

  …………….(c)

  p + 3

  q

  d.

  q

  3 2 p

  e. +

  q

  7 2 9. 6 Jika log 2 = a dan log3 = b, maka log 14 = …

  6 log 14 log 2 log 7

  log 14 =

  =

  log 6 log 2 + log 3

  1 + b

  ……………..(c)

2. PERSAMAAN, PERTIDAKSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

  SOAL

  PENYELESAIAN

  1. 2 Akar-akar persamaan kuadrat x + (a – 1)x + α=2 β

  c

  2 = 0 adalah α dan β . Jika α = 2 β dan a > 0

  (i) α ⋅ β =

  maka nilai a = …

  β 2 =1 3 β =1–a β = ± 1 3(–1) = 1 – a

  β = 1 atau β = –1

  a =1+3 = 4 ……...(c)

  2. 2 Persamaan kuadrat 2x + 3x – 5 = 0,

  mempunyai akar-akar x 1 dan x 2. Persamaan Pers kuadrat lama :

  kuadrat baru yang akar-akarnya (2x 2

  1 – 3) dan 2x + 3x – 5 = 0, a = 2, b= 3, c = – 5

  (2x 2 – 3) adalah …

  2 Akar-akar persamaan kuadrat baru

  =2 ( − b –6=2 ( − a 3 ) 2 ) –6=–3–6=–9 (ii) α · β = (2x 1 – 3) (2x 2 – 3)

  Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah

  x 2 –( α + β )x + ( α · β )=0 ⇔ 2 x – (– 9)x + 8 = 0 ⇔ 2 x + 9x + 8 = 0 …………………………(b)

  3. 2 Diketahui akar-akar persamaan kuadrat 2x – 4x + 1 = 0 adalah α dan β . Persamaan kuadrat

  Pers kuadrat lama :

  baru yang akar-akarnya α dan

  β 2 2x – 4x + 1 = 0, a = 2, b = – 4, c = 1

  β adalah … α

  a. 2 x – 6x + 1 = 0

  Akar-akar persamaan kuadrat baru

  b. 2 x + 6x + 1 = 0

  α

  β

  β

  α

  d. x + 6x – 1 = 0

  α β

  e. 2 x – 8x – 1 = 0

  (i) x 1 +x 2 =

  β α α 2 + β

  αβ

  ( 2 α + β ) − 2 ( α ⋅ β )

  αβ

  α β

  (ii) x 1 · x 2 =

  β =1 α

  ·

  Jadi, persamaan kuadrat barunya adalah

  1 +x 2 )x + (x 1 ·x 2 )=0 ⇔ 2 x – 6x + 1 = 0 ………………………..(a)

  x 2 – (x

  4. 2 Persamaan kuadrat (k + 2)x – (2k – 1)x + k – Akar-akarnya nyata dan sama, maka

  1 = 0 mempunyai akar-akar nyata dan sama. x 1 = x 2 dan D = 0

  Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah… 2 (i) D = b – 4ac

  d. − b 2 − 1 2 () −

  (ii) x 1 +x 2 =

  = 10 8 × 2 25 = 5 ….(d)

  5. Agar persamaan kuadrat

  Persamaan kuadrat memiliki dua akar nyata

  x 2 + (a – 1)x – a + 4 = 0 mempunyai dua akar berbeda, maka D > 0 nyata berbeda, maka nilai a yang memenuhi D>0

  adalah … 2 b – 4ac > 0

  a. a < –5 atau a > 3 2 ⇔ (a – 1) – 4 (1)( – a + 4) > 0

  b. a < –3 atau a > 5

  ⇔ 2 a – 2a + 1 + 4a – 16 > 0

  c. a < 3 atau a > 5

  ⇔ 2 a + 2a – 15 > 0

  d. –5 < a < 3

  ⇔ (a + 5)(a – 3) = 0

  e. –3 < a < 5

  a = { –5, 3}

  karena tanda pertidaksamaannya > , maka HP menggunakan tanda hubunga atau ..………….(a)

  6. Himpunan penyelesaian dari x(2x + 5) < 12 Pertidaksamaan : x(2x + 5) < 12 adalah … 2 ⇔ 2x + 5x – 12 < 0

  a. {x | x < –4 atau x > 3 2 ,x ∈ R}

  Pembentuk nol : 2x 2 + 5x – 12 = 0

  b. {x | x < 3 2 atau x > 4, x ∈ R}

  ⇔ ( x + 4)(2x – 3)= 0

  x = {–4, c. 3 {x | –4 < x < –

  2 ,x ∈ R}

  d. Karena tanda pertidaksamaannya <, maka HP ada {x | – 3 2 < x < 4, x ∈ R}

  di tengah ………..…………………………..(e)

  e. {x | –4 < x < 3 2 ,x ∈ R}

  7. Ordinat titik balik maksimum grafik fungsi

  2 (i) Ordinat titik balik maksimum : y e = D − 4 a

  y = –x – (p – 2)x + (p – 4) adalah 6. Absis titik balik maksimum adalah …

  (p – 2) – 4(–1)(p – 4) = 6 (– 4)( –1)

  (ii) Absis titik balik maksimum : x e = b

  = – 2 ……….(b)

  8. Persamaan grafik fungsi kuadrat dari grafik di Karena grafik memotong sumbu X di (–1, 0), dan bawah ini adalah …

  (5, 0), serta memotong sumbu Y di (0, 3), maka

  a. y= 1 − 2 ( + 1 )( x − 5 ) gunakan rumus: y = a(x – x 1 )(x – x 2 )

  b. y= 2 − 5 ( + 1 )( x − 5 ) (i) tentukan nilai a

  c. y= 3 − 5 ( + 1 )( x − 5 ) y = a(x – x 1 )(x – x 2 )

  − 3 = a(0 + 1)(0 – 5)

  Dengan melihat nilai a, sudah dapat diketahui jika jawaban yang benar adalah ……………….. (c)

  9. Grafik fungsi kuadrat dengan titik balik (–1, 4) Karena grafik memiliki titik ekstrim (–1, 4) dan dan melalui titik (–2, 3), memotong sumbu Y melalui itik (–2, 3), maka gunakan rumus:

  di titik … 2 y = a(x – x

  e ) +y e

  a. (0, 3)

  (i) tentukan nilai a

  3–4=a

  e. (0, 1)

  a = –1 (ii) substitusikan nilai a ke rumus

  (iii) grafik memotong sumbu Y, maka x = 0

  y = –x 2 – 2x + 3 y=0 2 – 2(0) + 3 = 3

  Jadi, grafik memotong sumbu Y di titik (0, 3) …………………………….(a)

3. SISTEM PERSAMAAN LINEAR

   3 x 7 y + 2 z = 8 Untuk soal model seperti ini (ditanyakan nilai x,

  

   4 x + 2 y − 5 z = 19 adalah …

  y, dan z) cukup lakukan cek point saja terhadap

  jawaban yang di sediakan.

   

  6 y − 4 z = 14

  a. x = 5, y = 3, dan z = 1

  (i) Lihat dulu jawaban yang sudah pasti

  b. kebenarannya, x = 4, y = –5, dan z = 1

  c. x = –3, y = 4, dan z = 1

  Gunakan pers. 3, karena bentuknya yang

  d. x = –5, y = 3, dan z = 2

  paling sederhana

  7 = 7 …..(OK) Nilai y dan z pada jawaban a dan e sama,

  maka kemungkinan jawaban yang benar ada di a atau e

  (ii) gunakan pers. 1 untuk memeriksa

  kebenaran jawaban a

  a. x = 5, y = 3 dan z = 1 3x + 7y + 2z = 8 3(5) + …+ … ≠ 8 ………. Salah

  karena ruas kiri ≠ ruas kanan maka dapat diketahui jika jawaban a adalah salah

  yang benar adalah ……………………….(e)

  linear Gunakan permisalan

  Misal = a , = b , = c maka persamaan

   − = 3 . Nilai x + y + z = …

  awal menjadi:

  y z

  1  a + = 2 .......... ...( 1 )  − = 2 

   2 b − c = 3 .......... .( 2 )

   x z

  

  a. 3  a − c = 2 .......... .....( 3 )

  b. 2

  c. 1 gunakan metode eliminasi

  d. 1 2 (i) eliminasi (hilangkan) a

  b = – c ……………………..(4)

  (ii) substitusi (4) ke (2) 2b – c = – 3

  (iii) substitusi c = 1 ke (4)

  ⇒y=–1 y

  (iv) substitusi b = – 1 ke (1)

  a+b=2 a–1=2

  ∴ Nilai x + y + z = 1 –1+1= 3 1 3 ………(e)

  3. Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke Masalah tersebut jika disajikan dalam tabel adalah: toko koperasi membeli buku tulis,

  Buku (x) Pena (y) Pensil (z) Bayar

  pena, dan pensil dengan merk yang sama. Ali membeli 3 buku tulis, 1

  Ali

  pena, dan 2 pensil dengan harga Rp

  Budi

  11.000,00. Budi membeli 2 buku tulis, 3 pena, dan 1 pensil dengan

  Cici

  harga Rp 14.000,00. Cici membeli 1

  Dedi

  buku tulis, 2 pena, dan 3 pensil dengan harga Rp 11.000,00. Dedi membeli 2 buku tulis, 1 pena, dan 1 Sistem persamaannya adalah:

  pensil. Berapa rupiah Dedi harus  3 x y + 2 z = 11 . 000

  a. Rp 6.000,00

  

  x 2 y + 3 z = 11 . 000

  b. Rp 7.000,00

  c. Rp 8.000,00

  d. Rp 9.000,00

  e. Rp 10.000,00

  Untuk menyelesaikan permasalah di atas gunakan metode eliminasi berantai (i) (2) dan (3)

  2 x 3 y + z = 14 . 000

  ………….(2)

  − ………….(3) x ……….…(4) + y − 2 z = 3 . 000

  ………….(5)

  (ii) (1) dan (2)

  3 x y + 2 z = 11 . 000

  ………….(1)

  2 x 3 y + z = 14 . 000

  − ………….(2)

  x − 2 y + z = 3 . 000

  (v) substitusi z = 1.000 ke pers (5)

