8. Soal tidak dijawab
Menurut Ellis Tarigan, 2011: 60 analisis kesalahan adalah suatu prosedur kerja yang digunakan oleh para peneliti dan guru, yang meliputi pengumpulan
sampel, pengidentifikasian kesalahan yang terdapat dalam sampel, penjelasan kesalahan tersebut pengklasifikasiannya kesalahan itu berdasarkan penyebabnya
serta pengevaluasian atau penilaian taraf keseriusan kesalahan itu. Menurut Tarigan Setyawati, 2010: 12 analisis kesalahan adalah suatu prosedur kerja yang
biasa digunakan oleh peneliti atau guru, yang meliputi kegiatan mengumpulkan sampel kesalahan, mengidentifikasi kesalahan yang terdapat dalam sampel,
menjelaskan kesalahan tersebut, mengklasifikasi kesalahan itu, dan mengevaluasi taraf keseriusan kesalahan itu.
Berdasarkan pendapat di atas dapat disimpulkan analisis kesalahan adalah prosedur kerja yang digunakan oleh para peneliti dan guru yang meliputi kegiatan
mengidentifikasi, menjelaskan, dan mengevaluasi kesalahan.
C. Program Remidiasi
Menurut Suharsimi Arikunto 1988: 35 remidiasi adalah kegiatan yang diberikan kepada siswa yang belum menguasai bahan pelajaran yang diberikan
oleh guru, dengan maksud meningkatkan penguasaan terhadap bahan pelajaran tersebut. Menurut Darwansyah 2009: 178 remidiasi adalah program perbaikan
pengajaran yang khusus diberikan guru kepada siswa individukelompok karena siswa tersebut memiliki masalah dalam belajar kurang tidak menguasai materi
belajar. Program remidiasi dapat dilakukan dengan guru mengulang materi secara
singkat yang dirasa masih banyak siswa yang melakukan kesalahan. Kemudian setelah itu guru memberi soal kembali terkait dengan kesalahan-kesalahan yang
dilakukan oleh siswa, kemudian di analisis apakah ada peningkatan atau tidak. Apabila masih ada siswa yang masih belum mengerti atau masih saja melakukan
kesalahan guru dapat memberikan tugas individu kepada murid yang bersangkutan.
Berdasarkan pendapat-pendapat diatas dapat disimpulkan bahwa remidiasi adalah program perbaikan yang diberikan guru kepada siswa untuk mengatasi
masalah siswa dalam belajar.
D. Turunan
Turunan adalah materi yang dipelajari oleh siswa dalam belajar matematika yang cukup sulit dipahami siswa. Materi turunan untuk SMA kelas XI yang
digunakan untuk penelitian ini adalah sebagai berikut, yaitu pengertian turunan, sifat-sifat turunan, aturan rantai dan menggunakan turunan untuk menyelesaikan
masalah yang ada di kehidupan sehari-hari menurut. Sartono W, 2007: 239. 1.
Definisi Turunan suatu Fungsi Turunan fungsi fx dapat didefinisikan sebagai berikut. Misal diketahui
fungsi y = fx yang terdefinisi dalam daerah asal | . Turunan
fungsi fx terhadap x ditentukan oleh
Dengan catatan nilai limit itu ada. Contoh:
Carilah turunan atau f‟x untuk fungsi-fungsi fx berikut ini. a.
fx = 3x – 4 b.
fx = √ , x ≥ 0 Jawaban:
Dengan menggunakan definisi turunan turunan f‟x =
a. untuk fungsi fx = 3x – 4
f‟x = =
= = 3
b. untuk fx = √ , x ≥ 0
f‟x =
√ √
=
√ √
.
√ √ √ √
=
√ √
=
√ √
=
√
2. Sifat-sifat Turunan Fungsi Aljabar
a. Turunan Fungsi Konstan
Misalkan fungsi konstanta fx = k dengan k konstanta real, maka turunan fx adalah f‟x=0.
Bukti:
b. Turunan Fungsi Identitas
Misalkan fungsi konstanta fx = x, maka f‟x = 1.
Bukti:
c. Turunan Fungsi Polinom
Misalkan diketahui fungsi polinom berderajad n , a
konstanta real yang tidak nol dan n bilangan bulat positif. Turunan dari fungsi pangkat ini dapat ditentukan dengan menggunakan manipulasi
aljabar yang berkaitan dengan penjabaran binom newton, yaitu sebagai berikut.
