KEKONGRUENAN ATAU KONGRUENSI MATEMATIKA

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam, kehidupan sehari-hari, kita dapat menemukan bentuk-bentuk bangun datar dalam sebuah bangunan rumah. Misalnya jendela dan pintu berbentuk persegi panjang, lubang ventilasi berbentuk segitiga, dan ubin lantai berbentuk persegi. Bangun datar dengan bentuk dan ukuran yang sama ini disebut sebangun jika memenuhi persyaratan. Untuk lebih mengetahuinya, kita akan mempelajari kesebangunan dan kongruensi melalui pembahasan berikut ini.

Kesebangunan dan kongruensi berbeda satu sama lainnya. Jika kesebangunan harus memenuhi syarat sudut-sudutnya yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding, maka kongruensi harus memenuhi syarat bahwa dua bangun yang kongruen diimpitkan maka akan tepat saling menutupi, atau bagian-bagian yang bersesuaian akan saling menempati dengan tepat. Kita dapat melihat benda dengan bentuk sama tetapi ukuran yang berbeda. Perbedaan ukuran terjadi melalui pembesaran atau pengecilan objek dengan menggunakan perbandingan skala tertentu. Melalui pembelajaran kesebangunan dan kongruen ini akan dapat membantu memecahkan masalah sehari-hari.

B. Rumusan Masalah

1. Jelaskan pengertian dan ciri kekongruenan! 2. Jelaskan kekongruenan bangun datar!

3. Bagaimana menghitung panjang sisi dan besar sudut dua bangun datar !

Selain untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika SD 3 dibawah bimbingan Ibu Mahfuzatul Husna, S.Pd., M.Pd, makalah ini juga dibuat untuk mengetahui :

1. Pengertian dan ciri kekongruenan 2. Kekongruenan bangun datar

BAB II PEMBAHASAN

A. Pengertian dan Ciri Kekongruenan

Kongruen adalah keadaan dimana dua bangun datar memiliki ukuran yang sama dan dikatakan sebangun.

Dari pengertian tersebut dapat diketahui bahwa semua bangun datar yang kongruen sudah pasti sebangun, namun bangun datar yang sebangun belum tentu kongruen.

Jadi, ciri-ciri bangun datar yang kongruen adalah :  Memiliki panjang sisi yang sama.

 Memiliki bentuk yang sama.  Memiliki besar sudut yang sama.  Sebangun

Perhatikan contoh gambar berikut ini : Gambar 1

Gambar 2

Dari ketiga gambar tersebut, manakah yang sebangun? manakah yang kongruen?

Mari kita cari tahu bersama. Pada gambar 1

 Memiliki bentuk yang sama (iya)  Panjang sisi yang sama (iya)  Besar sudut yang sama (iya) Pada gambar 2

 Memiliki bentuk yang sama (iya)

 Panjang sisi yang sama (tidak, namun memiliki perbandingan yang sama)

 Besar sudut yang sama (iya) Pada gambar 3

 Memiliki bentuk yang sama (tidak)  Panjang sisi yang sama (tidak)  Besar sudut yang sama (tidak)

Dari hasil pengamatan diatas, diketahui bahwa : Gambar 1 adalah contoh bangun kongruen. Gambar 2 adalah contoh bangun sebangun.

Gambar 3 adalah contoh bangun yang tidak kongruen maupun sebangun.

B. Kekongruenan Bangun Datar

Dua benda atau lebih yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama disebut kongruen. Kekongruenan dinotasikan dengan lambang " ".

Dua bangun atau lebih dikatakan kongruen jika bangun-bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama serta sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Contoh:

Diketahui panjang AB = RS, BC = PS, CD = PQ, AD = QR, , dan . Tentukan besar sudut R! Jawab:

Agar dapat menemtukan besar sudut R, terlebih dahulu kita buktikan bangun trapesium ABCD kongruen dengan bangun trapesium PQRS. Bukti:

Berdasarkan gambar diperoleh keterangan bahwa panjang: AB = RS BC = PS

CD = PQ AD = QR

Panjang sisi-sisi pada bangun trapesium ABCD ternyata sama panjang atau bersesuaian dengan panjang sisi-sisi bangun trapesium PQRS.

Jadi, terbukti jika bangun trapesium ABCD kongruen dengan bangun

trapesium PQRS, atau:

Trapesium ABCD trapesium PQRS.