  ……….…(6)

  y + 5z = 8.000

  (iii) (4) dan (6)

  y + 5(1.000) = 8.000

  x + y − 2 z = 3 . 000

  ………….(4)

  y = 3.000

  x − 2 y + z = 3 . 000

  ………….(6)

  (vi) substitusi y = 3.000 dan

  −

  y − 3 z = 6 . 000

  z = 1.000 ke pers. (2)

  2x + 3y + z = 14.000

  y − z = 2 . 000

  …………(7)

  2x + 3(3.000) + 1.000 = 14.000 2x = 14.000 – 10.000 = 4.000

  (iv) (5) dan (7)

  y + 5 z = 8 . 000

  ………….(5)

  ∴ 2x + y + z = 4.000 + 3.000 + 1.000

  y −

  = 8.000 …………..(c)

  − ………….(7)

  6 . 000 z = 1 . 000

4. TRIGONOMETRI I

  SOAL

  PENYELESAIAN

  1. Nilai cos ∠ BAD pada gambar adalah …

  Gunakan bantuan tali busur BD

  a. 17

  33 o Jumlah dua sudut yang berhadapan dalam

  b. 17 28 segi-4 adalah 180 ° , sehingga:

  d. 30 34 o Panjang BD dapat dicari dengan menggunakan BCD dan BAD

  2 2 BD 2 =3 +3 –2 ⋅ 3 ⋅ 3 cos C = 9 + 9 – 18 cos (180 ° – A)

  = 18 – 18 (–cos A) = 18 + 18 cos A …………………(1)

  (ii) ∆ BAD

  2 2 BD 2 =4 +6 –2 ⋅ 4 ⋅ 6 cos A = 16 + 36 – 48 cos A

  = 52 – 48 cos A ………………..(2)

  Dari pers. (1) dan pers. (2) diperoleh

  66 cos A = 34 cos A = 34 66 17 = 33 …………(a)

  2. Seorang siswa SMA ingin menaksir tinggi Menentukan panjang P’Q gedung PQ yang tegak lurus permukaan tanah (i) ∆ A’B’Q

  horizontal AP. Di A ia melihat puncak

  P Q

  gedung Q dengan sudut 30º dan di B dengan

  tan 30º =

  A B '

  sudut 60º. Jika AB = 10 meter dan tinggi mata siswa tersebut 1½ meter dari permukaan

  1 P ' 3 Q =

  tanah, maka PQ terletak di antara ….. m

  P’Q = 1 3 (10 + B’P’) ……………(1)

  (ii) ∆ B’P’Q P Q

  3 B’P’ …………………….(2)

  a. 8½ – 9

  Dari pers. (1) dan pers. (2) diperoleh:

  { 1 3 (10 + B’P’) =

  3 B’P’}×

  e. 10½ – 11

  10 + B’P’ = 3 B’P’ 3B’P’ – B’P’ = 10 2B’P’ = 10

  B’P’ = 10 2 =5

  Maka P’Q =

  3 B’P’ = 5 3

  Dengan demikian: PQ = P’Q + PP’ = 5

  3 + 1,5 = 8,5 lebih + 1,5

  = 10 lebih ……………..(d)

  3. Pada segitiga lancip ABC diketahui panjang sisi

  x cos B = 4 = , maka

  AC = 4cm, AB = 5 cm, dan cos B = 4 ,

  r

  maka cos C = …

  jadi: sin B =

  d. 1 3 7 Gunakan aturan sinus

  sin C 3 5 4sin C = 3

  3 y

  sin C = 2 = , maka x = 4 − 3 = 7

  4 r

  jadi: cos C =

  ………………….(b)

  4. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B sejauh 60 mil dengan arah 40 °

  dari A, kemudian berputar haluan dilanjutkan ke pelabuhan C sejauh 90 mil, dengan arah 160 ° dari B. Jarak terdekat dari pelabuhan A ke C adalah … mil

  berdasarkan gambar di atas panjang AC dapat dicari dengan menggunakan aturan kosinus.

  2 2 AC 2 = 60 + 90 –2 ⋅ 60 ⋅ 90 cos 60 = 3.600 + 8.100 – 2 ⋅ 5400 ⋅ 1 2

  = 11.700 – 5.400 = 6.300 = 7 ⋅ 9 ⋅ 100 BC = 9 100 ⋅ 7 = 30 7 ……………..(c)

  SOAL

  PENYELESAIAN

  5. Diketahui segiempat PQRS dengan PS = 5 cm, PQ = 12 cm, QR = 8cm, besar sudut

  SPQ = 90 ° , dan besar sudut SQR = 150 ° . Luas PQRS adalah …

  (i) tentukan panjang sisi QS

  QS = 2 5 + 12 = 25 + 144 = 169 = 13

  a. 2 46 cm

  2 (ii) tentukan luas ∆ PQS dan ∆ QRS

  b. 56 cm

  2 • luas ∆ PQS = L 1

  luas ∆ QRS = L 2 L 2 = 1 2 ⋅ QS ⋅ QR sin 150 °

  = 1 2 ⋅ 13 ⋅ 8 sin (180 – 30) = 13 ⋅ 4 ⋅ sin 30 = 13 ⋅ 4 ⋅ 1 2 = 26

  Jadi: Luas PQRS = L 1 +L 2 = 30 + 26 = 56 ……………(b)

  6. Diberikan prisma tegak segitiga ABC.DEF

  dengan panjang rusuk AB = 6 cm, BC = 3 7 ,

  dan AC = 3 cm. Tinggi prisma adalah 20 cm. Volume prisma adalah …

  (i) Tentukan luas alas ABC

  • menentukan besar sudut A

  a. 55 2 36 cos A = 45 – 63 = – 18

  b. 60 2

  − x

  cos A = 18 1

  =– 2 = , diperoleh

  y= 2 2 ( − 1 ) = 3

  e. 120 3

  sehingga sin A =

  luas ABC adalah:

  L= 1 AB 2 1 AC ⋅ ⋅ sin A = 2 ⋅ 3 ⋅ 6 ⋅ 1 2 3 = 9 2 3

  (ii) Volume Prisma

  V = luas alas × tinggi

  = 9 2 3 × 20 = 90

  3 ………………(d)

5. TRIGONOMETRI II

  1. Nilai dari

  adalah …

  cos 10

  c. 1 ⇔ 1 o

  d. 1 2 {cos( 40 50 ) + cos( 50 − 40 2 )}

  e. 1 2 cos 10 4 o ⇔ cos 90 + cos 10

  2 cos 10 o

  ⇔ = 2 ……………………………..(b)

  0 + cos 10 75 sin 15

  2. Nilai dari

  2 sin 1 ( 90 ) cos b. 1 – 2 2 2 ( 60 )

  1 ⇔

  2 ⋅

  c. 3 2 cos 1 ( 120 ) cos 1 ( 90 o

  3. 3 Diketahui sin A = 12 , cos B = ; A dan B

  sudut lancip. Nilai tan (A + B) = …

  Gunakan rumus A.3)

  A + tan B

  tan(A + B) =

  1 − 16 16 12 11

  = 56 33 ………………(a)

  4. 2 Ditentukan sin A= 3 . Untuk π

  nilai tan 2A = …

  a. 2 6

  ⇒x= ()() 5 − 3

  c. 5 − 3 5 = 6 2 −

  maka tan 2A =

  = –2 6 …………..….(e)

  5. 8 1 Diketahui sin 1 α · cos α = . Dimislkan = N, maka

  cos α

  sin ⋅ cos α

  a.

  25 2 (cos − sin )

  9 N =

  (sin ⋅ cos α )

  b. 2

  c. 5 cos + sin − 2 sin cos

  (sin ⋅ cos α )

  d.

  1 − 2 × 25 25 ()

  ………………………..(e)

  SOAL

  2

  6. Pada segitiga ABC lancip, diketahui

  = ,⇒y= 5 4

  dan sin B =

  cos A = 5 13 , maka sin C = …

  5 r

  a. 20 65 maka sin A = 3

  maka cos B =

  e. 65 13

  Jumlah sudut suatu segitiga adalah 180 ° , maka

  • A + B + C = 180 °

  C = 180 ° – (A + B) sehingga sin C = sin {180 ° – (A + B)}

  …………..(e)

  65 65

6. TRIGONOMETRI III

  SOAL

  PENYELESAIAN

  1. Hasil penjumlahan dari semua anggota

  3tan x + cot x – 2 3 =0

  himpunan penyelesaian persamaan

  3tan x + cot x – 2 3 =0

  ⇔ 1

  {3tan x +

  – 2 3 = 0}× tan x

  dengan 0 ≤ x ≤ 2 π adalah …

  tan x

  2

  a. 5 π ⇔ 3tan x+1– 2 3 tan x = 0

  3

  ⇔ 2 3tan x– 2 3 tan x + 1 = 0

  3 tan x –1=0

  Lihat rumus A.3) (i) x = 30º + k ⋅ 180º

  untuk k = 0 ⇒ xº = 30º + (0 ⋅ 180º) = 30º untuk k = 1 ⇒ xº = 30º + (1 ⋅ 180º) = 210º

  (ii) x = (180º + 30º) + k ⋅ 180º

  = 210º + k ⋅ 180º untuk k = 0⇒ xº = 210º + (0 ⋅ 180º)= 210º

  Jadi, jumlah HP adalah :

  30º + 210º = 240º = 240 o π = 4 π ……………(b)

  3

  180

  2. Diketahui persamaan

  Gunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut

  2 2cos 2 x + 3 sin 2x = 1 + 3 , untuk x + 3 sin 2x = 1 + 2cos 3

  0

  . Nilai x yang memenuhi adalah …

  ⇔

  2{ (1 + cos 2x)} + 3 sin 2x = 1 + 3

  {cos 2x + 3 sin 2x =

  (i) 2xº + 30º = 60 ° + k · 360 ° (kwadran I)

  2xº = 30 ° + k · 360 °

  ° = 15 x ° + k · 180 ° untuk k = 0 ⇒ xº = 15 ° + (0 · 180 ° )