Dengan menggunakan penjabaran binom Newton tersebut, turunan turunan fungsi pangkat
, dengan konstanta real tidak nol dan
n bilangan real, maka .
Bukti:
{ }
{ }
d. Turunan Hasil Kali Konstanta dengan Fungsi
Misalkan diketahui fungsi , dengan k konstanta
real dan fungsi dari x yang mempunyai turunan . Fungsi
merupakan hasil kali antara konstanta k dengan fungsi , maka .
Bukti:
{ }
e. Turunan Jumlah dan Selisih Fungsi-Fungsi
Misalkan diketahui fungsi-fungsi ux dan vx berturut-turut mempunyai turunan
dan . Jumlah fungsi dan fungsi adalah
, maka .
Bukti:
{ }
Dengan menggunakan analisis yang sama, turunan selisih fungsi dan fungsi atau adalah
. Jadi, dapat disimpulkan bahwa jika
, dengan ux dan vx masing-masing adalah fungsi yang mempunyai turunan
dan , maka
. f.
Turunan Hasil Kali Fungsi-Fungsi Misalkan diketahui fungsi-fungsi ux dan vx berturut-turut
mempunyai turunan dan . Hasil kali fungsi dan fungsi
adalah , maka Bukti:
{ }
Rumus turunan hasil kali dua fungsi dapat diperluas untuk menentukan turunan hasil kali tiga fungsi yaitu jika
, dengan adalah fungsi-fungsi yang mempunyai turunan
dan , maka +
g. Turunan Hasil Bagi Fungsi-Fungsi
Misalkan diketahui fungsi-fungsi ux dan vx berturut-turut mempunyai turunan
dan . Hasil bagi fungsi dan fungsi adalah
dengan .
Dengan hubungan maka
. Dengan menggunakan rumus turunan hasil kali fungsi-fungsi, diperoleh:
substitusi PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa jika dengan
serta ux dan vx berturut-turut mempunyai turunan dan maka
h. Turunan Fungsi
Misalkan , dengan
adalah fungsi x yang mempunyai turunan
dan n adalah bilangan real, maka
Bukti: Turunan dari fungsi
dapat diperoleh dengan memanfaatkan rumus turunan hasil kali dua fungsi dan tiga fungsi.
1 Untuk n = 2, maka
Tampak bahwa dapat diperlakukan
sebagai hasil kali dua fungsi sehingga turunannya dapat ditentukan dengan rumus turunan hasil kali dua fungsi.
2 Untuk n = 3, maka
Tampak bahwa dapat diperlakukan
sebagai hasil kali tiga fungsi sehingga turunannya dapat ditentukan dengan rumus turunan hasil kali tiga fungsi.
Demikian seterusnya, apabila proses pengerjaan diatas dilanjutkan sampai dengan n = n, maka dapat diambil kesimpulan jika
, dengan
adalah fungsi x yang mempunyai turunan dan n adalah bilangan real, maka
Rumus diatas dikenal sebagai dalil rantai atau aturan rantai. 3.
Sifat-sifat Turunan Trigonometri a.
Turunan Fungsi Sinus Misalkan diketahui fungsi sinus:
, maka .
Bukti:
Berdasarkan perhitungan limit fungsi trigonometri, dapat ditunjukan bahwa:
, maka
b. Turunan Fungsi Cosinus
Misalkan diketahui fungsi sinus: , maka
. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Bukti:
c. Turunan Fungsi Tangen
Misalkan diketahui fungsi , maka
. Bukti:
Oleh karena dengan cos x
merupakan hasil bagi fungsi
dan . o
, maka o
, maka
Dengan menggunakan rumus turunan fungsi sinus dan rumus fungsi cosinus, turunan fungsi
dapat ditentukan dengan rumus hasil bagi fungsi-fungsi sebagai berikut.
d. Turunan Fungsi Cotangen
Misalkan diketahui fungsi , maka
. Bukti:
Oleh karena dengan sin x
merupakan hasil bagi fungsi
dan . o
o maka
Dengan menggunakan rumus turunan fungsi sinus dan rumus fungsi cosinus, turunan fungsi
dapat ditentukan dengan rumus hasil bagi fungsi-fungsi sebagai berikut.
e. Turunan Fungsi Secan
Misalkan diketahui fungsi , maka
. Bukti:
Oleh karena dengan cos x merupakan hasil bagi
fungsi dan .
