=
1.e
3 2
1 Lnx
x
dx =
e
3
1 x
e
3
Lnx
dx
y e
3 2
1 Lnx
x
= 12 e
2
1 x
+ c
Persamaan differensial linear x
3
dx
dy 2-3x
2
y = x
3
mempunyai selesaian
y e
3 2
1 Lnx
x
= 12 e
2
1 x
+ c
2. Cara LAGRANGE Menyelesaikan persamaan differensial linear
dx dy
+ Px y = Qx dapat juga dilakukan dengan Cara Lagrange. Cara ini dilakukan dengan
mengubah persamaan linear sehingga ruas kanan sama dengan 0 dan mengubah konstanta C menjadi fungsi dari x atau Cx.
Perhatikan kembali persamaan
dx dy
+ Px y = Qx
y’ + Pxy = Qx
Ambil y’ + Pxy = 0, maka
dx dy
= -Pxy
y dy
= -Px dx
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
72
y dy
=
-Px dx
ln y =
-Px dx
y = e
dx
x P
y = e
1
x C
dx x
P
y = e
1
x C
.e
dx
x P
y = cx e
dx
x P
Selanjutnya akan dicari fungsi cx dari persamaan y = cx e
dx
x P
, maka
Ln y = ln cx e
dx
x P
ln y = ln cx + Ln e
dx
x P
ln y = ln cx -
dx x
P
Jika persamaan di atas didefferensialkan terhadap x, diperoleh:
dx dy
y 1
=
1 x
P dx
x dc
x c
dx
dy
y
1 x
P dx
x dc
x c
dx dy
=
y x
P dx
x dc
x c
y
Dari persamaan y = cx e
1
x C
dx x
P
diperoleh:
dx
dy
Px y =
dx x
dc x
c e
x c
dx x
P
Qx = e
dx
x P
dx x
dc
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
73
dx x
dc
= Qx e
dx x
P
cx =
Qx e
dx x
P
dx Dengan mensubtitusikannya ke dalam y = cx e
1
x C
dx x
P
maka diperoleh selesaian umum persamaan dengan metode Lagrange
y = e
dx
x P
Qx e
dx x
P
dx
Contoh soal Tentukan selesaian umum persamaan
1.
dx dy
+ y Cotgn x = 5e
Cosx
Jawab Px = cotgn x dan Qx = 5e
cos x
Sehingga faktor integralnya e
gnxdx cot
= e
ln sin x
= sin x. Selesaian umum persamaan yang dicari adalah:
ye
dx x
P
=
dx x
P
e x
Q
dx
y sin x =
x
e
cos
5
sin x dx
y sin x =
x
e
cos
5
d-cos x
y sin x = 5-e
x cos
+ C
2. x-2
dx dy
= y + 2x-2
3
Jawab Persamaan dibagi dengan x-2 diperoleh:
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
74
dx dy
-
2
x y
= 2x-2
2
Px =
2 1
x
dan Qx = 2x-2
2
Faktor integral e
dx x
P
= e
dx x
2 1
= e
2
x
Ln
=
2 1
x
Selesaian umum persamaan diperoleh
dx dy
+ y Cotgn x = 5e
Cosx
ye
dx x
P
=
dx x
P
e x
Q
dx
y
2 1
x
=
2
2 2 x
2 1
x
dx
2
x y
= 2
2
x
dx
2 2
1 2
2
2
x x
x y
3. Cara Mengubah menjadi Persamaan Differensial Eksak.
Karena dx
dy + Px y = Qx atau Pxy – Qx dx + dy = 0 belum
merupakan persamaan differensial eksak untuk Px
0, maka perlu mencari faktor integralnya.
Misal ux faktor integral, maka ux[ Pxy – Qx dx + dy = 0 ]
[uxPxy – uxQx] dx + ux dy = 0 merupakan persamaan differensial eksak.
Berdasarkan syarat persamaan differensial eksak diperoleh
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
75
y y
x M
,
= uxPx dan
x y
x N
,
=
dx x
du
sehingga
dx x
du
= uxPx
x u
du = Px dx
x u
du =
Px dx
ln ux =
Px dx
ux = e
dx x
P
Selanjutnya jika nilai ux dikalikan dengan dx
dy + Px y = Qx, diperoleh
ux dx
dy + ux Px y = ux Qx
Karena
dx x
du
= ux Px, maka
ux dx
dy +
x dx
du
= ux Qx
dx d
uxy = uxQx Dengan mengintegralkan persamaan terakhir terhadap x diperoleh
dx d
uxy =
uxQx dx
ux y =
dx x
Q x
u
y = ux
1
dx x
Q x
u
y = e
dx
x P
dx x
Q x
u adalah selesaian umumnya.
Karena ux = e
dx x
P
maka diperoleh
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
76
y = e
dx
x P
x Q
e
dx x
P
dx
Contoh Tentukan selesaian umum persamaan
1.
dx dy
x 1
-
2
2 x
y
= x cos x Jawab
Kalikan persamaan dengan x, sehingga didapat
dx dy
-
x y
2
= x
2
cos x
Px =
x 2
dan Qx = x
2
cos x ux = e
dx
x 2
= e
Lnx 2
=
2
1 x
Jika persamaan
dx dy
-
x y
2
= x
2
cos x dikalikan dengan ux =
2
1 x
diperoleh x
2
dx dy
- 2yx
3
= cos x
2
y x
dx d
= cos x
x
2
y =
Cos
x dx
y = x
2
sin x + cx
2
Persamaan Differensial-Dwi Purnomo
77
2. y
2
dx + 3xy-1 dy = 0 Jawab
y
2
dx + 3xy-1 dy = 0
dy dx
+
y x
3
=
2
1 y
Py =
y 3
Qy =
2
1 y
ux = e
dy y
3
= y
3
Selesaian umum persamaan di atas xe
dy y
P
=
dy y
P
e x
Q
dy xy
3
=
2
1 y
y
3
dy xy
3
= ½ y
2
+ c
4. Persamaan BERNOULLI