  ° 15 = o π = π 12 180

  = 15

  (ii) 2x ° + 30 ° = 180 ° – 60 ° + k · 360 ° (kw II)

  ° 2x = 90 ° + k · 360 ° ° = 45 x ° + k · 180 °

  untuk k = 0 ⇒ xº = 45 ° + (0 · 180 ° )

  π = 4 Jadi, HP = { π 12 , π 4 } ………….…………(d)

  = 45 ° = 45 π

  180 o

  3. Himpunan penyelesaian persamaan

  Gunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut

  2 3 cos 2x – 4 sin x·cos x = 2

  2 3 cos 2x – 4 sin x·cos x = 2

  a. 3 , 13 { π }

  dengan 0 ≤ x ≤ 2 π adalah …

  ⇔ 2 3 cos 2x – 2(2sin x·cos x) = 2

  12 4 12 ⇔ {2

  3 cos 2x – 2· sin 2x = 2} × 1 4

  b. 3 5 { 13 , π ⇔ 1 3 cos 2x – 1 sin 2x = 1

  ⇔ cos 2x · 2 3 – sin 2x · 2 = { 1

  1 c. 1 13 5 , π

  2 ⇔ cos 2x · cos 30 ° – sin 2x · sin30 ° = cos 60 °

  d. 3 3 { π ,

  e. 3 5 { 13 , π }

  2 ⇔

  cos (2x +30) ° = cos 60 °

  (i) 2x ° +30 ° = 60 ° + k · 360 ° (kwadran I)

  ° 2x = 60 ° – 30 ° + k · 360 ° ° = 30 x ° – 15 ° + k · 180 ° ° = 15 x ° + k · 180 °

  untuk k = 0 ⇒ xº = 15 ° + (0 · 180 ° )

  = 15º = 15 π

  π = 12

  180 o

  untuk k = 1 ⇒ xº = 15 ° + (1 · 180 ° )

  = 195º = 195 = 13 180 π o π 12 (ii) 2x ° +30 ° = –60 ° + k · 360 ° (kwadran IV)

  ° 2x = –60 ° – 30 ° + k · 360 ° ° = –30 x ° – 15 ° + k · 180 ° ° = –45 x ° + k · 180 °

  untuk k = 1 ⇒ xº = –45 ° + (1 · 180 ° ) = 135º = 135

  = 3 π 180 o π

  4 untuk k = 2 ⇒ xº = –45 ° + (2 · 180 ° ) = 315º = 315

  o π = 4 180

  7 π

  Jadi, HP = { π , 3 π

  , 7 12 π 4 , 13 12 π 4 } ……………(a)

  catatan: Jika Anda jeli, sebenarnya jawaban sudah

  nampak pada saat diperoleh nilai x = π 12 , yang hanya dimiliki oleh poin (a) sehingga

  perhitungan selanjutnya tidak perlu dilakukan supaya lebih menghemat waktu.

  4. Himpunan penyelesaian persamaan

  sin 4x – cos 2x = 0

  sin 4x – cos 2x = 0 untuk

  ⇔ sin 2(2x) – cos 2x = 0

  0 ° ≤ x ≤ 360 ° adalah …

  ⇔ 2sin 2x · cos 2x – cos 2x = 0

  a. {15 ° , 45 ° , 75 ° , 135 ° }

  ⇔ cos 2x (2sin 2x – 1) = 0

  b. {135 ° , 195 ° , 225 ° , 255 ° }

  e. {15 ° ,45 ° ,75 ° ,135 ° ,195 ° ,225 ° ,255 ° , 315 ° }

  (i) 2x ° = 90 ° + k · 360 ° (kwadran I)

  x ° = 45 ° + k · 180 ° untuk k = 0 ⇒ xº = 45 ° + (0 · 180 ° ) = 45º untuk k = 1 ⇒ xº = 45 ° + (1 · 180 ° ) = 225º

  (ii) 2x ° = –90 ° + k · 360 ° (kwadran IV)

  x ° = –45 ° + k · 180 ° untuk k = 1 ⇒ xº = –45 ° + (1 · 180 ° ) = 135º untuk k = 2 ⇒ xº = –45 ° + (2 · 180 ° ) = 315º

  (b) 2sin 2x – 1 = 0 sin 2x = 1 2 sin 2x = sin 30º

  (i) 2xº = 30 ° + k · 360 ° (kwadran I)

  x ° = 15 ° + k · 180 ° untuk k = 0 ⇒ xº = 15 ° + (0 · 180 ° ) = 15 ° untuk k = 1 ⇒ xº = 15 ° + (1 · 180 ° ) =195 °

  (ii) 2x ° = 180 ° – 30 ° + k · 360 ° (kw II) ° x = 90 ° – 15 ° + k · 180 ° ° x = 75 ° + k · 180 °

  untuk k = 0 ⇒ xº = 75 ° + (0 · 180 ° ) = 75 ° untuk k = 1 ⇒ xº = 75 ° + (1 · 180 ° ) =225 °

  Dari langkah (a) dan (b) diperoleh: HP = {15 ° ,45 ° ,75 ° ,135 ° ,195 ° ,225 ° ,255 ° , 315 ° } …………………………………………….(e)

  5. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

  cos 2xº > ½, untuk 0 ≤ x < 180

  cos 2xº > ½, untuk 0 ≤ x < 180 adalah …

  untuk menyelesaikannya kedua ruas rubah

  a. {x | 30 < x < 150}

  menjadi fungsi kosinus.

  b. {x | 0 ≤ x < 60}

  cos 2xº > 1 2

  c. {x | 150 < x < 180}

  ⇔ cos 2xº > cos 60º

  d. {x | 0 ≤ x < 15 atau 165 < x ≤ 180}

  ⇔ cos 2xº – cos 60º > 0

  e. {x | 0 ≤ x < 30 atau 150 < x < 180}

  • cari nilai x pembentuk nol persamaan cos 2xº = cos 60º

  (i) 2xº = 60º + k ⋅ 360º (kwadran I)

  xº = 30º + k ⋅ 180º untuk k = 0 ⇒ xº = 30º + (0 ⋅ 180º) = 30º

  (ii) 2xº = –60º + k ⋅ 360º (kwadran IV)

  xº = –30º + k ⋅ 180º untuk k = 1 ⇒ xº = –30º + (1 ⋅ 180º) = 150º

  Jadi, pembentuk nolnya xº = {30º, 150º}

  • Buat grafik himpunan

  penyelesaiannya

  Berdasarkan grafik di atas maka: HP = {x | 0 ≤ x < 30 atau 150 < x < 180} ……(e)

  6. Himpunan penyelesaian dari

  sin (3x + 75)º < 1 3 untuk 0 ≤ x ≤ 180º

  sin (3x + 75)º < 1

  3 2 untuk 0 ≤ x ≤ 180º

  2 untuk menyelesaikannya kedua ruas rubah

  adalah …

  menjadi fungsi sinus.

  a. {x | 15 < x < 115, 135 < x ≤ 180}

  sin (3x + 75)º < 1 3

  b. {x | 0 ≤ x < 15, 115 < x < 135}

  c. {x | 0 ≤ x < 115, 135 < x ≤ 180}

  ⇔ sin (3x + 75)º < sin 60º

  d. {x | 0 ≤ x < 15, 135 < x ≤ 180}

  ⇔ sin (3x + 75)º – sin 60º < 0

  e. {x | 25 < x < 105, 145 < x ≤ 180}

  • cari nilai x pembentuk nol persamaan sin (3x + 75)º = sin 60º

  (i) 3xº + 75º = 60º + k ⋅ 360º (kwadran I)

  3xº = 60º – 75º + k ⋅ 360º xº = 20º – 25º + k ⋅ 120º xº = – 5º + k ⋅ 120º

  untuk k = 1 ⇒ xº = – 5º + (1 ⋅ 120º) = 115º (ii) 3xº + 75º = (180º – 60º) + k ⋅ 360º (kw II)

  3xº = 120º – 75º + k ⋅ 360º xº = 40º – 25º + k ⋅ 120º xº = 15º + k ⋅ 120º

  untuk k = 0 ⇒ xº = 15º + (0 ⋅ 120º) = 15º untuk k = 1 ⇒ xº = 15º + (1 ⋅ 120º) = 135º

  jadi, pembentuk nolnya xº = {15º, 115º, 135º}

  • Buat grafik himpunan penyelesaiannya

  Berdasarkan grafik di atas maka: HP = {x | 15 < x < 115, 135 < x ≤ 180} …..…(a)

7. LOGIKA MATEMATIKA

  SOAL

  PENYELESAIAN

  1. Diketahui tiga premis sebagai berikut

  P 1 : p ⇒ q ………………….(1) P 2 : ~r ⇒ q ………………….(2) P 3 : ~ r___ …………………..(3)

  ∴ ………. Kesimpulan berikut yang tidak sah adalah.....

  Uraian di samping jika diringkas adalah sbb:

  P 1 : ( p ⇒ q ) = B ……………(iii)

  BS ⇒ B = B

  P 2 : ( ~r ⇒ q ) = B …………….(ii)

  B⇒B =B

  (1) Bentuk penarikan tersebut tidak dapat

  diselesaikan dengan metode penarikan

  P 3 : ( ~ r )___ = B …………….(i)

  kesimpulan yang ada, baik dengan MP, MT, ataupun silogisme.