o , maka
Dengan menggunakan rumus turunan fungsi sinus dan rumus fungsi cosinus, turunan fungsi
dapat ditentukan dengan rumus hasil bagi fungsi-fungsi sebagai berikut.
f. Turunan Fungsi Cosecan
Misalkan diketahui fungsi , maka
. Bukti:
Oleh karena dengan sin x merupakan hasil bagi
fungsi dan .
o , maka
Dengan menggunakan rumus turunan fungsi sinus dan rumus fungsi
cosinus, turunan
fungsi dapat
ditentukan dengan rumus hasil bagi fungsi-fungsi sebagai berikut.
4. Turunan Fungsi Komposisi Dengan Aturan Rantai
Misalkan diketahui
fungsi komposisi:
, maka atau
. Bukti:
Fungsi komposisi didefinisikan sebagai , sehingga:
. Jika
mengalami perubahan sebesar
menjadi , maka: mengalami perubahan sebesar menjadi ,
sehingga terdapat hubungan atau
mengalami perubahan sebesar menjadi sehingga terdapat hubungan
atau .
Secara umum turunan fungsi komposisi dapat ditentukan dengan menggunakan teorema sebagai berikut.
Jika fungsi maka
turunan fungsi komposisi ditentukan oleh
atau
Rumus diatas dikenal sebagai dalil rantai atau aturan rantai untuk mencari turunan fungsi komposisi.
Aturan rantai yang telah dibicarajkan sebelumnya digunakan untuk mencari turunan fungsi komposisi yang berbentuk dari dua komponen fungsi.
Jika fungsi terbentuk dari tiga komponen fungsi atau lebih maka aturan rantai itu harus diperluas. Perluasan aturan rantai itu diungkapkan dalam teorema
berikut ini. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Teorema Misalkan
dan membentuk fungsi komposisi .
Jika h mempunyai turunan terhahadap x, g mempunyai turunan terhadap v, dan f mempunyai turuna terhadap u, maka turunan
terhadap x ditentukan oleh:
atau .
5. Menggunakan Turunan Fungsi dalam Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan
dengan Kehidupan Sehari-hari nilai maksimum dan nilai minimum. a.
Definisi nilai maksimum dan minimum Misalkan S daerah asal f dan S memuat titik c, kita katakan bahwa :
1. fc adalah nilai maksimum f pada S jika f c f x, untuk setiap x ϵ S.
2. fc adalah nilai minimum f pada S jika f c f x, untuk setiap x ϵ S.
3. fc adalah nilai ekstrim f pada S jika f c adalah nilai maksimum atau
nilai minimum. Tidak semua fungsi mempunyai nilai maksimum atau minimum, fungsi
yang tidak mempunyai nilai maksimum atau minimum dapat mempunyai maksimum atau minimum dengan membatasi daerah asalnya.
b. Eksistensi ekstrim
Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b] maka f mempunyai maksimum dan minimum.
Biasanya fungsi yang ingin kita maksimum dan minimumkan akan mempunyai suatu interval I sebagai daerah aslnya. Beberapa dari interval
ini mempunyai titik uju ng. Jika sebuah titik dimana f „c = 0, maka c
disebut titik stasioner. Jika c adalah titik dalam dari I dimana f ‟c tidak ada, maka c disebut titik singular. Sebarang titik dalam daerah asal f yang
termasuk salah satu dari ketiga titik yang dikemukakan diatas disebut tittik kritis dari f.
c. Titik kritis
Misalkan fungsi f kontinu pada interval terbuka I yang memuat c, titik c, f c dinamakan titik kritis dari f jika f
‟c = 0 atau f ‟c tidak ada. Catatan : titik kritis tidak selalu merupakan tittik ekstrim.
Ttitik kritis terhadap nilai ekstrim Misalkan f punya tururnan pada interval I yang memuat titik c . Jika f c
adalah nilai ekstrim maka c haruslah suatu titik kritis yaitu c berupa salah satu dari :
1. Titik ujung dari I
2. Titik stasioner dari f atau titik c dimana f ‟c = 0.
3. Titik singular dari f atau titik c dimana f ‟c tidak ada.
Uji Turunan Pertama. d.