Berdasarkan sifat-sifat kekongruenan yang berlaku maka:

Pada trapesium berlaku jumlah besar keempat sudutnya adalah 360°. Dengan demikian,

= 360°- (105°+65°+75°) = 360°- 245° = 115° Jadi, besar sudut = 115°

2. Dua Segitiga yang Kongruen

Bila dua buah segitiga kongruen maka dua segitiga tersebut dapat saling menutupi secara tepat.

Dua buah segitiga dikatakan kongruen bila memenuhi syarat-syarat berikut:

a. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang, disingkat s.s.s (sisi-sisi-sisi).

b. Dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut sama besar, disingkat s.sd.s (sisi-sudut-sisi).

c. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang, disingkat sd.s.sd (sudut-sisi-sudut).

Contoh:

Buktikan segitiga ABC kongruen dengan segitiga DEF! Bukti:

Perhatikan segitiga DEF.

Segitiga DEF merupakan segitiga siku-siku, sehingga untuk mencari panjang EF dapat digunakan rumus Phytagoras.

Panjang EF adalah 12 cm.

Perhatikan kembali segitiga ABC dengan segitiga DEF! AC = DE = 5 cm

= sudut siku-siku = 90° AB = EF = 12 cm

Dengan demikian, syarat dua sisi yang bersesuaian sama panjang dan satu sudut yang diapit oleh kedua sisi sisi tersebut sama besar, disingkat s.sd.s (sisi-sudut-sisi) terpenuhi.

Untuk memahami pengertian kekongruenan pada bangun datar, silahkan simak ilustrasi berikut ini. Pernahkah kamu melihat seorang tukang bangunan yang sedang memasang ubin? Sebelum ubin-ubin itu dipasang, biasanya tukang tersebut memasang benang-benang sebagai tanda agar pemasangan ubin tersebut terlihat rapi, seperti tampak pada gambar di bawah ini. Cara pemasangan ubin tersebut dapat diterangkan secara geometri seperti berikut.

Gambar di atas adalah gambar permukaan lantai yang akan dipasang ubin persegipanjang. Pada permukaannya diberi garis-garis sejajar. Jika ubin ABCD digeser searah AB (tanpa dibalik), diperoleh A => B, B => E, D => C, dan C =>F sehingga ubin ABCD akan menempati ubin BEFC. Akibatnya,

AB => BE sehingga AB = BE BC => EF sehingga BC = EF

DC => CF sehingga DC = CF AD => BC sehingga AD = BC

∠DAB => ∠CBE sehingga ∠DAB = ∠CBE ∠ABC => ∠BEF sehingga ∠ABC = ∠BEF ∠BCD => ∠EFC sehingga ∠BCD = ∠EFC ∠ADC => ∠BCF sehingga ∠ADC = ∠BCF

Berdasarkan pemaparan di atas maka diperoleh bahwa:

sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegi panjang BEFC sama panjang, dan sudut-sudut yang bersesuaian dari persegi panjang ABCD dan persegipanjang BEFC sama besar. Hal tersebut menunjukkan bahwa persegipanjang ABCD dan persegipanjang BEFC memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Dua persegi panjang yang demikian dikatakan kongruen.

Berdasarkan uraian tersebut diperoleh gambaran bahwa dua bangun yang kongruen pasti sebangun, tetapi dua bangun yang sebangun belum tentu kongruen. Bangun-bangun yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama dikatakan bangun-bangun yang kongruen. Pengertian kekongruenan tersebut berlaku juga untuk setiap bangun datar.

Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang pengertian kekongruenan, silahkan simak beberapa contoh soal di bawah ini.

Perhatikan gambar di bawah ini! Apakah persegipanjang ABCD kongruen dengan persegi panjang PQRS dan apakah persegipanjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PQRS? buktikan!

Penyelesaian:

Unsur-unsur persegipanjang ABCD adalah AB = DC = 8 cm, AD = BC = 6 cm, dan ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°. Amati persegipanjang PQRS dengan diagonal PR. Panjang PQ dapat ditentukan dengan menggunakan Theorema Pythagoras seperti berikut.

PQ = √(PR)2 _{- (QR)}2 PQ = √(10)2 _{- (6)}2 PQ = √64

PQ = 8

Jadi, unsur-unsur persegipanjang PQRS adalah PQ = SR = 8 cm, PS = QR = 6 cm, dan ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S = 90°. Dari uraian tersebut tampak bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama panjang. Selain itu, sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu sama besar. Jadi, persegipanjang ABCD kongruen dengan

persegipanjang PQRS. Dua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi, persegi panjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.