  Maka diproleh data ~r = B, q = B,

  dan p = BS

  (2) Untuk menyelesaikannya gunakan prinsip utama penarikan kesimpulan, yaitu “kesimpulan suatu

  dari data yang telah diperoleh kemudian

  pernyataan akan bernilai benar jika semua

  dicek jawabannya satu persatu

  premisnya adalah benar”

  a) q ∨ r

  sehingga P 1 ,P 2 , dan P 3 harus benar

  B ∨ S = B ………….rumus C.2)

  (i) Pertama-tama pilih bentuk yang paling

  b) q = B

  sederhana yaitu P 3

  c) p ∧ ~q

  P 3 : ~r = B

  BS ∧ S = S ………… rumus C.1)

  (ii) pilih premis yang memuat ~r , yaitu P 2 , P 2 juga harus benar. Dari langkah (i)

  Jadi, jawaban yang salah adalah ……..(c)

  diperoleh hasil ~r = B

  P 2 : (~r ⇒ q) = B B⇒…=B

  supaya P 2 benar, maka q = B

  (iii) terakhir ke P 1 ,P 1 juga harus benar dari langkah (ii) diperoleh hasil q = B

  P 3 : (p ⇒ q) = B …⇒B =B

  supaya p 3 benar, maka P = B atau S

  2. Diketahui premis-premis berikut: Premis 1 : Jika Anik lulus ujian, maka ia

  Pernyataan-pernyataan tersebut jika ditulis dalam

  kuliah di perguruan tinggi negeri.

  kalimat matematika adalah:

  Premis 2 : Jika Anik kuliah di perguruan

  tinggi negeri, maka Anik jadi

  Premis 1 : p ⇒ q

  sarjana.

  Premis 2 : q ⇒ r

  Premis 3 : Anik bukan sarjana

  Premis 3 : ~r_____

  Kesimpulan yang sah dari ketiga premis di

  atas adalah …

  Kesimpulanany adalah

  a. Anik lulus ujian

  Premis 1 : p ⇒ q

  b. Anik kuliah di perguruan tinggi negeri Premis 2 : q ⇒ r

  c. Anik tidak lulus ujian

  Premis 4 p ⇒ r ………… (1) dan (2) silogisme

  d. Anik lulus ujian dan kuliah di

  Premis 3 : ~r___

  perguruan tinggi negeri

  ~p ………….…(4) dan (3) MT

  e. Anik lulus ujian dan tidak kuliah

  ~p Jika diuraikan adalah ………………..….(c)

  3. Diberikan premis-premis sebagai berikut: Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka Pernyataan-pernyataan tersebut jika ditulis dalam

  semua bahan pokok naik

  kalimat matematika adalah:

  Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik,

  maka semua orang tidak Premis 1 : p ⇒ q senang

  Premis 2 : q ⇒ ∀ (~r) ………….silogisme Kesimpulan : p ⇒ ∀ (~r)

  Ingkaran dari kesimpulan di atas adalah …

  a. Harga BBM tidak naik

  Negasi dari p ⇒ ∀ (~r) adalah:

  b. Jika harga bahan pokok naik, maka ada ~( p ⇒ ∀ (~r)) ≡ p ∧ ~( ∀ (~r)) orang orang tidak senang

  ≡ p ∧ ∃ r

  c. Harga bahan pokok naik atau ada orang tidak senang

  p ∧ ∃ r Jika diuraikan adalah ………………….(e)

  d. Jika semua orang tidak senang, maka harga BBM naik

  e. Harga BBM naik dan ada orang yang senang

8. DIMENSI TIGA (JARAK)

  SOAL

  PENYELESAIAN

  1. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk a cm. Titik K pada perpanjangan DA

  sehingga KA = 1 3 KD. Jarak titik K ke

  bidang BDHF adalah … cm

  Jika KA = 1 KD, maka AD = 3 2 3 KD

  { KD = a } × 2

  2 3

  KD = 3 2 a

  KL = KD 2 = 3 a 2 Berdasarkan gambar , Jarak titik K ke bidang

  BDHF adalah ruas garis KP, panjangnya adalah

  KP = 1 2 3 KL = 1 2 ⋅ a 2 = 3 4 a 3 ……………………(d)

  2. Diketahui limas segi empat beraturan

T.ABCD dengan AB = 6 2 cm dan AT =

  10 cm. Apabila P titik tengah CT, maka jarak titik P ke diagonal sisi BD adalah … cm

  d. 3 2

  Berdasarkan gambar, jarak titik P ke diagonal sisi BD adalah ruas OP yang panjangnya dapat dicari dengan menggunakan aturan kosinus sbb:

  OP = 5 ………………………………………(a)

  3. Diketahui limas beraturan T.ABCD rusuk

  TA = 4 2 dan AB = 4. Jarak A ke TC

  adalah …

  AC = 4 2

  OT = AT − AO = ()() 4 −

  ⋅ − ⋅ 2

  = 2 ( 8 − 2 )

  d. 36 Berdasarkan gambar ,

  Jarak titik A ke TC adalah ruas garis AP, panjangnya dapat dicari dengan bantuan luasan segitiga sbb:

  4 2 ⋅ AP = 4 2 ⋅ 26 AP = 2 6 …………………………(c)

  4. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6cm, titik P terletak pada perpanjangan CG sehingga CP = 2CG. Panjang proyeksi CP pada bidang BDP adalah … cm

  a. 14

  b. 9 2

  c. 8 2

  d. 7 2 PR = 12 + () 3

= 3 ( 4 2 + 2 ) = 3 4 2 + 2 = 3 18 = 9 2 Posisi benda dengan bayangannnya adalah selalu

  tegak lurus, maka proyeksi CP terhadap bidang BDP adalah PQ. Panjang ruas garis PQ dapat dicari dengan menggunakan bantuan kosinus

  sudut α ∆ PQR dan ∆ PCR sbb:

  2 PQ =4×4

  PQ = =

  =8 2 ……(c)

9. DIMENSI TIGA (SUDUT)

  SOAL

  PENYELESAIAN

  1. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan rusuk AB = 10cm, BC = 5cm dan CG = 10cm. Jika titik P pada pertengahan AB dan titik Q pada pertengahan CG, maka kosinus sudut yang dibentuk oleh PQ dengan alas adalah …

  e. CQ = 5 2 3 2

  2 PQ = 2 CQ + CP =

  = 2 5 ⋅ 2 + 5 = 2 5 ( 2 + 1 )

  = 5 3 Berdasarkan gambar di atas sudut yang dibentuk

  garis PQ dan bidang alas adalah α . Sehingga:

  = 1 3 6 …………………………(c)

  2. Limas segitiga T.ABC pada gambar, dengan alas segitiga sama sisi. TA tegak lurus bidang alas. Sudut antara bidang TBC dan ABC adalah α , maka sin α adalah …

  Berdasarkan gambar di atas, sinus sudut antara bidang TBC dan ABC adalah :

  ………………(d) TD 2 10 10

  3. Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas 6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm. Nilai sinus antara bidang TAB dan bidang ABC adalah …

  2 PT = 2 BT − PB = 9 − 3 = 2 ⋅ − 3 = 2 3 ( 9 − 1 )

  3 2 ⋅ 2 = 6 2

  Berdasarkan gambar di atas, misal sudut antara bidang TAB dan bidang ABC adalah α , maka:

  …………(d)

  4. Perhatikan gambar limas beraturan T.ABCD. P, Q, R, dan S berturut-turut adalah titik tengah rusuk AB, AD, BC, dan CD. Nilai sinus sudut antara bidang TPQ dengan bidang TRS adalah …

  AC = 12 2

  1 AK = KL = LM = MC = 12

  4 AC =

  = 12 − () 6

  2 b. 2 3 TL = AT AL

  −

  = 6 ( 4 − 2 )

  d. 5

  e. 5

  2 KT = 2 TL + KL =

  = 2 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 = 2 3 ( 8 + 2 )

  = 3 10 Dengan menggunakan aturan kosinus diperoleh:

  2 2 KM 2 = KT + MT –2 ⋅ KT ⋅ MT cos α

  () 6 = () 3 10 + () 3 10 – 2 ⋅ 3 10 ⋅ 3 10 cos α

  cos α = = , maka

  jadi: sin α = = ………………………..(c)

  r 5

10. STATISTIKA

  SOAL

  PENYELESAIAN

  Soal ini meminta pengerjaan nilai rataan hitung

  1. Berat (kg) Titik tengah f i u i f i ·u i menggunakan cara sandi. Titik-titiknya tidak perlu di

  isi semua, isi saja yang dibutuhkan.

  Berat (kg) Titik tengah f i u i f i ·u i

  Berat badan dari 40 siswa dalam kg

  tercatat pada tabel di samping. Rataan

  berat badan tersebut adalah …

  Dari tabel di atas dapat diperoleh data sbb:

  a. 65

  b. 65,25

  X s

  ∑ f i = 40

  d. 66,5

  e. 67 ∑

  f ⋅ u i =3

   ∑ f i  

   3  = 64,5 +   10  40 

  = 64,5 + 0,75 = 65,25 ………..(b)

  Amati histogram dengan seksama:

  2. kelas modus ada di kelas ke-3 karena memiliki frekuensi tertinggi yaitu 14

  (ii) dari kelas ke-3 diperoleh data

  Lmo = 10,5

  c = 15,5 – 10,5 = 5

  d 1 = 14 – 8 = 6

  Modus dari data pada gambar adalah

  b. 13,50 mo  1 d 2 

  4 = 10,5 + 3,75 = 14,25 ……………………..(e)

  3. Perhatikan tabel berikut!

  Untuk mencari nilai median atau kuartil ke-2 (Q 2 )

  Median dari data yang disajikan berikut

  dibuat tabel frekuensi kumulatif (f k )

  adalah …

  Nilai Frekuensi

  (i) menentukan letak kuartil Median

  Data ke-30 terletak di kelas ke-4, karena kelas ke-

  4 memuat data ke-21 s.d data ke-36

  Dari kelas ke-4 diperoleh data sbb: L Q2 = 35 – 0,5 = 34,5

  ∑ f k = 20

  Jadi:  i 4 N − ∑ k 

  Q 2 = 34,5 + 

  = 37,625 ………………(b)

  (jangan repot-repot menghitung nilai 1 8 berapa,

  cukup menghitung nilai pendekatannya saja, yaitu 34,5 + 3,… = 37,5 lebih……………………………………..(b)