Kemonotonan Misalkan f terdefinisi pada interval I terbuka, tertutup, atau tak satupun,
kita katakan bahwa : PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1. f naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x
1
dan x
2
dalam I dimana x
1
x
2
, maka f x
1
f x
2
. 2.
f turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x
1
dan x
2
dalam I dimana x
1
x
2
, maka f x
1
f x
2
. 3.
f turun monoton jika f turun pada I, begitu pula f naik monoton jika f naik pada I.
Uji turunan pertama untuk kemonotonan Misalkan f kontinu pada I dan punya turunan pada setiap titik dalam dari I,
1. Jika f ‟x 0 untuk setiap x ϵ I, maka f naik pada I.
2. Jika f ‟x 0 untuk setiap x ϵ I, maka f turun pada I.
Uji Turunan Kedua e.
Kecekungan Misalkan f x punya turunan pada interval terbuka, I = a, b, jika f ‟x
naik pada I maka f dan grafiknya cekung keatas disana, dan jika f ‟x turun
pada I maka f dan grafiknya cekung kebawah pada I. Uji turunan kedua untuk kecekungan
Misalkan f terdiferensialkan dua kali punya turunan kedua pada interval terbuka I = a, b, oleh karenanya :
1. Jika f ‟‟x 0 untuk semua x ϵ I, maka grafik f x cekung ke atas pada I
2. Jika f ‟‟x 0 untuk semua x ϵ I, maka grafik f x cekung ke bawah
pada I PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
f. Titik belok titik balik
Andaikan fungsi f x kontinu di titik c, kita sebut c, fc suatu titik balik dari grafik fungsi f x jika f x cekung keatas pada suatu sisi dan cekung
ke bawah pada sisi lainnya dari titik c. Dalam pencarian titik-titik balik, kita mulai dengan mengenali titik-titik x
dimana f ‟‟x = 0 dan dimana f ‟‟x tidak ada, kemudian kita periksa apakah ianya benar-benar merupakan titik balik.
Penggunaan turunan fungsi dalam menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari-hari sangatlah luas, seperti diperlihatkan pada beberapa
ilustrasi masalah berikut ini seperti menentukan luas, volume, luas permukaan selimut. Dan lain-lain. Contoh:
a. Keliling sebuah segi empat adalah 100 cm. Tentukan luas maksimum
b. Sebuah proyek bangunan dapat diselesaikan dalam tempo x hari dengan
biaya proyek per hari sama dengan juta rupiah. Berapa
biaya proyek minimum? Masalah-masalah di atas memuat kata terbesar maksimum dan kata
terkecil minimum merupakan indikator bahwa masalah tersebut adalah karakteristik masalah yang model matematikanya berkaitan dengan nilai
ekstrim fungsi. Setelah kita mampu mengidentifikasi bahwa karakteristik masalahnya terkait dengan nilai ekstrim fungsi, selanjutnya masalah tersebut
dapat diselesaikan melalui langkah-langkah sebagai berikut. Langkah-langkah pemecahan masalah yang berkaitan dengan masalah nilai ekstrim.
a. Tetapkan besaran yang ada dalam masalah sebagai variable dilambangkan
dengan huruf-huruf untuk memperoleh hubungan atau ekspresi matematikanya.
b. Tetapkan rumus fungsi satu variable yang merupakan model matematika
dari masalah. c.
Tentukan penyelesaian optimum maksimum atau minimum dari model matematika yang diperoleh pada langakah 1 dan 2.
Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi y = fx, langkahnya sebagai berikut:
1 Syarat stasioner: f‟x = 0,
2 Menentukan jenis stasionernya maksimum, belok, atau minimum
menggunakan turunan kedua, 3
Menghitung nilai maksimum atau minimum yang diminta dengan substitusi nilai variabelnya ke fungsi awal.
d. Berikanlah tafsiran terhadap hasil yang diperoleh pada langkah 3
disesuaikan dengan masalah semula. Contoh:
1. Keliling sebuah persegi panjang adalah 100 cm. Tentukan luas maksimum
Jawab: Keliling persegi panjang = 2p + 2l
100 = 2p + 2l 50 = p + l
p = 50 – l
luas persegi panjang L = p x l L = 50
– l x l PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
L = 50l - l
2
L‟ = 50 – 2l Syarat perlu ekstrim diperoleh dari L‟ = 0
0 = 50 – 2l
2l = 50 l = 25, maka p = 50
– l = 25 Lmaks = p x l = 25 x 25 = 625 cm
2
.
E. Penelitian Lain yang Relevan