Contoh Soal 2

Perhatikan dua bangun datar yang kongruen berikut.

Tentukan besar sudut E! Penyelesaian:

Karena kedua bangun di atas kongruen maka sudut-sudut yang bersesuaian sudah pasti sama besar.

∠A = ∠F = 45° ∠C = ∠H = 60° ∠D = ∠G = 120° ∠B = ∠E = ?

Ingat** karena kedua bangun kongruen maka jumlah sudut pada bangun datar ABCD sama dengan jumlah sudut pada bangun datar EFGH = 360°, maka:

<=> ∠E = 360° - (∠F + ∠H + ∠G) <=> ∠E = 360° - (45° + 60° + 120°) <=> ∠E = 360° - 225°

<=> ∠E = 35°

Jadi besar sudut E adalah 35°

C. Menghitung Panjang Sisi dan Besar Sudut Dua Bangun Datar

Panjang Sisi dan Besar Sudut Dua Bangun Datar Kongruen Mari kita ingat kembali syarat dua bangun datar yang kongruen. Dua bangun datar dikatakan kongruen jika dan hanya jika memenuhi:

- sudut yang bersesuain (seletak) sama besar - sisi yang bersesuain (seletak) sama panjang

Jika kita mempunyai dua bangun datar yang kongruen seperti di bawah ini,

Maka unsur-unsur yang belum diketahui besar dan panjangnya dapat dicari dengan memperhatikan syarat kekongruenan dua bangun datar. 1) Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar Diketahui besar ∠ B = α, ∠ D = β, ∠ E = γ , ∠ G = θ. Karena ABCD = EFGH maka besar ∠ A, ∠ C, ∠ F, dan ∠ H dapat dicari sebagai berikut.

2) Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang Diketahui panjang AD = z, CD = x, EF = y, FG = t. Karena ABCD = EFGH maka panjang AB, BC, GH, dan EH dapat dicari sebagai berikut.

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan

Kongruen adalah keadaan dimana dua bangun datar memiliki ukuran yang sama dan dikatakan sebangun.

Dari pengertian tersebut dapat diketahui bahwa semua bangun datar yang kongruen sudah pasti sebangun, namun bangun datar yang sebangun belum tentu kongruen.

Jadi, ciri-ciri bangun datar yang kongruen adalah :  Memiliki panjang sisi yang sama.

 Memiliki bentuk yang sama.  Memiliki besar sudut yang sama.  Sebangun

Dua benda atau lebih yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama disebut kongruen. Kekongruenan dinotasikan dengan lambang " ".

Syarat dua bangun datar yang kongruen, Dua bangun datar dikatakan kongruen jika dan hanya jika memenuhi:

- sudut yang bersesuain (seletak) sama besar - sisi yang bersesuain (seletak) sama panjang

B. Saran

Pembahasan mengenai kongruensi bangun datar di atas sangat lah terbatas dan singkat maka dari itu, kami selaku penulis memberi saran kepada para pembaca supaya mencari referensi lain guna pembahasan yang lebih luas dan mendalam.

DAFTAR PUSTAKA

Author. 2016. Materi Matematika SMP Kelas IX Kekongruenan Bangun Datar.

https://duniamatematika.com/matematika-smp/materi-matematika-smp-kelas-ix-kekongruenan-bangun-datar/. 1 Mei 2017.

Hareflen, Zendo. 2013. Kesebanguan dan Kongruensi.

https://ipapgsdunib1.wordpress.com/2013/08/10/kesebangunan-dan-kongruensi/. 1 Mei 2017.

Nani. 2011. Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar.

http://djnani-math.blogspot.co.id/2011/01/kesebangunan-dan-kekongruenan-bangun.html. 1

Mei 2017.

Mafia Online. 2013. Pengertian Kekongruenan Pada Bangun Datar.

Perhatikan gambar di bawah ini! Apakah persegipanjang ABCD kongruen dengan persegi panjang PQRS dan apakah persegipanjang ABCD sebangun dengan persegi panjang PQRS? buktikan!

Penyelesaian:

Unsur-unsur persegipanjang ABCD adalah AB = DC = 8 cm, AD = BC = 6 cm, dan ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°. Amati persegipanjang PQRS dengan diagonal PR. Panjang PQ dapat ditentukan dengan menggunakan Theorema Pythagoras seperti berikut.