  4. Cara penyelesaiannya sama seperti no. 10

  f i f k (i) menentukan letak kuartil bawah

  9 27 Data ke-10 terletak di kelas ke-

  8 35 3, karena kelas ke- 3 memuat

  5 40 data ke-9 s.d data ke-18

  Nilai ulangan harian dari suatu kelas

  disajikan dengan histogram seperti

  Dari kelas ke-3 (lihat diagram) diperoleh data

  pada gambar. Kuartil bawah data

  sbb:

  tersebut adalah…

  a. 76 L Q1 = 1 2 ( 75 + 70 ) = 72,5

  ∑ f k = 8 ………………..lihat tabel di atas

  Jadi:  i 4 N − ∑ k 

  Q 1 = 72,5 + 

  = 72,5 + 1 = 73,5……………(c)

  

  3,4,4,4,5,5,5,7,8 adalah …

  c. 2 3 5 • Tentukan nilai variannya

  d. 2 1

  3 6 2 ∑ ( − x S ) = i

  2

  n

  • Nilai simpangan baku

  = 2 3 5 ………………(d)

  3

11. PELUANG

  SOAL

  PENYELESAIAN

  1. Dari angka-angka : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan Angka yang disediakan yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak ada angka yang Masalah ini diselesaikan dengan aturan perkalian berulang. Banyak bilangan yang dapat Bilangan yang lebih besar dari 320 kemungkinannya disusun lebih dari 320 adalah …

  adalah:

  a. 60 (i) ratusan : 3…………………………ada 1 pilihan

  b. 80 puluhan : 2 ………………….……..ada 1 pilihan

  c. 96 satuan : x > 0, x ≠ {3, 2}..……….ada 4 pilihan

  d. 109

  1 1 4 :1×1×4=4

  e. 120

  (ii) ratusan : 3………………………...ada 1 pilihan

  puluhan : x 1 > 2, x 1 ≠ 3……….……ada 3 pilihan satuan : x 2 ≠ {3, x 1 }, …………….ada 5 pilihan

  1 3 5 : 1 × 3 × 5 = 15

  (iii) ratusan : x 1 > 3………………….ada 3 pilihan puluhan : x 2 ≠x 1 ……….………...ada 6 pilihan satuan : x 3 ≠{x 1 ,x 2 }, ………….ada 5 pilihan

  3 6 5 : 3 × 6 × 5 = 90

  Jadi, jumlah seluruh bilangan yang mungkin adalah:

  2. Dua buah dadu dilempar undi satu kali. • S = 2 dadu, dadu memiliki 6 buah sisi (1,2,3,4,5,6)

  Peluang munculnya mata dadu jumlah 5 2 n(S) = 6 = 36 atau 9 adalah …

  • A = muncul mata dadu berjumlah 5

  a. 1

  = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} n(A) = 4

  b. 5

  36 • B = muncul mata dadu berjumlah 9

  c. 2 = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)}

  n(B) = 4

  d. 1

  4 pada soal, peluangnya menggunakan kata atau

  e. 1

  3 sehingga peluangnya adalah P(A ∪ B)

  • P(A ∪

  B) = P(A) + P(B)

  = + = ………..(c)

  3. Tiga buah mata uang logam dilepar undi • S = 3 uang logam, uang memiliki 2 buah sisi

  bersama-sama sebanyak 40 kali. Frekuensi

  (angka A, dan gambar G)

  harapan munculnya dua angka dan satu 3 n(S) = 2 =8 gambar adalah …

  a. 12 • A = muncul 2 angka 1 gambar

  b. 13

  = {AAG, AGA, GAA}

  c. 15 n(A) = 3

  d. 37

  e. 38 • P(A) =

  n ( A ) 3

  = n ( S ) 8

  • Fh(A) = P(A) × n

  × 40 = 3 × 5 = 15 ………………..(c)

  4. Dalam sebuah kotak terdapat 10 bola S = 10 (4 rusak + 6 hidup) lampu yang 4 diantaranya rusak. Jika

  A = 3 hidup

  dipilih 3 bola lampu, maka peluang terpilih

  lampu yang tidak rusak adalah …

  (i) n(S) = mengambil 3 dari 10 = C 3

  (ii) n(A) = mengambil 3 dari 6 = 6 C

  (iii) P(A) =

  …………………(a)

  n ( S ) 120 6

  5. Dalam sebuah kotak berisi 7 kelereng S = 12 (7m + 5p) merah dan 5 kelereng putih. Dari kotak itu

  A = 3 (sekurang-kurangnya 1p)

  diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil sekurang-kurangnya 1

  3 kelereng putih adalah …

  (i) n(S) = memilih 3 dari 12 = 12 C

  44 (ii) n(A) = mengambil 3, minimal 1 putih,

  c. 34

  44 kemungkinannya yaitu

  d. • 1p dan 2m = 1 × C 2 = 5 ×

  2p dan 1m = 2 × C 1 = × 7

  jadi, n(A) = 105 + 70 + 10 = 185

  (iii) P(A) =

  …………(e)

  6. Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola • S I = 5 (3m + 2p)

  putih. Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5

  bola biru. Dari masing-masing kotak

  n(S I ) = ambil 2 dari 5 = C 2 = = 10

  ⋅ 3 !

  diambil 2 bola sekaligus secara acak.

  Peluang terambilnya 2 bola merah dari • n(S II ) = 8 (3h + 5b)

  kotak I dan 2 bola biru dari kotak II adalah

  8 8 7 6 ! n(S I ) = ambil 2 dari 8 = C 2 =

  10 • A = ambil 2 bola merah dari kotak I

  b. 3 3

  28 n(A) = C 2 =3

  c. 4

  15 • B = ambil 2 bola biru dari kotak II

  d. 3 5 5 !

  8 n(B) = C 2 =

  pada soal, peluangnya menggunakan kata dan sehingga peluangnya adalah P(A ∩ B)

  • P(A ∩

  B) = P(A) × P(B)

  n ( S I ) n ( S II ) = 3 10 × 3 = ……………….(b)

12. LINGKARAN

  SOAL

  PENYELESAIAN

  1. Persamaan garis singgung lingkaran

  2 2 • Menentukan titik singgung lingkaran

  x +y – 4x + 4y + 6 = 0 di titik yang

  Absis = x = 3, untuk mendapatkan nilai y

  absisnya 3 adalah …

  a. maka substitusikan nilai x = 3 ke persamaan x+y+2=0 2 2

  b. x–y–2=0

  lingkaran l : x +y – 4x + 4y + 6 = 0

  2 3 2 +y – 4(3) + 4y + 6 = 0

  c. x+y–2=0

  d. x–y+2=0 y

  2 + 4y + 3 = 0

  (y + 1)(y + 3) = 0

  e. –x + y + 2 = 0

  y = {– 1, –3}

  jadi, titik singgungnya adalah di (3, –1) dan (3, –3)

  • Menentukan persamaan garis singgung

  2 Pada lingkaran l: x 2 +y – 4x + 4y + 6 = 0 (i) di titik (3, –1)

  xx 1 + yy 1 + ½A(x + x 1 ) + ½B(y + y 1 )+C=0 3x – y + ½(–4)(x + 3) + ½(4)(y – 1) + 6 = 0 3x – y – 2x – 6 + 2y – 2 + 6 = 0 x + y – 2 = 0 …………………………..(c)

  2. Persamaan garis singgung melalui titik (9,0)

  2 2 •

  periksa posisi titik (9, 0) terhadap lingkaran

  pada lingkaran x +y = 36 adalah …

  2 l:x 2 +y = 36

  5 = 18 dan 2x – y 5 = 18

  x +y =9 +0 = 81 > 36, maka titik ada di luar lingkaran, sehingga

  langkah penyelesaiannya menggunakan

  c. 2x +y

  5 = –18 dan –2x – y 5 = –18

  rumus B.2)

  d. x

  5 + 2y = 18 dan x 5 – 2y = 18

  • Menentukan persamaan garis kutub

  e. x

  5 + 2y = –18 dan x 5 – 2y = –18

  Pada titik (9, 0) xx 2

  1 + yy 1 =r

  x(9) + y(0) = 36 x =4

  • Menentukan titik singgung Substitusikan nilai x = 4 ke lingkaran l :

  y = ± 2 5 , Jadi titik singgungnya (4, 2 5 ) atau (4, − 2 5 )

  • Menentukan persamaan garis singgung

  2 Pada lingkaran l: x 2 +y =4

  di titik (4, ± 2 5 )

  xx 2

  1 + yy 1 =r 4x ± 2 5 y = 36

  2x ± 5 y = 18……….…………………. (a)

  3. Salah satu garis singgung yang bersudut 120º •

  Gradien garis singgung m

  terhadap sumbu X positif pada lingkaran

  m = tan 120º = tan (180 – 60) º

  dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, –2) adalah …

  = tan (–60)º = − 3

  a. y=– x 3 + 4 3 +12

  • Ujung diameter titik (7, 6) dan (1, –2), maka

  b. y=– x 3 – 4 3 +8

  (i) Diameter lingkaran D

  c. y=– x 3 + 4 3 –4

  D= 2 ( 7 − 1 ) + ( 6 ( − 2 ))

  d. y=– x 3 – 4 3 –8 = 100 = 10

  e. y=– x 3 + 4 3 + 22

  jari-jari r = ½D = ½(10) = 5 (ii) Pusat lingkaran P(a, b)

  Pusat = 1 2 (7 + 1, 6 + (–2)) = 1 2 (8, 4) = (4, 2)

  • Persamaan garis singgung lingkaran Dari perhitungan di atas diperoleh:

  Pusat P(4, 2) , gradien m = − 3 dan

  jari-jari r = 5, maka persamaan garis singgungnya adalah: lihat rumus B.3)

  y – b = m(x – a) ± r

  m 2 + 1 y–2= 2 − 3 (x – 4) ± 5 ( 3 ) + 1 y–2= − x 3 + 4 3 ± 5 ⋅ 2 y= − x 3 + 4 3 +2 ±

  10, jadi: (i) y = − x 3 + 4 3 – 8 atau (ii) y = − x 3 + 4 3 + 12 …………….(a)

  4. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran

  2 2 • Gradien m

  x +y – 4x – 8y + 15 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y = 6 adalah …

  Garis h : x + 2y = 6 ⇔ y = – ½x + 3,

  a. 2x – y + 3 = 0

  maka m h =–½

  b. 2x – y + 5 = 0

  garis singgung g ⊥ h, maka

  {m g ⋅ (– ½) = – 1}× (–2)

  m g =2

  • pusat P = (– ½A, – ½B)

  = (– ½(–4), – ½(–8)) = (2, 4) • 2 jari-jari r = a + b − C

  = 2 + 4 − 15 = 5 maka persamaan garis singgungnya adalah:

  lihat rumus B.3)

  y – b = m(x – a) r

  ± 2 m + 1 y – 4 = 2(x – 2) ± 5 ⋅ 2 + 1

  y – 4 = 2x – 4 ± 5 2x – y ± 5 = 0 ……………………….(b)

13. SUKU BANYAK

  SOAL

  PENYELESAIAN

  3 1. 2 Suku banyak f(x) = 4x – 4x + 10x – 3 dibagi

  Gunakan metode bagan

  2x – x + 1, maka hasil bagi dan sisnya

  Pembagi : 2x –x+1= 1 2 (2x –x + 1)

  berturut-turut adalah …

  berdasarkan bagan di atas diperoleh :

  hasil bagi H(x) = 1 2 (4x – 2) = 2x – 1 Sisa = 7x – 2

  Sehingga jawaban yang benar adalah ………(a)

  2. Suatu suku banyak F(x) dibagi (x – 2) sisanya

  Gunakan teorema sisa

  5 dan (x + 2) adalah faktor dari F(x). Jika

  2 Faktorkan dari:

  F(x) dibagi x – 4, sisanya adalah …

  x 2 – 4 = (x – 2)(x + 2)

  a. 5x – 10

  b. 5 x 5 P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa

  4 + 2 f(x) = (x – 2) ⋅ H(x) + 5………………………(1)

  c. 5x + 10

  f(x) = (x + 2) ⋅ H(x) + 0……………………...(2)

  d. –5x + 30

  (x + 2) merupakan faktor dari f(x) sehingga

  e. − 5 x 7 + sisa = 0

  f(x) = (x – 2)(x + 2) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3)

  dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh:

  f(2) = 5 = 2a + b f(–2) = 0 = –2a + b_ –

  5 = 4a a= 5 4

  substitusi a = 5 4 ke f(–2)

  0 = – 2a + b

  0 = –2( 5 4 )+b b= 5 2

  Jadi, sisa = 5 x+ 4 5 2 …………………….(a)

  3. Sisa pembagian suku banyak f(x) oleh (x + 2)

  Gunakan teorema sisa

  adalah 4, jika suku banyak tersebut dibagi

  Faktorkan dari:

  (2x – 1) sisanya 6. Sisa pembagian suku

  2 2x + 3x – 2 = (x + 2)(2x – 1)

  banyak tersebut oleh 2x + 3x – 2 adalah …

  a. 4 x

  + 3 5 P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa

  5 5 f(x) = (x + 2) ⋅ H(x) + 4.....……………………(1)

  b. 4 x 2 + 2 f(x) = (2x – 1) ⋅ H(x) + 6……………………...(2)

  5 5 f(x) = (x + 2)(2x – 1) ⋅ H(x) + (ax + b) ………(3)

  c. 4x + 12

  d. 4x + 4

  dari (1), (3), dan (2), (3) diperoleh:

  e. 4x – 4

  f ( − 2 ) 4 = − 2 a + b

  f ( 1 ) 6 2 1 = 2 a + b

  − − = − a } × 5

  a= 4 5

  substitusi a = 4 5 ke f(–2)

  4 = –2a + b

  4 = –2( 4 5 )+b

  4 =– 8 5 +b b=4+ 3 5 1 = 5 3 5

  Jadi, sisa = 4 5 x+ 3 5 5 …………………….(a)

  4. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi (x + 1)

  Gunakan teorema sisa

  bersisa 8 dan dibagi (x – 3) bersisa 4. Suku

  Faktorkan dari:

  banyak q(x) jika dibagi (x + 1) bersisa –9 dan

  (x 2 – 2x – 3) = (x – 3)(x + 1)

  jika dibagi (x – 3) bersisa 15. Jika h(x) = f(x)·g(x), maka sisa pembagian h(x)

  P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa

  oleh (x 2 – 2x – 3) adalah …

  f(x) = (x + 1) ⋅ H(x) + 8………………………(1)

  a. –x + 7

  f(x) = (x – 3) ⋅ H(x) + 4………………………(2)

  b. 6x – 3

  q(x) = (x + 1) ⋅ H(x) – 9………………………(3)

  c. x–4

  q(x) = (x – 3) ⋅ H(x) + 15…………………….(4)

  d. 11x – 13

  f(x)·g(x) = (x – 3)(x + 1) ⋅ H(x) + (ax + b) …..(5)

  e. 33x – 39

  dari (1), (3), dan (5) serta (2), (4), dan (5) diperoleh:

  f(–1)·g(–1) = 8 (–9) = – a + b f(3)·g(3) = 4 (15) = 3a + b_ –

  – 132 = – 4a

  a = 33

  substitusi a = 3 ke f(–1)·g(–1)

  – 72 = – a + b – 72 = – 33 + b

  b = –39

  Jadi, sisa = 33x – 39 ………………………….(e)

  5. Suku banyak f(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 4

  Gunakan teorema sisa

  dan bila dibagi (x + 3) bersisa – 5. Suku

  Faktorkan dari:

  banyak g(x) jika dibagi (x – 1) bersisa 2 dan

  (x 2 + 2x – 3) = (x + 3)(x – 1)

  bila dibagi (x + 3) bersisa 4. Jika h(x) = f(x) ⋅ g(x), maka sisa pembagian

  P(x) = pembagi ⋅ H(x) + sisa

  h(x) oleh (x 2 + 2x – 3) adalah …

  f(x) = (x – 1) ⋅ H(x) + 4………………….……(1)

  a. 6x + 2

  f(x) = (x + 3) ⋅ H(x) – 5………………….……(2)

  b. x+7

  q(x) = (x – 1) ⋅ H(x) + 2………………………(3)

  c. 7x + 1

  q(x) = (x + 3) ⋅ H(x) + 4………………….…...(4)

  d. –7x + 15

  f(x)·g(x) = (x + 3)(x – 1) ⋅ H(x) + (ax + b) …...(5)

  e. 15x – 7

  dari (1), (3), dan (5) serta (2), (4), dan (5) diperoleh:

  f(1)·g(1) = 4(2) = a + b f(–3)·g(–3) = –5(4) = –3a + b_ –

  28 = 4a a=7

  substitusi a = 7 ke f(1)·g(1)

  8=a+b 8=7+b b=1

  Jadi, sisa = 7x + 1 ………………………….(c)

  6. Diketahui x 1 ,x 2 , dan x 3 adalah akar-akar

  3 persamaan 2x 2 – bx – 18x + 36 = 0. Jika x

  1 • Persamaan 2x – bx – 18x + 36 = 0 memiliki

  dan x 2 berlawanan, nilai b adalah …

  Nilai a = 2, b = – b, c = – 18 dan d = 36

  a. 36

  b. 18 • x 1 dan x 2 berlawanan, maka

  1 +x 2 +x 3 = − ……………….rumus C.1)

  2 ·x 3 = ….….rumus C.4

  • x 1 ·x 2 ·x 3 = d − a ….………….rumus C.3

  –9 · b = − 2 36 2 b= 36 9 = 4 ………………………..(d)

14. FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

  SOAL

  PENYELESAIAN

  1. 2 Diketahui fungsi kuadrat f(x) = –2x + 8x – 6 Untuk menyelesaikannya harus dicari nilai f(x) dengan daerah asal {x| –2 ≤ x ≤ 3, x ∈ R}.

  optimum dan nilai f(x) di ujung-ujung interval

  Daerah hasil fungsi f adalah …

  (i) nilai optimum, f(x) optimum saat f’(x) = 0

  a. 2 {y| –30 ≤ y ≤ 2, y ∈ R} f(x) = –2x + 8x – 6

  b. {y| –30 ≤ y ≤ –14, y ∈ R}

  f’(x) = –4x + 8

  maka: f(2) = –2(2) 2 + 8(2) – 6 = –8 + 16 – 6 = 2

  (ii) nilai f(x) di ujung interval –2 ≤ x ≤ 3

  f(–2) = –2(–2) 2 + 8(–2) – 6 = –8 – 16 – 6 = –30 f(3) = –2(3) 2 + 8(3) – 6 = –18 + 24 – 6 = 0

  Dari perhitungan diperoleh nilai min = f(–2) = –30 maks = f(2) = 2

  jadi daerah hasilnya adalah ………..……..(a)

  2. Diketahui fungsi-fungsi f : R → R didefinisikan dengan f(x) = 3x – 5, g : R → R

  (f ο g)(x) = f(g(x))

  () 2 − x

  , x ≠ 2 .