PQ = √(PR)2 _{- (QR)}2 PQ = √(10)2 _{- (6)}2 PQ = √64

PQ = 8

Jadi, unsur-unsur persegipanjang PQRS adalah PQ = SR = 8 cm, PS = QR = 6 cm, dan ∠P = ∠Q = ∠R = ∠S = 90°. Dari uraian tersebut tampak bahwa sisi-sisi yang bersesuaian dari persegipanjang ABCD dan persegipanjang PQRS sama panjang. Selain itu, sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua persegipanjang itu sama besar. Jadi, persegipanjang ABCD kongruen dengan

persegipanjang PQRS. Dua bangun datar yang kongruen pasti sebangun. Jadi, persegi panjang ABCD sebangun dengan persegipanjang PQRS.

Contoh Soal 2

Perhatikan dua bangun datar yang kongruen berikut.

Tentukan besar sudut E! Penyelesaian:

Karena kedua bangun di atas kongruen maka sudut-sudut yang bersesuaian sudah pasti sama besar.

∠A = ∠F = 45° ∠C = ∠H = 60° ∠D = ∠G = 120° ∠B = ∠E = ?

<=> ∠E = 360° - (∠F + ∠H + ∠G) <=> ∠E = 360° - (45° + 60° + 120°) <=> ∠E = 360° - 225°

<=> ∠E = 35°

Jadi besar sudut E adalah 35°

C. Menghitung Panjang Sisi dan Besar Sudut Dua Bangun Datar

Panjang Sisi dan Besar Sudut Dua Bangun Datar Kongruen Mari kita ingat kembali syarat dua bangun datar yang kongruen. Dua bangun datar dikatakan kongruen jika dan hanya jika memenuhi:

- sudut yang bersesuain (seletak) sama besar - sisi yang bersesuain (seletak) sama panjang

Jika kita mempunyai dua bangun datar yang kongruen seperti di bawah ini,

Maka unsur-unsur yang belum diketahui besar dan panjangnya dapat dicari dengan memperhatikan syarat kekongruenan dua bangun datar. 1) Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar Diketahui besar ∠ B = α, ∠ D = β, ∠ E = γ , ∠ G = θ. Karena ABCD = EFGH maka besar ∠ A, ∠ C, ∠ F, dan ∠ H dapat dicari sebagai berikut.

2) Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang Diketahui panjang AD = z, CD = x, EF = y, FG = t. Karena ABCD = EFGH maka panjang AB, BC, GH, dan EH dapat dicari sebagai berikut.

BAB III PENUTUP

A. Kesimpulan

Kongruen adalah keadaan dimana dua bangun datar memiliki ukuran yang sama dan dikatakan sebangun.

Dari pengertian tersebut dapat diketahui bahwa semua bangun datar yang kongruen sudah pasti sebangun, namun bangun datar yang sebangun belum tentu kongruen.

Jadi, ciri-ciri bangun datar yang kongruen adalah :  Memiliki panjang sisi yang sama.

 Memiliki bentuk yang sama.  Memiliki besar sudut yang sama.  Sebangun

Dua benda atau lebih yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama disebut kongruen. Kekongruenan dinotasikan dengan lambang " ".

Syarat dua bangun datar yang kongruen, Dua bangun datar dikatakan kongruen jika dan hanya jika memenuhi:

- sudut yang bersesuain (seletak) sama besar - sisi yang bersesuain (seletak) sama panjang B. Saran

Pembahasan mengenai kongruensi bangun datar di atas sangat lah terbatas dan singkat maka dari itu, kami selaku penulis memberi saran kepada para pembaca supaya mencari referensi lain guna pembahasan yang lebih luas dan mendalam.

DAFTAR PUSTAKA

Author. 2016. Materi Matematika SMP Kelas IX Kekongruenan Bangun Datar. https://duniamatematika.com/matematika-smp/materi-matematika-smp-kelas-ix-kekongruenan-bangun-datar/. 1 Mei 2017.

Hareflen, Zendo. 2013. Kesebanguan dan Kongruensi.

https://ipapgsdunib1.wordpress.com/2013/08/10/kesebangunan-dan-kongruensi/. 1 Mei 2017.

Nani. 2011. Kesebangunan dan Kekongruenan Bangun Datar. http://djnani-math.blogspot.co.id/2011/01/kesebangunan-dan-kekongruenan-bangun.html. 1 Mei 2017.

Mafia Online. 2013. Pengertian Kekongruenan Pada Bangun Datar.