  1 = f 1

  didefinisikan dengan g(x) =

  2 −

  () 2 x − 5

  Hasil dari fungsi (f o g)(x) adalah …

  a. , x ≠ − 8 =

  2 2 − x

  3 − 10 + 5

  b. , x ≠ − 2 =

  2 − x

  c. , x ≠ 2 =

  , x ≠ 2

  − + 2

  − + 2

  d. , x ≠ 2

  − + 2

  e. , x ≠ 2

  − + 2

  3. 2x+1 Diketahui (f o g)(x) = 4 . Jika g(x) = 2x – 1, (f ο g)(x) = f(g(x)) maka f(x) = …

  2x+1

  4 = f(2x – 1)………misal 2x – 1 = y

  x+2

  a. 4 1

  x= 2 ( y + 1 )

  2x+3

  b. 4

  c. 4x+1 4 + 1 2 × 1 ( y 1 ) + 1

  2 4 = f(2· 1 2 ( y + 1 ) – 1)

  d. 2x+1 4 + 1 (y + 2)

  2 4 = f(y)

  4 = f(x) …………………………..(a)

  4. Fungsi f ditentukan oleh f(x) = 4 x 3 ,x ≠ – ½.

  2 x + 1

  f(x) = 4 x 3 , maka

  Jika f invers dari f, maka f (x + 1) = …

  , x ≠ 1 …………………..(b)

  − 2

15. LIMIT FUNGSI

  SOAL

  PENYELESAIAN

  x + 1 Kalikan dengan sekawan penyebut

  1. Nilai lim

  c. 0 ( 1 )( 2 4 + )

  ⇔ lim

  d. –1

  −

  → − 1 4 2 ( 4 x )

  e. –2

  ⇔ lim

  → − 1 − 2 ( + x )

  ⇔ = 4 ……………………………..(a)

  4 + 2 x

  4 − 2 Kalikan dengan sekawan pembilang

  2. Nilai lim

  =…

  lim +

  − ×

  4 2 4 2 ( 4 2 + 4 − 2 )

  x → 0 x

  → 0 ( 4 2 + 4 − 2 x a. ) 4

  4 + 2 ( 4 − 2 )

  b. 2

  ⇔ lim

  c. 1

  → 0 ( 4 2 + 4 − 2 x )

  d. 0 4

  e. –1

  ⇔ lim

  → 0 ( 4 2 + 4 − 2 x )

  = 1 …………………..(c)

  1 1 Gunakan dalil l’Hospital

1 3. 1 sin x cos lim x =…

  x → 4 π

  − 4 π

  1 1 sin

  cos

  lim 1 1

  →

  x

  4 − 4 π

  a. –2 2

  b. – 2 ⇔ lim

  c. 0 → 4 − 4 π

  ……………… turunkan

d. 2 − csc ⋅ cot − sec ⋅ tan x

  ⇔

  e. 2 lim

  ⇔ csc 1 1 1 − 1 4 ⋅ cot 4 − sec 4 ⋅ tan 4 π ⇔ − 2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 = –2 2 ………………(a)

  cos x − cos 5 cos x − cos 5

  4. Nilai dari lim

  ⇔ lim

  2 sin 3 ⋅ sin 2

  e. 8 ⇔ lim

  → 0 tan 2 x

  2 sin 3 sin ⇔ 2

  lim

  ×

  → 0 tan 2 x

  sin ⇔ 3

  lim 2 × 1 =2 ⋅ 3 = 6 .................(d)

  → 0 x

  sin 12 x

  sin 12 x

  5. Nilai lim

  ⇔ lim 2 ×

  1 sin 12

  b. –3

  → 0 + 2 − 3 2 x

  c. –2

  d. 2

  lim 2 × e. 6

  1 ⇔ 12

  → 0 + 2 x − 3 2

  ⇔ 1

  6 = × 1 − 3 × 6 = – 2 …………….(c)

  + 0 − 3

  cos Gunakan dalil l’Hospital x sin

  6. Nilai lim

  lim π 0 1

  = lim 2 sin x

  3 …………(c)

  e. –3 3

16. TURUNAN (DERIVATIF)

  SOAL

  PENYELESAIAN

  x 2 6 • + Ubah f(x) menjadi bentuk pangkat

  1. Diketahui fungsi f(x) =

  f(x) =

  pertama fungsi f(x) adalah f’(x) = …

  b. x − 2 x • Turunkan f(x)

  + −

  1 f(x) = 2

  f’(x) = 3 2

  2 x

  = 3 − 2 …….(e) x

  2. Turunan pertama fungsi y =

  ……………..:

  v

  adalah y’ = …

  a. ( 1 − x )

  y

  1 − +

  x

  ×

  ( 1 − x )

  ( 1 − )

  x

  b. 2 2

  y

  ×

  y

  ( 1 − )

  x

  

  

  2 d. –

  x

  = 

   ×

   −  x

  y

  = …………… (c)

  2 3. 4 Diketahui f(x) = (1 + sin x) (1 + cos x) dan

  Sin f’(x) adalah turunan pertama f(x). π 2 = 1 dan Cos π 2 =0

  nilai f’( π )=…

  2 2 4 f(x) = (1 + sin x) (1 + cos x) ..………….: u ⋅ v

  a. –20

  f’(x) = v ⋅ u’ + u ⋅ v’

  =0+4 ⋅ 4 ⋅ (–1) = –16 ……………….(b)

  4. Garis l menyinggung kurva y = 3 x di titik • Menentukan titik singgung pada kurva (a, b)

  yang berabsis 4. titik potong garis l dengan

  Absis x = 4, maka y = f(x)

  sumbu X adalah …

  y = f(x) = 3 x

  a. (– 12, 0)

  b. (– 4, 0)

  y = f(4) = 3 4 =3 ⋅ 2=6

  c. (4, 0)

  jadi, titik singgungnya di (4,6)

  d. (6, 0)

  • Menentukan gradien garis singgung m

  e. (12, 0)

  f(x) = 3 x

  1 =3 n x ……………………..: u 2

  f’(x) = 3 2 2 3 x =

  m = f’(4) =

  • Menentukan persamaan garis singgung

  3 Dengan titik singgung (4, 6) dan m =

  • Menentukan titik potong garis l dengan sb X Garis akan memtong sumbu X jika y = 0, maka:

  (x – 2)}× 4

  4 – 24 = 3x – 6 3x = –18 x = –6 Jadi, titik potongnya di (–6, 0)……………(d)

  3 5. 2 Fungsi y = 4x – 6x + 2 naik pada interval … • f(x) naik pada saat f’(x) > 0

  3 a. 2 x < 0 atau x > 1 f(x) = 4x – 6x

  b. x>1

  f’(x) = 12x 2 – 12x

  c. x<1 • d. 2 x<0 12x – 12x > 0

  e. 0

  12x(x – 1) > 0 pembentuk nol x = {0, 1}

  tanda pertidaksamaan >, maka jawabannya menggunakan kata atau dengan batas {0, 1}

  ………………………………………………..(a)

  6. Koordinat titik balik maksimum grafik fungsi • nilai stasioner pada saat f’(x) = 0

  y=x 3 – 3x + 4 berturut-turut adalah …

  f(x) = x 3 – 3x + 4

  a. 2 (–1,6) f’(x) = 3x –3

  b. (1,2)

  0 = 3x 2 –3

  c. (1,0) 2 0=x –1

  d. (–1,0)

  0 = (x + 1)(x – 1)

  e. (2,6)

  x = {– 1, 1}

  • Nilai fungsi pada saat stasioner x = {– 1, 1} f(x) = x 3 – 3x + 4

  f(–1) = (–1) 3 – 3(–1) + 4

  = –1 + 3 + 4 = 6 ………maksimum …………...titik (–1,6) ……………….(a) f(1) = (1) 3 – 3(1) + 4

  = 1 – 3 + 4 = 2 ………minimum …………...titik (1,2)

  7. 3 Ditentukan fungsi f(x) = x 2 – 3x + 5. Dalam • nilai stasioner pada saat f’(x) = 0

  3 interval –1 2 ≤ x ≤ 1, nilai minimum fungsi itu f(x) = x – 3x +5 adalah … 2 f’(x) = 3x – 3x

  a. 2 0 0 = 3x – 3x

  b. 1

  0 = 3x(x – 1)

  e. 5 • Nilai fungsi pada saat stasioner x ={0, 1}dan di ujung interval x = {–1, 1}

  3 f(x) = f(x) = x 2 – 3x +5

  3 (i) f(– 1) = (– 1) 2 – 3(– 1) +5

  = –1 + 3 + 5 = 7 ……………………..maksimum

  3 (ii) f(0) = 0 2 – 3(0) +5

  =0–0+5 =5

  3 (iii) f(1) = 1 2 – 3(1) +5

  =1–3+5 = 3 ……………………….minimum

  Jadi, nilai minimumnya = 3 ………………..(d)

  8. Santo ingin membuat sebuah tabung tertutup • Volume tabung V

  dari selembar karton dengan volum 16 dm 3 .

  V = luas alas × tinggi

  Agar luas permukaan tabung minimal, maka

  16 = 2 π r ⋅ t

  jari-jari lingkaran alasnya adalah …

  π r

  2 • Luas permukaan tabung S

  π S = 2 luas alas + luas keliling

  c. 2 3 16 dm =2 π r π r ⋅

  π

  π r

  luas permukaan tabung akan minimum jika S’ = 0, maka:

  π

  r= 3 = 3 π ………………………..(b) π

17. INTEGRAL

  SOAL

  PENYELESAIAN

  1. 2 Jika grafik y = f(x) melalui titik (1, 2) dan

  2 • f’(x) = x +1

  turunannya f’(x) = x + 1, maka grafiknya

  f(x) = ∫ (x 2 + 1)dx

  y = f(x) memotong sumbu Y di titik …

  = 1 3 x c

  a. (0, 0)

  b. 1 (0, )

  3 • Menentuan nilai c

  c. 2 (0, )

  karena kurva melalui titik (1, 2), maka f(1) = 2

  f(x) =

  x + c

  e. (0, 2)

  f(1) = 3 1 ( 1 ) ( 1 ) + c

  Jadi, y = f(x) = 3 1 x 2 +

  • Titik potong kurva dengan sumbu Y Kurva akan memotong sumbu Y jika x = 0

  1 y= 3 x 2 +

  1 y= 3 ( 0 ) ( 0 ) 2 = + 2

  3 3 jadi, titik potongnya di (0, 2 3 )…………….(c)

  2 Selesaikan dengan metode substitusi karena

  2. Hasil ∫ x 9 − x dx =… selisih pangkat antara f(x) dan g(x) satu

  ∫ x 9 − x dx

  ∫

  b. 2 2 2 ( 2 9 x ) 9 x c ⇔ ( 9 − x ) dx

  c. 2 ( 2 9 x ) 9 − x + c ⇔ 1 ( 2 9 ) ∫ 2 ( − 2 x ⋅ dx )

  3 9 ( 9 x ) 9 − x + c ⇔ 1 − 2 2 ∫ U du

  ⇔ 1 − 2 3 × ( 9 ) 9 − x + c …………….(a)

  3. Hasil dari ∫ ( x + 1 ) cos x dx =…

  2 Selesaikan dengan metode parsial karena pangkat

  2 f(x) lebih tinggi dari g(x)

  e. 2x sin x – (x – 1)cos x + c

  Jadi: 2 ∫ ( x + 1 ) cos x dx

  ⇔ 2 (x + 1) sin x + 2x cos x – 2sin x + c

  ⇔ 2 (x + 1) sin x – 2sin x + 2x cos x + c ⇔ 2 (x + 1 – 2) sin x + 2x cos x + c ⇔ 2 (x – 1) sin x + 2x cos x + c ………….(b)

  4. Nilai a yang memenuhi persamaan

  Selesaikan dengan metode substitusi karena selisih

  pangkat antara f(x) dan g(x) satu

  ∫ 2 12 ( x + 1 ) dx = 14 adalah …

  ∫ 12 ( x + 1 ) dx = 14

  c. 0 ⇔ 2 6 ∫ ( x + 1 ) ⋅ xdx = 14

  ⇔ 2 3 ∫ U du =7

  2 3 2 ⇔ 3 ( + 1 ) − ( a + 1 ) =7

  2 ⇔ 3 8 − ( a + 1 ) =7

  2 ⇔ 3 ( a + 1 ) =1 ⇔ 2 +1 =1 a

  ⇔

  a = 0 ……………………(c)

  5. ∫ sin( x ) cos( x + ) dx =…

  ∫ sin( x

  ) cos( x ) dx

  + 3

  1 2 ∫ 2 sin( ) cos( x + 3 ) dx

  2 ∫ sin 2 ( x + 3 ) dx

  8 ⇔ 1 ∫ 2 sin( 2 x +

  2 ⋅ ∫ sin( 2 x + 3 ) ⋅ 2 dx

  π

  4 cos( x + 3 ) 0

  ⇔ 2 − 1 2 6

  4 { cos( 6 + 3 ) − cos( 2 ⋅ 0 + 3 ) }

  2 2 ⇔ 2 1 − π

  4 { cos cos(

  3 ) }

  1 ⇔ 2

  − π

  ⇔ 1 4 1 { 1 ( − 2 ) }

  1 3 ⇔ 3 − 4 × ( − 2 ) = …………………………..(e)

  8

  ∫ 2 ( 3 t + 6 t − 2 ) dt ∫ ( 3 t + 6 t − 2 ) dt = 14

  Nilai (–4p) = …

  ⇔ + 3 2 p − { 1 + 3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 } = 14

  c. –16

  d. –24

  3 ⇔ 2 + 3 p − 2 = 14

  e. –32

  3 ⇔ 2 + 3 2 p − 16 =0

  3 f(x) = 2 + 3 2 p − 16

  untuk selanjutnya gunakan cek poin

  nilai-nilai p yang dihasilkan kemudian substitusikan ke f(x), jika f(p) = 0, maka p merupakan penyelesaian dari f(x).

  3 3 a. 2 f(

  + 3 2 p − 16 ≠ 0

  3 b. 2 f(2) = + 3 2 p − 16 = 8 + 12 – 4–16 = 0

  3 c. 2 f(4) = + 3 2 p − 16 ≠ 0

  3 d. 2 f(6) = + 3 2 p − 16 ≠ 0

  3 e. 2 f(8) = + 3 2 p − 16 ≠ 0

  dengan demikian jawaban yang benar adalah …….(b)

  7. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

  Batas Integral

  y=–x 2 + 2x dan sumbu X pada 0 ≤ x ≤ 3 • Titik potong kurva dengan sumbu X

  adalah … satuan luas

  Kurva akan memotong sumbu X jika y = 0

  2 a. 1 y=–x + 2x

  b. 4 0 = x(–x + 2) ⇒ x = 0 atau x = 2

  8 • Karena luas derah yang ditanyakan adalah

  Maka batas daerah integralnya ada dua yaitu

  e. 4

  0 ≤ x ≤ 2 dan 2 ≤ x ≤ 3

  (ii) luas daerah

  karena ada dua batas integral, maka ada dua luasan yang harus dicari, sehingga

  L=L 1 +L 2

  L 1 = ∫ ( − + 2 x ) dx = − + x

  3 = 2 1 − ( 2 ) + 2 ) − 0 = 8 4 = − 4 3 + 3

  L 2 = ∫ ( − + 2 x ) dx

  1 3 2 3 = 2 − ( 3 ) 1 + 3 − ( 2 ) + 2 )

  8 8 4 − 4 = 9 +

  3 − 4 = 3 − 4 = − 3 = 3 Jadi, L = 4 + 4 3 8 3 = 3 ……………………….(c)

  8. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva

  (i) Batas Integral

  2 y=x 2 – 9x + 15 dan y = –x + 7x – 15

  • Titik potong dua kurva

  adalah … satuan luas

  Pada saat kedua kurva berpotongan maka

  3 2(x – 3)(x – 5) = 0 ⇒ x = {3 , 5}

  d. 3 2 Jadi, batas integralnya x = {3 , 5}

  e. 4 1

  3 (ii) luas daerah

  5

  L = 2 ∫ ( 2 − 16 x + 30 ) dx

  2 3 ( 2 3 ) − 8 ( 3 ) + 30 ( 3 )) = 250 3 − 200 + 150 ( 18 − 72 + 90 )

  3 =2 ………………….………(a) 3

  9. Gambar berikut merupakan kurva dengan

  persamaan y = x 2 − 30 x . Jika

  daerah yang diarsir diputar mengelilingi sumbu X, maka volum benda putar yang terjadi sama dengan … satuan volum

  Kurva diputar mengelilingi sumbu X, maka: (i) Batas Integral

  Titik potong kurva dengan sumbu X diperoleh jika y = 0

  0 = 30x 2 (1 + x)(1 – x) ⇒ x = { – 1, 0, 1} maka batas integralnya yaitu

  –1 ≤ x ≤ 0 dan 0 ≤ x ≤ 1

  (ii) Volume benda putar Perhatikan gambar!

  karena V 1 =V 2 , maka V = 2V 1

  b π 2 ∫ V = y dx

  a

  { 30 x } dx

  = 2 π ∫

  − 1

  = 2 2 π ∫ { ( 30 x )} dx

  − 1

  2 = 4 2 π ∫ ( 30 x ) dx

  − 1

  = 2 π 10 6 x

  3 { 5 0 ( 10 ( 1 ) 6 ( − 1 ) } 2 π = ( − 10 + 6 ) 2 π =8 π ……………...(c)

  10. Volum benda putar yang terjadi karena

  Kurva diputar mengelilingi sumbu Y, maka:

  daerah yang dibatasi oleh parabola y = x 2

  2 (i) Batas Integral

  dan y = 8x diputar 360º mengelilingi

  • Titik potong dua kurva

  sumbu Y adalah … satuan volum.

  Pada saat kedua kurva berpotongan maka

  x(x 3 – 8) = 0 ⇒ x = {0 , 2} karena

  d. 5 4 π 2

  y=x , maka y = {0, 4}

  e. 9 4 π

  5 Jadi, batas integralnya y = {0 , 4}

  (ii) volume benda putar

  Kurva diputar mengelilingi sumbu Y, maka Volume benda putar yang dibatasi oleh dua kurva tersebut adalah:

  = 4 π ∫ { −

  1 2 1 = 5 { ( 4 ) −

  3 ( 4 ) − ( 0 )} π

  4 ⋅ 5

  = { 8 − 16 5 } π = { 8 − 1 3 5 } π =4 4 π ………………..…..(c)

18. PROGRAM LINEAR

  Pada gambar di atas, yang merupakan

  • Persamaan linear

  himpunan penyelesaian sistem

  g 1 : y = 0 ………………………………m = 0

  pertidaksamaan .

  g 2 : x = 0……………………………….m = 0

  x + 2y ≥ 6, 4x + 5y ≤

  20, 2x + y ≥ 6, adalah

  g 3 : 6x + 3y = 18 ⇔ 2x + y = 6 ……….m < 0

  daerah …

  g 4 : 4x + 5y = 20 ………………………m < 0

  a. I

  g 5 : 3x + 6y = 18 ⇔ x + 2y = 6 ……….m < 0

  b. II

  c. III

  • Pertidaksamaan linear

  d. IV

  x + 2y ≥

  6 : …………….…..HP di atas g 5

  e. V

  4x + 5y ≤ 20 : ……………...HP di bawah g 4

  2x + y ≥

  6 : ………………...HP di atas g 3 daerah HP yang sesuai dengan kriteria di atas adalah daerah II ………………………..(b)

  2. Diketahui sistem pertidaksamaan x ≥ 0, y ≥ 0, Daerah himpunan penyelesaiannya adalah sbb: x+y ≤

  12, dan x + 2y ≤ 16.

  Nilai maksimum dari (2x + 5y) adalah …

  Koordinat titik-titik pojok (i) titik A …………………………………(0, 8) (ii) titik C …………………………………(12, 0)

  Nilai obyektif 2x + 5y pada titik-titik pojok

  (iii) titik B, perpotongan g 1 dan g 2

  Titik

  f(x,y) = 2x + 5y

  ket

  g 2 : x + 2y = 16

  A(0,8) f(0,8) = 0 + 40 = 40

  g 1 : x + y = 12_ _

  C(12,0) f(12,0) = 24 + 0 = 24

  y=4

  B(8,4) f(8,4) = 16 + 20 = 36 maks

  substitusikan nilai y = 4 ke pers. g 1

  x + y = 12 ⇔ x + 4 = 12

  Berdasarkan perhitungan di atas, maka nilai

  x = 12 – 4 = 8

  maksimumnya adalah 36 …………………(d)

  Jadi, titik B …………………………….(8, 4)

  3. Nilai maksimum f(x,y) = x – 2y + 4 pada gambar di atas adalah …

  g 1 : 2x – 2y = 2· (–2) ⇔ x – y = –2

  a. 16 g 2 : …………………………x = 3

  ⇔ x+y=4

  d. 5

  e. 2 Koordinat titik-titik pojok (i) titik A …………………………………(–2, 0)

  (ii) titik B, perpotongan g 2 dan g 3

  g 3 : x + 2y = –2

  g 2 :x =3 _ 2y = –5